行列式1(3+4)

1、第一章第一章 行列式行列式1.3 n阶行列式的计算阶行列式的计算 本节将简单介绍利用行列式按行（列）展开的本节将简单介绍利用行列式按行（列）展开的定理和行列式的性质计算行列式的方法定理和行列式的性质计算行列式的方法,主要涉及主要涉及的方法有如下几种。的方法有如下几种。1. 化行列式为特殊类型的行列式化行列式为特殊类型的行列式3. 拆行拆列法拆行拆列法2. 降阶法降阶法4. 升阶法（加边法）升阶法（加边法）第一章第一章 行列式行列式5. 递推法递推法6. 利用数学归纳法利用数学归纳法下面分别通过相应的例子来阐述上述几种方法。下面分别通过相应的例子来阐述上述几种方法。第一章第一章 行列式行列式例例

2、1 计算计算4131265312103524 131210265341313524rrD 2131412431210023307710154rrrrrr 解：解：第一章第一章 行列式行列式241210015407710233rr 324272121001540028290075rrrr 34121001540075002829rr 4341210015400750009rr 1 ( 1) ( 7) ( 9)63 第一章第一章 行列式行列式 注意：注意：例例1是是利用行列式的性质利用行列式的性质2、5将行列式主对将行列式主对角线下方的元素全化为零（即化为上三角行列式）角线下方的元素全化为零（即化

3、为上三角行列式）行列式的值为主对角线上元素的连乘积行列式的值为主对角线上元素的连乘积.由于化简过由于化简过程具有程序化，因此工程技术上，常用计算机程序程具有程序化，因此工程技术上，常用计算机程序计算高阶行列式的值计算高阶行列式的值.例例2 设多项式设多项式2211231223( )23152319xf xx 试求试求f(x)的根的根.第一章第一章 行列式行列式解解 (方法一方法一)213141223210001100( )21312133ccccccxf xx 4312321000110021302134ccxx 223(1)(4)xx 求得求得f(x)=0的根为的根为x1=-1，x2=1，x

4、3=-2，x4=2第一章第一章 行列式行列式(方法二）方法二）有性质有性质2推论推论3知，当知，当2- -x2=1或或9- -x2=5时，时，f(x)=0.故故x1=- -1，x2=1，x3=- -2，x4=2为为f(x)=0的根的根.由于由于f(x)为为x的的4次多项式，因此次多项式，因此f(x)=0只有只有4个根个根. 例例3 计算计算 n 阶行列式阶行列式abbbbabbbbabbbbaD 第一章第一章 行列式行列式 1111anbbbbanbabbDanbbabanbbba 解：将第解：将第2,3,，n列都加到第列都加到第1列得列得 abbbabbbabbbbna1111) 1( 第一

5、章第一章 行列式行列式 babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna注意：行列式的每一行的注意：行列式的每一行的n个元素之和相等时常用个元素之和相等时常用此法此法. 例如下面的行列式例如下面的行列式mxxxxmxxxxmxDnnn 212121第一章第一章 行列式行列式例例4 计算行列式计算行列式2324323631063abcdaababcabcdDaababcabcdaababcabcd 433221002320363rrrrrrabcdaababcDaababcaababc 解：解：2、降阶法、降阶法第一章第一章 行列式行列式232363aababca aab

6、abcaababc32210203rrrraababcaaabaab 2423aabaaaab 第一章第一章 行列式行列式例例5:计算行列式计算行列式1210011121323121 D解：解：2121213011411100121rrD 311213011403030121rr 第一章第一章 行列式行列式114303121 31113300120cc 1331820 注意：注意：以上例子都是首先以上例子都是首先通过性质通过性质5将行列式某将行列式某一行（列）只保存一个非零元素，然后利用第二一行（列）只保存一个非零元素，然后利用第二节定理节定理1.2.1推论，降阶计算行列式的值，这是计推论，降

7、阶计算行列式的值，这是计算行列式常用的方法之一算行列式常用的方法之一. 第一章第一章 行列式行列式3、拆行拆列法、拆行拆列法3101121xyz ，111413111xyzD 求求例例6 设设解：解：111413413111111xyzD 第一章第一章 行列式行列式413111xyz 23302111rrxyz 310121xyz 1 第一章第一章 行列式行列式例例7：计算行列式：计算行列式yyxxD 1111111111111111解：解：由性质由性质1.2.4可得到可得到yyxxyyxD 1110111011101111111111111111111第一章第一章 行列式行列式yyxxyyx

