第十四章超静定结构

1、第十四章第十四章 超静定结构超静定结构 14.1 14.1 超静定结构概述超静定结构概述14.2 14.2 用力法解超静定结构用力法解超静定结构14.3 14.3 对称及反对称性质的利用对称及反对称性质的利用14.4 14.4 连续梁及三弯矩方程连续梁及三弯矩方程一、定义一、定义 用静力学的平衡方程无法确定全部约束力用静力学的平衡方程无法确定全部约束力和内力的和内力的结构，统称为结构，统称为静不定结构静不定结构，也称为也称为超静定结构超静定结构。二、静不定结构二、静不定结构( (超静定结构超静定结构) )qF F A B D C 超静定结构的一些支座往往并不是维持几何不变所超静定结构的一些支座

2、往往并不是维持几何不变所必需的。这类约束称为必需的。这类约束称为多余约束多余约束。与多余约束对应的约束力称为与多余约束对应的约束力称为多余约束力多余约束力。F1 F2 qF1 F2 F 外静不定外静不定：静不定结构的外部支座反：静不定结构的外部支座反力不能全由静力平衡方程求出的情况，常力不能全由静力平衡方程求出的情况，常称为外静不称为外静不定结构。定结构。内静不定内静不定：静不定结：静不定结构内部约束形成的内力不构内部约束形成的内力不能单由静力平衡方程求出能单由静力平衡方程求出的情况称为内静不的情况称为内静不定结构。定结构。混合静不定结构混合静不定结构：内、外静不定兼而有之的结构。内、外静不定

3、兼而有之的结构。三、三、静不定次数静不定次数的确定的确定根据结构约束性质可确定内、外约束力总数，内、根据结构约束性质可确定内、外约束力总数，内、外约束力总数与独立静力平衡方程外约束力总数与独立静力平衡方程总数之差即为静不定总数之差即为静不定结构的静不定次数。结构的静不定次数。qF1 F2 F 一次一次 二次二次 三次三次 一次一次 基本静定系基本静定系：解除静不定系统的某些约束后得到的解除静不定系统的某些约束后得到的静定系统，称为原静不定系统的静定系统，称为原静不定系统的基本静定系基本静定系( (静定基静定基) )。四、基本静定系四、基本静定系( (静定基静定基) )、相当系统、相当系统 基本

4、静定系可以有不同的选择，不是惟一的。基本静定系可以有不同的选择，不是惟一的。FR1 FR2 FR1 FR3 相当系统相当系统：在基本静定系上加上外载荷以及多余约在基本静定系上加上外载荷以及多余约束力，这样的系统称为原静不定系统的束力，这样的系统称为原静不定系统的相当系统相当系统。一次超静定梁。解除多余约束一次超静定梁。解除多余约束支座支座 B，得，得基本静定系基本静定系，并以，并以多余约束力多余约束力X1代替它。称为代替它。称为相相当系统当系统。F ACBABX1 用力法解超静定结构用力法解超静定结构al F ACBX1 ACF B1F 1X1 ACB1 11 01111FX11111XX11

5、11XF0上式称为上式称为变形协调方程变形协调方程。 代入上式，得代入上式，得 上式称为上式称为正则方程正则方程。 用力法解超静定结构用力法解超静定结构上述求解超静定结构的方法，以上述求解超静定结构的方法，以“力力”为基本未知为基本未知量，称为量，称为力法力法。与与6.5 6.5 中的方法比较，除使用的记号略有差别以中的方法比较，除使用的记号略有差别以外，并无原则的不同。但力法的求解过程更为规范化，外，并无原则的不同。但力法的求解过程更为规范化，这对求解高次超静定结构，就更显出优越性。这对求解高次超静定结构，就更显出优越性。ACF B1F ACB1 11 lFa1111FXEIl3311alE

6、IFaF36213alM计算计算 和和 11F1由正则方程，得由正则方程，得 allFa3232用力法解超静定结构用力法解超静定结构例：例：已知杆的已知杆的 EI 为常数，试作刚架的弯矩图。为常数，试作刚架的弯矩图。 ABCaqaABCqqX1 22qaX1=1 aa解：解：此刚架为一次超静定结此刚架为一次超静定结构，选构，选 C 为多余约束为多余约束, 其相其相当系统如图。正则方程当系统如图。正则方程01111FX计算计算 和和 11F1aaaaEI22113221aqaaEIF231121EIa343EIqa64用力法解超静定结构用力法解超静定结构ABCaqa82qa832qa解正则方程，

