材料力学(I)第九章

1、材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定1第第 9 章章 压杆稳定压杆稳定9-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆临界力的欧拉公式9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式欧拉公式压杆的长度因数压杆的长度因数9-4 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围临界应力总临界应力总图图9-5 实际压杆的稳定因数实际压杆的稳定因数9-6 压杆的稳定计算压杆的稳定计算压杆的合理截面压杆的合理截面材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定29-1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念实际的受压杆

2、件实际的受压杆件 实际的受压杆件由于实际的受压杆件由于: 1. 其轴线并非理想的直线而存在初弯曲，其轴线并非理想的直线而存在初弯曲，2. 作用于杆上的轴向压力有作用于杆上的轴向压力有“偶然偶然”偏心，偏心，3. 材料性质并非绝对均匀，材料性质并非绝对均匀，因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧向位移随轴向压力的增大而更快地增大。起的侧向位移随轴向压力的增大而更快地增大。材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定3 对于细长的压杆对于细长的压杆(大柔度压杆大柔度压杆)，最终会因为弹性，最终会因为弹性的侧向位移过大而丧失承载能力

3、；的侧向位移过大而丧失承载能力； 对于中等细长的压杆对于中等细长的压杆(中等柔度压杆中等柔度压杆)则当侧向位则当侧向位移增大到一定程度时会在弯压组合变形下发生强度移增大到一定程度时会在弯压组合变形下发生强度破坏破坏(压溃压溃)。 对于实际细长压杆的上述力对于实际细长压杆的上述力学行为，如果把初弯曲和材质不学行为，如果把初弯曲和材质不均匀的影响都归入偶然偏心的影均匀的影响都归入偶然偏心的影响，则可利用大柔度弹性直杆受响，则可利用大柔度弹性直杆受偏心压力作用这一力学模型来研偏心压力作用这一力学模型来研究。究。材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定4 图图(a)为下端固定，上端自由

4、的为下端固定，上端自由的实际压杆的力学模型；为列出用来实际压杆的力学模型；为列出用来寻求寻求Fd d 关系所需挠曲线近似微分关系所需挠曲线近似微分方程而计算横截面上的弯矩时方程而计算横截面上的弯矩时, ,需把需把侧向位移考虑在内，即侧向位移考虑在内，即 M( (x)=)=F( (e+ +d d- -w) )，这样得到的挠曲线近似微分方程这样得到的挠曲线近似微分方程EIz w= =F( (e+d d - -w) )和积分后得到的挠曲线方程便反映和积分后得到的挠曲线方程便反映了大柔度杆偏心受压时侧向位移的了大柔度杆偏心受压时侧向位移的影响。影响。(a)材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定

5、压杆的稳定5 按照这一思路求得的细长压杆在不同偏心距按照这一思路求得的细长压杆在不同偏心距 e 时时偏心压力偏心压力F 与最大侧向位移与最大侧向位移d 的关系曲线的关系曲线,如图如图b所示。所示。(b) 由图可见虽然偶然偏心的程度不同由图可见虽然偶然偏心的程度不同 (e3e2e1)，但该细长压杆丧失承载能力时偏心压力但该细长压杆丧失承载能力时偏心压力Fcr却相同。却相同。其它杆端约束情况下细长压杆的其它杆端约束情况下细长压杆的F-d d 关系曲线其特关系曲线其特点与图点与图b相同。相同。材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定6抽象的细长中心受压直杆抽象的细长中心受压直杆 由由

6、图图b可知，当偶然偏心的偏心距可知，当偶然偏心的偏心距e0时，细时，细长压杆的长压杆的F- -d d 关系曲线就逼近折线关系曲线就逼近折线OAB，而如果把，而如果把细长压杆抽象为无初弯曲，轴向压力无偏心，材料细长压杆抽象为无初弯曲，轴向压力无偏心，材料绝对均匀的理想中心压杆，则它的绝对均匀的理想中心压杆，则它的F-d d 关系曲线将关系曲线将是折线是折线OAB。(b)材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定7 由此引出了关于压杆失稳由此引出了关于压杆失稳( (buckling) )这一抽象这一抽象的概念：当细长中心压杆上的轴向压力的概念：当细长中心压杆上的轴向压力F小于小于Fc