8、 1111111110000000001111 yyxyyxxy111111111111111112 yyxyyxxy11110000111222yx 第一章第一章 行列式行列式例例8：计算行列式：计算行列式aaaaaaaaaD 1100011000110001100015分析：按照第一列展开，得到递推公式分析：按照第一列展开，得到递推公式54323451)1 (11aaaaaaDaaDD第一章第一章 行列式行列式4、加边法、加边法即在行列式的前面和上方加上一行和一列变成即在行列式的前面和上方加上一行和一列变成一个一个n+1阶行列式，以便于更容易观察行列式阶行列式，以便于更容易观察行列式的元素

9、分布规律，从而套用行列式的性质达到的元素分布规律，从而套用行列式的性质达到化简运算的目的。化简运算的目的。例例9：计算行列式：计算行列式nnaaaD 11111111121第一章第一章 行列式行列式mxxxxmxxxxmxDnnnn 212121例例10：计算行列式：计算行列式第一章第一章 行列式行列式20.00.00.00.0.00.0000.00.0.00.00.00.0nabababDcdcdcd 例例11 计算计算5、递推法、递推法第一章第一章 行列式行列式2nD解：解： 将将按第一行展开按第一行展开20.00.0.00.0000.00.0.00.000.00.0nababDacdcd

10、d 210.00.0.00.00( 1)00.00.0.00.000.00.00nababbcdcc 第一章第一章 行列式行列式21 21211 212222( 1)( 1)( 1)nnnnnnadDbcD 22()nadbc D 222(1)2(2)112()()()()()nnnnnnDadbc DadbcDabadbcDadbcadbccd 222()nnDadbc D 即即所以所以第一章第一章 行列式行列式例例12 计算行列式计算行列式320.00132.00.000.32000.13nD 解：按第一列展开，得解：按第一列展开，得 320.00132.003 .000.32000.13

11、nD 200.00132.00.000.32000.13 第一章第一章 行列式行列式1320.00132.0032 .000.32000.13nD 1232nnDD2322(3)213nn 2232 ()nnDD1122()nnnnDDDD2212()nDD 1232nnnDDD 即即由递推公式由递推公式第一章第一章 行列式行列式12nnnDD 122(2)nnnD 121222nnD 122223nn 1212222121nnn注意：注意：n阶行列式的计算除了利用行列式的展开定阶行列式的计算除了利用行列式的展开定理和性质外理和性质外,有些问题需要递推公式或利用数学归纳有些问题需要递推公式或利

12、用数学归纳法解决法解决. 第一章第一章 行列式行列式例题例题13 ：证明下式：证明下式nnnnkkkknnnnknnkkkkkbbbbaaaabbccbbccaaaa111111111111111111110000 六、数学归纳法六、数学归纳法第一章第一章 行列式行列式 证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式成立）式成立时（时（当当12 n例例14 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(第一章第一章 行列式行列式，阶范德蒙德行列式

13、成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi 第一章第一章 行列式行列式213112()()()()nnijn ijDxxxxxxxx 1().ijn ijxx 232131122223111()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式第一章第一章 行列式行列式三、小结三、小结 思考题思考题二、重要定理二

14、、重要定理一、克拉默法则一、克拉默法则1.4 克拉默法则克拉默法则第一章第一章 行列式行列式11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxa xb 设线性方程组设线性方程组,21不全为零不全为零若常数项若常数项nbbb则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;,21全为零全为零若常数项若常数项nbbb此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.一、克拉默法则一、克拉默法则第一章第一章 行列式行列式由线性方程组由线性方程组(1)的系数构成的行列式的系数构成的行列式nnnnnnaaaaaaaaa

15、D212222111211 称为方程组称为方程组(1)的的系数行列式系数行列式.1 1,2,nijjija xbin 方程组方程组(1)可简写为可简写为第一章第一章 行列式行列式.DDx,DDx,DDx,DDxnn 332211其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 定理定理1.4.1（克拉默法则）（克拉默法则）如果线性方程组如果线性方程组(1)的系数的系数行列式行列式 那么线性方

