第二十一章一元二次方程复习课件

1、第二十一章 一元二次方程（复习课）知识结构图知识结构图定义及一般形式: 只含有只含有_未知数未知数,未知数的最高次数是未知数的最高次数是_的的_式方程式方程,叫做一元二次方程叫做一元二次方程.一般形式一般形式:_二次整ax2+bx+c=o (ao)一个A A整式方程整式方程B B只含有一个未知数只含有一个未知数C C未知数的最高次数是未知数的最高次数是2 2D D二次项系数不为二次项系数不为0 0主题主题1 1 一元二次方程及根的有关概念一元二次方程及根的有关概念【主题训练主题训练1 1】(2014(2014怀化模拟怀化模拟) )若若(a-3) +4x+5=0(a-3) +4x+5=0是关于是

2、关于x x的一元二次方程的一元二次方程, ,则则a a的值为的值为( () )A.3A.3B.-3B.-3C.C.3 3D.D.无法确定无法确定【自主解答自主解答】选选B.B.因为方程是关于因为方程是关于x x的一元二次方程的一元二次方程, ,所以所以a a2 2- -7=2,7=2,且且a-30,a-30,解得解得a=-3.a=-3.2a7x1.(20141.(2014武威凉州模拟武威凉州模拟) )下列方程中下列方程中, ,一定是一元二次方程的一定是一元二次方程的是是( () )A.axA.ax2 2+bx+c=0+bx+c=0B.B. x x2 2=0=0C.3xC.3x2 2+2y-+2

3、y- =0=0D.xD.x2 2+ -5=0+ -5=0【解析解析】选选B.AB.A中的二次项系数缺少不等于中的二次项系数缺少不等于0 0的条件的条件,C,C中含有两中含有两个未知数个未知数,D,D中的方程不是整式方程中的方程不是整式方程. .12124x2.(20132.(2013牡丹江中考牡丹江中考) )若关于若关于x x的一元二次方程的一元二次方程axax2 2+bx+5 +bx+5 =0(a0)=0(a0)的解是的解是x=1,x=1,则则2013-a-b2013-a-b的值是的值是( () )A.2 018A.2 018B.2 008B.2 008C.2 014C.2 014D.2 0

4、12D.2 012【解析解析】选选A.x=1A.x=1是一元二次方程是一元二次方程axax2 2+bx+5=0+bx+5=0的一个根的一个根, , aa1 12 2+b+b1+5=0,a+b=-5,2013-a-b=2013-(a+b)=1+5=0,a+b=-5,2013-a-b=2013-(a+b)=2013-(-5)=2018.2013-(-5)=2018.3.(20143.(2014启东模拟启东模拟) )一元二次方程一元二次方程2x2x2 2-3x-2=0-3x-2=0的二次项系数是的二次项系数是, ,一次项系数是一次项系数是, ,常数项是常数项是. .【解析解析】项和系数都包括它前面的

5、符号项和系数都包括它前面的符号, ,所以二次项系数是所以二次项系数是2,2,一次项系数是一次项系数是-3,-3,常数项是常数项是-2.-2.答案答案: :2 2-3-3-2-2一元二次方程的项的系数包括它前面的符号一元二次方程的项的系数包括它前面的符号, ,一次项的系数和一次项的系数和常数项可以为常数项可以为0.0. 、用直接开平方法、用直接开平方法：(x+2)2= 2、用配方法解方程、用配方法解方程4x2-8x-5=0解:两边开平方,得: x+2= 3 x=-23 x1=1, x2=-5右边开平方后，根号前取“”.两边加上相等项“1”.主题主题2 2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 解

6、解:移项移项,得得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 b2-4ac=(-4)2-43(-7)=1000 x1= x2 = 解解:原方程化为原方程化为 （y+2) 2 3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或或 y-1=0 y1=-2 y2=1先变为一般形式，代入时注意符号.把y+2看作一个未知数，变成(ax+b)(cx+d)=0形式.3、用公式法解方程 3x2=4x+74、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）3526100)4(x-137 同除二次项系数化为同除二次项系数化为1；移常数项到右边；移常数项到右边；两边加上

