数学物理方法第六章实用教案

1、 拉普拉斯变换理论(lln)（又称为运算微积分，或称为算子微积分）是在19世纪末发展起来的首先是英国工程师亥维赛德(O.Heaviside)发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证后来由法国数学家拉普拉斯(P.S.Laplace)给出了严密的数学定义，称之为拉普拉斯变换方法 第1页/共57页第一页，共57页。 拉普拉斯（Laplace）变换(binhun)在光学等工程技术与科学领域中有着广泛的应用由于它的像原函数f(x)要求的条件比傅里叶变换(binhun)的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里叶变换(binhun)的适用面要广 本章首先从傅里叶变换(binhun

2、)的定义出发，导出拉普拉斯变换(binhun)的定义，并研究它的一些基本性质，然后给出其逆变换(binhun)的积分表达式复反演积分公式，并得出像原函数的求法，最后介绍拉普拉斯变换(binhun)的应用 第2页/共57页第二页，共57页。 傅里叶变换在分析信号的频谱等方面是十分有效的，傅里叶变换在分析信号的频谱等方面是十分有效的，但在系统分析方面有不足之处：但在系统分析方面有不足之处： 对时间函数限制严，对时间函数限制严， 是充分条件。不是充分条件。不少函数不能直接按定义求，少函数不能直接按定义求， 如增长的指数函数如增长的指数函数 eat a0 eat a0，傅里叶变换就不存在。，傅里叶变换

3、就不存在。 不能解决零输入响应问题，只能解决零状态响应。不能解决零输入响应问题，只能解决零状态响应。 求傅里叶反变换也比较求傅里叶反变换也比较(bjio)(bjio)麻烦。麻烦。|( )|f tt di(i)( )dtFf t et （一） 拉普拉斯变换(binhun)的定义第3页/共57页第三页，共57页。( ) t将函数将函数 ( ) t乘以乘以单位阶跃函数单位阶跃函数： 00( )10tu tt 得到得到 ( )( ) ( )f tt u t，则根据傅氏变换理论有，则根据傅氏变换理论有i0 ( ) ( ) ( )( ) ( )( )iddttf tt utt ut etf t et F

4、FF F很显然通过这样的处理，当很显然通过这样的处理，当 0t 时，时， ( ) t在没有定在没有定 义的情况下问题得到了解决义的情况下问题得到了解决但是但是仍然不能回避仍然不能回避 ( )f t在在 0,)上绝对可积的限制上绝对可积的限制，我们考虑到当，我们考虑到当 t 时，衰减速度很快的函数，那就是时，衰减速度很快的函数，那就是指数函数指数函数 ,(0)te于是有于是有 第4页/共57页第四页，共57页。000i(i ) ( ) ( ) ( )( )d( )d ( )d , ( i )tttttptf t et u t ef t eetf t etf t etp F FF F上式即可简写上

5、式即可简写(jinxi)为为0ptf pf t et( )( )d这是由实函数这是由实函数(hnsh) (hnsh) ( )f t通过一种新的变换通过一种新的变换(binhun)(binhun)得到的复变函数，得到的复变函数，这种变换就是我们要定义的这种变换就是我们要定义的拉普拉斯变换拉普拉斯变换为为核核.pte 第5页/共57页第五页，共57页。拉普拉斯变换拉普拉斯变换(binhun)与傅里叶变换与傅里叶变换(binhun)的关系的关系ttfis存在于整个区间傅里叶变换)(0, 0)()(ttftfis为因果信号拉普拉斯变换ttfis存在于整个区间双边拉普拉斯变换)(第6页/共57页第六页，