7、r时，时，杆的直线状态的平衡是稳定的；当杆的直线状态的平衡是稳定的；当FFcr时杆既可时杆既可在直线状态下保持平衡在直线状态下保持平衡( (d d0) )，也可以在微弯状态，也可以在微弯状态下保持平衡，也就是说下保持平衡，也就是说FFcr时理想中心压杆的直时理想中心压杆的直线平衡状态是不稳定线平衡状态是不稳定的的，压杆在轴向压力，压杆在轴向压力Fcr作用下作用下会丧失原有的直线平会丧失原有的直线平衡状态，即发生失稳。衡状态，即发生失稳。 Fcr则是压杆直线状态的平衡由稳定变为不稳定的临则是压杆直线状态的平衡由稳定变为不稳定的临界力界力(critical force)。材料力学材料力学()电子教

8、案电子教案压杆的稳定压杆的稳定8 从另一个角度来看，此处中心受压杆的临界力从另一个角度来看，此处中心受压杆的临界力又可理解为：杆能保持微弯状态时的轴向压力。又可理解为：杆能保持微弯状态时的轴向压力。 显然，理想中心压杆是有偶然偏心等因素的实显然，理想中心压杆是有偶然偏心等因素的实际压杆的一种抽象。际压杆的一种抽象。材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定9细长中心受压直杆失稳现象细长中心受压直杆失稳现象材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定10压杆的截面形式及支端约束压杆的截面形式及支端约束 压杆的临界力既然与弯曲变形有关，因此压杆压杆的临界力既然与弯曲变形有

9、关，因此压杆横截面的弯曲刚度应尽可能大；横截面的弯曲刚度应尽可能大； 图图a为钢桁架桥上弦杆为钢桁架桥上弦杆(压杆压杆)的横截面，的横截面， 图图b为厂房建筑中钢柱的横截面。在可能条件为厂房建筑中钢柱的横截面。在可能条件下还要尽量改善压杆的杆端约束条件，例如限制甚下还要尽量改善压杆的杆端约束条件，例如限制甚至阻止杆端转动。至阻止杆端转动。材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定119-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 本节以两端球形铰支本节以两端球形铰支( (简称两简称两端铰支端铰支) )的细长中心受压杆件的细长中心受压杆件( (图图a) )

10、为例，按照对于理想中心压杆来说为例，按照对于理想中心压杆来说临界力就是杆能保持微弯状态时的临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力这一概念，来导出求临界轴向压力这一概念，来导出求临界力的欧拉力的欧拉( (L.Euler) )公式。公式。材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定12 在图在图a所示微弯状态下，所示微弯状态下，两端铰支压杆任意两端铰支压杆任意x截面的挠截面的挠度度( (侧向位移侧向位移) )为为w，该截面上，该截面上的弯矩为的弯矩为M(x)=Fcrw（图图b）。杆的挠曲线近似微分方程为杆的挠曲线近似微分方程为 (a) crwFxMwEI 上式中负号是由于在图示坐上式中

11、负号是由于在图示坐标中，对应于正值的挠度标中，对应于正值的挠度w，挠曲线切线斜率的变化率挠曲线切线斜率的变化率 为负的缘故。为负的缘故。 xyxwdddd材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定13令令k2=Fcr /EI，将挠曲线近似微分方程，将挠曲线近似微分方程(a)改写成改写成该二阶常系数线性微分方程该二阶常系数线性微分方程(b)的通解为的通解为02 wkw(b)kxBkxAwcossin (c)此式中有未知量此式中有未知量A和和B以及隐含有以及隐含有Fcr的的k，但现在能，但现在能够利用的边界条件只有两个，即够利用的边界条件只有两个，即x=0，w=0 和和 x=l，w=

12、0，显然这不可能求出全部三个未知量。这种不，显然这不可能求出全部三个未知量。这种不确定性是由确定性是由F = Fcr时杆可在任意微弯状态下时杆可在任意微弯状态下(d可为可为任意微小值任意微小值)保持平衡这个抽象概念所决定的。事保持平衡这个抽象概念所决定的。事实上，对于所研究的问题来说只要能从实上，对于所研究的问题来说只要能从(c)式求出式求出与临界力相关的未知常数与临界力相关的未知常数k就可以了。就可以了。材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定14 将边界条件将边界条件x=0，w=0代入式代入式(c)得得B=0。于是根据。于是根据(c)式并利用边式并利用边界条件界条件x=l，

