随机过程 第三章

1、第3章 随机信号与线性系统一般电子系统中，通常含有若干个基本单元电路。一般电子系统中，通常含有若干个基本单元电路。线性系统：线性放大器、线性滤波器线性系统：线性放大器、线性滤波器非线性系统：平方律检波器，调制器，混频器，限幅器非线性系统：平方律检波器，调制器，混频器，限幅器在确定信号输入的情况下，线性系统的响应或输出在确定信号输入的情况下，线性系统的响应或输出有明确的表达式。有明确的表达式。对于随机信号的问题，要想得到输出的明确表达式对于随机信号的问题，要想得到输出的明确表达式是不可能的。是不可能的。但但一个随机过程可以通过自相关函数、一个随机过程可以通过自相关函数、功率谱密度、均方值等统计特

2、性来描述。功率谱密度、均方值等统计特性来描述。如何根据线性系统输入随机信号的统计特性以及线如何根据线性系统输入随机信号的统计特性以及线性系统的特性，确定输出系统的统计特性。性系统的特性，确定输出系统的统计特性。2022-5-182 线性系统：具有叠加性和比例性的系统 举例：( )x t L ( ) ( )y tL x t1212( )( ) ( )( )L ax tbx taL x tbL x t2 tdLdtLLdu 2022-5-184（1）线性性：线性性：（2）时不变：）时不变： 线性时不变系统：系统响应不依赖于时间起点的选择，即如果输入信号线性时不变系统：系统响应不依赖于时间起点的选择

3、，即如果输入信号提前或延时一段时间，则输出信号也同样提前或延时一段相同的时间，提前或延时一段时间，则输出信号也同样提前或延时一段相同的时间，而输出信号的波形保持不变。而输出信号的波形保持不变。1212( )( ) ( )( )L ax tbx taL x tbL x t称作算子L00() ()y ttL x tt连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间信号；连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间信号；离散时间系统：系统的输入和输出都是离散时间信号。离散时间系统：系统的输入和输出都是离散时间信号。连续与离散系统：连续与离散系统：2022-5-185连续连续时不变线性系统的分析方法时不变线性

4、系统的分析方法1. 时域分析2频域分析3. 物理可实现的稳定系统)()()()()()()(thtxdthxdhtxtyY( )( )X( )HX( )( )j tx t edtdtethHtj)()( )( )( )Y sH s X sjs0t0)(th如果当时，那么该系统称为因果系统。稳定系统条件:( )h t dt 2022-5-186 在给定系统的条件下，输出信号的某个在给定系统的条件下，输出信号的某个统统计特性计特性只取决于输入信号的只取决于输入信号的相应的相应的统计特统计特性性。 根据输入随机信号的根据输入随机信号的、相关函数相关函数和和功功率谱密度率谱密度，再加上已知线性系统，再

5、加上已知线性系统单位冲激单位冲激响应响应或或传递函数传递函数，就可以求出输出随机信，就可以求出输出随机信号相应的均值、相关函数和功率谱密度号相应的均值、相关函数和功率谱密度 分析方法分析方法：时域分析法：时域分析法 ；频域分析法；频域分析法。3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-5-187 3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的

6、高阶距、系统输出的高阶距3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-5-188 3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 输入为随机信号X(t)的某个的，则为：0)()()(dtxhty系统的单位冲激响应一个确定性函数一个确定性函数2022-5-

7、189 3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析X( ) t0Y( )( )()( )( )thX tdh tX t对于随机信号对于随机信号任意一个样本函数均成立。任意一个样本函数均成立。： 那么对于所有的试验结果，系统输出为一族样本函数，这族样本函数构成随机过程2022-5-1

8、810 3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析Y0( ) ( )( )()mtE Y tEhX td0( ) X()hEtdX0( )()hmtdX( )* ( )mth t X( ) tYX0( )mmhd若若为平稳为平稳SP，则，则2022-5-1811 3.2.1 时域分

9、析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 XY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tYX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th t由于由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统输入输出之间是相关的，系统输

