以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的解答题+答案

1、以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的解答题【考查知识点】图形的变换有轴对称、平移和旋转，在此类问题中轴对称问题多以折叠的形式出现。折叠问题也是最近中考的热点，这类问题不但考察学生对基本几何图形性质的掌握情况，而且可以培养学生的空间思维能力和运动变化观念，提高学生的实践操作水平。图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，考察内容：中心对称和中心对称图形的性质和别。旋转，平移的性质【角军题思J各】折叠类题目的主要出题结合点有：与三角形结合，与平行四边形结合，与圆结合，与函数图像结合，题型多以选择题和填空题的形式出现，少数题目也会在大题中作为辅助背景。在解决这类问题时，要注意折叠出等角，折叠出等长，

2、折叠出等腰三角形，折叠出全等与相似等。图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，解题方法熟练掌握图形的对称，图形的平移，图形的旋转的基本性质和基本作图法。结合具体的问题大胆尝试，动手操作平移，旋转，探究发现其内在的规律。注重对网格内和坐标内的图形的变换试题的研究，熟练掌握其常用的解题方法。关注图形与变换创新题，弄清其本质，掌握基本解题方法，如动手操作法，折叠法，旋转法，旋转可以移动图形的位置而不改变图形的大小，是全等变换.变换的目的是为了实现已知与结论中的相关元素的相对集中或分散重组，使表面上不能发生联系的元素联系起来.在转化的基础上为问题的解决铺设桥梁，沟通到路.一些难度较大的问题借助平移、对称

3、、旋转的合成及相互关系可能会更容易一些.【典型例题】【例1】(2019河北中考模如图1,在？ABCD中，DH?AB于点H,CD的垂直平分线交CD于点E,交AB于点F,AB=6,DH=4,BF:FA=1:5.(1)如图2,作FGXAD于点G,交DH于点M,将4DGM沿DC方向平移，得到CGM,连接MB.求四边形BHMM的面积；直线EF上有一动点N,求4DNM周长的最小值.(2)如图3,延长CB交EF于点Q,过点Q作QK/AB,过CD边上的动点P作PK/EF,并与QK交于点K,将PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K'恰好落在直线AB上，求线段CP的长.【例2】(2019湖南中考模拟)在矩

4、形ABCD中，AB=12,P是边AB上一点，把？PBC沿直线PC折叠,顶点B的对应点是点G,过点B作BE?CG,垂足为E且在AD上，BE交PC于点F.（1）如图1,若点E是AD的中点，求证：评EBDEC;（2）如图2,求证：BP=BF；当AD=25，且AEvDE时，求cos/PCB的值；当BP=9时，求BE?EF的值.圜1国2圉2爸用国【例3】（2019辽宁中考真题）思维启迪：（1）如图1,A,B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A,B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C,连接BC,取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C

5、作CD?AB交AP的延长线于点D,此时测得CD=200米，那么A,B间的距离是米.图】图2S3备用图思维探索：（2）在AABC和AADE中，AC=BC,AE=DE,且AEvAC,/ACB=/AED=90°,将AADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时"DE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为鹏连接BD,点P是线段BD的中点，连接PC,PE.如图2,当3DE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是;如图3,当a=90。时，点D落在AB边上，t#判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；当“=150°时，若BC

6、=3,DE=l,请直接写出PC2的值.【方法归却实践操作性试题以成为中考命题的热点，很多省市的压轴的都是这类题型，解决这种类型的题目可从以下方面切入：1 .构造定理所需的图形或基本图形.在解决问题的过程中，有时添辅助线是必不可少的。中考对学生添线的要求不是很高，只需连接两点或作垂直、平行，而且添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形.2 .切入点二：做不出、找相似，有相似，用相似.压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。学生往往不知道该怎样入手，这时往往应根据题意去寻找相似三角形。3 .紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论.在图形运动变化时，图形

