人教版高中数学选修3第6讲：数学期望与方差及正态分布教师版

1、人教版高中数学数学期望与方差及正态分布,手大脑体操)，与作业完成宿况)教学目标)1 .理解离散型变量的数学期望与方差的概念2 .熟练掌握离散型变量的数学期望与方差的公式3 .熟练掌握离散型变量的数学期望与方差的性质4 .能利用数学期望与方差解决简单的实际问题5 .理解概率密度曲线和正态分布的概念.趣味引足6 .离散型随机变量X的数学期望般地，若离散型随机变量X的概率分布如下表所示，则称x1Pl+x2P2十川十xnpn为离散型随机变量X的数学期望，记为E(X),其中Pi",i=i,2,，n,P1+p2+|l|+pn=1.xXiX2XnpPiP2pn2.离散型随机变量X的方差般地，若离散

2、型随机变量X的概率分布如下表所示,xXiX2XnpPiP2Pn则称(XiN)2P1+(X2N)2P2十|ia(XnN)2pn为离散型随机变量X的方差，记为V(X)，即仃Pi>0,i=1,2,，n,P1+P2+111+Pn=1,N=E(X)3 .离散型随机变量X的标准差随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差V(X)的算术平方根称为X的标准差,即:=.V(X)4 .必备公式(1)离散型随机变量：X的数学期望(均值)公式、方差公式、标准差公式E(X)=XiPi+X2P2+|+XnPn；,、2,、2，、2V(X)=(Xi-匕)Pi(X2-P2,III(Xn-Pn；二二,V(X).(2

3、)二项分布的数学期望、方差的计算公式当XB(n,p)时，E(X)=nP；V(X)=nP(1-P).5 .离散型随机变量方差的性质设是离散型随机变量，则其方差具有如下性质：(1)V(k)=0(k为常数)；(2)V(k)=k2V;(3)V(k)=V;(4)V(ab)=a2V(a,bR).6 .概率密度曲线(1)若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线.1(X52(2)正态密度曲线的函数表达式为P(x)：-e牙,xR,c0,-R,27.正态分布(1)若X是一个随机变量，对任给区间(a,b,P(a<X<b)恰好是正态密度

4、曲线下方和X轴上(a,b上方所围成的图形的面积；我们就称随机变量X服从参数为N和仃2的正态分布，简记为XN(二2).(2)我们将正态分布N(0,1)称为标准正态分布，通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率.8.正态密度曲线图象的特征(1)当x<R时，曲线上升；当x>R时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸以X轴为渐近线.(2)正态曲线关于直线x=N对称；(3)。越大，正态曲线越扁平；。越小，正态曲线越尖陡.(4)在正态曲线下方和X轴上方范围内的区域面积为1.修典例讲练)类型一.离散型随机变量X的数学期望例1:已知随机变量X的概率分布表是：x-101p111

5、236则E(X)等于()A.0B.-1C.-D.-32答案C1-1,11解析由E(X)=(1)M一+0父一+1父一=.2363练习1:某学校要从5名男生和2名女生中选出2人做上海世博会志愿者，若用随机变量表示选1021出的志愿者中女生的人数，则数学期望Et.(结果用最简分数表示)解析可取0,1,2,因此P伐=0)=<C7Co1P(=2)=C1,EC7221212121类型二.离散型随机变量的方差、标准差例2:已知随机变量X的分布表为:X012345P0.10.150.250.250.150.1求V(X).解析因为E(X)=0.1X0+0.15X1+0.25X2+0.25X3+0.15X4

6、+0.1X5=2.5所以V(X)=(0-2.5)20.1(1-2.5)20.15(2-2.5)20.25(3-2.5)20.25_2_2_(4-2.5)0.15(5-2.5)0.1=2.05.练习1：甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布表如下:解析E(X)=10父0.2+9父0.6+8X0.2=9,V(X1)=(10-9)20.2(9-9)20.6(8-9)20.2=0.20.2=0.4,E(X2)=100.490.280.4=9,222V(X2)=(109)父0.4+(99)父0.2+(89)M0.4=0.8,因为V(X1)<V(X2)，所以射手甲的射击水平比较稳定.类型三.二项分

7、布的数学期望与方差例3:已知随机变量七B(n,p),且E?=2.4,VU=1.44，则n,p的值为()A.8,0.3答案解析B.6,0.4C.2,0.2B由np=2.4,np(1-p)=1.44,解得n=6,p=0.4.D.5,0.6练习3:一、一.一一一.一.一一一1设随机变量U服从二项分布，即之B(n,P),且EU=3,P=，则n=7,D=解析1;E=nP=3,P=1,n=37=21,D=nP(1P)=211118类型四.离散型随机变量方差的性质例4:一次测试有25道选择题，每题选对得4分，选错或不选得0分,对每道题的概率为0.8,则这名考生在这次考试中成绩的数学期望与标准差为满分为100