6、共57页。拉氏变换与傅氏变换表示拉氏变换与傅氏变换表示(biosh)信号的差别信号的差别傅里叶变换傅里叶变换 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 信号表示成指数 ei t 分量的连续和 信号表示成指数 est 分量的连续和 基本信号为：等幅的正弦信号 基本信号为：指数增长的正弦信号 振幅为 无穷小 振幅为 无穷小 频率分布于整个区间 频率分布于整个区间 2tF sse |( )|d2| )(|diF第7页/共57页第七页，共57页。定义定义(dngy) (dngy) 设设 实函数实函数 ( )f t在在0t 上有定义上有定义(dngy)(dngy)，且积分，且积分 0( )( )dptf pf t et

7、（ p为为复参变量复参变量） 上某一范围上某一范围(fnwi) (fnwi) 对复平面对复平面p收敛，则由这个积分所确定的函数收敛，则由这个积分所确定的函数0( )( )dptf pf t et称为函数称为函数 ( )f t的的拉普拉斯变换拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为，简称拉氏变换（或称为像函数），记为像函数），记为 ( ) ( )f pf tL综合傅氏变换和拉氏变换可见，傅氏变换的像函数是一个综合傅氏变换和拉氏变换可见，傅氏变换的像函数是一个实自变量为实自变量为 的复值函数，而的复值函数，而拉氏变换的像函数拉氏变换的像函数则是一个复则是一个复变数变数 p的复值函数，由式（的复值函数，由

8、式（.1）式可以看出，）式可以看出， ( ) (0)f tt 第8页/共57页第八页，共57页。的拉氏变换的拉氏变换(binhun)(binhun)实际上就是实际上就是 ( ) ( ),(0)tf t u t e的傅氏变换的傅氏变换(binhun) (binhun) （其中（其中(qzhng) (qzhng) ( )u t为单位阶跃函数），因此拉氏变换实质上就是为单位阶跃函数），因此拉氏变换实质上就是 一种单边的广义傅氏变换一种单边的广义傅氏变换，单边是指积分区间从，单边是指积分区间从0 0到到 广义是指函数广义是指函数 ( )f t要乘上要乘上 ( ) (0)tu t e之后

9、再之后再作傅氏作傅氏变换变换 例例1 1 求拉氏变换求拉氏变换 1LRe0p ip0解解 在在 ,(,(按照假设按照假设 ) ) 即为即为的半平面，的半平面，011d,ptetp第9页/共57页第九页，共57页。00002021dd()11 =d11 =d,1 = (Re0) ptptptptpttettepteetppetpptppL同理有同理有例例2 2 求拉氏变换求拉氏变换(binhun) (binhun) .tL解解 在在 Re0p 的半平面的半平面(pngmin), (pngmin), 1! = nnntpL第10页/共57页第十页，共57页。()()00011dd 1 (ReRe

10、)stptp s tp s tste etetep sp sepsp sL请记住这个积分以后请记住这个积分以后(yhu)(yhu)会经常用到会经常用到例例3 3 求拉氏变换求拉氏变换(binhun) (binhun) ,stesL为常数为常数(chngsh).(chngsh).解解 在在 ReReps的半平面上的半平面上第11页/共57页第十一页，共57页。解 (i )(i )001sinsindd2iptptpttteteetL22111, Re02iiipppp 同理同理 22cos, Re0ptppL例例 4 4 若若 ( )sinf tt或或 cos( t 拉氏变换拉氏变换(binhu

11、n) (binhun) 为实数为实数(shsh)），求），求 ( )f tL第12页/共57页第十二页，共57页。例例5 5 求拉氏变换求拉氏变换(binhun) (binhun) ,sttesL为常数为常数(chngsh). (chngsh). 解解 在在 ReReps的半平面的半平面(pngmin)(pngmin)上，上， ()00()()00221dd1 d 1 =()1 (ReRe )() stptp s tp s tp s tstte ettepsteetpspstepspsL同理同理 1! ()nstnnt epsL第13页/共57页第十三页，共57页。 （二）拉氏变换的存在（二）

