测量误差概述

1、第六章 测量误差的基本知识第一节 测量误差概述iXLii二、测量误差的来源 1 1测量仪器和工具 2 2观测者 3 3外界条件的影响 由于仪器和工具加工制造不完善或校正之后残余误差存在所引起的误差。 由于观测者感觉器官鉴别能力的局限性所引起的误差。 外界条件的变化所引起的误差。观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。 观测条件相同的各次观测，称为等精度观测； 人、仪器和外界条件，通常称为观测条件。 在观测结果中，有时还会出现错误，称之为粗差。 粗差在观测结果中是不允许出现的，为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施。三、测量误差的分类系统误差偶然误差 1 1系统误差 在相同

2、观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现的符号和大小均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 系统误差在测量成果中具有累积性，对测量成果影响较大，但它的符号和大小又具有一定的规律性，一般可采用下列方法消除或减弱其影响。 （1 1）进行计算改正 （2 2）选择适当的观测方法 2 2偶然误差 在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果观测误差的符号和大小都不一致，表面上没有任何规律性，这种误差称为偶然误差。三、偶然误差的特性 偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是随着对同一量观测次数的增加，大量的偶然误差就表现出一定的统计规律性，观测次数越多，这种规律性越明显。 例如，对三角

3、形的三个内角进行测量，由于观测值含有偶然误差，三角形各内角之和l l不等于其真值180180。用X X表示真值，则l l与X X的差值称为真误差（即偶然误差），即 现在相同的观测条件下观测了217217个三角形，计算出217217个内角和观测值的真误差。再按绝对值大小，分区间统计相应的误差个数，列入表中。XLii 偶然误差的统计偶然误差的统计误差区间正误差个数负误差个数总计033029593621204169151833912141630121512102215188816182156112124224242710127以上以上000合计107110217 （1 1）绝对值较小的误差比绝对值较

4、大的误差个数多； （2 2）绝对值相等的正负误差的个数大致相等； （3 3）最大误差不超过2727。 0lim nn n 21偶然误差的四个特性： （1 1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出该限值的误差出现的概率为零； （2 2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； （3 3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同； （4 4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数n的无限增大而趋于零，即式中 偶然误差的代数和，第二节 衡量精度的标准 在测量工作中，常采用以下几种标准评定测量成果的精度。中误差相对中误差极限误差一、中误差 设在相同的观测条

5、件下，对某量进行n n次重复观测，其观测值为l l1 1，l l2 2，l ln n，相应的真误差为1 1，2 2，n n。则观测值的中误差m m为： nm 式中 真误差的平方和， 22221n 例5-15-1 设有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测，它们的真误差分别为： 甲组：1,3,2,3,4,0 ,2,4,2,3 乙组：1,3,0 ,8,1,1,2,7,1,0 试计算甲、乙两组各自的观测精度。解: 1013234024232222222222 甲甲m7 . 2 1013081127102222222222 乙乙m6 . 3 比较m m甲和m m乙可知，甲组的观测精度比乙组高。 中误差所

6、代表的是某一组观测值的精度。mDDmmK1 二、相对中误差 相对中误差是中误差的绝对值与相应观测结果之比，并化为分子为1 1的分数，即 例 丈量两段距离，D D1 1=100m=100m，m m1 1= =1cm1cm和D D2 2=30m=30m，m m2 2= =1cm1cm， 试计算两段距离的相对中误差。100001m100m01. 0111 DmmK30001m30m01. 0222 DmmK解m2P m3P 三、极限误差 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称为极限误差，也称限差或容许误差。或 如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以认为该观测值含有粗差，应舍去不

7、用或返工重测。 第三节第三节 误差的传播定律误差的传播定律 误差传播误差传播: :直接观测量的误差以一定的方式直接观测量的误差以一定的方式传递给间接观测量。传递给间接观测量。 误差传播定律：误差传播定律：是指各观测值中误差与函数是指各观测值中误差与函数中误差之间的关系。中误差之间的关系。 Y Y= =f f( (x x1 1, ,x x2 2, , ，x xn n) )广泛用来计算和评定函数值（间接观测量）广泛用来计算和评定函数值（间接观测量）的精度。的精度。如：三角形内角和如：三角形内角和W=ABC而而A、B、C的观测都是有误差的，它们的观测都是有误差的，它们的误差引起内角和的误差引起内角和

