第二章随机变量

1、第二章第二章 随机变量随机变量第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数第二节第二节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布 第四节随机变量函数的分布第四节随机变量函数的分布第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数.)()( 称之为随机变量称之为随机变量，上的实值单值函数上的实值单值函数就得到一个定义在就得到一个定义在，这样，这样与之对应与之对应，有一个实数，有一个实数每一个元素每一个元素中中如果对如果对，的样本空间为的样本空间为设随机试验设随机试验eXXeXe 定义定义1 1)(xXPxF 称为随机变量称

2、为随机变量X的分布的分布函数。函数。定义定义2:设设X是一随机变量，是一随机变量，x为任意实数，函数为任意实数，函数（也可以定义其他形式） 为为单单调调不不减减的的函函数数；xF)1(:分分布布函函数数的的性性质质上一页上一页下一页下一页返回返回；，且且）（0)(lim)( 1)(lim)(1)(0 2 xFFxFFxFxx，即即分分布布函函数数右右连连续续。）（ )()0( 3xFxF 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量变量 X 的分布函数的分布函数. 也就是说，性质也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一是鉴别一个函数是否是某个函数是否是某

3、r.v的分布函数的充分必要条件的分布函数的充分必要条件.试说明试说明F(x)能否是某个能否是某个r.v 的分布函数的分布函数. 其它其它设有函数设有函数例例00sin)( xxxF解：解： 注意到函数注意到函数 F(x)在在 上下降，不满足性上下降，不满足性质质(1)，故，故F(x)不能是分布函数不能是分布函数.,2 不满足性质不满足性质(2)， 可见可见F(x)不不能是能是r.v 的分布函数的分布函数.或者或者0)(lim)( xFFx算算下下列列事事件件的的概概率率：利利用用分分布布函函数数，可可以以计计 xFxXP 1 0 xFxFxXP 12210 xFxFxXxP 0 xFxXP 0

4、01221 xFxFxXxP)(xFxXP 1221xFxFxXxP 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述计特性就可以得到全面的描述. 第二节第二节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布分布律常用表格形式表示如下：分布律常用表格形式表示如下：,.2 , 1 kpxXPkk 设离散型随机变量设离散型随机变量X的可能取值为的可能取值为xk (k=1,2,),事事件件 发生的概率为发生的概率为pk ,即即称为称为随机变量随机变量X的概率分布或分布律的概率分布或分布律。kxX 上一页上一页下一页下一页返回返回pkp1p

5、2pkX x1x2xk 如果随机变量所有的可能取值为有限个或可数无如果随机变量所有的可能取值为有限个或可数无限多个，则称这种随机变量为限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量离散型随机变量.分布律的两条分布律的两条基本性质基本性质： 11)2(kkp0)1( kp, 2 , 1 k上一页上一页下一页下一页返回返回用这两条性质判断用这两条性质判断一个数列是否是一个数列是否是分布律分布律例例 从从1，2，3，4，5个数中任取三个数，以个数中任取三个数，以X表示表示 三个数中最大者，求三个数中最大者，求 X的分布律的分布律.解解 X的可能取值为的可能取值为3，4，5所以所以X的分布律为：的分布律为：

6、 3 4 5P0.60.10.3分布律与分布函数的关系分布律与分布函数的关系量量的的分分布布情情况况。都都能能描描述述离离散散型型随随机机变变分分布布函函数数的的分分布布律律，用用分分布布律律和和已已知知分分布布函函数数也也能能确确定定布布函函数数，的的分分布布律律可可以以求求出出其其分分已已知知离离散散型型随随机机变变量量XX (1)确定常数确定常数a的值的值; (2)求求的分布函数的分布函数.21pa 31因此因此61 aa 31211解解 (1)由分布律的性质知由分布律的性质知的分布律为的分布律为设随机变量设随机变量例例X (2)(2)由分布函数定义得由分布函数定义得的分布函数为：的分布