13、w=0得到得到0sin klA注意到已有注意到已有B=0，故上式中的，故上式中的A不可不可能等于零，否则能等于零，否则(c)式将成为式将成为w 0而而压杆不能保持微弯状态，也就是杆并压杆不能保持微弯状态，也就是杆并未达到临界状态。由此可知，欲使未达到临界状态。由此可知，欲使(c)成立，则必须成立，则必须sinkl=0kxBkxAwcossin (c)材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定15满足此条件的满足此条件的kl为为，2 ,0 kl或即或即，2 0cr lEIF 由于由于 意味着临界力意味着临界力Fcr 0，也就是杆，也就是杆根本未受轴向压力，所以这不是真实情况。在根本

14、未受轴向压力，所以这不是真实情况。在kl0的解中，最小解的解中，最小解 klp p 相应于最小的临界力，这是相应于最小的临界力，这是工程上最关心的工程上最关心的临界力临界力。0cr lEIF由由klp p有有cr lEIF22cr lEIF亦即亦即材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定16从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：公式：22crlEIF 此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0，且取且取klp p，以此代入式，以此代入式(c)得得xlAw sin注意到当注意到当x= l

15、/2 时时 w=d d，故有，故有 A=d d。从而知，对应。从而知，对应于于klp p，亦即对应于，亦即对应于Fcr=p p2EI/l 2，挠曲线方程为，挠曲线方程为lxwsind d 可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定17需要指出的是，尽管上面得到了需要指出的是，尽管上面得到了A=d d，但因为杆在任意微弯状态下保持平衡但因为杆在任意微弯状态下保持平衡时时d d为不确定的值，故不能说未知量为不确定的值，故不能说未知量A已确定。已确定。事实上，在推导任何杆端约束情况的事实上，在推导任何杆端约束情况的细长中心

16、压杆欧拉临界力时，挠曲线细长中心压杆欧拉临界力时，挠曲线近似微分方程的通解中，凡与杆的弯近似微分方程的通解中，凡与杆的弯曲程度相关的未知量总是不确定的。曲程度相关的未知量总是不确定的。材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定18 思考：思考： 在上述推导中若取在上述推导中若取kl2p p，试问相应的，试问相应的临界力是取临界力是取klp p时的多少倍？该临界力所对应的挠时的多少倍？该临界力所对应的挠曲线方程和挠曲线形状又是怎样的？曲线方程和挠曲线形状又是怎样的？材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定199-3 不同杆端约束下细长压杆临界力不同杆端约束下细长压杆

17、临界力的欧拉公式的欧拉公式压杆的长度因数压杆的长度因数 现在通过两个例题来推导另一些杆端约束条件现在通过两个例题来推导另一些杆端约束条件下求细长中心压杆临界力的欧拉公式。下求细长中心压杆临界力的欧拉公式。材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定20 试推导下端固定、上端试推导下端固定、上端自由的等直细长中心压杆临自由的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式，并求压杆界力的欧拉公式，并求压杆失稳时的挠曲线方程。图中失稳时的挠曲线方程。图中xy平面为杆的弯曲刚度最小平面为杆的弯曲刚度最小的平面。的平面。例题例题 9-1材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定21根据该压杆

18、失稳后符合杆端约束条件的挠曲线的大根据该压杆失稳后符合杆端约束条件的挠曲线的大致形状可知，任意致形状可知，任意x 横截面上的弯矩为横截面上的弯矩为 wFxM d dcr杆的挠曲线近似微分方程则为杆的挠曲线近似微分方程则为 wFxMwEI d dcr)(将上式改写为将上式改写为)1(crcrd d EIFwEIFw1. 建立压杆挠曲的近似微分方程建立压杆挠曲的近似微分方程例题例题 9-1解解:材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定22令令 由由(1)式得式得EIFkcr2 d d22kwkw 此微分方程的通解为此微分方程的通解为)2(cossind d kxBkxAw一阶导数为

