高等数学重积分的应用

1、第四节一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的应用 第十章 1. 能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为Dyxyx

2、fVdd),(,),(Dyx 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为zyxVddd机动 目录 上页 下页 返回 结束 xoyza2例例1 1. 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解解: 在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2rM机动 目录 上页 下页 返回 结束 MAdzdn二、曲面的面积二、曲面的面积xyzSo设光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:则面积 A 可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积 d

3、 A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)则Mnd机动 目录 上页 下页 返回 结束 故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx则有zyD即机动 目录 上页 下页 返回 结束 xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程为隐式,0),(zyxF则则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),

4、(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算双曲抛物面yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在 xoy 面上投影为,:222RyxD则yxzzADyxdd122yxyxDdd122ddR02201 )1)1( 32232R出的面积 A .机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点, ),(kkkzyx其质量分别, ),2, 1(nkmk由力学知, 该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有空间域 ,),(zyx有连续密度函

5、数则 公式 ,分别位于为为即:采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将 分成 n 小块, ),(kkk将第 k 块看作质量集中于点),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小区域的最大直径,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常数时当zyx则得形心坐标：,ddd

6、Vzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd机动 目录 上页 下页 返回 结束 若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, ),(yx为yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为MMyMMx其面密度 xMyM 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩机动 目录 上页 下页 返回 结束 4例例3. 求位于两圆sin2sin4和的质心. 2D解解: 利用对称性可知0 x而DyxyAydd1D231ddsindsinsin422

7、dsin956042956dsin295620437之间均匀薄片0dsin3143212oyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 Vzyxzzddd例例4. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线的方程为, 30,)3(922zzzx内储有高为 h 的均质钢液,解解: 利用对称性可知质心在 z 轴上，,0 yx采用柱坐标, 则炉壁方程为,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此故自重, 求它的质心.oxzh若炉不计炉体的其坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409

8、043060hhhhhzoxzh)41229(923hhhV机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数. ),(zyx该物体位于(x , y , z) 处的微元 vzyxyxd),()(22因此物体 对 z 轴 的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(2

9、2zy )(22zx )(222zyx对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果物体是平面薄片,面密度为Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 则转动惯量的表达式是二重积分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ddsina0302例例5.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图, 0:222yayxDyxyIDxdd2D23ddsin441a481a2212oxyDaa的转动惯量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 )sinsinco

10、ssin(222222rr解解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,:2222azyx则zIzyxyx22ddd)(5a525a158dddsin2rr olzxy132220ddsin03rrad04例例6.6.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 aaR1122xyzoR例例7. 设面密度为 ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解解: 由对称性知引力zFddaG,222Ryx)0(), 0 , 0(0aaMDzaGFaGaG2处的单位质量质点的引力. 2ddGdaR020da0M。, 0z),0,0(zFF 23222)(

11、dayx23222)(dayx2322a )(d机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、物体的引力五、物体的引力)(th( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程,)()(2)(22thyxthz设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题提示提示:yxzo记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则)(:221220thyxD)()(:22122zththyxDzVzDyxdd)(0dthz)(0221d)()(thzzththS0Dyxzzyxdd)()(1220D)()(162221thyx )(2thd)(22