10、入输出相关函数为输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为2022-5-1812 3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 XY( )RX0( )()h u Ru du)()(hRXYX( )RX0( )()h u Ru duX( )()Rh若输入为平稳随机过程若输入为平稳随机

11、过程2022-5-1813 3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析已知已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统输出系统输出端的自端的自相关函数相关函数 Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEttX1212( , )( )( )

12、Rt th th tY121XY12( , )( )( , )Rt th tRt t2YX12( )( , )h tRt tYXXYYX( )( )( )()( )()( )( )RRhhRhRh2022-5-1814 3.2.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统）、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距、系统输出的高阶距3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析系统输出的系统输出的

13、n阶矩的一般表达式为阶矩的一般表达式为 121212Y( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )nnnEt Y tY tE X t X tX th th th t2022-5-1815 3.2.1 时域分析法时域分析法 系统输出的平稳性和遍历性系统输出的平稳性和遍历性结论结论1：若输入：若输入X(t)是是 宽平稳的，则系统输出宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。结论结论2：若输入：若输入X(t)是严平稳的，则输出是严平稳的，则输出Y(t)也也是严平稳的。是严平稳的。 结论结论3：若输入：若输入 X(t)是宽遍历性

14、的，则输出是宽遍历性的，则输出Y(t)也是宽遍历性的，且也是宽遍历性的，且X(t)、Y(t)联合遍历联合遍历 。3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析2022-5-18163.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析结论1：若输入是 宽平稳的，则系统输出也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。X( ) tY( ) tX( ) tXX( )mtm常数X12X( , )( )Rt tR12tt 2X(0)( )RE Xt YX0( )mmhdXY12( , )Rt tX0( )()h u Ru duX( )( )RhXY( )RYX12( , )

15、Rt tX0( )()h u Ru du X( )()RhYX( )R若输入若输入为宽平稳随机过程，则有：为宽平稳随机过程，则有： Y12XXY00( , )( ) ( )()( )( )()( )Rt th u h v Ruv dudvRhhR 2022-5-18173.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析结论1：若输入是 宽平稳的，则系统输出也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。X( ) tY( ) t 22X00Y ( )( )( ) ( )()EtE Yth u h v Ruv dudv X00( )( )()h uh vRuv dudv X00(0)( )

16、( )Rh uh v dudv X00(0)( )( )Rh v dvh u du0)(dtth2( )E Yt 2022-5-18183.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析结论2：若输入 是严平稳的，则输出 也是严平稳的。 X( ) tY( ) t因为0Y( )( )()thX td 对于时不变系统，若时移常数T，有0Y()( )()tThX tTd输出 和 分别是输入 和 与 的卷积，即可以表示成级数和的形式。由于随机信号 是严平稳的，所以 与 具有相同的n维概率密度函数，这样 与 也应该具有相同的n维概率密度函数，即是严平稳的。Y()tTY( ) tX()t

17、TX( ) t)(thX( ) tX()tTX( ) tY()tTY( ) t2022-5-18193.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析由 的宽遍历的定义得 结论3：若输入 是宽遍历性的，则输出 也是宽遍历性的，且 联合遍历 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t则输出 的时间平均XX( ) tmXX( )()( )t X tRX( ) tY( ) t1Y( )( )2TTTtlimY t dtT01( )()2TTTlimh u X tu du dtT 01X() ( )2TTTlimtu dt h u duTX0( )m h u duYm2022-

18、5-18203.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析结论3：若输入 是宽遍历性的，则输出 也是宽遍历性的，且 联合遍历 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t1Y( ) ()( ) ()2TTTt Y tlimY t Y tdtT001()() ( ) ( )2TTTlimX tu X tv dt h u h v dudvT X00() ( ) ( )Ruv h u h v dudv Y( )R 1X( ) ()X( )Y()2TTTt Y tlimttdtT01( )X()X( )2TTTlimh utut du dtT 01()X( ) ( )2TTT