16、程组那么线性方程组(1)有解，并且解是唯有解，并且解是唯一的，解可以表为一的，解可以表为0D 第一章第一章 行列式行列式证明证明： 1、存在性、存在性11221njjjnnjssjsDb Ab Ab Ab A 把把 代入第代入第 i(i=1,2,n)个方程，得个方程，得DDxjj 111111111111nnnnjijjijijssjjjjsnnnnsijsjsijsjiijssjDa xaab ADDba Aba AbDbDDD 故故 是方程组的解是方程组的解.DDxjj 第一章第一章 行列式行列式2、唯一性、唯一性设设(c1,c2,cn)是方程组的一个解，则是方程组的一个解，则1(1,2,

17、 )nijjija cbin 1(1,2, )nikijjiikjAa cb Ain DcAaccaAcaAknjniikijjninjjijikninjjijik 111111,1kniikiDAb DDckk 得得所以方程组有唯一解。所以方程组有唯一解。左端相加左端相加右端相加右端相加 从而从而ckD=Dk第一章第一章 行列式行列式结论结论 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同解，无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零. 1 它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系它的优点在于给出了方程组的解与方程组的系数及常数项之间的关系式数及常数项之间的关系式,因此

18、具有重要的理论价因此具有重要的理论价值值. 克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的克拉默法则仅适用于解方程的个数与未知量的个数相等，且系数行列式不为零的线性方程组个数相等，且系数行列式不为零的线性方程组.由命题的等价性可得到如下的推论由命题的等价性可得到如下的推论第一章第一章 行列式行列式例例1 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 第一章第一章 行列式行列式12772121357 212cc 2

19、32cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 第一章第一章 行列式行列式60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx第一章第一章 行列式行列式例例2 用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组 .6523,611, 443, 325343214321424321xxxxxxxxxxxxxx解解2311111140301253 D67 , 0 第一章第

20、一章 行列式行列式23165111611403412531 D,367 23651116111404012332 D, 0 26511161111443013533 D,267 65311611111403032534 D,67 第一章第一章 行列式行列式,DDx316736711 ,DDx067022 ,DDx216726733 . 1676744 DDx第一章第一章 行列式行列式二、齐次线性方程组的相关定理二、齐次线性方程组的相关定理 2000221122221211212111 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa12,.,nb bb当当，全全为为零零时时，对对应应的的

21、齐齐次次方方程程为为12.0nxxx 显然，齐次线性方程组一定有解，显然，齐次线性方程组一定有解， 即为方程组即为方程组(2)的解，这个解叫做方程组的解，这个解叫做方程组(2)的零解的零解.第一章第一章 行列式行列式定理定理1.4.2 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 有非零解的充有非零解的充分必要条件是它的系数行列式必为零分必要条件是它的系数行列式必为零. 2推论推论 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 只有零解只有零解.0 D 2 2 换言之，如果齐次线性方程组换言之，如果齐次线性方程组(2)有非零解，则有非零解，则其系数行

22、列式必为零，反之，如果齐次线性方程组其系数行列式必为零，反之，如果齐次线性方程组(2)系数行列式为零，则齐次线性方程组系数行列式为零，则齐次线性方程组(2)必有非零必有非零解解.于是有下面的定理，这将在第二章中给予证明于是有下面的定理，这将在第二章中给予证明.第一章第一章 行列式行列式例例3 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组 ,01,032,0421321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？ 解解: 111132421D 101112431第一章第一章 行列式行列式 31214313 312123 齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则0 D所以所以 或或

23、时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.20 ,3 )2)(3( 第一章第一章 行列式行列式思考题思考题 1当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默能否用克拉默法则解方程组法则解方程组?为什么为什么?此时方程组的解为何此时方程组的解为何?答：不能答：不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解此时方程组的解为无解或有无穷多解.作业：作业： P29：4(3) (4) , 9. (3) (5) (7) P32: 11， 13第一章第一章 行列式行列式已知四元齐次方程组已知四元齐次方程组 及另一及另一 00:4221xxxxI四元齐次方程组四元齐次方程组 的通解为的通解