19、一阶导数为)3(sincoskxBkkxAkw 根据边界条件根据边界条件x=0，w =0由由(3)式得式得Ak=0，注意注意到到 不会等于零，故知不会等于零，故知A0。再利用边界条再利用边界条件件x=0，w=0由由(1)式得式得B=-d d。将。将A=0， B=-d d代入代入(1)式得式得EIFkcr (4) cos1kxw d d2. 求解挠曲线的近似微分方程，并求临界力求解挠曲线的近似微分方程，并求临界力例题例题 9-1材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定23利用利用 x = l 时时 w = d d 这一关系，这一关系，由由(4)式式得出得出从式从式(4)可知可知d

20、 d不可能等于零，否则不可能等于零，否则w将恒等于零，将恒等于零，故上式中只能故上式中只能coskl = 0。满足此条件的。满足此条件的kl的最小值的最小值为为 kl = p p/2，亦即亦即 从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：2cr lEIF 2222cr24lEIlEIF klcos1 d dd d0cos kld d亦即亦即例题例题 9-1材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定24 以以 kl = p p/2 亦即亦即 k = p p/(2l)代入式代入式(4)便得到压杆失稳时的挠曲线方便得到压杆失稳时的挠曲线方程为程为 lxw2cos

21、1d d例题例题 9-1材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定25 试推导下端固定、上端铰试推导下端固定、上端铰支的等直细长中心压杆临界力支的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式，并求该压杆失稳的欧拉公式，并求该压杆失稳时的挠曲线方程。图时的挠曲线方程。图(a)中的中的xy平面为杆的最小弯曲刚度平面。平面为杆的最小弯曲刚度平面。例题例题 9-2材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定26 1. 杆端约束力分析杆端约束力分析 图图b示出了该压杆可能的微弯状示出了该压杆可能的微弯状态，与此相对应，态，与此相对应，B处应有逆时针处应有逆时针转向的约束力偶矩转向的约束力偶

22、矩MB，根据平衡根据平衡方程方程S SMB 0可知，杆的上端必有可知，杆的上端必有向右的水平约束力向右的水平约束力Fy；从而亦知杆从而亦知杆的下端有向左的水平约束力的下端有向左的水平约束力Fy 。例题例题 9-2解解:材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定27杆的任意杆的任意x截面上的弯矩为截面上的弯矩为 xlFwFxMy cr从而有挠曲线近似微分方程：从而有挠曲线近似微分方程： crxlFwFwEIy 2. 建立压杆挠曲线的近似微分方建立压杆挠曲线的近似微分方程程例题例题 9-2上式等号右边的负号是因为对应于上式等号右边的负号是因为对应于正值的正值的w, w 是负而加的。是

23、负而加的。材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定28令令 k2=Fcr /EI，将上式改写为将上式改写为 xlEIFwkwy 2亦即亦即 xlFFkwkwy cr22此微分方程的通解为此微分方程的通解为 (a) cossincrxlFFkxBkxAwy 其一阶导数为其一阶导数为(b) sincoscrFFkxBkkxAkwy 式中共有四个未知量：式中共有四个未知量：A，B，k，Fy。3. 求临界力求临界力Fcr例题例题 9-2材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定29 (c) cossin1cr xlkxlkxkFFwy再利用边界条件再利用边界条件x=l，w

24、=0，由上式得由上式得0cossin1cr kllklkFFy 由边界条件由边界条件x=0，w =0 得得 A=Fy /(kFcr)。又由边界条件又由边界条件x=0，w=0 得得 B=- -Fy l /Fcr。将以上将以上A和和B的表达的表达式代入式式代入式(a)有有例题例题 9-2材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定30由于杆在微弯状态下保持平衡时，由于杆在微弯状态下保持平衡时，Fy不可能等不可能等于零，故由上式得于零，故由上式得 满足此条件的最小非零解为满足此条件的最小非零解为k l=4.49，亦亦即即 ，从而得到此压杆临界力的欧拉公，从而得到此压杆临界力的欧拉公式为式

25、为49. 4cr lEIF 2222cr7 . 049. 4lEIlEIF 0cossin1 kllklkklkl tan亦即亦即例题例题 9-2材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定31 4. 将将 kl = 4.49，亦即亦即 k = 4.49/l 代入式代入式(c)即得此即得此压杆对应于上列临界力的压杆对应于上列临界力的挠曲线方程挠曲线方程： lxkxkxFlFwy1cos49. 4sincr利用此方程还可以进一步求得利用此方程还可以进一步求得该压杆在上列临界力作用下挠该压杆在上列临界力作用下挠曲线上的拐点在曲线上的拐点在 x = 0.3l 处处( (图图b) )。例题