7、一次项系数一半的平方；两边加上一次项系数一半的平方；化直接开平方形式化直接开平方形式;解方程解方程.步骤归纳 先化为一般形式；先化为一般形式；再确定再确定a、b、c,求求b2-4ac； 当当 b2-4ac 0时时,代入公式代入公式:242bba cxa-=步骤归纳若b2-4ac0,方程没有实数根.右边化为右边化为0,左边化成两个因式左边化成两个因式的积；的积；分别令两个因式为分别令两个因式为0，求解，求解.步骤归纳分解因式法步骤【主题升华主题升华】一元二次方程解法选择一元二次方程解法选择若没有特别说明若没有特别说明, ,解法选择的基本顺序是直接开平方法解法选择的基本顺序是直接开平方法因式因式分

8、解法分解法公式法公式法. .配方法配方法. .【主题训练主题训练2 2】(2013(2013义乌中考义乌中考) )解方程解方程x x2 2-2x-1=0.-2x-1=0.【自主解答自主解答】移项得移项得:x:x2 2-2x=1,-2x=1,配方得配方得:x:x2 2-2x+1=2,-2x+1=2,即即(x-1)(x-1)2 2=2,=2,开方得开方得:x-1=:x-1= , ,x=1x=1 , ,所以所以x x1 1=1+ ,x=1+ ,x2 2=1- .=1- .2222【备选例题备选例题】(2014(2014齐齐哈尔模拟齐齐哈尔模拟) )方程方程a a2 2-4a-7=0-4a-7=0的解

9、是的解是. .【解析解析】a a2 2-4a-7=0,-4a-7=0,移项得移项得:a:a2 2-4a=7,-4a=7,配方得配方得:a:a2 2-4a+4=7+4,-4a+4=7+4,(a-2)(a-2)2 2=11,=11,两边直接开平方得两边直接开平方得:a-2=:a-2= ,a=2 ,a=2 . .答案答案: :a a1 1=2+ ,a=2+ ,a2 2=2-=2- 111111111.(20131.(2013鞍山中考鞍山中考) )已知已知b0,b0,关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程(x-1)(x-1)2 2=b=b的根的情况是的根的情况是( () )A.A.有两个不相等的实

10、数根有两个不相等的实数根B.B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根C.C.没有实数根没有实数根D.D.有两个实数根有两个实数根【解析解析】选选C.(x-1)C.(x-1)2 2=b=b中中b0,b0-4ac0时时, ,方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根. .(2)(2)当当=b=b2 2-4ac=0-4ac=0时时, ,方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根. .(3)(3)当当=b=b2 2-4ac0-4acxx2 2).).121212xx11xxx x；21212(xx )4x x【主题训练主题训练3 3】(2013(2013广州中考广州中考) )若若5k+200,

11、5k+200,则关于则关于x x的一元二的一元二次方程次方程x x2 2+4x-k=0+4x-k=0的根的情况是的根的情况是( () )A.A.没有实数根没有实数根B.B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根C.C.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根D.D.无法判断无法判断【自主解答自主解答】选选A.=16+4k= (5k+20),A.=16+4k= (5k+20),5k+200,0,5k+200,0,没有实数根没有实数根. .451.(20131.(2013福州中考福州中考) )下列一元二次方程有两个相等实数根的下列一元二次方程有两个相等实数根的是是( () )A.xA.x2 2+3=

12、0+3=0B.xB.x2 2+2x=0+2x=0C.(x+1)C.(x+1)2 2=0=0 D.(x+3)(x-1)=0D.(x+3)(x-1)=0【解析解析】选选C.C.选选项项一元二次方程的解一元二次方程的解A A项项方程可化为方程可化为x x2 2=-3,=-3,方程无解方程无解B B项项可化为可化为x(x+2)=0,x(x+2)=0,方程的解为方程的解为x x1 1=0,x=0,x2 2=-2=-2C C项项方程的解为方程的解为x x1 1=x=x2 2=-1=-1D D项项方程的解为方程的解为x x1 1=1,x=1,x2 2=-3=-32.(20132.(2013珠海中考珠海中考)