8、分，某生选()A.80,8答案B.80,64C.70,4D.70,3解析答对题数为匕成绩为4之先分析£B(25,0.8),所以E?=25X0.8=20所以E(4)=4Et=80,VM=25X0.8X0.2=4所以V(4七)=42V巴=64，所以yjV=宿=8.练习4：已知的分布列如下表，设“=2t+3,则E"=()x-101p111236A.7B.4C-1D.13答案A1111.17解析E=-1x-+0x-+1x-=,E1=E(20+3)=2Et+3=父2+3=_236333类型五.数学期望与方差的计算与应用例5:一个人每天开车上班，从他家到上班的地方有6个交通岗，假设他在

9、各交通岗遇到红灯1的事件互相独立，并且概率都是1.假定他只在遇到红灯或到达上班地点时才停止前进3(1)设-为这个人的首次停止前经过的路口数.求-的分布表；(2)设刈为这个人的途中遇到红灯的次数，求州的期望和方差；(3)求这个人首次停止前已经过两个交通岗的概率解析(1)之的取值为0,1,2,3,4,5,6,P(=0)=1,P(=1)=2；P(=2)=(2)21,33333P(=3)=(331,P(=4)=(2)41,P(=5)=(2)51,P(=6)=g)6.3333333所以-的分布表如下：11114(2)由题意知：“B(6,1),则E“=6M=2,V"=np(1p)=6xx(1)=

10、£.333334(3)由(1)知P(I)=27练习5:有一名运动员投篮的命中率为0.6,现在他进行投篮训练，若没有投进则继续投篮，若投进则停止，但最多投篮5次，求他投篮次数的数学期望.解析若该运动员投篮1次，则P(：=1)=0.6;若投篮2次，则说明他第1次没有投进，而第2次投进，P(t=2)=0.4X0.6=0.24若投篮3次，则说明他前2次没有投进，而第3次投进，P注=3)=0.42x0.6若投篮4次，则说明他前3次没有投进，而第4次投进，P代=4)=0.43X0.6若投篮5次，则说明他前4次没有投进，而第5次投进与否均可，所以概率为P(t=5)=0.44x所以亡的概率分布为:所

11、以，投篮次数的数学期望为E巴=1X0.6+2X0.24+3X0.096+4X0.0384+5X0.0256=1.6496.类型六.正态密度曲线的特征例6:下面给出了关于正态曲线的四个叙述：曲线在x轴上方且与x轴不相交；当x>N时，曲线下降；当x<N时，曲线上升；当N一定时，。越小，总体分布越分散；。越大，总体分布越集中；曲线关于直线x=k对称，且当x=N时，位于最高点.其中正确的是()A.1个B.2个C.3个D.4个答案C解析、都正确，不正确，应该是当N一定时，仃越小，总体分布越集中，仃越大，总体分布越分散.194)2练习6：若f(x)=-j=e2,xWR,则下列判断正确的是()2

12、二A.f(x)有最大值，也有最小值B.f(x)有最大值，无最小值Cf(x)无最大值，有最小值D.f(x)无最大值，也无最小值答案B解析这个函数就是正态分布N(1,1)的概率密度函数.类型七.正态分布例7:已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为.答案1解析区间(-3,-1)与(3,5)的长度相等，这说明正态曲线在两个区间上对称，易知两区间关于x=1对称，所以正态分布的数学期望是1.练习7：设随机变量已服从标准正态分布N(0,1),已知(1.96)=0.025，那么P(|U|<1.96)=()A.0.025B.0.050C.

13、0.950D.0.975答案C解析由(一1.96)=1一(1.96)=0.025，得(1.96)=0.975,P(|：二1.96)=>(1.96)->(-1.96)=0.975-0.025=0.95，巷当堂检测1.若某篮球运动员投篮命中率P=0.6，则其两次投篮命中次数”的数学期望为()A.0.6B.1.2C,1.3D.0.8答案B2.设某项试验的成功率是失败率的2倍用随机变量已描述1次试验的成功次数，则P俏=0)=()1A.0B.-2答案C1C.一32D.30(x<-1),1匕一，、，.3 .已知连续型随机变量之的概率密度函数f(x)=-(-1MxM4),则P(-=3)的值

14、为()50x4,1A.一5B.0C.3D.不确定答案B4 .如果随机变量自服从N(N,0),而且P&WC)=P>C)=P,那么P等于()A.0B.0.5C.1D.不确定答案B5 .若从1,2,4,6,9这5个数字之中任取2个，则这2个数之积的数学期望是()A.8B.17.3C.9D.9.5答案B6 .两封信随机投入A,B,C三个空邮箱则A邮箱的信件数的教学期望E江.“2答案37 .某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人淇中有3名女工人，现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2