7、的位置、大小、方向可能都有所改变，但在此过程中，往往有某两条线段，或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。4 .展开联想，寻找解决过的问题.在题目中你总可以找到与你解决过的问题有相类似的情况，可能图形相似，可能条件相似，可能结论相似，此时你就应考虑原来题目是怎样解决的，与现题目有何不同。原有的题目是如何解决的，所使用的方法或结论在这里是不是可以使用，或有借鉴之处。5 .在题目中寻找多解的信息图形在运动变化，可能满足条件的情形不止一种，也就是通常所说的两解或多解.【针对练习】1.（2019山东中考真题）（1）问题发现如图1,AACB和4DCE均为等腰直角三角形，/ACB=90,

8、B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为:（2）拓展探究如图2,AACB和4DCE均为等腰直角三角形，/ACB=/DCE=90，请判断AD,BE的关系，并说明理由.解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点，PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90。得到线段AC,随着点B的位置的变化，直接写出PC的范围会陷圉1S22.（2019山东中考真题）如图1,将菱形ABCD顺时针旋转0.A/1图3菱形ABCD的顶点A,D在直线上，BAD60,以点A为旋转中心30,得到菱形AB'C'D',B'C'交对角线AC于点M,C'D

9、9;交直线l于点N,连接MN.s（1）当MNPB'D'时，求的大小.（2）如图2,对角线B'D'交AC于点H,交直线l与点G,延长C'B'交AB于点E,连接EH.当HEB'的周长为2时，求菱形ABCD的周长.3.（2019辽宁中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，连接AC,将4ABC绕点A逆时针旋转a得VAEF,连接CF,O为CF的中点，连接OE,OD.如图1,当(2)如图2,当45(3)45时,请直接写出90时，（1）OE与OD的关系（不用证明）中的结论是否成立？请说明理由.当360时，若AB4、2,请直接写出点O经过的路径长.4.（

10、2019辽宁中考真题）如图1,在RtAABC中,ACB90,?B30°，点M是AB的中点，连接MC,点P是线段BC延长线上一点，且PCBC,连接MP交AC于点H.将射线MP绕点M逆时针旋转60交线段CA的延长线于点D.（1）找出与AMP相等的角，并说明理由.(2)如图2,(3)在(2)1ADCPBC,求日的值.2BC13的条件下，若MD工3,求线段AB的长.3图I图25. （2019贵州中考真题）将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC,DE.探究S9BC与SMDC的比是否为定值.（1）两块二角板是完全相同的等腰直角二角板时，SZABC：SAADE是否为定值？如果

11、是，求出此定值，如果不是，说明理由.（图）（2） 一块是等腰直角三角板，另一块是含有30。角的直角三角板时，SAABC：S»DE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由.（图）（3）两块三角板中，/BAE+/CAD=180°,AB=a,AE=b,AC=m,AD=n（a,b,m,n为常数），Saabc：Szade是否为定值？如果是，用含a,b,m,n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由.（图）6. （2019天津中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6,0）,点B在y轴的正半轴上,ABO30.矩形CODE的顶点D,E,C分别在O

12、A,AB,OB上，OD=2.（I）如图，求点E的坐标;(n)将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形CODE，点C,O,D,E的对应点分别为C,O,D,E.设OOt,矩形CODE与MBO重叠部分的面积为S.如图，当矩形CODE与MBO重叠部分为五边形时，CE,ED分别与AB相交于点M,F,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围；当府后5班时,求t的取值范围(直接写出结果即可).7. (2019江苏中考真题)如图，已知等边AABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合)，直线l是经过点P的一条直线，把AABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B'.(1)如图1,当PB=

13、4时，若点B'恰好在AC边上，则AP的长度为;(2)如图2,当PB=5时，若直线1/AC,则BB的长度为;(3)如图3,点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC,AACB的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；(4)当PB=6时，在直线l变化过程中，求那CB面积的最大值.8. (2019浙江中考真题)如图，在等腰RtVABC中，ACB90o,AB14五.点D,E分别在边AB,BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90o得至ijEF.图1图2(1)如图1,若ADBD,点E与点C重合，AF与DC相交于点O.求证：BD2DO.(2)已知点G为AF的中点.如图2,若AD

14、BD,CE2,求DG的长.若AD6BD,是否存在点E,使得4DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由.9. （2019山东中考模拟）请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题:1探究1:如图1,在等腰直角三角形ABC中，ACB90°,BCa,将边AB绕点B顺时针旋转90o-，、LT、，、一，一一、，12.得到线段BD,连接CD.求证：VBCD的面积为一a.（提示：过点D作BC边上的高DE,可证VABC02VBDE）2探究2：如图2,在一般的RtVABC中，ACB90°,BCa,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD.请用含a