7、得解正则方程，得 1111FX作弯矩图作弯矩图 ABCqX1 8qa用力法解超静定结构用力法解超静定结构例：例：试作图示曲杆的弯矩图。曲杆半径试作图示曲杆的弯矩图。曲杆半径R，抗弯刚度，抗弯刚度EI。 ABCRM 4545ABM ABCM ABCX1 X1=1 解解: 此曲杆为一次超静定，此曲杆为一次超静定，选选 B 为多余约束为多余约束, 其相当其相当系统如图。正则方程系统如图。正则方程01111FX对于曲杆，利用莫尔积分对于曲杆，利用莫尔积分计算计算 和和 比较方便。比较方便。 11F1在单位力在单位力 X1=1 作用下作用下 sin)(RM)20(用力法解超静定结构用力法解超静定结构M2

8、2M22M在载荷在载荷 M 作用下作用下 )450(0)(MMM)()9045(所以所以 sEIMMSd)()(11sEIMMSFd)()(1EIMR222202d)sin(1RREIEIR4324d)sin(1RRMEI解正则方程，得解正则方程，得 1111FX作弯矩图作弯矩图 RM22ABCX1X1用力法解超静定结构用力法解超静定结构例：例：计算图示桁架各杆的内力。设各杆的计算图示桁架各杆的内力。设各杆的 EA相同。相同。 a F a 1 12 23 34 45 56 6F 1 12 23 35 56 6F 1 12 23 35 56 61 11 11 12 23 35 56 6解：解：将

9、杆件编号。以将杆件编号。以4 4杆为多余约束，假想地把它切开，杆为多余约束，假想地把它切开，代以多余约束力代以多余约束力 X1 。正则方程。正则方程 01111FX计算各杆的计算各杆的 Fi、 Fi 。列表如下。列表如下 用力法解超静定结构用力法解超静定结构1 1 2 2 4 4 3 3 6 6 5 5 编号编号iFiFiliiilFFiiilFFFF000F2111122aaaa2aa2FaFa000Fa22aaaa22aa22FalFFiii212 alFFiii214 用力法解超静定结构用力法解超静定结构应用莫尔定理应用莫尔定理 EAlFFiiiF1EAlFFiii111111FX222

10、222654321FFFFFFFFFFFFFFFFFFX1 即为即为4 4杆的内力杆的内力。其它杆的内力为。其它杆的内力为 1XFFFiiFiEAFa)21 (2EAa)21 (42F 由于载荷对由于载荷对称，截面称，截面C、D上上FS=0，只有，只有FN、M0用力法解超静定结构用力法解超静定结构例：例：在等截面圆环直径在等截面圆环直径 AB 的两端作用一对的两端作用一对F力，试求力，试求 AB 直径的长度变化。直径的长度变化。F F ADCBaF ADCFN M0 FN M0 AD解：解：沿水平直径将圆环切开。沿水平直径将圆环切开。利用平衡条件得利用平衡条件得 FN=F/2 ，故，故 M0

11、为多余为多余约束力，把它记为约束力，把它记为 X1。M0=X1 2F由于圆环对直径由于圆环对直径AB和和CD都是对称的。都是对称的。可以取圆环的四分之一研可以取圆环的四分之一研究究, , 由于对称截面由于对称截面A和和D的的转角都等于零。转角都等于零。变形协调条件为变形协调条件为 01111FX用力法解超静定结构用力法解超静定结构ADM0=X1 2FAD1 AD2F计算计算 和和 11F1)cos1 (2)(FaM1)(M所以所以 201dEIaMMF1222EIFad ) 1)(cos1 (2202EIFa2011dEIaMM202d) 1(EIaEIa21111FX121Fa解得解得 用力

