选修4-5课件：第1讲1基本不等式2

1、2基本不等式1.1.两个定理及算术平均与几何平均两个定理及算术平均与几何平均. .2ab2aba=ba=baba=ba=ba+b2ab不小于不小于于）于）（即大于或等（即大于或等中线中线高高2.2.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值. .对两个正实数对两个正实数x,yx,y. .(1)(1)如果它们的和如果它们的和S S是定值，则当且仅当是定值，则当且仅当_时，它们的积时，它们的积P P取取得得_._.(2)(2)如果它们的积如果它们的积P P是定值，则当且仅当是定值，则当且仅当_时，它们的和时，它们的和S S取取得得_. . x=yx=y最大值最大值x=yx=y最小值最小值1.1.函数

2、函数 的最小值是的最小值是2 2吗吗? ?提示：提示：函数函数 的最小值不是的最小值不是2.2.当当x0 x0时时, ,( (当且仅当当且仅当x=1x=1时取等号时取等号) )当当x0 x0,b0a0,b0，则，则a a2 2+b+b2 2与与 的大小关系为的大小关系为_2.2.若若ab1ab1，试比较试比较P P，Q Q，R R的大小关系的大小关系【解题探究【解题探究】1. 1. 之间有什么样的关系？之间有什么样的关系？2.2.题题2 2中中ab1ab1的作用是什么？的作用是什么？(ab) ab1Plg a lg bQ(lg alg b),2，abRlg2，222(ab)ab ,2ab2探究

3、提示：探究提示：1. 1. 故故2.2.由由ab1ab1，可以得到，可以得到222222(ab)abab,(ab)4ab,ab,22222(ab)ab2ab.2ablg a0,lg b0,lg0.2【解析【解析】1.1.因为由因为由a a2 2+b+b2 22ab,2ab,得得2(a2(a2 2+b+b2 2)(a+b)(a+b)2 2, ,又又a0,b0,a0,b0,所以所以当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立. .所以所以答案：答案：222ab(ab)ab2()(ab)abab,2222ab(ab) ab.22ab(ab) ab2.2.因为因为ab1,ab1,所以所以所以所

4、以又又 而而所以所以即即QR,QR,所以所以PQR.PQR. ablg a0,lg b0,lg0,2lg alg bPlg a lg bQ.21Q(lg alg b)lg ab,2abab,2ablg ablg,2【拓展提升【拓展提升】1.1.巧用基本不等式比较大小巧用基本不等式比较大小要想运用基本不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题要想运用基本不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归化归”到不等式的形式并让其符合不等式成立的条件，化到不等式的形式并让其符合不等式成立的条件，化归的方法是把题目中给出的条件配凑变形，或利用一些基本归的方法是把题目中给出的条件配凑变形，或利用一些基本公式

5、和一些常见的代换，讲究一个巧字，根据问题的具体情公式和一些常见的代换，讲究一个巧字，根据问题的具体情况把待求的数或式拆配得恰到好处，才能顺利地进行运算况把待求的数或式拆配得恰到好处，才能顺利地进行运算. .2.2.利用基本不等式比较代数式大小的两个注意点利用基本不等式比较代数式大小的两个注意点(1)(1)在应用基本不等式时，一定要注意其前提条件是否满足，在应用基本不等式时，一定要注意其前提条件是否满足，即即a a0,b0,b0.0.(2)(2)若问题中一端出现若问题中一端出现“和式和式”，而另一端出现，而另一端出现“积式积式”，这，这便是应用基本不等式的便是应用基本不等式的“题眼题眼”，不妨运

6、用基本不等式试试，不妨运用基本不等式试试看看. .【变式训练【变式训练】已知已知0a1,0b10a1,0b1，求，求中的最大者中的最大者. .【解析【解析】因为因为0a1,0b1,0a1,0b1,所以所以所以四个数中的最大者应从所以四个数中的最大者应从a+ba+b和和a a2 2+b+b2 2中选择中选择. .又因为又因为a-10,b-10,a-10,b-10,所以所以a a2 2+b+b2 2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1)0,-(a+b)=a(a-1)+b(b-1)0,即即a a2 2+b+b2 2a+b0 x0，y0y0，且，且 则则x+yx+y的最小值为的最小值为_2.2.当当