19、limX tut dt h u duTX0() ( )Ru h u duXY( )R 2022-5-18213.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 RCX( ) tXmX( ) t02( )N 例例3.1 如图所示的低通电路，已知输入信号是宽平稳的稳定的随机信号，其均值为，假设是相关函数为的白噪声，求：求输出均值；输出的自相关函数；输出平均功率；输入与输出间互相关函数：2022-5-1822 3.2.2 频域分析法频域分析法 3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 1、输出的均值、输出的均值 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱

20、密度 3、系统输入与输出间互谱密度、系统输入与输出间互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换关系、拉氏变换与付氏变换关系 2022-5-1823 3.2.2 频域分析法频域分析法 3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 1、输出的均值、输出的均值 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度 3、系统输入与输出间互谱密度、系统输入与输出间互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换关系、拉氏变换与付氏变换关系 00( )( )(0)YXXXmmhdm Hm H2022-5-1824 3.2.2 频域分析法频域分析法 3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分

21、析 1、输出的均值、输出的均值 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度 3、系统输入与输出间互谱密度、系统输入与输出间互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换关系、拉氏变换与付氏变换关系 YX( )( )( )()RRhh2YXX( )( )( )()( )( )SSHHSHjsYX( )( )( )()SsSs H s Hs 由，两边取付氏变换得： 表示，有： 2022-5-1825 3.2.2 频域分析法频域分析法 3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 1、输出的均值、输出的均值 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度 3、系统输入与输出间互谱密度、

22、系统输入与输出间互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换关系、拉氏变换与付氏变换关系 XYX( )( )( )SSHYXX( )( )()SSHYXYYX( )( )()( )( )SSHSHYXYYX( )( )()( )( )SsSs HsSs H s2022-5-1826 3.2.2 频域分析法频域分析法 3.2 随机信号通过连续时间系统的分析随机信号通过连续时间系统的分析 1、输出的均值、输出的均值 2、系统输出的功率谱密度、系统输出的功率谱密度 3、系统输入与输出间互谱密度、系统输入与输出间互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换关系、拉氏变换与付氏变换关系 dteetfdtetfsFtjtst)(

23、)()(js)(tftetf)(当不可积时，因此对于随机信号，通常情况下其拉氏变换存在。 可积。2022-5-1827 3.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式、输出表达式 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析2022-5-1828 3.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式、输出表达式 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、

24、系统输出的自相关函数3.2 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析0)()()(dtxhty0Y( )( )X()knh knk系统的输出等于输入信号与单位冲激响应的卷积和 可以证明，在假定系统是稳定的、输入有界的条件下，上式在均方收敛的意义下是存在的。 2022-5-1829 3.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式、输出表达式 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 若若为平稳为平稳 SP

25、，则，则Y0( ) ( )( ) ()kmnE Y nh k E X nkYX0( )kmmh kX( )n2022-5-1830 3.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式、输出表达式 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 XY( ,)( ) ()Rn nmE X n Y nm0( )( )()kE X nh k X nmk0( ) ( )()kh k E X n X nmkX0( )( ,)kh k Rn nmk

26、X0( ,)( )(,)YXkRn nmh k Rnk nmXYXX0( )( )()( )*( )kRmh k Rmkh mRmYXXX0( )( )()()*( )kRmh k RmkhmRm2022-5-1831 3.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式、输出表达式 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析Y( ,) ( ) ()Rn nmE Y n Y nm00( )()( )()kjEh k X nkh j

27、X nmj00( ) ( )()()kjh k h j E X nk X nmjX00( ) ( )(,)kjh k h j Rnk nmj 2022-5-1832 3.3.1 时域分析法时域分析法 1、输出表达式、输出表达式 2、输出的均值、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数、系统输出的自相关函数3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 YX00( ) ( )()kjRmh k h j RmkjXXY( )* ( )* ()( )* ()Rmh mhmRmhmYX( )* ( )Rmh m 2X