24、为 II .,1 , 2 , 2 , 10 , 1 , 1 , 02121RkkkkTT .,;,?说明理由说明理由有有若没若没求出来求出来若有若有是否有非零公共解是否有非零公共解与与问问III思思 考考 题题 2第一章第一章 行列式行列式解解 得得的通解代入的通解代入将将III 0202221212kkkkkk.21kk 的的公公共共解解为为与与故故III TTTkkk1 , 1 , 1 , 11 , 2 , 2 , 10 , 1 , 1 , 0221 所所有有非非零零公公共共解解为为 .01 , 1 , 1 , 1 kkT思思 考考 题题 解解 答答第一章第一章 行列式行列式第二章第二章

25、矩阵与向量矩阵与向量 2.1消元法与矩阵的初等变换消元法与矩阵的初等变换2.4矩阵的秩矩阵的秩2.2向量及其线性运算向量及其线性运算2.3向量组的线性相关性向量组的线性相关性第一章第一章 行列式行列式一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换三、矩阵的几种等价形式三、矩阵的几种等价形式2.1 消元法与矩阵的初等变换消元法与矩阵的初等变换第一章第一章 行列式行列式引例引例求解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程12312312322421 (1)442xxxxxxxxx 第一章第一章 行列式行列式解：解：)

26、1(1212312312321224 (2)442xxxxxxxxx 21-2 +3-4 +1123232321 322 (3) 342xxxxxxx 第一章第一章 行列式行列式23 - +12323321 322 (4) 24xxxxxx 23- +3+11223 3 3 2 (5) 24xxxx 第一章第一章 行列式行列式13321 +313 12 12412 2xxx 注意：注意：1. 在上述变换过程中，始终把方程组看作一在上述变换过程中，始终把方程组看作一个整体变形，用到下面的三种形式的变换，分个整体变形，用到下面的三种形式的变换，分别为别为第一章第一章 行列式行列式（1）交换方程次序

27、；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍我们把以上三种变换叫做我们把以上三种变换叫做方程组的初等变换方程组的初等变换.于是，加减消元法解线性方程组就是用初等变换于是，加减消元法解线性方程组就是用初等变换来化简方程组来化简方程组.第一章第一章 行列式行列式2上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的方程组与变换后的方程组是同解的ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik )(A若若),(Bji)

28、(A若若),(Bik )(B则则);(Aik )(B则则).(Ak ji第一章第一章 行列式行列式因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算系数和常数进行运算，未知量并未参与运算,因此因此在线性方程组中将未知数省略后，引入下面概念在线性方程组中将未知数省略后，引入下面概念 由由 个数个数nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 称为称为 矩阵矩阵.简称简称 阵阵.nm nm 定义定义2.1.1排成的排成的 行行 列的数表列的数表第一章第一章 行列式行

29、列式矩阵简记为矩阵简记为 .ijnmijnmaaAA ,.ijmnAaAij 这这个个数数称称为为 的的简简称称为为叫叫做做矩矩阵阵的的第第 行行第第素素元元列列元元素素元元元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶方阵方阵.nnA例如例如10359643 是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 1362222222i是一个是一个3 阶方阵阶方阵.第一章第一章 行列式行列式例如，一般例如，一般n元线性方程组元线性方程组 此时称此时称A为方程组的为方程组的系数矩阵系数矩阵

30、.()ijm nAa 的未知量的系数可以用矩阵的未知量的系数可以用矩阵来表示，来表示，11112211211222221122. (8).nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 第一章第一章 行列式行列式A来表示，并称来表示，并称 为线性方程组为线性方程组(8)的的增广矩阵增广矩阵. 11121121222212nnmmmnmaaabaaabAaaab 增广矩阵完全可表示为线性方程组，因此可以增广矩阵完全可表示为线性方程组，因此可以利用矩阵来研究线性方程组。由于线性方程组作初利用矩阵来研究线性方程组。由于线性方程组作初等变换就相当于对它的增广矩阵的行作相应的变

31、换，等变换就相当于对它的增广矩阵的行作相应的变换，于是有下面的定义于是有下面的定义 .方程组的系数和常数项可以用一个方程组的系数和常数项可以用一个 矩阵矩阵(1)mn第一章第一章 行列式行列式1.定义定义2.1.2 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换: 1,iji jrr对对调调两两行行（对对调调两两行行 记记作作）； 20; ,ikikrk 以以数数乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素（第第行行乘乘记记作作） 3.ijkjkirkr 把把某某一一行行所所有有元元素素的的倍倍加加到到另另一一行行对对应应的的元元素素上上去去（第第行行的的倍倍加加到到第第 行行上