12、法解超静定结构用力法解超静定结构F F ADCBa1 1ADCBa在在X1和和F/2的共同作用下，任意截面的弯矩的共同作用下，任意截面的弯矩 121)cos1 (2)(FaFaM2cos1Fa在在A、B两点加单位力，此时圆环内的弯矩两点加单位力，此时圆环内的弯矩2cos1)(aM利用莫尔积分，得利用莫尔积分，得A、B两点的相对位移为两点的相对位移为 20d)()(4EIaMM243EIFa2023d2cos14EIFaEIFa3149. 0X1 X1 B A D C F 用力法解超静定结构用力法解超静定结构例：例：图示结构，由折杆图示结构，由折杆ACDB和拉杆和拉杆AB组成，组成，A、B 两点

13、两点 为铰链。已知折杆为铰链。已知折杆 EI ，拉杆，拉杆 E1A1。试求。试求 AB 杆的轴力。杆的轴力。解：解：此结构内部具有一个多余约束，故为一次超静定。此结构内部具有一个多余约束，故为一次超静定。 以以 AB 杆为多余约束，并假想地将它切开，用多余内力杆为多余约束，并假想地将它切开，用多余内力 X1 代替，得相当系统。正则方程为代替，得相当系统。正则方程为 A F a a B D C 01111FX用力法解超静定结构用力法解超静定结构1 1 B A D C Fa aaaa1F 计算计算 和和 11F111221132221AEaaaaaEIaFaaFaEIF23221221解正则方程，

14、得解正则方程，得 1111FX2115312aAEEIF11335AEaEIaEIFa653用力法解超静定结构用力法解超静定结构前面讨论了力法解一次超静定问题，下面介绍用力前面讨论了力法解一次超静定问题，下面介绍用力法求解法求解 n 次超静定问题。现以两端固定的圆形曲杆为例次超静定问题。现以两端固定的圆形曲杆为例ABF aF ABX2 X1 X3 F 1 1 1 F2F3F1223212233313213111FXX力法解超静定结构用力法解超静定结构013132121111FXXX由于曲杆由于曲杆 B 端是固定端，端是固定端，B 点的竖向位移点的竖向位移 应为零。这应

15、为零。这样，变形协调条件就可以写成样，变形协调条件就可以写成1同理，可以写出同理，可以写出B端在端在 X2 方向的位移等于零和在方向的位移等于零和在 X3 方向方向的转角等于零。最后的转角等于零。最后得得一组线性方程式如下：一组线性方程式如下：01313212111FXXX以上方程组称为力法的以上方程组称为力法的正则方程正则方程或或典型方程典型方程。 02323222121FXXX03333232131FXXX根据位移互等定理，方程组中的系数存在以下关系：根据位移互等定理，方程组中的系数存在以下关系： jiij用力法解超静定结构用力法解超静定结构方程组中系数方程组中系数 和常数项和常数项 的计

16、算。对杆件，所的计算。对杆件，所有计算变形的方法都可用于这些系数和常数项的计算。有计算变形的方法都可用于这些系数和常数项的计算。ijiF对于杆系，一般用莫尔定理比较方便。对于杆系，一般用莫尔定理比较方便。 000321321333231232221131211FFFXXX上面的方程组也可写成矩阵形式上面的方程组也可写成矩阵形式 用力法解超静定结构用力法解超静定结构显然，可以把力法推广到显然，可以把力法推广到 n 次超静定结构，这时线次超静定结构，这时线性方程组为性方程组为 00022112222212111212111nFnnnnnFnnFnnXXXXXXXXX根据以上讨论或位移互等定理，方程

17、组中的系数存根据以上讨论或位移互等定理，方程组中的系数存在以下关系：在以下关系： jiij以上方程称为力法的以上方程称为力法的正则方程正则方程或或典型方程典型方程。 用力法解超静定结构用力法解超静定结构解：解：此刚架为三次超静定结构，选固此刚架为三次超静定结构，选固定端定端 B 的的 3 个约束为多余约束，将其个约束为多余约束，将其解除，得相当系统，如图。解除，得相当系统，如图。X2 例：例：求解图示静不定刚架。设两杆的求解图示静不定刚架。设两杆的EI一样。一样。 ABaqaABqX1 X3 正则方程为正则方程为 01313212111FXXX02323222121FXXX0333323213

18、1FXXX应用图乘法，计算应用图乘法，计算 和和 。 ijiFaqaEIF6131用力法解超静定结构用力法解超静定结构22qaqaaX1=1 a1X2=1 X3=1 1436132aqaEIF16133qaEIFEIqa64EIqa84EIqa63EIa34311EIa232112EIa2323113EIa223223EIa3322EIa233用力法解超静定结构用力法解超静定结构代入正则方程，整理简化后，得代入正则方程，整理简化后，得 09382321qaXaXaX03128122321qaXaXaX012392321qaXaXaX解得解得 48167162321qaXqaXqaX用力法解超静