12、拉氏变换的存在(cnzi)(cnzi)定理定理定理定理 拉氏变换拉氏变换(binhun)(binhun)存在定理存在定理若函数若函数(hnsh) (hnsh) )(tf满足下述条件：满足下述条件： （1 1）当）当 0t( )0f t 0t )(tf时，时，当当时，时，在任一有限区间上分段连续；在任一有限区间上分段连续； （2 2）当）当 t时，时， )(tf的增长速度不超过某一的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数指数函数，即存在常数M及及 00，使得，使得 tMetft0,)(0则则 ( )( )f tf pL在半平面在半平面 0Rep上存上存在且解析在且解析00000( )dd,tpt

13、Mf t etMet 证明证明：证明：证明 0( )( )dptf pf t et存在由第14页/共57页第十四页，共57页。所以上述积分绝对所以上述积分绝对(judu)(judu)收敛，且收敛，且 ( )f p在右半平面在右半平面(pngmin) (pngmin) 0Rep存在存在(cnzi)(cnzi) 然后证明然后证明 ( )f p解析为此，在积分号内对解析为此，在积分号内对 p并取并取 求偏求偏导数，101 (为任意实常数），则有为任意实常数），则有10200010()d()ddtptptMf t etf t etM tetpp 故积分故积分 0 ( )dptf t etp在半平面在半

14、平面 0Rep上一致收敛，上一致收敛，可交换积分与微商的次序可交换积分与微商的次序，即，即 20010ptptMf pf t etf t etppp dd( )( )d( )ddd( )f p0Rep( )f p0Rep故故的导数在的导数在且有限，可见且有限，可见在半平面在半平面内解析内解析上处处存在上处处存在第15页/共57页第十五页，共57页。为为( )f p的拉普拉斯逆变换，简称的拉普拉斯逆变换，简称(jinchng)拉氏逆变换（或称为拉氏逆变换（或称为原函数），记为原函数），记为 1( ) ( )f tf pL为了为了(wi le)(wi le)计算拉氏逆计算拉氏逆 变换的方便变换的方

15、便(fngbin)(fngbin)，下面给出拉氏逆变换的具体表达式，下面给出拉氏逆变换的具体表达式实际上实际上( )f t的拉氏变换，就是的拉氏变换，就是 ( ) ( )tf t u t e(0)的傅氏变换的傅氏变换. .因此，当因此，当 ( ) ( )tf t u t e满足傅氏满足傅氏 积分定理的条件时，根据傅里叶积分公式，积分定理的条件时，根据傅里叶积分公式， ( )f t在连续点处在连续点处（三）（三） 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换定义定义 拉氏逆变换拉氏逆变换若满足式：若满足式： 0( )( )dptf pf t et，我们称 ( )f t第16页/共57页第十六页，共57页。iii

16、(i )0i1( ) ( )( ) ( )d d21 =( )d d21 =(i )d (0)2ttttf t u t efueeeefefet 等式等式(dngsh)(dngsh)两端同乘两端同乘 te，并注意，并注意(zh y)(zh y)到这个因子与积分变量到这个因子与积分变量 无关无关(wgun)(wgun)，故故 0t 时时 (i)1( )(i )d2tf tfe令令 ip，则有，则有第17页/共57页第十七页，共57页。ii1( )( )d (0)2iptf tf p ept 上式为上式为 ( )f p的拉普拉斯逆变换式，称为的拉普拉斯逆变换式，称为(chn(chn wi) wi)

17、拉氏逆变换式拉氏逆变换式记为记为 1( ) ( )f tf pL并且并且(bngqi) (bngqi) ( )f t称为称为(chn(chn wi) wi) ( )f p的拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换（或称为像原函拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换（或称为像原函数或原函数）原函数） 称为黎曼梅林反演公式，这就是从像函数求原函数称为黎曼梅林反演公式，这就是从像函数求原函数的的上式右端的积分称为拉氏反演积分公式上式右端的积分称为拉氏反演积分公式 一般公式一般公式 注意：公式注意：公式 0( )( )dptf pf t et和公式和公式 ii1( )( )d , (0)2iptf tf p ept 构