32、上记记作作）二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换第一章第一章 行列式行列式3. 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称为统称为初等初等变换变换 2. 同样可定义矩阵的同样可定义矩阵的初等列变换初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)，包括如下的三种变换。，包括如下的三种变换。对调矩阵中的两列。对调矩阵中的两列。)1(元元素素。乘乘以以矩矩阵阵某某一一列列的的全全部部以以非非零零常常数数 k)2(.)3(一列的对应元素上一列的对应元素上倍加到另外倍加到另外素的素的把矩阵中某一列全部元把矩阵中某一列全部元k注意：对矩阵作初等行列变换，一般要发生变换。注意：对

33、矩阵作初等行列变换，一般要发生变换。第一章第一章 行列式行列式等价关系的性质：等价关系的性质：ABABAB如如果果矩矩阵阵经经有有限限次次初初等等变变换换变变成成矩矩阵阵，就就称称矩矩阵阵与与，记记作作等等价价具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价AA )1(反反身身性性，即即有有.,)2(ABBA则则对称性，若对称性，若CACBBA,)3(，则有，则有传递性，若传递性，若4.第一章第一章 行列式行列式例例1 用矩阵的初等行变换解方程组：用矩阵的初等行变换解方程组： 979

34、63422644121121112B197963211322111241211B 21rr 23 r第一章第一章 行列式行列式311214011100002600013B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 211214022200553603343B 23225rrr 243rr 第一章第一章 行列式行列式5 00000310003011040101B 310006200001110412113B43rr 342rr 21rr 32rr 411214011100001300000B 第一章第一章 行列式行列式135234433xxBxxx 对对应应的的

35、方方程程组组为为方方程程组组的的解解可可记记作作或或令令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.为为任任意意常常数数其其中中c注意注意:对矩阵作初等变换，矩阵一般要发生变对矩阵作初等变换，矩阵一般要发生变换，下面介绍矩阵的几种常用的等价形式。换，下面介绍矩阵的几种常用的等价形式。第一章第一章 行列式行列式特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；5 00000310003011040101B （2）、每个台阶）、每个台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的

36、第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元三、矩阵的几种等价形式三、矩阵的几种等价形式1.（行）阶梯形矩阵（行）阶梯形矩阵第一章第一章 行列式行列式1112111122221210000000000000rrnrrnrrrrrncccccccccccc 形如形如 矩阵称为矩阵称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵，简称，简称阶梯形矩阵阶梯形矩阵, ,其特点为：每层阶梯只有一行；元素不全为零的其特点为：每层阶梯只有一行；元素不全为零的行行( (非零行非零行) )的第一个非零元素所在列的下标随着的第一个非零元素所在列的下标随着行标的增大而严格增大行标的增大而严格增

37、大( (列标一定不小于行标列标一定不小于行标) )；元素全为零的行元素全为零的行( (如果有的话如果有的话) )必在矩阵的最下面必在矩阵的最下面几行几行. . 或者从矩阵或者从矩阵的任意一行的任意一行的第一个元的第一个元素到第一个素到第一个不为零的元不为零的元素下方全部素下方全部为零。为零。第一章第一章 行列式行列式定理定理2.1.1 任一矩阵可经有限次初等行变换化成任一矩阵可经有限次初等行变换化成阶梯形矩阵阶梯形矩阵. 证：证：若若A中的元素都等于零，那么中的元素都等于零，那么A已是阶梯型矩阵了已是阶梯型矩阵了.设矩阵设矩阵()ijm nAa 若若A中至少有一个元素中至少有一个元素 不等于零

38、，且不为零的元素不等于零，且不为零的元素在第一列，不妨设在第一列，不妨设 (否则对否则对A进行第一种初等行变进行第一种初等行变换总可将不为零的元素换到换总可将不为零的元素换到 的位置上的位置上),用用 乘以乘以第一行的各元素加到第第一行的各元素加到第i行行(i=1,2,m)的对应元素上，的对应元素上，得矩阵得矩阵 ，即有，即有ija110a 11a111iaa 1A第一章第一章 行列式行列式11121312223212300nnmmmnaaaaaaaAAaaa 11.AA 若若 中中除除第第一一行行外外其其余余各各元元素素去去为为零零，那那么么 即即为为阶阶梯梯形形矩矩阵阵2210,aAm 如