28、00( )( ) ( )()kjE Ynh k h j Rkj 2022-5-1833 3.3.2 频域分析法频域分析法 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 1、功率谱密度表达式、功率谱密度表达式 2、输出平均功率的计算、输出平均功率的计算 2022-5-1834 3.3.2 频域分析法频域分析法 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 1、功率谱密度表达式、功率谱密度表达式 2、输出平均功率的计算、输出平均功率的计算 若系统输入随机信号是宽平稳的，则系统的输出也是宽平稳的，那么有YX10( )(1)kzXkmmh k zHmXY

29、X( )( )( )SzH z Sz1YXX( )()( )SzH zSz1YX( )( )()( )SzH z H zSz1XYYX()( )( )( )H zSzH z SzjzeX( )()( )jXYSH eSX( )()( )jYXSH eS2YXX( )()()( )()( )jjjSH eH eSH eS2022-5-1835 3.3.2 频域分析法频域分析法 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 1、功率谱密度表达式、功率谱密度表达式 2、输出平均功率的计算、输出平均功率的计算 系统输出的自相关函数为 11( )( )2mYYlRmSz zdzj

30、2YX1( )()( )2jjmRmH eSed2022-5-1836 3.3.2 频域分析法频域分析法 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析随机信号通过离散时间系统的分析 1、功率谱密度表达式、功率谱密度表达式 2、输出平均功率的计算、输出平均功率的计算 2111( )( )()( )2XlE YnH z H zSz z dzj 22X1( )()( )2jE YnH eSd 式中 l 代表 z 平面上的单位圆 例例: 若若 ， ，求，求输出功率谱密度输出功率谱密度)()(2mmRX 1, 0,)( rkrkhk2022-5-18383.4.1 白噪声通过线性系统分析白噪声通过线性系统分析

31、)(H)(sHX( )S20N设连续线性系统的传递函数为设连续线性系统的传递函数为或或，其输入白噪声功率谱密度为，其输入白噪声功率谱密度为，那么系统输出的功率谱密度为，那么系统输出的功率谱密度为 20Y( )( )2NSH或物理谱密度为或物理谱密度为2Y0( )( )GHN0注意注意：上式表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号上式表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性决定，不再保持常数。这是因为无线的功率谱密度主要由系统的幅频特性决定，不再保持常数。这是因为无线电系统都具有一定的选择性，系统只允许与其频率特性一致的频率分量通电系统都具

32、有一定的选择性，系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过的原因。过的原因。 2022-5-18393.4.1 白噪声通过线性系统分析白噪声通过线性系统分析20Y( )( )4jNRHedduuhuhN00)()(2输出自相关函数为输出自相关函数为 输出平均功率为输出平均功率为2200( )( )2NE YtHd 2022-5-18403.4.2 3dB带宽带宽2022-5-18413.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 当系统比较复杂时，计算系统输出噪声的统计特当系统比较复杂时，计算系统输出噪声的统计特性是困难的。在实际中为了计算方便，常常用一性是困难的。在实际中为了计算方便，常常用一个幅频响应

33、为矩形的理想系统等效代替实际系统，个幅频响应为矩形的理想系统等效代替实际系统，在等效时要用到一个非常重要的概念在等效时要用到一个非常重要的概念等效噪等效噪声带宽声带宽，它被定义为理想系统的带宽。，它被定义为理想系统的带宽。2022-5-1842 等效的原则等效的原则 理想系统与实际系统在同一白噪声激励下理想系统与实际系统在同一白噪声激励下,两两个系统的输出平均功率相等个系统的输出平均功率相等理想系统的增益等于实际系统的最大增益理想系统的增益等于实际系统的最大增益3.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 2022-5-1843计算实际系统的等效噪声带宽计算实际系统的等效噪声带宽e H(0)|H(w)

34、|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率谱密度为功率谱密度为20N白噪声激励白噪声激励 消耗在消耗在1电阻上的系统输出端总平均功率为电阻上的系统输出端总平均功率为 dwwHNtYE02022理想线性系统对同一白噪声输入的输出总平均功率为理想线性系统对同一白噪声输入的输出总平均功率为 22200202ewwKNdwKNtYEe3.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 2022-5-1844 实际系统的等效噪声带宽为实际系统的等效噪声带宽为 dwwHwHwe022max1对于一般的低通滤波器对于一般的低通滤波器)( H的最大值出现在的最大值出现在 0处，即处，即)0()(maxHH 对于中心频