18、成一对互逆的构成一对互逆的积分变换公式，积分变换公式， 也称也称 和和构成一组拉氏变换对。构成一组拉氏变换对。( )f t( )f p第18页/共57页第十八页，共57页。( (四四) ) 拉氏变换拉氏变换(binhun)(binhun)的性质的性质取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换存在定理取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换存在定理(dngl)的条件的条件 实际实际(shj)(shj)应用中我们总结出一些规律：即拉氏变换的些基本一应用中我们总结出一些规律：即拉氏变换的些基本一性质性质通过这些性质使得许多复杂计算简单化通过这些性质使得许多复杂计算简单化我们约定需要我们约定需要120012( )d(

19、)d( )( )ptptf t etf t etf tf tLL证明证明12120( )( )( )( )dptf tf tf tf t etL性质性质1 1 线性定理线性定理若, 为任意常数，且为任意常数，且 1122( )( ),( )( )fpf tfpf tLL则则1212( )( ) ( )( )f tf tf tf t LLL第19页/共57页第十九页，共57页。例例6 6 求求 sh,atLchatL解22111sh 22atateeaatpapapaLL22111ch 22atateepatpapapaLL第20页/共57页第二十页，共57页。若设若设为非负实数为非负实数(sh

20、sh)(shsh)， ( )( )f tf pL，又当，又当 0t 时，时， ( )0f t ，则，则 ()( ) ( )ppf tef pef t LL或或 1( )()pef pf tL证明证明 由定义由定义(dngy)(dngy)出发，随后令出发，随后令 tu，可得，可得 ()0 ()()d( )dptp uf tf tetf u euL性质性质(xngzh)2 (xngzh)2 延迟定理延迟定理0u )(uf利用利用时，时，=0=0，积分下限可改为零，故得，积分下限可改为零，故得0 ()( )d ( )ppupf tef u euef tLL第21页/共57页第二十一页，共57页。例例

21、7 7 已知已知 000, (0)( ), (0)0, ()tf tctttt ，求 ( )L f t解解 用阶跃函数用阶跃函数(hnsh)(hnsh)表示表示 )(tf)()()(0ttcHtcHtf再利用线性定理再利用线性定理(dngl)及延迟定理及延迟定理(dngl)，有，有000 ()()()1ptptf tcH tcH t tccceepppLLL第22页/共57页第二十二页，共57页。性质(xngzh)3 位移定理 若 ( )( )f tf pL，则有，则有 0( )(), (Re()atef tf papapL0p( )f t其中其中(qzhng)(qzhng)是是的增长的增长(

22、zngzhng)(zngzhng)指数指数证明证明 根据定义根据定义00()( )( )d ( )()atatptp a tef tef t etf t edtf paL第23页/共57页第二十三页，共57页。例例8 8 求求 tteL解解 令令 )(tft( ) ( ) f pf ttLL= =，则由，则由 得得 21 tpL= =( )f p 利用利用(lyng)(lyng)位移定理位移定理 ( )()ate f tf paL，即有，即有 21()()ttef ppL第24页/共57页第二十四页，共57页。性质性质4 4 相似相似(xin(xin s) s)定理定理 设设 ( )( )f

23、tf pL，则对于，则对于(duy)(duy)大于零大于零的常数的常数(chngsh) (chngsh) c，有，有 1 ()()pf ctfccL证明证明由定义出发，随后作变量代换由定义出发，随后作变量代换 ctu ，则，则00 ( )( )d( )dupptcuf ctf ct etf u ecL011( )()pucpf u edufccc第25页/共57页第二十五页，共57页。性质性质(xngzh)5 (xngzh)5 微分定理微分定理 设设 ( )( )f tf pL( )( ) (1,2,)nftn 存在存在(cnzi)(cnzi)且分段连续，则且分段连续，则(22( )12(1)