13、 )已知一元二次方程已知一元二次方程: :x x2 2+2x+3=0,+2x+3=0,x x2 2-2x-3=0,-2x-3=0,下列说法正确的是下列说法正确的是( () )A.A.都有实数解都有实数解B.B.无实数解无实数解, ,有实数解有实数解C.C.有实数解有实数解, ,无实数解无实数解D.D.都无实数解都无实数解【解析解析】选选B.B.一元二次方程的一元二次方程的判别式的值为判别式的值为= b= b2 2-4ac=4-12=-4ac=4-12=-80,80,4ac=4+12=160,所以方程有两个所以方程有两个不相等的实数根不相等的实数根. .3.(20133.(2013黄冈中考黄冈中

14、考) )已知一元二次方程已知一元二次方程x x2 2-6x+c=0-6x+c=0有一个根为有一个根为2,2,则另一根为则另一根为( () )A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.8D.8【解析解析】选选C.C.由题意由题意, ,把把2 2代入原方程得代入原方程得:2:22 2-6-62+c=0,2+c=0,解得解得c=8,c=8,把把c=8c=8代入方程得代入方程得x x2 2-6x+8=0,-6x+8=0,解得解得x x1 1=2,x=2,x2 2=4.=4.4.(20134.(2013武汉中考武汉中考) )若若x x1 1,x,x2 2是一元二次方程是一元二次方程x x2 2-2x-3=

15、0-2x-3=0的两个的两个根根, ,则则x x1 1x x2 2的值是的值是( () )A.-2A.-2B.-3B.-3C.2C.2D.3D.3【解析解析】选选B.xB.x1 1x x2 2= ,x= ,x1 1x x2 2=-3.=-3.ca5.(20145.(2014芜湖模拟芜湖模拟) )关于关于x x的方程的方程axax2 2-(3a+1)x+2(a+1)=0-(3a+1)x+2(a+1)=0有两有两个不相等的实根个不相等的实根x x1 1,x,x2 2, ,且有且有x x1 1-x-x1 1x x2 2+x+x2 2=1-a,=1-a,则则a a的值是的值是( () )A.1A.1

16、B.-1B.-1 C.1C.1或或-1-1D.2D.2【解析解析】选选B.B.由题意由题意:x:x1 1+x+x2 2= ,x= ,x1 1x x2 2= ,= ,因为因为x x1 1- -x x1 1x x2 2+x+x2 2=1-a,=1-a,所以所以 - =1-a,- =1-a,即即 =1-a,=1-a,解得解得a a1 1=1,=1,a a2 2=-1.=-1.当当a=1a=1时时, ,原方程有两个相等的实数根原方程有两个相等的实数根, ,不合题意不合题意, ,舍去舍去. .所以所以a=-1.a=-1.3a1a2a2a3a1a2a2aa 1a一元二次方程解应用题的六个步骤一元二次方程解

17、应用题的六个步骤1.1.审审审清题意审清题意, ,找出等量关系找出等量关系. .2.2.设设直接设未知数或间接设未知数直接设未知数或间接设未知数. .3.3.列列根据等量关系列出一元二次方程根据等量关系列出一元二次方程. .4.4.解解解方程解方程, ,得出未知数的值得出未知数的值. .5.5.验验既要检验是否是所列方程的解既要检验是否是所列方程的解, ,又要检验是否符合实又要检验是否符合实际情况际情况. .6.6.答答完整地写出答案完整地写出答案, ,注意单位注意单位. .主题主题4 4 一元二次方程与实际问题一元二次方程与实际问题28列一元二次方程解应用题的五类问题 数字问题 平均增长率（

18、降低率）问题 几何图形面积问题 销售利润问题 存款利息问题293、两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数168 较大的偶数等量关系：较小的偶数.2:xx，则较大的偶数是较小的偶数是设1682 xx一、数字问题304、若两个连续整数的积是56,则它们的和是 ( )A、15 B、15 C、15 D、11.1:xx，则较大的整数是较小的整数是设561 xx315.某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.736 原两位数等量关系：新两位数xx5:，个位数字是十位数字是设xx 510 xx 510=73

19、632 如果增长率中的起始量（基数）为a，平均增长率为x，则第一次增长后的数量为 _，第二次增长后的 数量为_，第n次增长 后的数量为_。二、平均增长率（降低率）问题xa121xanxa1332、如果下降率中的起始量（基数）为a，平均下降率为x，则第一次下降后的数量为 _，第二次下降后的 数量为_，第n次下降 后的数量为_。xa121xanxa1342：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年的社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的百分率（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为a）设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则2001年a2002年a（1+x)2003年a