26、例题 9-2材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定32压杆的长度因数和相当长度压杆的长度因数和相当长度材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定33 表表9- -1中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式： 22cr lEIF 式中，式中， 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况称为压杆

27、的长度因数，它与杆端约束情况有关；有关； l 称为压杆的相当长度称为压杆的相当长度( (equivalent length) )，它表示某种杆端约束情况下几何长度为它表示某种杆端约束情况下几何长度为l的压杆，其的压杆，其临界力相当于长度为临界力相当于长度为 l 的两端铰支压杆的临界力。的两端铰支压杆的临界力。表表9- -1的图中从几何意义上标出了各种杆端约束情况的图中从几何意义上标出了各种杆端约束情况下的相当长度下的相当长度 l。材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定34 运用欧拉公式计算临界力时需要注意：运用欧拉公式计算临界力时需要注意：(1)当杆端约束情况在各个纵向平面内

28、相同时当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球例如球形铰形铰)，欧拉公式中的，欧拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形应是杆的横截面的最小形心主惯性矩心主惯性矩 Imin。(2)当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的中所取用的I应与失稳应与失稳(或可能失稳或可能失稳)时的弯曲平面相时的弯曲平面相对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：xyz轴销轴销材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定35对应于杆在对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固平面内失稳，杆端约束接

29、近于两端固定，定， 22cr5 . 0lEIFz 对应于杆在对应于杆在xz平面内的失稳，杆端约束相当于两端平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支，铰支，22crlEIFy 而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。者。xyz轴销轴销材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定36 思考：思考： 图图a、b所示细所示细长中心压杆均与基础刚性长中心压杆均与基础刚性连接，但图连接，但图a所示杆的基础所示杆的基础置于弹性地基上，图置于弹性地基上，图b所示所示杆的基础则置于刚性地基杆的基础则置于刚性地基上。试问两压杆的临界力上。试问两压杆的临界力是

30、否均为是否均为 ？为什么？并由此判断压杆为什么？并由此判断压杆的长度因数的长度因数 是否可能大是否可能大于于2。 2min2cr2lEIF 材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定379-4 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围临界应力总图临界应力总图I. . 欧拉公式应用范围欧拉公式应用范围 在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应方程，可见欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限力不超过材

31、料的比例极限s sp的情况。的情况。 按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力Fcr作作用时可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横用时可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可按截面上的应力可按s scrFcr /A来计算，亦即来计算，亦即 (a) /222222crcr s sEilEAlEIAF 材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定38式中，式中，s scr称为临界应力；称为临界应力； 为压杆横截面为压杆横截面对于失稳时绕以转动的形心主惯性轴的惯性半径；对于失稳时绕以转动的形心主惯性轴的惯性半径； l /i为压杆的相当长度与

32、其横截面惯性半径之比，为压杆的相当长度与其横截面惯性半径之比，称为压杆的长细比称为压杆的长细比(slenderness)或柔度，记作或柔度，记作 ，即，即AIi/ il 根据欧拉公式只可应用于根据欧拉公式只可应用于s scrs sp的条件，由式的条件，由式(a)知该应用条件就是知该应用条件就是p22crs s s s E亦即亦即 p2s s E p 或写作或写作材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定39可见可见 就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。度。对于对于Q235钢，按照钢，按照 E206 GPa，s sp 200 MPa，有，有p2ps

33、s E 100Pa10200Pa10206692p2p s s E 通常把通常把 p的压杆，亦即能的压杆，亦即能够应用欧拉公式求临界力够应用欧拉公式求临界力Fcr的压的压杆，称为大柔度压杆或细长压杆，杆，称为大柔度压杆或细长压杆，而把而把 p的压杆，亦即不能应用的压杆，亦即不能应用欧拉公式的压杆，称为小柔度压欧拉公式的压杆，称为小柔度压杆。杆。p22crs s s s E材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定40 图中用实线示出了欧图中用实线示出了欧拉公式应用范围内拉公式应用范围内( p)的的s scr - 曲线，它是一条双曲线，它是一条双曲线，称为欧拉临界力曲曲线，称为欧拉

