信号分析与检测4

1、2022-5-15随机信号分析与检测1第四章 确知信号的检测性性能能逐逐步步下下降降（1 1）经典信号检测）经典信号检测 信源为符号，非真实东西信源为符号，非真实东西 特点：特点：给出信号检测基本模型给出信号检测基本模型连续观测，每项独立连续观测，每项独立 信源信源 非信号而为符号，如非信号而为符号，如1 1不能发送。不能发送。 概率转移概率转移 转移概率依赖噪声模型。转移概率依赖噪声模型。 形成似然比形成似然比 涉及门限计算方法涉及门限计算方法 准则。准则。（2 2）确知信号检测）确知信号检测 真实信号真实信号 要解决问题：要解决问题： 使信噪比最大使信噪比最大 波形复杂波形复杂 匹配滤波器

2、匹配滤波器 信号离散化和非相关信号离散化和非相关 采样次数与相关性矛盾采样次数与相关性矛盾 数学方法（卡享南）。数学方法（卡享南）。（3 3）随机信号参量检测）随机信号参量检测 任何一个信号随机。任何一个信号随机。 办法：办法：把随机参量用概率密度平滑。把随机参量用概率密度平滑。 （4 4）非参量）非参量 2022-5-15随机信号分析与检测24.1 4.1 引言引言确知信号的检测确知信号的检测 噪声中信号波形检测噪声中信号波形检测基本任务基本任务 根据系统的要求，设计与环境相匹配、满足某种根据系统的要求，设计与环境相匹配、满足某种 “ “最佳最佳”准则的接收机（检测系统），以完成从噪准则的接

3、收机（检测系统），以完成从噪 声污染的接收信号中尽量多地提取有用的信号。声污染的接收信号中尽量多地提取有用的信号。用假设检验来描述接收信号用假设检验来描述接收信号)(tz0H)()()(0tntstzTt 0：1H)()()(1tntstzTt 0：或者：或者：0H)()(tntzTt 0： 1H)()()(tntstzTt 0： 注意：注意：信号信号 可以是确知信号，也可以是具有未知参量或随机可以是确知信号，也可以是具有未知参量或随机 参量的信号。参量的信号。)(tsj2022-5-15随机信号分析与检测3一一. .信噪比的定义信噪比的定义 tntstYoo tntstX线性线性滤波器滤波器

4、 20NGn， 或为电流，或为电压或为电流，或为电压 4.2 4.2 匹配滤波器匹配滤波器deSHtstjo )()(21)( 202)(HNGnodtetsStj )()(若若 时输出为峰值，则时输出为峰值，则0tt deSHtstjo0 )()(21)(0dHNtnEo2022)(4)( 输出噪声的平均功率输出噪声的平均功率 tso00tt2022-5-15随机信号分析与检测4 4.2 4.2 信噪比的定义信噪比的定义滤波器输出端的峰值信噪（功率）比定义为滤波器输出端的峰值信噪（功率）比定义为)()(202tnEtsdoo输出噪声平均功率输出信号峰值功率dHNdeSHtj )(4 )( )

5、(21202 0定义：定义：使输出峰值信噪（功率）比使输出峰值信噪（功率）比 的线性滤波器称为的线性滤波器称为匹配滤匹配滤 波器波器；或是具有满足上述条件的；或是具有满足上述条件的 的滤波器称为的滤波器称为匹配滤波器匹配滤波器。maxdd H特点：特点：它是按照最大信噪比准则求得的最佳线性滤波器，能保证最佳它是按照最大信噪比准则求得的最佳线性滤波器，能保证最佳 地从噪声背景中提取信号。地从噪声背景中提取信号。一一. .信噪比的定义信噪比的定义2022-5-15随机信号分析与检测5二二. .匹配滤波器的传输函数和冲激响应匹配滤波器的传输函数和冲激响应1 1传输函数传输函数目的：目的：寻求使寻求使

6、 的的maxdd thH（1 1）复函数施瓦茨不等式：）复函数施瓦茨不等式：设设 和和 都是实变量都是实变量 的复函数，则有的复函数，则有 xP xQx2*22)()()()(dxxQxPdxxQdxxP式中式中 为为 的复共轭。当且仅当的复共轭。当且仅当 时上式取等号，时上式取等号，这里这里 为任意常数。为任意常数。)(*xP)(xP)()(xcPxQc 4.2 4.2 匹配滤波器匹配滤波器（2 2）匹配滤波器的传输函数）匹配滤波器的传输函数22*2)()()(SSP22)()(HQ则有则有 ，dHNdeSHdtj )(4 )( )(21202 0令令 ，0)()(*tjeSP)()(HQ2