35、率为对于中心频率为0 带通系统带通系统(如单调谐回路如单调谐回路) )( H的最大值出现在的最大值出现在处，即处，即0 )()(0maxHH3.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 2022-5-1845 实际系统的等效噪声带宽为实际系统的等效噪声带宽为 dwwHwHwe022max1 2max02wHwNPe dwwHNtYE02022系统输出平均功率系统输出平均功率 3.4.3 等效噪声带宽等效噪声带宽 小结：小结：由系统的等效噪声带宽由系统的等效噪声带宽e 可求出系统的输出噪声功率，当系统输入白噪声时，仅使用参数可求出系统的输出噪声功率，当系统输入白噪声时，仅使用参数e 和和max)( H就

36、可以描述非常复杂的线性系统及其噪声响应。就可以描述非常复杂的线性系统及其噪声响应。 例1 :计算单位冲激响应为 的有限时间积分器的等效噪声带宽. 例2:描述离散时间系统的差分方程为 试求该系统的等效噪声带宽.1( )( )()h tU tU tTT( )(1)( ),01y nay nbx na例3. 用雷达测量地球与月球之间距离为D,测量结果为 ,其中 是零均值, 方差的白噪声,表示测量误差,为了得到比较精确的距离,现采用以下两种滤波器分别对 进行信号处理,试比较这两种滤波器输出方差 的大小.( )( )X nDV n( )V n2V( )X n2Y1: ( )(1)(1) ( ),0 12

37、: ( )( )(1) ( -1)y nay na x nay nax na x n滤波器滤波器2022-5-18483.5.1 希尔伯特变换希尔伯特变换 )(tx( )x t)(txH1( )( )( )xH x tx tdt设有一个实值函数设有一个实值函数，它的希尔伯特变换记作，它的希尔伯特变换记作（或记作（或记作） t1()1()( )x tx tx tdd 希尔伯特变换的单位冲激响应及其传递函数 01( )()sgn( )0HHjhtHjjtj 2022-5-18493.5.1 希尔伯特变换希尔伯特变换 希尔伯特逆变换1( )( )x tHx t1()1()x tx tdd 1* (

38、) x tt 11( ) Hhtt 为希尔伯特逆变换的单位冲激响应 2022-5-18503.5.1 希尔伯特变换希尔伯特变换 希尔伯特变换相当于一个正交滤波器 1( )( )*x tx tt( )1/h tt0( )0jHj1)(H0202)(2022-5-18513.5.2 解析过程及其性质解析过程及其性质 定义：给定任一实随机过程 ( )X t定义一复随机过程 ( )X t( )( )( )X tX tjX t1( )( )( )XX tH X tdt的希尔伯特变换 ( )X t是是( )X t( )X t为实随机过程为实随机过程的复解析过程，简称解析过程。的复解析过程，简称解析过程。2

39、022-5-18523.5.2 解析过程及其性质解析过程及其性质 ( )X t( )X t（1）若）若为实平稳随机过程，则为实平稳随机过程，则也是实平稳过程，且联合平稳。也是实平稳过程，且联合平稳。因为希尔伯特变换是线性变换，线性系统输入为平稳过程，输出也为平稳过程，且联合平稳。 （2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同2022-5-1853( )( )XXXRR （3）( )( )XXXRR( )( )XXXXRR （4）（5）()( )XXXXRR （6）(0)0XXR（7）( )2( )( )2( )( )XXXXXXRRjRRjR（8）( )0( )( )0XXXXjSSjS