34、临界力曲线，简称欧拉曲线。线，简称欧拉曲线。需要需要指出的是，由于实际压杆指出的是，由于实际压杆都有初弯曲，偶然偏心和都有初弯曲，偶然偏心和材质不匀，所以从实验数材质不匀，所以从实验数据来分析，可以应用欧拉据来分析，可以应用欧拉公式求临界力的最小柔度公式求临界力的最小柔度比这里算得的比这里算得的 p要大一些。要大一些。材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定41* *II. . 研究小柔度压杆临界力的折减弹性模量理论研究小柔度压杆临界力的折减弹性模量理论 工程中的绝大部分压杆为小柔度压杆，不能应工程中的绝大部分压杆为小柔度压杆，不能应用欧拉公式。研究小柔度压杆用欧拉公式。研究小

35、柔度压杆（ p）临界应力的临界应力的理论很多，此处介绍的折减弹性模量理论是其中之理论很多，此处介绍的折减弹性模量理论是其中之一。一。 现先以矩形截面小柔度钢压杆在现先以矩形截面小柔度钢压杆在xy平面内失稳平面内失稳为例来探讨。为例来探讨。材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定42 图图a所示为钢在压缩时的所示为钢在压缩时的s s- -e e 曲线。曲线。 当加载过程中应力当加载过程中应力s s 超过比例极限时，材料在超过比例极限时，材料在某一应力水平下的弹性模量可应用切线模量某一应力水平下的弹性模量可应用切线模量Es s； 而卸载时，材料的弹性模量由卸载规律可知，而卸载时，材

36、料的弹性模量由卸载规律可知，它与初始加载时的弹性模量它与初始加载时的弹性模量E 相同。相同。材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定43(1) 横截面上应力的变化情况横截面上应力的变化情况 按抽象的概念，小柔度按抽象的概念，小柔度中心压杆与大柔度中心压杆中心压杆与大柔度中心压杆一样，当一样，当F=Fcr时杆既可在时杆既可在直线状态下保持平衡，也可直线状态下保持平衡，也可在微弯状态下保持平衡。在微弯状态下保持平衡。小柔度压杆在直线状态下保小柔度压杆在直线状态下保持平衡时其横截面上的应力持平衡时其横截面上的应力是均匀的，其值为是均匀的，其值为s scr = Fcr/A（图（图b）。

37、）。材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定44 当压杆在此应力水平下发生微弯时，中性轴一当压杆在此应力水平下发生微弯时，中性轴一侧侧( (图图b中中 z 轴右侧轴右侧) )横截面上产生附加拉应力，使横截面上产生附加拉应力，使原有的压应力原有的压应力s scr减小，故属于减载，附加弯曲拉减小，故属于减载，附加弯曲拉应力为应力为s st=Ey/r r (x) )；中性轴另一侧横截面上产生中性轴另一侧横截面上产生附加应力，使原有的压应力附加应力，使原有的压应力s scr 增大，故属于加载，附加增大，故属于加载，附加弯曲压应力为弯曲压应力为s sc=Es s y/r r (x)。因为

38、因为EEs s，故微弯时中性轴，故微弯时中性轴不通过横截面形心，它离左不通过横截面形心，它离左边缘的距离为边缘的距离为h1，离右边缘，离右边缘的距离为的距离为h2。材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定45(2) 中性轴的具体位置中性轴的具体位置 根据压杆由于微弯产生的正应力在横截面上不应根据压杆由于微弯产生的正应力在横截面上不应组成合力有组成合力有0dd21tcN AAAAFs ss s即应有即应有 0dd21 AAAxyEAxyEr rr rs s亦即要求亦即要求0222211 hbhEhbhEs s材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定46这就要求这就

39、要求02221 EhhEs s注意到注意到h1+h2=h，由上式可解得，由上式可解得(a) 21hEEEhhEEEhs ss ss s 材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定47(3) 横截面上弯矩横截面上弯矩M(x)与曲率与曲率r(x)的关系的关系根据根据 有有 AzAyMds s 3311 dddd32312122tc2121bhEbhExEIIExAxyAxyEAyAyxMzzAAAAs ss ss sr rr rr rr rs ss s，上式中，上式中，Iz,1=bh13/3和和Iz,2=bh23/3都都是是z轴一侧的矩形对轴一侧的矩形对z轴的惯性矩。轴的惯性矩。材料