39、如若若不不然然，不不妨妨设设可可仿仿照照上上面面的的方方法法将将 的的第第三三行行至至第第行行的的第第二二列列元元素素化化为为零零，即即有有第一章第一章 行列式行列式1112131222323331300000nnmmnaaaaaaaaaAaa按上述的规律及方法继续下去，最后可将按上述的规律及方法继续下去，最后可将A化为化为阶梯形阶梯形.如果如果A的第一列元素全为零，那么一次考虑它的的第一列元素全为零，那么一次考虑它的第二列，等等第二列，等等.第一章第一章 行列式行列式推论推论 对于任何矩阵总可经过有限次初等行变换把对于任何矩阵总可经过有限次初等行变换把它变为行最简形它变为行最简形.注意注意：

40、行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的非零元素的行数也是由方程组唯一阶梯形矩阵的非零元素的行数也是由方程组唯一确定的确定的例如：例如：1001100102 01001200 2.行最简形矩阵：在阶梯形矩阵中，若非零行的行最简形矩阵：在阶梯形矩阵中，若非零行的第一个非零元素全为第一个非零元素全为1，且非零行的第一个元素，且非零行的第一个元素1所在列的其余元素全为零，就称该矩阵为所在列的其余元素全为零，就称该矩阵为行最简行最简形形 .第一章第一章 行列式行列式例例2 用初等行变换化矩阵用初等行变换化矩阵为行阶梯形矩阵及行最简形为行阶梯形矩阵及行最简形

41、.11221021512031311241A 第一章第一章 行列式行列式11221021510215100022 11221021510000000022 11221021510002200000 解解:1A312rr 41rr 32rr 34rr继续进行初等行变换，可得继续进行初等行变换，可得第一章第一章 行列式行列式11221021510002200000A 11221021510001100000 11203021040001100000 3100121010220001100000 312r 132rr 235rr 1212rr 212r 第一章第一章 行列式行列式3.矩阵的标准形：矩

42、阵矩阵的标准形：矩阵 经过初等行变换可化为经过初等行变换可化为阶梯形矩阵以及行最简形阶梯形矩阵以及行最简形.若再经过初等列变换，若再经过初等列变换，还可化为以下的最简形式还可化为以下的最简形式:m nA 1000001000001000000000000m nI .m nm nIA矩矩阵阵称称为为矩矩阵阵标标准准形形的的第一章第一章 行列式行列式.I的的左左上上角角是是一一个个单单位位矩矩阵阵，其其余余元元素素全全为为零零标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF .,的行数的行数行阶梯形矩阵中非零行行阶梯形矩阵中非零行就是就是三个数唯一确定，其中三

43、个数唯一确定，其中此标准形由此标准形由rrnm特点：特点：定理定理2.1.2 任一矩阵可经有限次初等变换化为标准形任一矩阵可经有限次初等变换化为标准形. 第一章第一章 行列式行列式例例3 求例求例2中矩阵中矩阵A的标准形的标准形 3100121010220001100000A 3100121010220010100000 10000010000010000000I 34cc4123122ccc51232cccc第一章第一章 行列式行列式1.1.初等行初等行( (列列) )变换变换 ;1jijiccrr ;2kckrii .3jijikcckrr 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为

44、初等变换, 且变换类型相同且变换类型相同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质 ;1 反身性反身性 ;2 对称性对称性 .3 传递性传递性2.2.A初等变换初等变换B. BA四、小四、小 结结第一章第一章 行列式行列式二、二、n 维向量的线性运算维向量的线性运算一、一、n维向量的概念维向量的概念四、小结四、小结 思考题思考题2.2 向量及其线性运算向量及其线性运算三、向量空间与子空间三、向量空间与子空间第一章第一章 行列式行列式由由n个数组成的有序数组个数组成的有序数组(a1, a2, an)称为称为一个一个n维向量维向量. = ( a1, a2, an )其中第其中第 i 个数个数 a