40、（9）4( )0( )00XXSS 例例1 : 已知已知 ,求求 例例2 :设低频信号设低频信号a(t)的频谱为：的频谱为：( )( / )s tArect t T( )s t2022-5-18553.6.1 窄带随机过程窄带随机过程 00( )( )0XccXSS其他0c定义：定义：若实平稳随机过程若实平稳随机过程 的功率谱密度满足的功率谱密度满足 且且，称称 为窄带随机过程为窄带随机过程x( ) t( )X t2022-5-18563.6.2 窄带随机过程窄带随机过程的表达式的表达式 0( )( )cos( )X tA ttt包络 相位 中心频率 000( )( )cos( )( )cos

41、cos ( )( )sinsin ( )X tA tttA tttA ttt)(cos)()(ttAta)(sin)()(ttAtb00( )( )cos( )sinX ta ttb tt)()()(22tbtatA)()()(tatbarctgt 2022-5-18573.6.2 窄带随机过程窄带随机过程的莱斯表达式的莱斯表达式 0( )( )cos( )X tA ttt包络 相位 中心频率 00( )( )cos( )sinX ta ttb tt00( )( )sin( )cosX ta ttb tt00( )( )cos( )sina tX ttX tt00( )( )sin( )cos

42、b tX ttX tt 莱斯表达式 3.6.2 窄带随机过程的莱斯表达式窄带随机过程的莱斯表达式 任何一个实平稳窄带随机过程任何一个实平稳窄带随机过程X(t)都可以表示为都可以表示为: 其中其中a(t),b(t)是另外两个随机过程是另外两个随机过程,且且00( )( )cos( )sinX ta ttb tt00( )( )cos( )sina tX ttX tt00( )( )sin( )cosb tX ttX tt 2022-5-18593.6.3 莱斯表达式的性质莱斯表达式的性质 都是实随机过程 )(ta)(tb0)()(tbEtaE都是平稳随机过程，且联合平稳 )(ta)(tb222(

43、 )( )( )E a tE b tE Xt00( )( )sin( )cosabXXRRR 0)0(abR00( )( )cos( )sinXabaRRR 00( )( )()()abXXSSLOWPASS SS00( )()()abXXSjLOWPASS SS 为平稳过程，且假设其均值为0。 ( )X t00( )( )( )cos( )sinabXXXRRRR 2022-5-18603.6.3 莱斯表达式的性质莱斯表达式的性质 都是实随机过程 )(ta)(tb证明：因为 ( )X t和 ( )X t都是实过程。 00( )( )cos( )sina tX ttX tt00( )( )si

44、n( )cosb tX ttX tt 由 都是实随机过程 )(ta)(tb所以 2022-5-18613.6.3 莱斯表达式的性质莱斯表达式的性质 都是实随机过程 )(ta)(tb0)()(tbEtaE都是平稳随机过程，且联合平稳 )(ta)(tb222( )( )( )E a tE b tE Xt00( )( )sin( )cosabXXRRR 0)0(abR00( )( )cos( )sinXabaRRR 00( )( )()()abXXSSLOWPASS SS00( )()()abXXSjLOWPASS SS 2022-5-18623.6.3 莱斯表达式的性质莱斯表达式的性质 0)()(

45、tbEtaE证明：因为由假设， ( )0E X t所以， ( )0E X t因此， 00 ( )( )cos( )sin0E a tE X ttE X tt2022-5-18633.6.3 莱斯表达式的性质莱斯表达式的性质 都是实随机过程 )(ta)(tb0)()(tbEtaE都是平稳随机过程，且联合平稳 )(ta)(tb222( )( )( )E a tE b tE Xt00( )( )sin( )cosabXXRRR 0)0(abR00( )( )cos( )sinXabaRRR 00( )( )()()abXXSSLOWPASS SS00( )()()abXXSjLOWPASS SS 2

46、022-5-18643.6.3 莱斯表达式的性质莱斯表达式的性质 都是平稳随机过程，且联合平稳 )(ta)(tb证明： )()()(tataERa00( )cos( )sinEX ttX tt00()cos()()sin()X ttX tt00( )coscos()XRtt00( )cossin()XXRtt00( )sincos()XXRtt00( )sinsin()XRtt+ + + 因为： ( )( )XXXXRR ( )( )XXRR，所以 00( )( )cos( )sinaXXXRRR 它与t无关 2( )(0)(0)aXE a tRR 2022-5-18653.6.3 莱斯表达式