15、的式子表示VBCD的面积，并说明理由.3探究3：如图3,在等腰三角形ABC中，ABAC,BCa,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD.试探究用含a的式子表示VBCD的面积，要有探究过程.10. （2019湖南中考真题）（1）如图1,在平行四边形ABCD中，/A=30°,AB=6,AD=8,将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽.（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图2-1所示剪开，恰好能拼成如图2-2所示的矩形，则m的值是多少？（3）四边形ABCD是一个长为7,宽为5的矩形（面积为35）,若把

16、它按如图3-1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3-2所示的图形，得到一个长为9,宽为4的矩形（面积为36）.问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由.偃D（图2-2）7修”）11. (2019湖南中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB=4,BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动.(1)当/0人口=30°时，求点C的坐标;(2)设AD的中点为M,连接OM、MC,当四边形OMCD的面积为21时，求0A的长;2当点A移动到某一位置时，点C到点0的距离有最大

17、值，请直接写出最大值，并求此时cos/OAD的值.12. (2019四川中考真题)如图1,在正方形ABCD中，AE平分CAB,交BC于点E,过点C作CFAE,交AE的延长线于点G,交AB的延长线于点F.求证：BEBF;(2)如图2,连接BG、BD,求证：BG平分DBF;AE如图3,连接DG交AC于点M,求的值.DM13. (2019江西中考真题)在图1,2,3中，已知？?？?120°,点？为线段？?？的动点，连接？?以？?？边向上作菱形?.Z?120.图1图2置3(1)如图1,当点？内点？?t合时，/?(2)如图2,连接?填空：Z?求证：点？在/?平分线上;?.(3)如图3,连接？?

18、？?？并延长？?？?砌延长线于点？?，当四边形？?平行四边形时，求?勺值.14. (2019山西中考真题)综合与实践动手操作:第一步：如图1,正方形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，展开铺平.在沿过点C的直线折叠，使点且点E,点N,点F三点在同一直线上,展开铺平，连接EF,FG,GM,ME,如B,点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N,折痕分别为CE,CF.如图2.第二步：再沿AC所在的直线折叠，、CE与UCF重合，得到图第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4,图5,图中的虚线为折痕.£1图5图3问题解决:(1)在图5中，/BEC的度数是AFAE

19、的值是BE(2)在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由;(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点,动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形:15.(2019四川中考真题)箭头四角形模型规律：如图1,延长CO交AB于点D,则BOC=1B=ACB.因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有BOC=ABC”这个规律，所以我们把这个模型叫做箭头四角形”.模型应用(1)直接应用：如图2,ABCDEF.如图3,ABE、ACE的2等分线(即角平分线)BF、CF交于点F,已知BEC1200,BAC500,贝UBFC如图4,BOj、COi分别为ABOACO的2019等分线(i

20、1,2,3,2017,2018).它们的交点从上到下依次为O。2、。3、O2018.已知BOCm°,BACno,则BO1000c度(2)拓展应用：如图5,在四边形ABCD中，BCCD,BCD2BAD.O是四边形ABCD内一点，且OAOBOD.求证：四边形OBCD是菱形.16. (2019山东中考真题)如图1,在矩形ABCD中，AB8,AD10,E是CD边上一点，连接AE,将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G.图1图2(1)求线段CE的长；(2)如图2,M,N分别是线段AG,DG上的动点(与端点不重合)，且DMNDAM，设AMx,DNy.