45、i ( i = 1, 2, , n ) 称为称为 n 维向量维向量 的的第第 i 个分量个分量或或坐标坐标.一、一、n维向量概念维向量概念定义定义2.2.1分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，第一章第一章 行列式行列式定义：定义：两个向量两个向量 = ( a1, a2, an ), = (b 1, b 2, b n )相等，记相等，记 = ai = bi ( i = 1, 2, , n)112212(8)(1)1(,)iiinniiiininiima xa xa xbnaaab 例例如如， 元元线线性性方方程程中中

46、第第个个方方程程 的的系系数数和和常常数数项项对对应应着着一一个个维维向向量量 112212, (,).nnnxcxcxcnc ccn而而该该方方程程的的一一个个解解可可用用一一个个维维向向量量来来表表示示，该该方方程程组组的的解解构构成成的的 维维向向量量叫叫做做该该方方程程组组的的解解向向量量第一章第一章 行列式行列式零向量零向量0 = ( 0, 0, , 0 )负向量负向量对对 = ( a1, a2, an ) 称称 ( a1, a2, , an ) 为为 的的负向量负向量.记为记为 . = (a1, a2, , an )行向量行向量 = ( a1, a2, , an )列向量列向量12

47、12(,)Tnnaaaaaa 第一章第一章 行列式行列式定义定义2.2.2 设设 = ( a1, a2, , an )， = (b 1, b 2, , b n )都是都是n维向量，向量维向量，向量( a1 + b1, a2 + b2, , an + bn)称为称为向量向量 与与 的和的和，记作，记作 + ，即，即 + = ( a1 + b1, a2 + b2, , an + bn)二、二、n 维向量的线性运算维向量的线性运算 = + ( ) =( a1 b1, , an bn)由负向量即可定义向量的减法：由负向量即可定义向量的减法：第一章第一章 行列式行列式 = ( a1, a2, , an

48、)称为称为数数 与向量与向量 的乘积的乘积，记作，记作 ，简称为数乘简称为数乘.设设 = ( a1, a2, , an )， 是实数，定义是实数，定义定义定义2.2.3向量的加减法及数乘运算统称为向量的向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算线性运算.数数 与向量与向量 的乘积的性质有的乘积的性质有:(1) 0 (2) () (3) 00(4)00. - -如如果果，那那么么第一章第一章 行列式行列式向量的线性运算满足八条运算律向量的线性运算满足八条运算律(1) + + (2) ( + ) + + ( + )(3) + 0 (4) + ( ) 0设设 、 、 是是 n 维向量，维向量，0 是

49、是 n 维零向量，维零向量，k、 l 是任意实数。是任意实数。第一章第一章 行列式行列式(5) k ( + ) k + k (6) ( k + l ) = k + l (7) ( k l ) = k ( l )(8) 1 = 第一章第一章 行列式行列式例例1 设设 =(1，3，-2，2) , = ( 5，1，-2，0 )，若若已知已知 +2 =3 ，求向量求向量 .解解:由由 +2 =3 得得1(3)2a1(15,3, 6,0)(1,3, 2,2)21(14,0, 4, 2)2(7,0, 2, 1)1121253172 3423.3172248 例例已已知知向向量量，求求向向量量第一章第一章

50、行列式行列式1237 341728 解解：由由 253171(3)31742248 得得1234118248241第一章第一章 行列式行列式所以所以121092323664683 19101011 第一章第一章 行列式行列式1.定义定义 设设V是是n维向量的集合维向量的集合，如果如果V非空，非空，且且对向量的两种运算对向量的两种运算封闭封闭，即，即 V 满足满足:(1) , V， 有有 + V(2) V ，k R， 有有 k V则称则称 V 是一个是一个向量空间向量空间.三、向量空间与子空间三、向量空间与子空间第一章第一章 行列式行列式例如例如(2) V1 = ( 0, a2, , an ) | ai R, i = 2, 3, n 是一是一个向量空间，且个向量空间，且V1 Rn，称为，称为 Rn 的一个子空间的一个子空间.(1) 全体全体 n 维向量构成一个向量空间，称为维向量构成一个向量空间，称为 n 维维向量空间向量空间：记作：记作 Rn .222222(3) (1