40、力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定48由上式可得由上式可得 234121s ss sr rEEEEbhxxM为了表达方便，用为了表达方便，用I 来表示来表示bh3/12，于是有，于是有 24s ss sr rEEEExIxM为将上式表达为一般弯曲问题中为将上式表达为一般弯曲问题中 的形的形式，引入折减弹性模量式，引入折减弹性模量Er： EIxMx r r1 2r4s ss sEEEEE (b)材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定49于是有于是有 xIExMr rr 亦即亦即 IExMxr1 r r或者说，挠曲线的近似微分方程为或者说，挠曲线的近似微分方程为

41、 对于非矩形截面的小柔度压杆，其折减弹性模对于非矩形截面的小柔度压杆，其折减弹性模量可类似于上面所述的方法求得，而挠曲线方程的量可类似于上面所述的方法求得，而挠曲线方程的形式仍如式形式仍如式(c)所示。所示。 IExMwr (c)材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定50(4) 小柔度压杆的临界力和临界应力表达式小柔度压杆的临界力和临界应力表达式 小柔度压杆的挠曲线近似微分方程小柔度压杆的挠曲线近似微分方程(c)与大柔度压与大柔度压杆的杆的 wM(x)/EI 完全一致，可见对不同杆端完全一致，可见对不同杆端约束下各种截面形状的小柔度压杆都有如下公式：约束下各种截面形状的小柔度

42、压杆都有如下公式：临界力临界力 2r2cr lIEF 临界应力临界应力 2r22r2cr/ s sEilE 材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定51III. . 压杆的临界应力总图压杆的临界应力总图 临界应力总图是指同一材料制作的压杆，其临界临界应力总图是指同一材料制作的压杆，其临界应力应力s scr随柔度随柔度 变化的关系曲线。变化的关系曲线。 在在 p的部分，有的部分，有欧拉公式欧拉公式s scr p p2E/ 2表表达达s scr 关系；关系；但在压杆但在压杆柔度柔度 很小时，由于该理论存在的不足，计算很小时，由于该理论存在的不足，计算所得所得s scr可能会大于材料

43、的屈服极限可能会大于材料的屈服极限s ss，故取，故取s scr s ss。 在在 p的范围内可的范围内可利用折减弹性模量理论利用折减弹性模量理论公式公式s scr p p2Er / 2表达表达s scr 关系；关系；材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定52此外，该此外，该理论公式中有与截面形状相关的折减弹性理论公式中有与截面形状相关的折减弹性模量模量Er，故，故 91，稳定，稳定因数为因数为109. 01602800280022 j j扒杆的扒杆的许用压力为许用压力为 kN77m3 . 04Pa1010109. 0262 AFs sj j例题例题 9-4材料力学材料力学(

44、)电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定714. 确定扒杆所能承受的许用压力确定扒杆所能承受的许用压力F因为因为 F2F1所以所以 F=77kN例题例题 9-4材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定72 厂房的钢柱由两根槽钢组成，厂房的钢柱由两根槽钢组成，并由缀板和缀条联结成整体，承并由缀板和缀条联结成整体，承受轴向压力受轴向压力F=270 kN。根据杆。根据杆端约束情况，该钢柱的长度因数端约束情况，该钢柱的长度因数取为取为 1.3。钢柱长钢柱长7 m，材料材料为为Q235钢，强度许用应力钢，强度许用应力s s=170 MPa。该柱属于。该柱属于b类类截面中心压杆。由于杆端连接

45、的需要，其同一横截截面中心压杆。由于杆端连接的需要，其同一横截面上有面上有4个直径为个直径为d0=30 mm的钉孔。试为该钢柱选的钉孔。试为该钢柱选择槽钢号码。择槽钢号码。例题例题 9-5材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定731. 按稳定条件选择槽钢号码按稳定条件选择槽钢号码假设假设j j0.50，得到压杆的稳定许用应力为，得到压杆的稳定许用应力为 MPa85MPa17050. 0st s sj js s 按稳定条件选择槽钢的号码，就是先由稳定条件按稳定条件选择槽钢的号码，就是先由稳定条件 ，得，得 ，然后由，然后由A的值查型钢表的值查型钢表选择槽钢号码。现在的问题是槽钢