19、定结构用力法解超静定结构例：例：试绘制图示梁的弯矩图。试绘制图示梁的弯矩图。 qa q A D C B a a/2 a a/2 qa q qa q X1 X2 X1=1 X2=1 解：解：此梁为二次超静定梁。此梁为二次超静定梁。 选选 A、B支座为多余约束。支座为多余约束。 正则方程为正则方程为 01212111FXX02222121FXX计算计算 和和 ijiFEIa3232211EIqaF8341EIqaF481742EIa632112a a qa2/2 qa2/2 用力法解超静定结构用力法解超静定结构代入正则方程，简化后，得代入正则方程，简化后，得 解得解得 qa q X1 X2 224

20、5qa21152121qa2241qa2121qaa2411083613221qaXX04817326121qaXXqaX24111qaX1252作弯矩图作弯矩图 对称及反对称性质的利用对称及反对称性质的利用a a EIEI对称轴对称轴 F F b b c c Me Me 对称结构对称结构：结构的几何形状、支承条件和各杆的刚度都：结构的几何形状、支承条件和各杆的刚度都对称于某一轴线。对称于某一轴线。对称载荷对称载荷：载荷的作用位置、大小和方向都对称于结构：载荷的作用位置、大小和方向都对称于结构的对称轴。的对称轴。反对称载荷反对称载荷：载荷的作用位置、大小仍然是对称的，但：载荷的作用位置、大小仍

21、然是对称的，但方向却是反对称的。方向却是反对称的。X2 对称及反对称性质的利用对称及反对称性质的利用F 一、对称结构上作用对称载荷一、对称结构上作用对称载荷 F F b b F X2 X1 X3 X1 X3 变形协调条件变形协调条件：切开截面两侧水平相对位：切开截面两侧水平相对位移、垂直相对位移和相对转角都等于零。移、垂直相对位移和相对转角都等于零。01313212111FXXX02323222121FXXX03333232131FXXX这三个条件写成正则方程为这三个条件写成正则方程为 该刚架有该刚架有 3 个多余约束，如沿对称轴个多余约束，如沿对称轴将刚架切开，就可得基本静定系。将刚架切开，

22、就可得基本静定系。 3 个多个多余约束余约束力力是轴力是轴力 X1、剪力、剪力 X2 和弯矩和弯矩 X3。对称及反对称性质的利用对称及反对称性质的利用X2 F X3 X1 F X2 X1 X3 1 1 1 1 1 1 F F 0211202F03223对称及反对称性质的利用对称及反对称性质的利用所以正则方程化为所以正则方程化为 FXFXX333313101313212111FXXX02323222121FXXX03333232131FXXX02X可见，当对称结构上受到对称载荷作用时，在对称截面可见，当对称结构上受到对称载荷作用时，在对称截面上，反对称内力上，反对称内力

23、( (剪力剪力) )等于零。等于零。对称及反对称性质的利用对称及反对称性质的利用二、对称结构上作用反对称载荷二、对称结构上作用反对称载荷 X2 X2 X1 X3 X1 X3 变形协调条件变形协调条件：切开截面两侧水平相对位：切开截面两侧水平相对位移、垂直相对位移和相对转角都等于零。移、垂直相对位移和相对转角都等于零。01313212111FXXX02323222121FXXX03333232131FXXX这三个条件写成正则方程为这三个条件写成正则方程为 该刚架有该刚架有 3 个多余约束，如沿对称轴个多余约束，如沿对称轴将刚架切开，就可得基本静定系。将刚架切开，就可得基本静定系。 3 个多个多余约束余约束力力是轴力是轴力 X1、剪力、剪力 X2 和弯矩和弯矩 X3。c c Me Me Me Me 对称及反对称性质的利用对称及反对称性质的利用1 1 1 1 1 1 Me 02112031FF03223Me X2 X1 X3 Me X2 X3 X1 Me 对称及反对称性质的利用对称及反对称性质的利用所以正则方程化为所以正则方程化为 0313111XXFX22220333131