15、)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)记E表示抽取的3名工人中男工人数，求巴的分布列及数学期望31一1一.1.答案(1)因为抽取比例为=，由10M=2,5父=1得,应在甲组抽取2人，在乙组抽取1055551人.C1C18(2)从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率P=.15(3)之的可能取值为0,1,2,3P代0)CiC36代C：C6C3+C2c228P(=0)=CTCT*P(川=高CCTCT天,P(=3)=C62c2C10c575，p(=2)=1.p(=0).p(=1).p(=3)=75分布列如下表：401*3P628而31751075数学期望E=1空2型310=1.6.7575

16、758 .设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一球队获胜，若一球队胜4场，则比赛结束，假定A,B两1.队在每场比赛中秋胜的概率都是一,试求需要比赛场数£的分布列及数学期望.2答案依题意知，比赛场数的取值为4,5,6,7.11-313P(=4)二行2二,P(=5)=C：()32823131215-3131315耍:6)；。)3(7七父2=6Pd=7)=C；g3与)3力父2=行从而随机变量'的分布列为：7P18M,56125593.随机变量专的数学期望为E=45-67=.88161616当堂总结)珞家庭作业)基础巩固9 .如果两名士兵在一次射击比赛中，士兵甲得1分,2分,3分的概

17、率分别为0.4,0.1,0.5;士兵乙得1分,2分,3分的概率分别为0.1,0.6,0.3,那么两名士兵得胜希望较大的是()A.甲B.乙C.甲与乙相同D.无法确定答案B10 同时抛掷2枚相同的均匀硬币，随机变量=1表示结果中有正面向上的工=0表示结果中没有正面向上的，则E=()A.0.6B.0.75C.0.85D.0.95答案B11 如果'是离散型随机变量1=3：+2，那么()AE；=3E2Q；=9DBE；=3E,D；=3D2CE；=3E2Q.=9E4D.E；-3E4p；-3D2答案A12 某地有A,B,C,D四人先后感染了甲型H1N1流感淇中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的，对于C

18、,因为难以断定他是受A还是受B感染,于是假定他受A和受B感染的概率都是，同样也假定D2受A,B和C感染的概率都是1,在这种假定之下，B,QD中直接受A感染的人数X就是一个随机变量，X3的均值(即数学期望)=()121182.5.6.7.3答案B15.设随机变量,D=服从二项分布，即B(n,P),且Et=3,P=1,则n=18答案21;,6.在某次测量中，测量结果服从正态分布N(1,仃2)(。0),若之在(0,1)内取值的概率为0.4,则之在(0,2)内取值的概率为.答案0.87 .(2014浙江卷)随机变量X的取值为0,1,2.若P(X=0)=1,E(X)=1,则D(X)=52答案558 .(

19、2015东城二模)某校高一年级开设A,B,C,D,E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程.乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程.求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；(2)用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望.答案(1)设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”.C12C2则P(A)辛=2,P(B)=C±C33C5因为事件A与B相互独立，所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为224P(AB)A)P(B)=P(A)i,=3一,一“C2(2)设事件c

20、为“丙同学选中c课程”.则p(C)=C3C53.X的可能取值为：0,1,2,3.51224P(X=0)=P(ABC)=-=355752P(X=1)=P(ABC)P(ABC)P(ABC)=32132123=20553553557523222313333P(X=2)=P(ABC)P(ABC)P(ABC)=一35535535575P(X=3)=P(ABC)=1875X为分布列为:X0123P47520753375187528154203318140E(X)=0123-7575757575能力提升1 .如果XB(5,0.1)，那么喈w2)=()A.0.0729B.0.00856C.0.91854D.0

21、.99144答案D2 .某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X,则X的数学期望为()A.100B.200C.300D.400答案B3.1盒产品中有9件正品和3件废品，若每次取1件产品，取出后不再放回，则在取得正品前已取出的废品数2的数学期望E£=答案0.34 .某射击选手每次射击击中目标的概率为0.8,现在他连续向一个目标射击，直到第一次击中目标为止则射击次数自这一随机变量的数学期望为.-5答案:45 .从分别标有数字1,2,3,n的n张卡片中任取一张，若卡片上数字是随机变量，则的数学期望为答案6 .(2014湖

22、南卷)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.13答案(1)-151,22(2)设企业可获利润为X(万兀)，则X的可能取值为0,100,120,220,因为P(X=0)=-X-=,35151332242315-p-100)：”-，p(x=120)=3><5=p(x=220)=3><3=故所求的分布列为X0100120220P234615151515数学期望为E(X)=0/+100><W+120/+220x6=3004801320=210?=140.1515151515157 .(2015湖南)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各