21、写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；是否存在这样的点M,使VDMN是等腰三角形？若存在，请求出X的值；若不存在，请说明理由.17. (2019辽宁初三期末)如图1,矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,/F=30°.(1)求证：BE=CE(2)将4EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N.(如图2)求证：BEM0CEN；若AB=2,求ABMN面积的最大值；当旋转停止时，点B恰好在FG上(如图3),求sin/EBG的值.18. (2019辽宁中考真题)已知

22、：在MBC外分别以AB,AC为边作AAEB与AAFC.(1)如图1,AAEB与AAFC分别是以AB,AC为斜边的等腰直角三角形，连接EF.以EF为直角边构造RtAEFG,且EF=FG,连接BG,CG,EC.求证：AEFACGF;四边形BGCE是平行四边形.(2)小明受到图1的启发做了进一步探究：如图2,在4ABC外分别以AB,AC为斜边作RtAAEB与RtAAFC,并使/FAC=ZEAB=30°,取BC的中点D,连接DE,EF后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出口的值EF及/DEF的度数.(3)小颖受到启发也做了探究：如图3,在"BC外分别以AB

23、,AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC,并使/CAF+/EAB=90°,取BC的中点D,连接DE,EF后发现，当给定/EAB=a时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AE=m,AB=n,请你帮助小颖用含m,n的代数式直接写出ED的值，并用含“的代数式EF直接表示/DEF的度数.19. (2019辽宁中考真题)如图，四边形ABCD是菱形，/BAD=120°,点E在射线AC上(不包括点A和点C),过点E的直线GH交直线AD于点G,交直线BC于点H,且GH/DC,点F在BC的延长线上，CF=AG,连接ED,EF,DF.(1)如图1,当点E在线段AC上时，判断A

24、AEG的形状，并说明理由.求证：4DEF是等边三角形.(2)如图2,当点E在AC的延长线上时，ADEF是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由.以几何图形中的图形操作与变换问题为背景的解答题【考查知识点】图形的变换有轴对称、平移和旋转，在此类问题中轴对称问题多以折叠的形式出现。折叠问题也是最近中考的热点，这类问题不但考察学生对基本几何图形性质的掌握情况，而且可以培养学生的空间思维能力和运动变化观念，提高学生的实践操作水平。图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，考察内容：中心对称和中心对称图形的性质和别。旋转，平移的性质【角军题思J各】折叠类题目的主要出题结合点有：与三角形结

25、合，与平行四边形结合，与圆结合，与函数图像结合，题型多以选择题和填空题的形式出现，少数题目也会在大题中作为辅助背景。在解决这类问题时，要注意折叠出等角，折叠出等长，折叠出等腰三角形，折叠出全等与相似等。图形的旋转是中考题的新题型，热点题型，解题方法熟练掌握图形的对称，图形的平移，图形的旋转的基本性质和基本作图法。结合具体的问题大胆尝试，动手操作平移，旋转，探究发现其内在的规律。注重对网格内和坐标内的图形的变换试题的研究，熟练掌握其常用的解题方法。关注图形与变换创新题，弄清其本质，掌握基本解题方法，如动手操作法，折叠法，旋转法，旋转可以移动图形的位置而不改变图形的大小，是全等变换.变换的目的是为

26、了实现已知与结论中的相关元素的相对集中或分散重组，使表面上不能发生联系的元素联系起来.在转化的基础上为问题的解决铺设桥梁，沟通到路.一些难度较大的问题借助平移、对称、旋转的合成及相互关系可能会更容易一些.【典型例题】【例1】(2019河北中考模如图1,在？ABCD中，DH?AB于点H,CD的垂直平分线交CD于点E,交AB于点F,AB=6,DH=4,BF:FA=1:5.(1)如图2,作FGXAD于点G,交DH于点M,将4DGM沿DC方向平移，得到CGM,连接MB.求四边形BHMM的面积；直线EF上有一动点N,求4DNM周长的最小值.(2)如图3,延长CB交EF于点Q,过点Q作QK/AB,过CD边

27、上的动点P作PK/EF,并与QK交于点K,将PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K'恰好落在直线AB上，求线段CP的长.【答案】(1)四边形BHMM的面积为7.5；DNM周长的最小值为9；(2)CP的长为156括或515655【解析】【分析】(1)根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可;连接CM交直线EF于点N,连接DN,利用勾股定理解答即可；(2)分点P在线段CE上和点P在线段ED上两种情况进行解答.【详解】(1)在？ABCD中，AB=6,直线EF垂直平分CD,.DE=FH=3,又BF：FA=1：5,AH=2,RtAAHDsRtMHF,HMAHFHDH即则2.HM=1.