8、W也有误差，但函数也有误差，但函数的误差并不是简单的和关系。的误差并不是简单的和关系。ABCMNh1h3h5h2h4hn1. 线性函数的中误差线性函数的中误差（1）倍数函数）倍数函数 Y=kX 函数中误差函数中误差 my=kmx（2）和差函数和差函数Y=X1X2 X3 X4 Xn 函数中误差函数中误差 my2=m12 m22 m32 m42 mn2（3）线性函数线性函数 Y=k1X1 k2X2 k3X3 k4X4knXn函数中误差：函数中误差：my2=（k1m1）2 （k2m2）2 （k3m3）2 （k4m4）2 （knmn）2若为等精度观测，则若为等精度观测，则m1=m2=m3=m4=mn=

9、m2. 2. 非线性函数中误差计算步骤：非线性函数中误差计算步骤：（1 1）列函数式（变量应互相独立）；）列函数式（变量应互相独立）；（2 2）分别对各观测值（变量）求导，化）分别对各观测值（变量）求导，化为线性函数；为线性函数；（3 3）根据误差传播定律，代入线函数中）根据误差传播定律，代入线函数中误差公式计算。误差公式计算。 应用误差传播定律计算函数中误差应用误差传播定律计算函数中误差 时，应注意：时，应注意： 列出的函数式，变量之间必须是相列出的函数式，变量之间必须是相互互独立独立的，否则不能套用函数中误差公式。的，否则不能套用函数中误差公式。计算举例计算举例1. 对一段距离对一段距离S

10、进行等精度观测进行等精度观测n次，每次观测中误差次，每次观测中误差均为均为mS，求平均值中误差求平均值中误差MS=？解：平均值解：平均值S=（S1S2S3S4Sn）/ndS=（1/n）ds1 （1/n）ds2 （1/n）ds3 （1/n）ds4 （1/n）dsnMS2=（1/n）2ms12 （1/n）2ms22 （1/n）2ms32 （1/n）2ms42 （1/n）2msn2= n（1/n）2ms2 MS=（1/n）ms = ms/（前面讲过）前面讲过） nn2. 设对某三角形三个内角进行观测，设对某三角形三个内角进行观测，A角的角的中误差为中误差为30，B角中误差为角中误差为20， C角中误

11、差为角中误差为10，求三角形的内角和的，求三角形的内角和的中误差中误差m=？解：内角和解：内角和W=A+B+CmW2=mA2+mB2mc2=302+202+102=1400 mW=37.4 3. 测一矩形面积，测一矩形面积，a边长为边长为50.000.05m, b边长边长为为30.000.02m, 求矩形面积求矩形面积A及其中误差。及其中误差。解解:（1）列函数式）列函数式 A=ab=5030=1500m2 （2）分别求偏导）分别求偏导dA=bdaadb （3）代入函数中误差公式）代入函数中误差公式:mA2=(300.05)2(500.02)2 mA2 =3.25mA=1.8m2A=15001

12、.8m2算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 算术平均值算术平均值 对一个量进行等精度重复观测对一个量进行等精度重复观测n n次次, ,假设真假设真值为值为x，则每一次的真误差为，则每一次的真误差为 xLxnn xxnnLxii真值算术平均值观测值xL)(n 当观测次数当观测次数n n趋于无穷时趋于无穷时, ,平均值趋于真值。平均值趋于真值。 也就说当不知道真值时，取观测值的算术平均也就说当不知道真值时，取观测值的算术平均值为最合适值值为最合适值( (即最可靠值即最可靠值),),代替真值。代替真值。 但由于但由于n n不可能是无限大不可能是无限大, ,所以平均值不等于真所以平均值不等于真值

13、值, ,而是接近真值。而是接近真值。3.算术平均值的中误差算术平均值的中误差 如果是等精度观测如果是等精度观测, ,每个观测值的中误差每个观测值的中误差都是一样的都是一样的, ,根据误差传播定律可得算术根据误差传播定律可得算术平均值的中误差平均值的中误差M M。nmMnmmnnmnmnmnMn2222222221221111说明平均值中误差比观测值中误差提说明平均值中误差比观测值中误差提高了高了倍，但当倍，但当n大于大于20后，提后，提高不明显。高不明显。n1 5.5 用观测值的改正数计算中误差用观测值的改正数计算中误差改正数)1(nvvmnvvLvii观测值中误差观测值中误差) 1( nnvvM平均值中误差平均值中误差nmM 归纳观测精度评定归纳观测精度评