24、 ( ) ( )(0)( ) ( )(0)(0)( ) ( )(0)(0)()00)nnnnnnpff tpf tff tpf tpffftpf tpfpffLLLLLL证明证明 由定义由定义(dngy)(dngy)出发，随后用分部积分，可得出发，随后用分部积分，可得 000( )( )d( )( )dptptptf tf t etf t epf t etL(0)()( )(0) fpfppf tfL第26页/共57页第二十六页，共57页。)(tf )(tf同理，用同理，用取代取代(qdi)(qdi)上述的上述的，可得，可得( )( )(0)ftpftfLL2 ( )(0)(0) ( )(0)

25、(0)p pf tffpf tpffLL继续继续(jx)(jx)作下去，即得所证作下去，即得所证特别特别(tbi)(tbi)地，当地，当 ()(0)0 (0,1,2,1)kfkn则则 ( ) ( )nnftpf tLL第27页/共57页第二十七页，共57页。性质性质(xngzh)6 (xngzh)6 像函数的微分定理像函数的微分定理( )()( )ddnnnf ptf tpL证明证明 在拉氏变换定义在拉氏变换定义(dngy)(dngy)式两边对式两边对 p求导求导00dd( )( )d ( )dddptptf pf t etf t etppp0() ( )d() ( )ptt f t ett

26、f tL2200dd( )() ( )d() ( )dddptptf pt f t ett f t etppp220()( )d()( )pttf t ettf tL继续继续(jx)(jx)作下去，即得所证作下去，即得所证 第28页/共57页第二十八页，共57页。性质性质(xngzh)7 (xngzh)7 积分定理积分定理 设设 ( )( )f tf pL，则，则 011( ) ( )( )tfdf tf pppLL证明证明(zhngmng) (zhngmng) 设设 0( )( )dtg tf，则，则 0)0(),()(gtftg由微分由微分(wi fn)(wi fn)定理，有定理，有 (

27、) ( )(0) ( )g tpg tgpg tLLL即即 1 ( )( )g tg tpLL第29页/共57页第二十九页，共57页。由由)()(tftg可得可得0111( ) ( )( ) ( )( )tfdg tg tf tf ppppLLLL一般地对应一般地对应n n重积分重积分(jfn)(jfn)，我们有，我们有0001( )( )tttndtdtfdf ppL第30页/共57页第三十页，共57页。d( )()pf tf ppt L 证明证明(zhngmng) (zhngmng) 由拉氏变换的定义式出发，随后交换积分次序由拉氏变换的定义式出发，随后交换积分次序00d()d( )dd(

28、)dp tp tpppf ppf t etpepf tt00( )( )d( )dp tptppeef tf ttf tttttL上面交换积分次序上面交换积分次序(cx)(cx)的根据是的根据是 0( )p tf t edt在满足在满足(mnz) (mnz) 性质性质8 8 像函数的积分定理像函数的积分定理0Re p条件下是一致收敛的条件下是一致收敛的 第31页/共57页第三十一页，共57页。性质性质(xngzh)9 (xngzh)9 拉氏变换的卷积定理拉氏变换的卷积定理(1) 定义(dngy) 8.3.1 拉氏变换的卷积前一章我们学习了傅氏变换的卷积概念前一章我们学习了傅氏变换的卷积概念(g

29、inin)(ginin)和性质，当和性质，当12( ),( )f tf t是是 (,) 上绝对可积函数时，上绝对可积函数时，它们的卷积是它们的卷积是 1212( )*( )( )()df tftfft0t 12( )( )0f tft如果当如果当时，有时，有，则上式可写为，则上式可写为1212001212( ) ()* ()( ) ()d( ) ()ddttff tf t f tff tff t 12120( )* ( )( ) ()d tf tf tff t 因为在拉氏变换中总认为因为在拉氏变换中总认为 0t 时，像函数时，像函数 ( )f t因此把上式定义为因此把上式定义为拉氏变换的卷积拉

