经济数学-两个重要极限

1、一、夹逼准则一、夹逼准则二、单调有界收敛准则二、单调有界收敛准则四、连续复利四、连续复利极限存在准则极限存在准则两个重要极限两个重要极限第五节第五节三、两个重要极限三、两个重要极限连续复利连续复利一、夹逼准则准则准则 如果数列如果数列nnyx ,及及 nz满足下列条件满足下列条件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末数列那末数列nx的极限存在的极限存在, , 且且axnn lim. . 证证,azaynn使使得得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn时恒有时恒有当当,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nn , ayan即即,

2、2 azNnn时时恒恒有有当当, azan上两式同时成立上两式同时成立, azxyannn,成成立立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则准则 如果当如果当),(00 xUx ( (或或Mx ) )时时, ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意: :.,的的极极限限是是容容易易求求的的与与并并且且与与键键是是构构造造出出利利用用夹夹逼逼准准则则求求极极限限关关nn

3、nnzyzy准则准则 I和和准则准则 I称为称为夹逼准则夹逼准则.例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn例例2 求求.)321(lim1nnnn 解解由由,313213)321(11nnnnnn 易见对任意自然数易见对任意自然数,n有有, 3313211 nn故故.3331321313111nnnnn 而而, 313lim1 nn, 333lim1 nn所以所以例例2 求求.)321

4、(lim1nnnn 解解 而而, 313lim1 nn, 333lim1 nn所以所以nnnn1)321(lim . 3 nnnn1313213lim 例例3解解求求.)(1)1(11lim222 nnnnn设设.)(1)1(11222nnnnxn 显然显然 ,2222)2(1)2(1)2(141nnnnn nx 22221111nnnnn 又又, 041lim2 nnn, 01lim2 nnn由夹逼准则知由夹逼准则知, 0lim nnx即即. 0)(1)1(11lim222 nnnnn例例4解解求求.!limnnnn 由由nnnnnnnn 321!nnnnnnn 21,22n 易见易见.2!

5、02nnnn 又又. 02lim2 nn所以所以. 0!lim2 nnn例例 5 求极限求极限.coslim0 xx解解 因为因为,2222sin2cos10222xxxx 故由准则故由准则 I, 0)cos1(lim0 xx故故. 1coslim0 xx得得二、单调有界准则二、单调有界准则如果数列如果数列满足条件满足条件nx,121 nnxxxx,121 nnxxxx单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. .例如例如, ,单调增加数列单调增加数列: :单调减少数列单调减少数列: :.11nxn .11nxn x1x2x3x1 nx

6、nx几何解释几何解释:AM例例6证证设有数列设有数列, 31 x,312xx ,31 nnxx求求.limnnx 显然显然,1nnxx nx是单调递增的是单调递增的. .下面利用数学归纳法证明下面利用数学归纳法证明nx有界有界. .因为因为, 331 x假定假定, 3 kx则则kkxx 3133 . 3 所以所以nx是有界的是有界的. . 从而从而Axnn lim存在存在. .由递推关系由递推关系,31nnxx 得得,321nnxx 即即,32AA ),3(limlim21nnnnxx 故故解得解得,2131 A2131 A(舍去舍去). .所以所以.2131lim nnxAC1.作为准则作为

7、准则 的应用，下面证明一个重要的极的应用，下面证明一个重要的极限限1sinlim0 xxx,O设设单单位位圆圆如如右右图图，,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得作单位圆的切线,xOAB的圆心角为扇形,BDOAB的高为 (0)2AOBxx 圆圆心心角角三、两个重要极限三、两个重要极限,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又.