28、5,根据平移的性质，MM'=CD=6，连接BM,如图1,1 _._1一四边形BHMM的面积=61.5-41.5=7.5;2 2连接CM交直线EF于点N,连接DN,如图2,ElD直线EF垂直平分CD,.CN=DN,MH=1.5,DM=2.5,在RtACDM中，MC2=DC，DM2,MC2=62+(2.5)2,即MC=6.5,MN+DN=MN+CN=MC,DNM周长的最小值为9；(2) BF/CE,QFBE1一，QF4CE3QF=2,PK=PK'=6,过点K作E'F'/EF,分别交CD于点E',交QK于点F',如图3,当点P在线段CE上时,在RtAP

29、K'E'中,PE'2=PK'E'K'2,PE'=诉RtAPE'K'c/DRtAK'F'Q,PE'E'K',K'F'QF'即214,2QF'解得：QF=*!,5PE=PE'-EE'=2754565,5515.CP=上时，CP15一65如图4,同理可得，当点P在线段DE综上所述,CP的长为156石或156石.【名师点睛】本题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的性质和平移的性质解答，注意（2）分两种情况分析.【例2】（2019湖南中考模

30、拟）在矩形ABCD中，AB=12,P是边AB上一点，把？PBC沿直线PC折叠,顶点B的对应点是点G,过点B作BE?CG,垂足为E且在AD上，BE交PC于点F.（1）如图1,若点E是AD的中点，求证：评EBDEC;（2）如图2,求证：BP=BF;当AD=25，且AEvDE时，求cos/PCB的值；当BP=9时，求BE?EF的值.圜！图2圉2爸用笛【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；3匝；108.10【解析】分析：（1）先判断出/A=/D=90,AB=DC再判断出AE=DE,即可得出结论；（2）利用折叠的性质，得出/PGC=/PBC=90,/BPC=/GPC,进而判断出/GPF=/PFB即

31、可得出结论；判断出AABEsDEC,得出比例式建立方程求解即可得出AE=9,DE=16,再判断出AECFsGCP,进而求出PC,即可得出结论；判断出GEFsEAB,即可得出结论.详解：（1）在矩形ABCD中，/A=/D=90,AB=DC, .E是AD中点， .AE=DE,ABDC在AABE和ADCE中，AD90,AEDEABEADCE(SAS)；(2)在矩形ABCD,/ABC=90,BPC沿PC折叠得到GPC,PGC=/PBC=90,/BPC=/GPC, BEXCG,BE/PG, ./GPF=ZPFB, ./BPF=ZBFP,BP=BF;当AD=25时， /BEC=90, /AEB+/CED=

32、90, /AEB+/ABE=90,/CED=/ABE, /A=ZD=90, .ABEDEC,ABDE一一，AECD设AE=x,DE=25-x,1225x一,x12x=9或x=16,1 .AE<DE,AE=9,DE=16,.CE=20,BE=15,由折叠得，BP=PG,.BP=BF=PG,BE/PG,.ECFsGCP,EFCEPGCG设BP=BF=PG=y,15y20y25'25y=，3BP=25，在RtAPBC中，PC=25%仿,cos/PCB=BC=3同；3PC10 .BF/PG,BF=PG,.?BPGF是菱形，BP/GF, ./GFE=/ABE, .GEFAEAB,EFAB一

33、一,GFBEBE?EF=AB?GF=129=108.【名师点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键.【例3】（2019辽宁中考真题）思维启迪：（1）如图1,A,B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A,B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C,连接BC,取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD?AB交AP的延长线于点D,此时测得CD=200米，那么A,B间的距离是米.图】图2S3备用图思维探索：(2)在AABC和AAD

34、E中，AC=BC,AE=DE,且AEvAC,ZACB=/AED=90°,将AADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时"DE的位置作为起始位置(此时点B和点D位于AC的两侧)，设旋转角为鹏连接BD,点P是线段BD的中点，连接PC,PE.如图2,当3DE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是;如图3,当a=90。时，点D落在AB边上，t#判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；当“=150°时，若BC=3,DE=l,请直接写出PC2的值.【答案】(1)200;(2)PC=PE,PCXPE;PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=P

