D87方向导数与梯71787实用教案

1、),(zyxPl定理定理(dngl):则函数在该点沿任意方向(fngxing) l 的方向(fngxing)导数存在 ,证明证明(zhngmng): 由函数由函数且有在点 P 可微 ,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 P故第1页/共17页第一页，共18页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 对于(duy)二元函数为, ) 的方向(fngxing)导数为Plxyo特别特别: : 当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向向角第2页/共17页第二页，共18页。例例1. 求函数求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量(xingling)3) 的方向(fngxing)导数 .机动

2、 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 解解: 向量 l 的方向余弦为第3页/共17页第三页，共18页。例例2. 求函求函数数 在点P(2, 3)沿曲线(qxin)朝 x 增大(zn d)方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程将已知曲线用参数方程(fngchng)表示为表示为它在点 P 的切向量为xoy2P第4页/共17页第四页，共18页。例例3. 设设是曲面(qmin)在点 P(1, 1, 1 )处指向外侧(wi c)的法向量,解解: 方向(fngxing)余弦为而方向的方向导数.在点P 处沿求函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 nn第5页/共17页第五页，共18页。二、梯度二、梯度

3、(t d) 方向导数(do sh)公式令向量(xingling)这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：机动 目录 上页 下页 返回 结束 )cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致时与当Gl:GGlfmaxzfyfxfG,第6页/共17页第六页，共18页。1. 定义定义(dngy)即同样(tngyng)可定义二元函数称为(chn wi)函数 f (P) 在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 G说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量第7页/共17页第七页，共18页。例例4.证:Pxozy

4、试证.)()(radg0rrfrf处矢径 r 的模 ,r第8页/共17页第八页，共18页。内容内容(nirng)小结小结1. 方向方向(fngxing)导数导数 三元(sn yun)函数 在点沿方向 l (方向角的方向导数为 二元函数 ),(yxf在点的方向导数为沿方向 l (方向角为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共17页第九页，共18页。2. 梯度梯度(t d) 三元(sn yun)函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度(t d)为 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微机动 目录 上页 下页 返回 结束 0gradl

5、flf梯度在方向 l 上的投影.第10页/共17页第十页，共18页。思考思考(sko)与练习与练习1. 设函数(hnsh)(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线(qxin)在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共17页第十一页，共18页。曲线(qxin) 12 32tztytx1. (1)在点解答解答(jid)提提示示:机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数lM (1,1,1) 处切线的方向向量第12页/共17页第十二

6、页，共18页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 ll2. P73 题题 16第13页/共17页第十三页，共18页。3. 函数(hnsh)在点处的梯度(t d)解解:机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第14页/共17页第十四页，共18页。指向(zh xin) B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A4. 函数函数(hnsh)提示提示(tsh):则机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ) 1 ,2,2(AB0ABl 第15页/共17页第十五页，共18页。P51 2，3，6，7，8，10 作业作业(zuy)第八节 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第16页/共17页第十六页，共18页。感谢您的欣赏(xnshng)！第17页/共17页第十七页，共18页。NoImage内容(nirng)总结定理:。第1页/共17页。第2页/共17页。3) 的方向导数 .。解: 向量 l 的方向余弦为。它在点 P 的切向量为。处矢径 r 的模 ,。梯度(t d)在方向 l 上的投影.。