7、函数为： 1 1 21 65 10 21 0 0 xxxxxF上一页上一页下一页下一页返回返回 由例题可看出离散型随机变量的由例题可看出离散型随机变量的F(x) 的图形是的图形是阶梯状的图形阶梯状的图形.习题册两点分布两点分布 若在一次试验中若在一次试验中X只可能取只可能取x1 或或x2 两值，它的两值，它的分布律是分布律是则称则称X服从参数为服从参数为p的两点分布的两点分布. ,1),(0 121pxXPppxXP 特别，当特别，当x1=0,x2=1时两点分布称为（时两点分布称为（01）分布）分布.简记为简记为X(0-1)分布。分布。X 0 1pk 1-p p上一页上一页下一页下一页返回返回

8、 对于一个随机试验，若它的样本空间只包含两个对于一个随机试验，若它的样本空间只包含两个元素，元素，,21ee 即即分布的随机变量分布的随机变量上定义一个服从上定义一个服从则总能在则总能在)10( , 1;, 0)(21eeeeeXX当当当当 , 1 , 0)1(nkppCkXPknkkn 若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布律为的分布律为二项分布二项分布其中其中0p0是一常数，是一常数，n是任意正整数），则是任意正整数），则对任意一固定的非负整数对任意一固定的非负整数k，有有 ekppCkknnknknn!1lim定理的条件定理的条件npn=，意味着意味着n很大时候很大时候pn必定很小。必

9、定很小。因此当因此当n很大，很大，p很小时有近似公式很小时有近似公式 ekppCkknkkn!)1 (其中其中=np。 .!的的值值有有表表可可查查 ekk上一页上一页下一页下一页返回返回近似值的效果颇佳近似值的效果颇佳. knkknppC 1作为作为）（npekk ! 在实际计算中，当在实际计算中，当 时用时用 05. 020 pn，.10100时时效效果果更更佳佳，而而当当 npn泊松泊松(Poisson) 分布分布上一页上一页下一页下一页返回返回其中其中0为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为 的泊松分布，记的泊松分布，记为为X P( )。设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为

10、 , 2 , 1 , 0! kkekXPk 泊松分布可以作为描述大量试验中稀有事件出现泊松分布可以作为描述大量试验中稀有事件出现的次数的次数k=0,1,2,的概率分布情况的一个数学模型的概率分布情况的一个数学模型.比比如，大量产品中抽样检查时得到的不合格品数；一个如，大量产品中抽样检查时得到的不合格品数；一个集团中员工生日是元旦的人数；一页中印刷错误出现集团中员工生日是元旦的人数；一页中印刷错误出现的数目；数字通讯中传输数字时发生误码的个数等，的数目；数字通讯中传输数字时发生误码的个数等，都近似服从泊松分布都近似服从泊松分布.除此之外，它也可以作为下列随机变量的概率分布的除此之外，它也可以作为

11、下列随机变量的概率分布的数学模型：在任给一段固定的时间间隔内，数学模型：在任给一段固定的时间间隔内，（1）由某块放射性物质放射出的经过计算器的）由某块放射性物质放射出的经过计算器的 粒子；粒子； （2）某地区发生交通事故的次数；）某地区发生交通事故的次数；（3）来到某公共设施要求给予服务的顾客数）来到某公共设施要求给予服务的顾客数.例例 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数知道，某种商品每月的销售数可以用参数=5的泊松分的泊松分布来描述，为了以布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店以上的把握保证

12、不脱销，问商店在月底至少应进在月底至少应进某种商品多少件？某种商品多少件？解解设该商品每月的销售数为设该商品每月的销售数为X,由已知，由已知，XP(5)设商店在月底应进设商店在月底应进某种商品某种商品m件件, ,求满足求满足PXm0.95 的最小的的最小的m .进货数进货数销售数销售数求满足求满足 PXm0.95的最小的的最小的m.查泊松分布表得查泊松分布表得,032. 0!5105 kkkePXm 0.05也即也即于是得于是得 m+1=10, 1505. 0!5mkkke或或即即m=9件件,068. 0!595 kkke 例例 考虑如下试验：在区间考虑如下试验：在区间0,1上任取一点，记录它