35、E,PCXPE,见解析；PC2=1033.2【解析】【分析】(1)由CD/AB,可得/C=/B,根据/APB=/DPC即可证明ZxABPADCP,即可得AB=CD,即可解题.(2)延长EP交BC于F,易证FBP/EDP(SAS)可得EFC是等腰直角三角形，即可证明PC=PE,PCXPE.作BF/DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,易证FBPAEDP(SAS),结合已知得BF=DE=AE,再证明ZXFBCAEAC(SAS),可得EFC是等腰直角三角形，即可证明PC=PE,PCXPE.作BF/DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,过E点作EH，AC交CA延长线于H点，由旋转旋转可知，/C

36、AE=150°,DE与BC所成夹角的锐角为30°,得/FBC=ZEAC,同可证可得PC=PE,PCXPE,再由已知解三角形得.EC2=CH2+HE2=103J3,即可求出PC2-EC2103«22(1)解：CD/AB,.C=ZB,在AABP和ADCP中,BPCPAPBDPC,BCABPADCP(SAS), .DC=AB./AB=200米. .CD=200米，故答案为：200.(2)PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE,PCXPE.理由如下：如解图1,延长EP交BC于F,同(1)理，可知.FBPAEDP(SAS),，PF=PE,BF=DE,又AC=BC,A

37、E=DE,.-.FC=EC,又./ACB=90°, .EFC是等腰直角三角形， EP=FP, .PC=PE,PCXPE.PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE,PCXPE.理由如下：如解图2,作BF/DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,同理，可知AFBPAEDP(SAS),1BF=DE,PE=PF=-EF2 ，DE=AE,BF=AE, .当a=90°时，/EAC=90°,ED/AC,EA/BC FB/AC,/FBC=90,./CBF=ZCAE,在4FBC和AEAC中,BFAECBECAE,BCACFBCAEAC(SAS), .CF=CE,/FCB=Z

38、ECA, ./ACB=90°, ./FCE=90°, .FCE是等腰直角三角形， EP=FP,.-.CP±EP,CP=EP=1EF2,如解图3,作BF/DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,过E点作EH±AC交CA延长线于H点,当a=150°时，由旋转旋转可知，/CAE=150°,DE与BC所成夹角的锐角为30°,./FBC=ZEAC=a=150°同可得AFBPAEDP(SAS),同FCE是等腰直角三角形，CPXEP,CP=EP=J2CE,2在RtAAHE中，/EAH=30°,AE=DE=1, .HE

39、=1,AH=理,又AC=AB=3,.CH=3+,2EC2=CH2+HE2=103.3-2=92103.322【名师点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于压轴题.【方法归却实践操作性试题以成为中考命题的热点，很多省市的压轴的都是这类题型，解决这种类型的题目可从以下方面切入：1 .构造定理所需的图形或基本图形.在解决问题的过程中，有时添辅助线是必不可少的。中考对学生添线的要求不是很高，只需连接两点或作垂直、平行，而且添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定

40、理所需的图形或构造一些常见的基本图形.2 .切入点二：做不出、找相似，有相似，用相似.压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。学生往往不知道该怎样入手，这时往往应根据题意去寻找相似三角形。3 .紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论.在图形运动变化时，图形的位置、大小、方向可能都有所改变，但在此过程中，往往有某两条线段，或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。4 .展开联想，寻找解决过的问题.在题目中你总可以找到与你解决过的问题有相类似的情况，可能图形相似，可能条件相似，可能结论相似，此时你就应考虑原来题目是怎样解决的，与现题目有何不同。原有的题目是如何解决的，所

41、使用的方法或结论在这里是不是可以使用，或有借鉴之处。5 .在题目中寻找多解的信息图形在运动变化，可能满足条件的情形不止一种，也就是通常所说的两解或多解.【针对练习】1.（2019山东中考真题）（1）问题发现如图1,9CB和ADCE均为等腰直角三角形，/ACB=90,B,C,D在一条直线上.填空：线段AD,BE之间的关系为.(2)拓展探究如图2,9CB和ADCE均为等腰直角三角形，/ACB=/DCE=90，请判断AD,BE的关系，并说明理由.解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点，PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化，直接写出P