7、022-5-15随机信号分析与检测6（2 2）匹配滤波器的传输函数）匹配滤波器的传输函数1 1传输函数传输函数max022)(21dNdS根据巴塞瓦尔定理，有根据巴塞瓦尔定理，有EdttsdS)()(2122E为输入信号的能量为输入信号的能量噪信0max2NEd当且仅当当且仅当 时，时，0)()(*tjecSHmaxdd 即匹配滤波器的传输函数为即匹配滤波器的传输函数为0)()(*tjecSH 4.2 4.2 匹配滤波器的传输函数和冲激响应匹配滤波器的传输函数和冲激响应dHNdHdSdHNdeSHdtj )(4)( )(41 )(4 )( )(2120222202 022*2)()()(SSP

8、22)()(HQ)()(xcPxQ令令 ，0)()(*tjeSP)()(HQ2022-5-15随机信号分析与检测72 2冲激响应冲激响应 SS*对于实函数信号，有对于实函数信号，有00)()()(*tjtjecSecSH)()(21)(0)(0ttcsdecSthttj看看P146P146页页图图4.3 4.3 匹配滤波器的冲激响应。匹配滤波器的冲激响应。)(ts)( ts )(ts)(0tts020t0tt 4.2 4.2 匹配滤波器的传输函数和冲激响应匹配滤波器的传输函数和冲激响应2022-5-15随机信号分析8三三. .匹配滤波器的性质匹配滤波器的性质1 1匹配滤波器可以给出最大峰值信噪

9、比匹配滤波器可以给出最大峰值信噪比 ，它只取决于输，它只取决于输 入信号能量和白噪声功率谱密度，而与输入信号的形状和噪声入信号能量和白噪声功率谱密度，而与输入信号的形状和噪声 分布律无关；分布律无关；max02dNE2 2幅频特性和相频特性：幅频特性和相频特性：输出信号幅频特性：输出信号幅频特性：)()(ScH输出信号幅频特性与输入信号的振幅谱一致，输出信号幅频特性与输入信号的振幅谱一致，仅差常数倍仅差常数倍 线性线性；c)(H0)(NFn)(S 4.2 4.2 匹配滤波器匹配滤波器输出信号相频特性与输入信号的相位谱反相，且有附加相移量输出信号相频特性与输入信号的相位谱反相，且有附加相移量 ,

10、 ,（有附加相位可使原相位可调整为一条直线）。（有附加相位可使原相位可调整为一条直线）。0 t输出信号相频特性：输出信号相频特性：)()(0ts输入信号相角为输入信号相角为输出信号相移为输出信号相移为输出信号相角为输出信号相角为当当 ，有，有 ，相角均为零，同向相加；，相角均为零，同向相加；若若 ，则各相角不同，合成的信号峰值较小。，则各相角不同，合成的信号峰值较小。 st 0ts 0tttts0tt 0t0tt 0tt )(0tso0tt )(0tso2022-5-15随机信号分析93 3物理可实现性物理可实现性物理可实现的匹配滤波器的冲激响应为物理可实现的匹配滤波器的冲激响应为 t, 0

11、t 00 000tttttcsth4 4输出信号和噪声输出信号和噪声)ds(t)s(tcs(t)h(t)(t)so0 cEdaasctso20)()()( 000ttcRdsttscts 4.2 4.2 匹配滤波器的性质匹配滤波器的性质 输出噪声的平均功率（均方值）为：输出噪声的平均功率（均方值）为：deScNdHGtntjn2*202200)(2)()(21)(EcNdScN202202)(212求最大峰值信噪比求最大峰值信噪比 的另一种方法的另一种方法maxd02022020max22)()()(NEEcNcEtntsdo)(ts)( ts )(ts)(0tts020t0tt2022-5-