13、的上任取一点，记录它的坐标坐标X，那么，那么X是一随机变量，根据试验条件可以认为是一随机变量，根据试验条件可以认为X取到取到0,1上任一点的可能性相同，求上任一点的可能性相同，求X的分布函数。的分布函数。 当当x3 .2720 )31()32(223C 3)( XPAP由由于于,32 0333)31()32(C )(BP设设 B表示表示“至少有两次观测值大于至少有两次观测值大于3”,设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度则称则称X服从参数为服从参数为 的指数分布。的指数分布。0001)( xxexFx 指数分布指数分布X的分布函数为的分布函数为 上一页上一页下一页下一页返回

14、返回)( EX记记为为 , 0, 0 , 0,)(xxexfx )0( f(x)和和F(x)可用图形表示可用图形表示)(xfxO )(xFxO1上一页上一页下一页下一页返回返回指数分布的重要性质指数分布的重要性质 “无记忆性无记忆性”.|0,tXPsXtsXPts ，有，有对任意对任意证：证：,|sXPtsXsXPsXtsXP sXPtsXP 11sXPtsXP )(1)(1sFtsF stsee )(te tXP 例例 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X E(1/2000)(单位单位:小时小时).(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时

15、以上的小时以上的概率概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了2000 小时以上小时以上,求求还能使用还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. . 0, 0, 0,e1)(20001xxxFxX 的分布函数为的分布函数为解解1000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 0e21 20003000)2( XXP1000 XP.607. 0e21 正态分布正态分布设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 xexfx222)(21)( 其中其中 , ( 0)为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为 , 的正态分的正态分布布,记为记为X

16、N( , 2).X的分布函数为的分布函数为 dtexFxt 222)(21)( 上一页上一页下一页下一页返回返回正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x 越越小小。落落在在这这个个区区间间上上的的概概率率越越远远，离离样样长长度度的的区区间间，当当区区间间值值越越小小，这这表表明明对对于于同同越越远远，离离取取得得最最大大值值时时当当Xxfxxfx )(;21)(,)2( ;)3(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x ;)4(轴为渐近线轴为渐近线曲线以曲线以 x为位置参数。为位置参数。故称故称轴作平移变换轴作平移变换着着只是沿只是沿图形的形状不变图形的形

17、状不变的大小时的大小时改变改变当固定当固定 ;,)(,)5(xxf.)(,)6(为为精精度度参参数数称称的的增增大大而而变变得得平平坦坦，故故随随图图形形的的形形状状的的大大小小时时改改变变当当固固定定 xf 只要某一个随机变量受到许多只要某一个随机变量受到许多相互独立随机因素相互独立随机因素的影响，的影响，而每个个别因素的影响都而每个个别因素的影响都不能起决定性不能起决定性作用，那么就可以作用，那么就可以断定随机变量服从或近似服从正态分布断定随机变量服从或近似服从正态分布,例如测量误差例如测量误差, 人人的生理特征尺寸如身高、体重等的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品正常情况

18、下生产的产品尺寸尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 )(x xO11 参数参数 =0， =1的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布，记为，记为XN(0,1).其概率密度函数和分布函数分别用其概率密度函数和分布函数分别用 和和 表示，即表示，即)(x )(x 2221)(xex dtexxt 2221)( ，易知易知)(1)(xx xXPxXP 1xXP 1xXP 由图形：由图形：.225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 8944.

19、09772. 0 例例 . 0828. 0 ).1 , 0(),(2NXZNX 则则若若引理引理说明：说明：任何一个一般的正态分布都可以通过线性变任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布换转化为标准正态分布. .dXcP 因因而而. cd dXcP例例 某仪器需安装一个电子元件，要求电子元件的使某仪器需安装一个电子元件，要求电子元件的使用寿命不低于用寿命不低于1000小时即可。现有甲乙两厂的电子元小时即可。现有甲乙两厂的电子元件可供选择，甲厂生产的电子元件的寿命服从正态分件可供选择，甲厂生产的电子元件的寿命服从正态分布布N(1100,502), 乙厂生产的电子元件的寿命分布服

20、从乙厂生产的电子元件的寿命分布服从正态分布正态分布N(1150,802)。问应选择哪个厂生产的产品呢？问应选择哪个厂生产的产品呢？若要求元件的寿命不低于若要求元件的寿命不低于1050小时，又如何？小时，又如何？解解设甲、乙两厂的电子元件的寿命分别为设甲、乙两厂的电子元件的寿命分别为X和和Y，)80,1150()50,1100(22NYNX，则则.10001000的大小的大小和和依题意要比较概率依题意要比较概率 YPXP两个概率如下：两个概率如下：100011000 XPXP 50110010001)2(1 )2( 9772. 0 100011000 YPYP 80115010001)875.