46、的号码未定，惯选择槽钢号码。现在的问题是槽钢的号码未定，惯性半径性半径i未知，不能由未知，不能由 算出算出 值，也无法确定值，也无法确定j j。通常用试算法选择槽钢号码。通常用试算法选择槽钢号码。s sj js s AFs sj jFA il 例题例题 9-5解：解：材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定74因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为 2463stm109 .15Pa10852/N102702/ s sFA由型钢表查得，由型钢表查得，14a号槽钢的横截面面积为号槽钢的横截面面积为 A =18.51 cm218.5110

47、-4 m2，而它对，而它对z轴的惯性半轴的惯性半径为径为iz=5.52 cm=55.2 mm。 下面来检查采用两根下面来检查采用两根14a号槽钢的组合截面柱号槽钢的组合截面柱其稳定因数其稳定因数j j 是否不小于假设的是否不小于假设的j j 0.5。例题例题 9-5材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定75165m102 .55m73 . 13 zil 注意到此组合截面对于注意到此组合截面对于z 轴轴的惯性矩的惯性矩 Iz 和面积和面积 A 都是单根都是单根槽钢的两倍，故组合截面的槽钢的两倍，故组合截面的iz 值值就等于单根槽钢的就等于单根槽钢的iz 值。于是有值。于是有该组

48、合截面压杆的柔度：该组合截面压杆的柔度：例题例题 9-5材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定76由表由表9- -3(孙训方，孙训方，材料力学材料力学)查得，查得，Q235钢钢b类类截面中心压杆相应的稳定因数为截面中心压杆相应的稳定因数为j j0.262。显然，。显然，前面假设的前面假设的j j0.5这个值过大，需重新假设这个值过大，需重新假设j j 值再值再来试算；重新假设的来试算；重新假设的j j 值大致上取前面假设的值大致上取前面假设的j j0.5和所得的和所得的j j0.262的平均值为基础稍偏于所得的平均值为基础稍偏于所得j j 的值。的值。重新假设重新假设j j0

49、.35，于是有，于是有 MPa5 .59MPa17035. 0st s sj js s 2463stm107 .22Pa105 .59N101352/ s sFA例题例题 9-5材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定77试选试选16号槽钢，其号槽钢，其 A=25.1510-4 m2，iz=61 mm，从而有组合截面压杆的柔度：从而有组合截面压杆的柔度：2 .149m1061m73 . 13 由表由表9-3得得j j 0.311，它略小于假设的它略小于假设的j j0.35。现按。现按采用采用2根根16号槽钢的组合截面柱而号槽钢的组合截面柱而j j0.311进行稳定进行稳定性校核

50、。此时稳定许用应力为性校核。此时稳定许用应力为 MPa9 .52MPa170311. 0st s sj js s例题例题 9-5材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定78按横截面毛面积算得的工作应力为按横截面毛面积算得的工作应力为MPa7 .53m1015.25N101352/243 AFs s 虽然工作应力超过了稳定许用应力，但仅超虽然工作应力超过了稳定许用应力，但仅超过过1.5，这是允许的。这是允许的。例题例题 9-5材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定792. 计算钢柱两槽钢的合理间距计算钢柱两槽钢的合理间距 为了使组合截面压杆在为了使组合截面压杆在

51、xy和和xz平面内有相同稳定平面内有相同稳定性。又由于钢柱的杆端约性。又由于钢柱的杆端约束在各纵向平面内相同，束在各纵向平面内相同，故要求组合截面的惯性矩故要求组合截面的惯性矩Iy = Iz。例题例题 9-5材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定80 如果如果z0，Iy0，Iz0，A0分别代表单根槽钢的形分别代表单根槽钢的形心位置和自身的形心主惯性矩以及横截面面积则心位置和自身的形心主惯性矩以及横截面面积则IyIz的条件可表达为的条件可表达为 20022200hzAIIyz亦即亦即 20202022200hziAiAyz消去公因子消去公因子2A0后有后有例题例题 9-52022200 hziiyz材料力学材料力学()电子教案电子教案压杆的稳定压杆的稳定812022200 hziiyz在选用在选用16号槽钢的情况下，上式为号槽钢的情况下，上式为 2222mm5 .17