42、C的范围.【答案】(1)AD=BE,AD±BE.(2)AD=BE,AD，BE.(3)5-3&wPCW5啦.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形性质证AACDBCE(SAS),得AD=BE,/EBC=/CAD,延长BE交AD于点F,由垂直定义得ADXBE.(2)根据等腰三角形性质证AACDBCE(SAS),AD=BE,/CAD=/CBE,由垂直定义得/OHB=90,AD±BE;(3)作AEXAP,使得AE=PA,则易证AAPEAACP,PC=BE,当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE;当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE,故5-3J2WBEW5

43、+笆.【详解】(1)结论：AD=BE,AD±BE.理由：如图1中，图1ACB与4DCE均为等腰直角三角形,.AC=BC,CE=CD,/ACB=/ACD=90,在RtAACD和RtABCE中AC=BCACD=BCECD=CEACDABCE(SAS),.AD=BE,/EBC=ZCAD延长BE交AD于点F, BCXAD, ./EBC+ZCEB=90, /CEB=AEF, /EAD+/AEF=90,./AFE=90,即AD，BE.AD=BE,AD±BE.故答案为AD=BE,AD±BE.(2)结论：AD=BE,AD±BE.理由：如图2中，设AD交BE于H,AD交B

44、C于O. ACB与4CE均为等腰直角三角形，AC=BC,CE=CD,/ACB=/ECD=90,ACD=/BCE,在RtAACD和RtABCE中AC=BCACD=BCE,CD=CEACDABCE(SAS), .AD=BE,/CAD=ZCBE, /CAO+/AOC=90,/AOC=/BOH, /BOH+/OBH=90, ./OHB=90,AD±BE,AD=BE,ADXBE.(3)如图3中，作AE±AP,使得AE=PA,则易证APE0ACP,PC=BE,图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-3我,图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+

45、PE=5+3五,5-372VBE<5+32，即5-3/2vPCW5+32.本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.2.（2019山东中考真题）如图1,菱形ABCD的顶点A,D在直线上，BAD60,以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转030,得到菱形AB'C'D',B'C'交对角线AC于点M,C'D'交直线l于点N,连接MN.(1)当MNPB'D'

46、;时，求的大小.(2)如图2,对角线B'D'交AC于点H,交直线l与点G,延长C'B'交AB于点E,连接EH.当HEB'的周长为2时，求菱形ABCD的周长.【答案】(1)15;(2)菱形ABCD的周长为8.【解析】【分析】证明AB'MAD'NSAS，推出B'AMD'AN,即可解决问题.(2)证明AEB'AGD'AAS,推出EB'GD',AEAG,再证明AHEAHGSAS,推出EHGH,推出B'D'2，即可解决问题.【详解】四边形AB'C'D'是菱形，A

47、B'B'C'C'D'AD',B'AD'B'C'D'60,AB'D',B'C'D'是等边三角形，MNPB'C',C'MNC'B'D'60,CNMC'D'B'60,C'MN是等边三角形，C'MC'N,MB'ND',.AB'MAD'N120,AB'AD',.AB'MAD'NSAS,B'AMD'AN,-

48、1CADBAD30,2DAD'15,15.(2)C'B'D'60,EB'G120,EAG60, .EAGEB'G180, 四边形EAGB'四点共圆，AEB'AGD',.EAB'GAD',AB'AD', .AEB'AGD'AAS,EB'GD',AEAG,AHAH,HAEHAG,AHEAHGSAS,EHGH, EHB'的周长为2, EHEB'HB'B'HHGGD'B'D'2,AB'AB2, 菱形ABC

49、D的周长为8.【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.3.(2019辽宁中考真题)如图，四边形ABCD是正方形，连接AC,将4ABC绕点A逆时针旋转a得VAEF,连接CF,O为CF的中点，连接OE,OD.(1)如图1,当45时，请直接写出OE与OD的关系(不用证明)(2)如图2,当4590时，(1)中的结论是否成立？请说明理由.(3)当360时，若AB4亚，请直接写出点O经过的路径长.90时，（1）中的结论成立，理由见【答案】（1）OE=OD,OEOD,理由见解析；（2）当45解析；（3）点。经过的路径长为8.【解析】【分析