21、1(1 )875. 1( 9700. 0 比较两个概率的大小就知应选甲厂的产品比较两个概率的大小就知应选甲厂的产品. ？问问车车门门高高度度应应如如何何确确定定，设设男男子子身身高高以以下下来来设设计计的的的的机机会会在在头头按按成成年年男男子子与与车车门门顶顶碰碰公公共共汽汽车车车车门门的的高高度度是是)6,170(.%12NX例例解解)61706170()( hXPhXP99. 0)6170( h查表得查表得99. 0901.90)3.32( 故取故取，3.326170 h.184 h即即第四节第四节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 设设y=g(x)为一个通常的连续函数，为一个通常的

22、连续函数，X为定义在概率为定义在概率空间上的随机变量，令空间上的随机变量，令Y=g(X)，那么那么Y也是一个定义在也是一个定义在概率空间上的随机变量。概率空间上的随机变量。上一页上一页下一页下一页返回返回 设随机变量设随机变量X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) ，如何由，如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的分布？的分布？一一 、 设设X是离散型随机变量，是离散型随机变量，Y是是X的函数的函数Y=g(X)，那，那么么Y也是离散型随机变量。也是离散型随机变量。对此类问题，先由对此类问题，先由X的取值的取值xk，（，（ k=1,2）求出求出Y=g(X)的所有取值为的所有取值为yk=g(x

23、k)，( k=1,2)；10 y=g(x) 一对一一对一 ( xk yk )则由则由X的分布律的分布律PX= xk =pk, k=1,2，便可得便可得Y的分布律：的分布律：PY= yk =pk, k=1,220 y=g(x) 多对一多对一 kkkkyxxxn 211nikkixXPyYP nikixXP1(有限可加性有限可加性)解：由解：由X的分布律可得的分布律可得 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 X -1 0 1 2 3 X-1 -2 -1 0 1 2-2X2 -2 0 -2 -8 -18例例 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为 X -1 0 1 2 3 P

24、0.2 0.1 0.1 0.3 0.3求：（求：（1）Y=X-1； （2） Y= - 2X2的分布律。的分布律。(2) Y= - 2X2分布律为分布律为Y -18 -8 -2 0 P 0.3 0.3 0.3 0.1由上表易得由上表易得Y的的 分布律分布律（1）Y=X-1的分布律为的分布律为Y -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3二、二、 设设X为连续型随机变量，具有概率密度为连续型随机变量，具有概率密度 fX( x )。又又Y=g(X)，在大部分情况下在大部分情况下Y也是连续型随机变量，也是连续型随机变量，求求Y的概率密度的概率密度fY ( y )。)(1yFYY

25、的的分分布布函函数数）先先求求出出（)()(yXgPyYPyFY )()()(2yFyfYyFYYY 的的概概率率密密度度便便可可求求出出）再再由由（)(yhXP dxxfyhX )()(例例 设随机变量设随机变量XN(0,1)，求求Y=X2的概率密度的概率密度fY(y).2221)(xXexf 解解 X的概率密度为的概率密度为Y的概率密度为的概率密度为00021)(221 yyeyyfyY 上一页上一页下一页下一页返回返回),(yFYY的分布函数为的分布函数为记记)(2yXPyYPyFY 那么那么0)(0 yFyY时，时，当当)(02yXPyFyY 时，时，当当yXyP dxxfyyX )(