7、x0 x0时，求时，求 的值域的值域191xy ， 22xf xx1【解题探究【解题探究】1.1.题题1 1中，如何利用中，如何利用“ ”“ ”这个条件？这个条件？2.2.题题2 2中，对中，对f(xf(x) )如何变形，才能利用基本不等式？如何变形，才能利用基本不等式？探究提示：探究提示：1.1.因为因为 所以所以2. 2. 191xy191xy ，19xy()(xy)xy 22x2f x.1x1xx【解析【解析】1.1.因为因为x0,y0,x0,y0,且且所以所以当且仅当当且仅当 即即x=4,y=12x=4,y=12时，等号成立时，等号成立. .所以所以x+yx+y的最小值为的最小值为16

8、.16.答案：答案：1616191xy199xyxy()(xy)10 xyyx9x y102102 916.y x9xy,yx2.2.因为因为x0,x0,所以所以因为因为 所以所以所以所以0f(x)1,00”x0”改为改为“xRxR”，求，求f(xf(x) )的值的值域域【解析【解析】当当x0 x0时，同题时，同题2 2；当当x0 x0时，时， 所以所以当且仅当当且仅当x=-1x=-1时取等号时取等号. .所以所以当当x=0 x=0时，时，f(xf(x)=0,)=0,所以所以-1f(x)1.-1f(x)1.即即f(xf(x) )的值域为的值域为-1,1-1,1. . 1x2x ，1112xx

9、， 2f x11xx ；【拓展提升【拓展提升】应用基本不等式求最值的方法与步骤应用基本不等式求最值的方法与步骤(1)(1)方法：方法：看式子能否出现和看式子能否出现和( (或积或积) )为定值，若不出现，需对式子变为定值，若不出现，需对式子变形，凑出需要的定值；形，凑出需要的定值；看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取时，可提取(-1)(-1)变为同正；变为同正；利用已知条件对取等号的情况进行验证利用已知条件对取等号的情况进行验证. .若满足，则可取最若满足，则可取最值；若不满足，则可通过函数单调性或导数解决值；若不满足，

10、则可通过函数单调性或导数解决. .(2)(2)步骤步骤. .利用基本不等式求最值的一般步骤：利用基本不等式求最值的一般步骤：【变式训练【变式训练】已知已知x,yx,y均为正数，且均为正数，且x+yx+y=4=4，则，则 的最小的最小值为值为_【解析【解析】因为因为x,yx,y均为正数，所以均为正数，所以当且仅当当且仅当 即即 时取等号时取等号. .又又x+yx+y=4=4，所以，所以故故 的最小值为的最小值为答案：答案：13xy13y3x(xy)()4()42 3.xyxyy3x,xyx2( 31),y2(33)1331,xy2 13xy312312类型类型 三三 利用基本不等式证明不等式利用

11、基本不等式证明不等式 【典型例题【典型例题】1.1.下列不等式中，正确的是下列不等式中，正确的是( )( )A.A.若若xRxR，则，则B.B.若若xRxR, ,则则C.C.若若xRxR，则，则D.D.若若a,ba,b为正实数，则为正实数，则2.2.已知已知a,b(0,+),a,b(0,+),且且a+ba+b=1,=1,求证求证4x4x221x22x2221x12x1 abab2221125(a)(b).ab2【解题探究【解题探究】1.1.利用基本不等式的条件是什么？利用基本不等式的条件是什么？2.2.题题2 2中由已知条件能不能求出中由已知条件能不能求出abab的范围？的范围？探究提示：探究

12、提示：1.1.利用基本不等式的条件是利用基本不等式的条件是“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”. .2.2.因为因为 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立，所以时，等号成立，所以abab,211abab.24【解析【解析】1.1.选选C.A.C.A.若若x0 x1+21；D. D. 2.2.因为因为a,b(0,+),a,b(0,+),且且a+ba+b=1,=1,所以所以 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立，所以时，等号成立，所以所以所以4x4;x 4abab.2abab,2111abab424ab ，22211ab(ab)2ab12ab1242 ，221128.abab22222