8、 1sinlim0 xxx例例7解解求求.tanlim0 xxxxxxxxxxcos1sinlimtanlim00 xxxxxcos1limsinlim00 . 1 例例8解解求求.5sin3tanlim0 xxxxxxxxxx3cos15sin3sinlim5sin3tanlim00 xxxxxx3cos15355sin33sinlim0 15311 .53 例例9解解求求.cos1lim20 xxx 原式原式2202sin2limxxx 22022sinlim21 xxx2022sinlim21 xxx2121 .21 例例1010 求求xxxarcsinlim0解解: 令令,arcsin

9、xt 则则,sintx 因此因此原式原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例10解解下列运算过程是否正确下列运算过程是否正确: :xxxxxxxxsintanlimsintanlim xxxxxxsinlimtanlim . 1 这种运算是错误的这种运算是错误的. . 当当0 x时时, , 1tanxx, 1sinxx本题本题 , x所以不能应用上述方法进行计算所以不能应用上述方法进行计算. .例例11下列运算过程是否正确下列运算过程是否正确: :xxxsintanlim 正确的作法如下正确的作法如下. .令令, tx 则则; tx 当当 x时时, , 0t)sin()tan(l

10、imsintanlim0ttxxtx . 1sintanlim0 ttttt于是于是tttsintanlim0 例例12解解计算计算.cossin1lim20 xxxxx xxxxxcossin1lim20 xxxxxxxxcossin1)cossin1(lim20 220sincos1)cossin1limxxxxxxxxx 12111 .34 exxx )11(lim定义定义ennn )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 2、准则、准则的应用，可以证明一个重要

11、的极限的应用，可以证明一个重要的极限).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显显然然 ;是是单单调调递递增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是是有有界界的的nx.lim存存在在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似地类似地,因因此此的的极极限限都都存存在在且且等等于于时时，函函数数或或取取实实数数而而趋趋向向可可以以证证明明，当当,)11(exxx .)11(limexxx ezzxxzzz 10)1(lim,01于于是是有有

12、时时，则则当当利利用用代代换换例例13解解求求.11lim3 nnn311lim nnn 31111limnnnn31111lim nnnn1 e. e 例例14解解.)21(lim10 xxx 求求xxx10)21(lim 2210)21(lim xxx.2 e例例15解解求求.11limxxx xxx 11limxxx 11lim111lim xxxxxx 111lim.1e 例例16解解求求.23lim2xxxx xxxx223lim 2211lim xxx222211lim xxx422211211lim xxxx.2e 例例17解解求求.1lim22xxxx xxxx 1lim22x

13、xx 111lim211222111lim xxxxx0e . 1 例例1818解解.)1ln(lim0 xxx 求求. 1ln)1(limln)1ln(lim)1ln(lim10100 exxxxxxxxx例例1919解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有时时则则当当uuu)1ln(1lim0 . 1 三、单利与复利三、单利与复利利息是指借款者向货款者支付的报酬利息是指借款者向货款者支付的报酬, ,它是根据本它是根据本金的数额按一定比例计算出来的金的数额按一定比例计算出来的. .利息又有存款利利息又

14、有存款利单利计算公式单利计算公式 设初始本金为设初始本金为p(元元), ,银行年利率为银行年利率为. r则第一年末本利和为则第一年末本利和为rppS 1)1(rp 则第二年末本利和为则第二年末本利和为rprpS )1(2)21(rp 第第n年末的本利和为年末的本利和为)1(nrpSn 息息、债款利息、贴现利息等债款利息、贴现利息等货款利息、货款利息、几种主要形式几种主要形式.复利计算公式复利计算公式 设初始本金为设初始本金为p(元元), ,银行年利率为银行年利率为. r则第一年末本利和则第一年末本利和rppS 1)1(rp 则第二年末本利和则第二年末本利和)1()1(2rrprpS 本金本金利

15、息利息2)1(rp 若若n年末的本利和为年末的本利和为nnrpS)1( 四、多次付息四、多次付息现在来讨论每年多次付息的情况现在来讨论每年多次付息的情况. .单利付息情况单利付息情况 因每次的利息都不计入本金因每次的利息都不计入本金, ,故若故若一年分一年分n次付息次付息, , 则年末的本利和为则年末的本利和为)1(nrnpS )1(rp 即年末的本利和与支付利息的次数无关即年末的本利和与支付利息的次数无关. .复利付息情况复利付息情况 因每次支付的利息都记入本金因每次支付的利息都记入本金, ,故故年末的本利和支付利息的次数是有关系的年末的本利和支付利息的次数是有关系的. .设初始本金为设初始