30、氏变换的卷积恒为零，恒为零，第32页/共57页第三十二页，共57页。 （2 2）拉氏变换）拉氏变换(binhun)(binhun)的卷积定理的卷积定理 1212( )( )( )( )f tftf tftLLL 证明证明 首先由卷积定义及拉氏变换定义出发，随后交换积分首先由卷积定义及拉氏变换定义出发，随后交换积分 次序，并作变量次序，并作变量(binling)(binling)代换：代换： tu121201200 ()() ()( ) ()d)ddptptf tf tf tf tteeftft L1200()120( )d()d( )d( )dptp uff tetff u eu 第33页/共

31、57页第三十三页，共57页。0u)(uf由于由于(yuy)(yuy)当当时时=0 =0 ，第二个积分下限可写成，第二个积分下限可写成零，再将零，再将 pe提出提出(t ch)(t ch)第二个积分号外，便有第二个积分号外，便有 121200( )( )( )d( )dppuf tf tfef u euL1212( )( )( )( )f tf tfpfpLL应用拉普拉斯变换应用拉普拉斯变换(binhun)(binhun)法时经常要求法时经常要求 1 ( )f pL，若，若 ( )f p能分解为能分解为 12( )( )f p fp，对上式作逆变换，即有，对上式作逆变换，即有-1-11212 (

32、 )( )( )( )( )f pfp fpf tf tLL第34页/共57页第三十四页，共57页。6.2 6.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换(binhun)(binhun)查表法部分分式展开法留数法应用拉氏变换的性质第35页/共57页第三十五页，共57页。部分分式部分分式(fnsh)展开展开法法 用部分用部分(b fen)(b fen)分式展开法求拉普拉斯反变换，分式展开法求拉普拉斯反变换， 一般为有理函数。一般为有理函数。单极点：单极点：D(p)=0D(p)=0的根也称为的极点。的根也称为的极点。( )( )( )N pF pD p1( )niiiKf ppp)2 , 1(nipi()

33、( )iiispKppf pnitpiteKtfi1)()(第36页/共57页第三十六页，共57页。例例 1 1已知已知 ，求，求 f ( (t) )。22216( )(56)(12)pf pppp解：解：2312216( )(2)(3)(12)2312KKKpf ppppppp212216242.4(3)(12)10ppKpp22321634(2)(12)9ppKpp2312216304152(2)(3)9045ppKpp)(451529344 . 2)(1232teeetfttt第37页/共57页第三十七页，共57页。 多重极点(jdin)： 若 D(p)=(p p1)n, 令 n=331

34、232111( )()()KKKf ppppppp1311()( )ppKppf p1321d()( )dppKppf pp1233121 d()( )2 dppKppf pp)(2)(1113221teKetKetKtftptptp第38页/共57页第三十八页，共57页。 例例 2 2已知已知 ，求，求 f (t)。解：321( )(1)f ppp351243321( )(1)(1)11KKKKKf ppppppppp120111pKp 222020(1)ppKp222324012(1)4 (1)212(1)ppp ppKp 43111(1)2pKpp53111(1)2pKpp)(21211

35、21)(2teettftt第39页/共57页第三十九页，共57页。 复数(fsh)极点： 若 D(p)=(p -i )(p +i ) , 其根为 p1,2= i 1222( )ii()KKMsNf pppp1i11(i ) ( )|ipKpf pKAB由于由于f(p)是是p的实系数有理函数的实系数有理函数(yu l hn sh)，应有，应有2111|KKKAiB第40页/共57页第四十页，共57页。 原函数的形式原函数的形式(xngsh)之一之一11(i )(i )12ii(i )(i )11( )|ttttf tK eK eKe eKee11i()i()111|2|cos() ( )tttt