47、的性质莱斯表达式的性质 都是实随机过程 )(ta)(tb0)()(tbEtaE都是平稳随机过程，且联合平稳 )(ta)(tb222( )( )( )E a tE b tE Xt00( )( )sin( )cosabXXRRR 0)0(abR00( )( )cos( )sinXabaRRR 00( )( )()()abXXSSLOWPASS SS00( )()()abXXSjLOWPASS SS 2022-5-18663.6.3 莱斯表达式的性质莱斯表达式的性质 222( )( )( )E a tE b tE Xt证明：由性质3，当 0222( )( )( )E a tE b tE Xt2022

48、-5-18673.6.3 莱斯表达式的性质莱斯表达式的性质 都是实随机过程 )(ta)(tb0)()(tbEtaE都是平稳随机过程，且联合平稳 )(ta)(tb222( )( )( )E a tE b tE Xt00( )( )sin( )cosabXXRRR 0)0(abR00( )( )cos( )sinXabaRRR 00( )( )()()abXXSSLOWPASS SS00( )()()abXXSjLOWPASS SS 2022-5-18683.6.3 莱斯表达式的性质莱斯表达式的性质 00( )( )sin( )cosabXXRRR )()()(abbaabRRR证明： )()()

49、(tbtaERab00( )cos( )sinEX ttX tt00()sin()()cos()X ttX tt00( )cossin()XRtt 00( )sincos()XRtt00( )sinsin()XXRtt00( )coscos()XXRtt+ + ( )( )XXXXRR ( )( )XXRR( )( )XXXRR2022-5-18693.6.3 莱斯表达式的性质莱斯表达式的性质 都是实随机过程 )(ta)(tb0)()(tbEtaE都是平稳随机过程，且联合平稳 )(ta)(tb222( )( )( )E a tE b tE Xt00( )( )sin( )cosabXXRRR

50、0)0(abR00( )( )cos( )sinXabaRRR 00( )( )()()abXXSSLOWPASS SS00( )()()abXXSjLOWPASS SS 2022-5-18703.6.3 莱斯表达式的性质莱斯表达式的性质 0)0(abR证明：由性质5， )()(ababRR2022-5-18713.6.3 莱斯表达式的性质莱斯表达式的性质 都是实随机过程 )(ta)(tb0)()(tbEtaE都是平稳随机过程，且联合平稳 )(ta)(tb222( )( )( )E a tE b tE Xt00( )( )sin( )cosabXXRRR 0)0(abR00( )( )cos(

51、 )sinXabaRRR 00( )( )()()abXXSSLOWPASS SS00( )()()abXXSjLOWPASS SS 2022-5-18723.6.3 莱斯表达式的性质莱斯表达式的性质 证明：00( )( )cos( )sinXabaRRR ( )( )()XRE X t X tsin)(cos)(00ttbttaE)(sin)()(cos)(00ttbtta)(coscos)(00ttRa)(cossin)(00ttRba)(sincos)(00ttRab)(sinsin)(00ttRb+ )()(baRR)()(baabRR2022-5-18733.6.3 莱斯表达式的性质

52、莱斯表达式的性质 都是实随机过程 )(ta)(tb0)()(tbEtaE都是平稳随机过程，且联合平稳 )(ta)(tb222( )( )( )E a tE b tE Xt00( )( )sin( )cosabXXRRR 0)0(abR00( )( )cos( )sinXabaRRR 00( )( )()()abXXSSLOWPASS SS00( )()()abXXSjLOWPASS SS 2022-5-18743.6.3 莱斯表达式的性质莱斯表达式的性质 00( )( )()()abXXSSLOWPASS SS证明：由性质3，有 00( )( )( )cos( )sinabXXXRRRR 000011( )( )22iiiiXXXReeReej 两边取付氏变换，注意 ( )sgn( )( )XXXSjS )(200tje= 2022