26、dxeyyx 2221 dxeyx 022212 x定理定理 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度fX(x)。函数函数g(x)为为（-，+）内的严格单调的可导函数，则）内的严格单调的可导函数，则Y=g(X)也也是一个连续型随机变量，且是一个连续型随机变量，且Y的概率密度函数为的概率密度函数为其其他他 yyhyhfyfXY0)( )()(当函数当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，有：可导且为严格单调函数时，有：其中其中x=h(y)是是y=g(x)的反函数，的反函数， =min（g(-),g(+)）,=max（g(-),g(+)）.上一页上一页下一页下一页返回返回例例 设连续型随机

27、变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度其他其他4008)( xxxfX求求Y=2X+1的概率密度的概率密度fY(y).解解y=2x+1为严格单调且可导的函数，为严格单调且可导的函数，,21 yx21 dydx且有且有其反函数为其反函数为由上述定理得由上述定理得Y=2X+1的概率密度为的概率密度为 其它其它910321)( yyyfY例例 设随机变量设随机变量XN( )，求求Y=aX+b(a0)的概的概率密度率密度fY(y). 2, y=ax+b为严格单调且可导的函数，其反函数为：为严格单调且可导的函数，其反函数为：ayhabyyhx1)(,)( 且有且有由上述定理得由上述定理得Y=aX

28、+b的概率密度为的概率密度为 yeaabyfayfabayXY2222)(21)(1)( xexfxX222)(21)( 解解 X的概率密度为：的概率密度为：上一页上一页下一页下一页返回返回即有即有 ),(22 abaNbaXY 取取 ，得，得 ba,1)1 , 0( NX 10 先判断函数的类型；先判断函数的类型；20 分别求出分别求出y的反函数，反函数的的反函数，反函数的导数形式及其值域；导数形式及其值域；30 套用定理套用定理.步骤步骤第二章第二章 随机变量随机变量第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数 一、随机变量概念的产生一、随机变量概念的产生 概率论是从数量上来研究

29、随机现象内在规律性的概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的就要用数学分析的方法来研究方法来研究， 因此为了便于数学上的推导和计算因此为了便于数学上的推导和计算，就就需将任意的随机事件数量化需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概就建立起了随机变量的概念念1、有些试验结果本身与数量有关（本身就是一个数）、有些试验结果本身与数量有关（本身就是一个数）实例实例1 1 掷一颗骰子，观察出现的点数；掷一颗骰子，观察出现的点数； ,6

30、54321eeeeee 2、在有些试验中，试验结果看来与数量无关，但可以、在有些试验中，试验结果看来与数量无关，但可以引进一个变量来表示它的各种结果引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验也就是说，把试验结果数量化结果数量化.实例实例2 2 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察观察摸出球的颜色摸出球的颜色.非数量非数量? =红色、白色红色、白色 将将 数量化数量化 .)()( XeXXeXe简记为简记为称之为随机变量称之为随机变量，上的实值单值函数上的实值单值函数就得到一个定义在就得到一个定义在，这样，这样与之对应与之对应，有一个实数，有一个实数每

31、一个元素每一个元素中中如果对如果对，的样本空间为的样本空间为设随机试验设随机试验 定义定义1 1注注:（1 1）随机变量的取值随试验结果而定随机变量的取值随试验结果而定, ,具有一定具有一定的概率规律；的概率规律；（2）随机变量是定义在样本空间上的）随机变量是定义在样本空间上的.实例实例3 掷一个硬币掷一个硬币, 观察出现的面观察出现的面 , 共有两个共有两个结果结果:),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有则有X)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1 eX1)(2 eX即即

32、 X 是一个随机变量是一个随机变量.实例实例4 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考虑考虑其性别其性别 , 共有共有 4 个样本点个样本点:).,(),(, ),(),(4321女女女女男男女女女女男男男男男男 eeee若用若用 X 表示该家女孩子的个数时表示该家女孩子的个数时 , 则有则有, 0)(1 eX, 1)(2 eX, 1)(3 eX, 2)(4 eX可得随机变量可得随机变量 X, ., 2, 1, 04321eeeeeeeeX实例实例5 设某射手不断射击目标，直到击中目标为设某射手不断射击目标，直到击中目标为止止,表示所需射击次数表示所需射击次数X是一个随机变量是一个随机变量.且且 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:., 3, 2, 1实例实例6 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通分钟有一辆汽车