20、(1+x) a(1+x) 2 2增长增长21%21%a aa+21%aa+21%aa(1+x) a(1+x) 2 2 =a+21%a =a+21%a分析：分析：35三、几何图形面积问题 三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 勾股定理：直角三角形的直角边为a,b斜边为c，则a2+b2=c2 解决这类问题是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积公式列出方程。3621.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积

21、是288m2？解：设矩形的宽为解：设矩形的宽为x米，则长为米，则长为2x米。米。则蔬菜种植区域的长为（则蔬菜种植区域的长为（2x-4）米；）米；蔬菜种植区域的宽为（蔬菜种植区域的宽为（x-2）米；）米；288242xx288222xx14422x28214,122xxx，舍去10,122xx答：矩形的宽为答：矩形的宽为14米，则长为米，则长为28米。米。3726.如图，有一矩形空地，一边靠墙，这堵墙的长为30m，另三边由一段长为35m的铁丝网围成已知矩形空地的面积是125m2，求矩形空地的长和宽x m(35-2x) m解解:设矩形空地的宽为设矩形空地的宽为xm,长为长为(35-2x)m。x(3

22、52x)=125整理得整理得 2x2 35x+125=0得得 x1=12.5, x2=5当当x=12.5时时,35-2x= 1030;当当x=5时时,35-2x=2530,均合题意均合题意答：矩形空地的长和宽分别是答：矩形空地的长和宽分别是12.5m和和10m或或25m和和5m。382. 在一幅长80 cm,宽50 cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2,设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程是( )A.x2+130 x1 400=0 B.x2+65x350=0C.x2130 x1 400=0 D.x265x350=0

23、5400250280 xx0350652xx整理得：B B39例例3、求截去的正方形的边长、求截去的正方形的边长 用一块长用一块长28cm、宽、宽 20cm的长方形纸片，要的长方形纸片，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm，为了有效地利用材料，求截去的，为了有效地利用材料，求截去的小正方形的边长是多少小正方形的边长是多少cm？40求截去的正方形边长 解：设截去的正方形的边长为解：设截去的正方形的边长为xcm，根据题意，得，根据题意，得(28-2x)(20-2x)=180(

24、28-2x)(20-2x)=180 x x2 2-24x+95=0-24x+95=0解这个方程，得：解这个方程，得：x x1 1=5,x=5,x2 2=19=19经检验：经检验：x x2 21919不合题意，舍去不合题意，舍去所以截去的正方形边长为所以截去的正方形边长为cm.cm.41四、销售利润问题 利润=售价-进价；3.售价=进价（1+利润率）；4.总利润=总售价-总成本 =单件利润总销售量；进价进价售价进价利润、利润率2421、 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一

25、元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？【解析】设每件衬衫降价【解析】设每件衬衫降价x元，则每件衬衫盈元，则每件衬衫盈利利(40 x)元，降价后每天可卖出元，降价后每天可卖出(20+2x)件，由关件，由关系式：系式：总利润总利润=每个商品的利润售出商品的总每个商品的利润售出商品的总量量，可列出方程，可列出方程43【解答】设每件衬衫降价x元，依题意，得(40 x)(20+2x)=1200，整理得：x230 x+200=0，解得：x1=10，x2=20，因为要尽快减少库存，所以x=10舍去答：每件衬衫应降价20元442. 某商场将每件进价为80元的某种商

26、品原来按每件100元出售，一天可售出100件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？解：解：若商店经营该商品不降价，则一天可获利润若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100（10080）2000（元）（元）（2）依题意得：依题意得：（100 x80）（）（100+10 x）2160 45 依题意得：（100 x80）（100+10 x）2160 即x210 x+16=0 解得：x1=2,x2=8 经检验：x1=2,x2=8都是方程的解，且符合题意. 答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元. 46某商场将进价为30元的台灯按40元出售，平均每月能售出600盏。调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10盏。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少盏？解：设每盏台灯的售价定为解：设每盏台灯的售价定为x x元，上涨了元，上涨了( (x-40 x-40) )元，则元，则每盏台灯盈利（每盏台灯盈