13、21111125(a)(b)ab448,abab22221125(a)(b).ab2【拓展提升【拓展提升】利用基本不等式证明不等式的方法与技巧利用基本不等式证明不等式的方法与技巧(1)(1)用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明. .(2)(2)对含条件的不等式的证明问题，要将条件与结论结合起来，对含条件的不等式的证明问题，要将条件与结

14、论结合起来，寻找出变形的思路，构造出基本不等式，切忌两次使用基本寻找出变形的思路，构造出基本不等式，切忌两次使用基本不等式用传递性证明，有时等号不能同时取到不等式用传递性证明，有时等号不能同时取到. .【变式训练【变式训练】已知已知a,b,ca,b,c是不全相等的正数，求证：是不全相等的正数，求证：a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)+c(a)+c(a2 2+b+b2 2)6abc.)6abc.【证明【证明】因为因为b b2 2+c+c2 22bc,a0,2bc,a0,所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2)2abc, )2abc, 同理，同理，b(cb

15、(c2 2+a+a2 2)2abc, )2abc, c(ac(a2 2+b+b2 2)2abc. )2abc. 因为因为a,b,ca,b,c不全相等，所以不全相等，所以式中至少有一个式子取不到式中至少有一个式子取不到等号，所以等号，所以a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2)+c(a)+c(a2 2+b+b2 2)6abc.)6abc.【易错误区【易错误区】忽略等号成立的条件而致错忽略等号成立的条件而致错【典例【典例】已知已知 则则 的最小值为的最小值为_【解析】设【解析】设t=sin x,t=sin x,则则t(0,1t(0,1, ,所以所以 ，所以所以 所

16、以所以 在在t(0,1t(0,1上是减函数上是减函数. .所以当所以当t=1t=1时，时，y yminmin=3.=3.答案：答案：3 3x0,2 （，2ysin xsin x2ytt 2222t2y10,tt 2ytt 【误区警示【误区警示】【防范措施【防范措施】基本不等式求最值的条件基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值，必须满足利用基本不等式求最值，必须满足“一正，二定，三相等一正，二定，三相等”的条件：的条件：(1)(1)一正：不等式成立的前提条件一正：不等式成立的前提条件(2)(2)二定：化不等式的一边为定值二定：化不等式的一边为定值(3)(3)三相等：必须存在取三相等：必须存在

17、取“”的条件，即的条件，即“”成立成立以上三点缺一不可，本例就易忽略验证等号成立的条件，而以上三点缺一不可，本例就易忽略验证等号成立的条件，而导致结果错误导致结果错误【类题试解【类题试解】(2013(2013南京高二检测南京高二检测) )已知已知则则 的最大值为的最大值为_._.【解析【解析】因为因为 所以所以coscos x0, x0,所以所以当且仅当当且仅当 时时, , 即即 时取到等号时取到等号, ,所以所以, ,答案：答案：1ycos x2cos xx(, )2 ，x(, )2 ，11ycos x( cos x)2cos x( 2cos x) 12 ( cos x)2.( 2cos x

18、) 1cos x2cos x 2cos x,2 3x4maxy2. 21.1.若若a,bRa,bR, ,且且abab0,0,则下列不等式中则下列不等式中, ,恒成立的是恒成立的是( )( )A.aA.a2 2+b+b2 22ab B. 2ab B. C. D. C. D. 【解析【解析】选选D.D.对于对于A,A,当当a=ba=b时时, ,有有a a2 2+b+b2 2=2ab,=2ab,故故A A不正确不正确; ;对于对于B,B,若若a0,b0,a0,b0,y0,2x+y=1,x0,y0,2x+y=1,所以所以当且仅当当且仅当 即即 时取等号时取等号. .所以所以 的最小值为的最小值为答案：答案：11xy1111(2xy)()xyxyy2x332 2.xyy2xxy，12x,y222232 2.32 211xy5.5.当当 时时, ,函数函数 的最小值为的最小值为_._.【解析【解析】因为因为 所以所以所以所以当且仅当当且仅当 即即 时，取时，取“=”.=”.答案：答案：1x28yx2x11x21x0,28141yx(x)12x122x2194,2214x12x2