16、本金为p(元元), ,年利率为年利率为, r息息, 则一年末的本利和为则一年末的本利和为若一年分若一年分m次付次付mmrpS)1( 易见本利和是随易见本利和是随m的增大而增加的的增大而增加的. .本利和为本利和为而而n年末的年末的mnnmrpS)1( 五、连续复利五、连续复利设初始本金为设初始本金为P(元元), ,年利率为年利率为, r按复利付息按复利付息, ,m一年分一年分次付息次付息, ,则第则第t年末的本利和为年末的本利和为若若mttmrPS)1( 利用二项展开式利用二项展开式, ,有有,1)1(rmrmt 因而因而tmtrPmrP)1()1( )0( t即一年计算即一年计算m次复利的本

17、利次复利的本利复利的本利和要大复利的本利和要大, ,且复利计算次数愈频繁且复利计算次数愈频繁, ,计算计算和比一年计算一次和比一年计算一次复利的本利和要大复利的本利和要大, ,且复利计算次数愈频繁且复利计算次数愈频繁, ,计算计算所得的本利和数额就愈大所得的本利和数额就愈大, , 但是也不会无限增大但是也不会无限增大,因为因为mtmmrP)1(lim rtrmmmrP )1(limrtPe 所以所以, ,本金为本金为,P按名义年利率按名义年利率r不断计算复利不断计算复利, , 则则t年后的本利和年后的本利和rtPeS 注注:连续复利的计算公式在其它许多问题中也常有连续复利的计算公式在其它许多问

18、题中也常有应用应用如细胞分裂、树木增长等问题如细胞分裂、树木增长等问题. .例例20一投资者欲用一投资者欲用1000元投资元投资5年年, , 设年利率为设年利率为%,6试分别按单利、复利、每年按试分别按单利、复利、每年按4次复利和连续次复利和连续复利付息方式计算复利付息方式计算, , 到第到第5年末年末, ,该投资者应得的本该投资者应得的本利和利和.S解解按单利计算按单利计算506. 010001000 S1300 (元元). .按复利计算按复利计算5)06. 01(1000 S33823. 11000 23.1338 (元元). .按每年计算复利按每年计算复利4次计算次计算54)406. 0

19、1(1000 S20015. 11000 34686. 11000 86.1346 (元元). .按连续复利计算按连续复利计算506. 01000 eS3 . 01000 e 86.1349 (元元). .思考题思考题求极限求极限 xxxx193lim 思考题解答思考题解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e四、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .; 1sinlim10 某某过过程程.)1(lim210e 某某过过程程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 思考题思考

20、题 有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产小兔一对. 而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后每月亦生产小兔一对. 假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？并求出许多年后，兔子总对数的月增长率. 解解 若用“”、“”分别表示一对未成年和成年的兔子，则根据题设有下面的小兔繁殖数量图： 去年12月 1今年 1 月 12 月 23 月 34 月 55 月 86 月 13 从上图可看出, 从三月份开始, 每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和. 按此规律可写出数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233可见一年后共有兔子233对. 按上述规律写出的无限项数列为著名的斐波那契(Fibonacci)数列, 其通项为 1125125151nnnF且此数列有递推关系：), 2 , 1 , 0(12nFFFnnn月相对就是第则记1%100) 1(,1nbFFbnnnn第n月的兔子对数的增长率 nnbnlim), 2 , 1 , 0(若数的月就表示许多年后兔子对则存在) 1lim(,nnb增长率。nnblim存在的证明及求法如下：证), 2 , 1(111111110nbFFFFFFFbbnnnnnnnnn用数学归纳法容易证明：数列2nb是单调增加的；数列12 nb是