36、KeeeKett 12( )iiKKf ppp11| KK第41页/共57页第四十一页，共57页。 原函数的形式原函数的形式(xngsh)之二之二12( )iiKKF sssiKAB(+i )(-i )12(i )(i )( )()()ttttf tK eK eAiB eAiB e iiii ()()2cossin ( )tttttteA eeiB eeeAtBtt 第42页/共57页第四十二页，共57页。 原函数的形式原函数的形式(xngsh)之三之三22( )()MpNf pp22cos( )()tpettp 22sin( )()tettp 2222()()()M pMNpp)()sinc

37、os()(tteNMtMetftt第43页/共57页第四十三页，共57页。例例3 3已知已知 ，求，求 f (t)。21( )(25)f pp pp解一：解一： 解得：解得：2250pp1,21 i2 p122( )1 i21 i2 KKKf pppp12011255pKpp12121115902153.4(1 i2)(1 i2) i4204 5 piKtgp p)()4 .1532cos(10551)(ttetft解二：解二：12011255pKpp21 i211111i(1 i2)(1 i2) i48i41020 sKp p)(2sin1012cos5151)(ttetetftt第44页/

38、共57页第四十四页，共57页。留数法留数法ii1( )( )d2 i p tf tf p epkRes() ( )kp tkp Spsf p e1k11dRes()( )(1)! dknnp tknp Spsf p ensi00ABCi00ABCt0封闭积分路线封闭积分路线0)(Res1jtABepftpmj以右的极点在0)(Res1itABepftpni以左的极点在第45页/共57页第四十五页，共57页。留数法的特点留数法的特点(tdin) 在单边拉普拉斯变换中，留数法与部分分式展在单边拉普拉斯变换中，留数法与部分分式展开法一致。开法一致。 留数法比部分分式展开法应用广泛一些。如无留数法比部

39、分分式展开法应用广泛一些。如无理函数、双边理函数、双边(shungbin)(shungbin)拉普拉斯变换等。拉普拉斯变换等。 运用留数法反求原函数时应注意到，因为冲激运用留数法反求原函数时应注意到，因为冲激函数及其导数不符合约当引理，因此当原函数函数及其导数不符合约当引理，因此当原函数 f (t)f (t)中包含有冲激函数及其导数时，需先将中包含有冲激函数及其导数时，需先将F(s)F(s)分解为多项式与真分式之和，由多项式决分解为多项式与真分式之和，由多项式决定冲激函数及其导数项，再对真分式求留数决定冲激函数及其导数项，再对真分式求留数决定其它各项。定其它各项。第46页/共57页第四十六页，

40、共57页。例例4 4解：用留数法，在以左围线包含解：用留数法，在以左围线包含(bohn)的极点的留数为：的极点的留数为： 已知已知 ，求，求 f (t)。asassFRe1)(ia0ABC00t0teta)(tfkRes() ( )kp tkp Spsf p e第47页/共57页第四十七页，共57页。已知已知 ，求，求 f (t)。asassFRe1)(解：用留数法，在以右围线包含解：用留数法，在以右围线包含(bohn)(bohn)的极点的留数为：的极点的留数为：ia0ABC00t0tet a)(tfkRes() ( )kp tkp Spsf p e第48页/共57页第四十八页，共57页。解：

41、用留数法，在以左和以右围线各包解：用留数法，在以左和以右围线各包含含(bohn)一个极点。一个极点。原函数为：原函数为：已知 ，求 f (t)。0tet b0teta)(tf11( )Re f papbpabpia-0b或)()()(tetetftatb第49页/共57页第四十九页，共57页。拉普拉斯变换拉普拉斯变换(binhun)的性质的性质序号时域 f(t)复频域 F(s)1线性性a f1 (t)+b f2 (t)aF1 (s)+bF2 (s)2尺度性f (at) a03时移性f (t-t0) (t-t0) t004频移性f (t) e-a tF(s+a)5时域微分sF(s)f (0-)6时域积分7复频域微分(-1)n t n f(t)8复频域积分9时域卷积f1 (t)* f2 (t)F1(s)F2(s)10复频域卷积f1 (t) f2 (t)11初值定理12终值定理asFa1)(0sFet