50、】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质可得OD与OE的数量关系；根据旋转的性质和正方形的性质可得AC=AF以及UCF各内角的度数，进一步即可求出/COE与/DOF的度数，进而可得OD与OE的位置关系；（2）延长EO到点M,使OMEO,连接DM、CM、DE,如图2所示，先根据SAS证明VCOM且VFOE,得MCFEFC,CMEF,再根据正方形的性质和旋转的性质推得FCDCFEMCF,进一步在AACF中根据三角形内角和定理和正方形的性质得出DAEDCM,再一次运用SAS推出VADEVCDM，于是DEDM，进一步即可得出OE、OD的位置关系，然后再运用SAS推出VCOM叁ACOD,即可

51、得OD与OE的数量关系；（3）连接AO,如图3所示，先根据等腰三角形三线合一的性质得出AOC90,即可判断点O的运动路径，由360可得点O经过的路径长，进一步即可求得结果.【详解】解：（1）OE=OD,OEOD;理由如下：由旋转的性质得：AFAC,?AFE?ACB, 四边形ABCD是正方形，ACBACDFAC45,1c ACFAFC-1804567.5,2DCFEFC22.5,一八1一一 FEC90,O为CF的中点，OE-CFOCOF,21同理：OD-CF,OEODOCOF,2EOC2EFO45,DOF2DCO45,DOE180454590，.二OEOD;（2）当4590时，（1）中的结论成立

52、，理由如下：延长EO到点M,使OMEO,连接DM、CM、DE,如图2所示:O为CF的中点，OCOF,OMOE在VCOM和VFOE中，COMFOE,OCOF.VCOMVFOE(SAS),MCFEFC,CMEF. 四边形ABCD是正方形，ABBCCD,BACBCA45, ABC绕点A逆时针旋转a得AEF, ABAEEFCD,ACAF,CDCM,ACFAFC,.ACFACDFCD,AFCAFECFE,ACDAFEFCDCFEMCF,EACDAE45,FADDAE45,，EACFAD,在VACF中，:ACFAFCCAF180,DAE2FADDCM90180, FADDAE45，.一FADDCM45,，

53、DAEDCM,AECM在VADE和VCDM中，DAEDCM,ADCD VADEVCDM(SAS),/.DEDM,.OEOM,OEOD,CMCD在VCOM和zCOD中，MCFFCD,OCOC.VCOMACOD(SAS),.OMOD.OE=OD,OE=OD,OEOD；(3)连接AO,如图3所示：.ACAF,COOF,AOCF,.AOC90,点O在以AC为直径的圆上运动，360，点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长，,ACJ2ABJ24/28，点。经过的路径长为：d8【点睛】本题是正方形的综合题，综合考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判断动点运动路径等知

54、识，考查的知识点多、综合性强，倍长中线构造全等三角形、熟知正方形的性质、灵活应用旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解(2)题的关键.4.(2019辽宁中考真题)如图1,在RtAABC中，ACB90,?B30，点M是AB的中点，连接MC,点P是线段BC延长线上一点，且PCBC,连接MP交AC于点H.将射线MP绕点M逆时针旋转60交线段CA的延长线于点D.(1)找出与AMP相等的角，并说明理由.一1AD(2)如图2,CP-BC,求的值.2BC(3)在(2)的条件下，若MD【答案】(1)DAMP;理由见解析；(2)空叵,(3)AB=2.BC9(1)DAMP.由直角三角形的性质和旋转的性质推知即可;

55、(2)如图，过点C作CG/BA交MP于点G.构造全等三角形(VMDAWMGC(ASA)和相似三角形AD(VCGPsVBMP),根据相似三角形的对应边成比例求得的值.CHAHCGAMBC(3)由(2)中相似三角形的性质和等量代换推知VGHCsVMHA.故上目MHMH叵.由(2)知，CGADt,则BMAMCA3t.故CH4MHAH意得到：VMHAsVDMH，所以该相似二角形的对应边成比例：将相关线段的长度代入求DHMHt的值，所以AB6t2.【详解】(1)DAMP.理由如下：:ACB90,?B30°，BAC60.DDMA60.由旋转的性质知，DMAAMP60.DAMP;(2)如图，过点C作CG/BA交MP于点G.GCPB30,BCG150.ACB90,点