12、15随机信号分析10 aHH)()(tasts 当时延信号为当时延信号为 ，下标为下标为 ，表示延时信号。，表示延时信号。对应最佳匹配滤波器传输函数为对应最佳匹配滤波器传输函数为因此匹配滤波器因此匹配滤波器对于时延信号具有适应性对于时延信号具有适应性。5 5对时延、频移信号的适应性对时延、频移信号的适应性jeaSS)()()(*0000)()()()(ttjtjjtjeaHeecaSecSH00tt 4.2 4.2 匹配滤波器的性质匹配滤波器的性质 对应频移信号的最佳匹配滤波器传输函数对应频移信号的最佳匹配滤波器传输函数 0*tfevcSH与原信号的匹配滤波器传输函数不同，因此匹配滤波器与原信

13、号的匹配滤波器传输函数不同，因此匹配滤波器对于频移对于频移信号没有适应性信号没有适应性。2022-5-15随机信号分析11 用匹配滤波器对信号进行处理的结果用匹配滤波器对信号进行处理的结果 6 6实测波形实测波形 4.2 4.2 匹配滤波器的性质匹配滤波器的性质2022-5-15随机信号分析125 5实测波形实测波形 4.2 4.2 匹配滤波器的性质匹配滤波器的性质 雷达回波检测雷达回波检测 2022-5-15随机信号分析13四四. .匹配滤波器与相关接收匹配滤波器与相关接收定义：定义：利用信号和噪声的相关时间长短不同，用相关器来实现接收利用信号和噪声的相关时间长短不同，用相关器来实现接收 信

14、号的方法称为信号的方法称为相关接收法相关接收法。1 1自相关接收自相关接收 ts tn要求要求 、 具有各态历经性具有各态历经性 4.2 4.2 匹配滤波器匹配滤波器dttxtxdttXtXY)()()()()()()()()(tXtXRYX)()()()(tntstntsTTTXdttxtxTR)()(21lim)(由于由于)()(XRcY故有故有令令 ，求得，求得1c)()()()(nssnnsRRRR都是噪声都是噪声2022-5-15随机信号分析14 0RRnssn假定信号和噪声不相关（一般均如此），则假定信号和噪声不相关（一般均如此），则 nSRR总功率（电压、电流）总功率（电压、电流

15、） 噪声总功率噪声总功率 sRY因此只要改变迟延线的时延因此只要改变迟延线的时延 ，使，使 ，就有，就有 ，即，即 0nR01 1自相关接收自相关接收 4.2 4.2 匹配滤波器与相关接收匹配滤波器与相关接收)()()()()()(nssnnsXRRRRRY2 2互相关接收互相关接收dttstXY)()()(dttstndttstss)()()()()()(nsssRR ssRY 0Rns假定信号和噪声不相关（一般均如此），则假定信号和噪声不相关（一般均如此），则2022-5-15随机信号分析15回波回波sts ts1ts1 1Y2ts22Y2 2互相关接收互相关接收dttstsRsss)()

16、()(sssEdttsR)()0(2dttstnRns)()()(snsENRtn2)()(0220ssENtnR02022)()0( 4.2 4.2 匹配滤波器与相关接收匹配滤波器与相关接收2022-5-15随机信号分析16（1 1）自相关接收不需知道信号形式（发射时的）；）自相关接收不需知道信号形式（发射时的）；3 3两种相关接收的比较两种相关接收的比较（2 2）互相关接收具有较好的信噪比。）互相关接收具有较好的信噪比。4 4互相关接收法与匹配滤波器的比较互相关接收法与匹配滤波器的比较匹配滤波器的冲激响应为：匹配滤波器的冲激响应为：)()(0ttcsthdtcstXtYt)()()(00经

17、匹配：经匹配： 4.2 4.2 匹配滤波器与相关接收匹配滤波器与相关接收 在在 时，白噪情况下，匹配滤波器等效于互相关接收。时，白噪情况下，匹配滤波器等效于互相关接收。 0tt 互相关器输出为：互相关器输出为：0000000)()()()( ttdcsXdtcstXtt设信号为：设信号为： ，输入混合信号：，输入混合信号： tntstX00 ),(ttts0000)()( )()()(ttdttstXttdttstXY2022-5-15随机信号分析174 4互相关接收法与匹配滤波器的比较互相关接收法与匹配滤波器的比较 匹配滤波器属频域分析方法，需要知道原信号的频谱，若频谱较匹配滤波器属频域分析

18、方法，需要知道原信号的频谱，若频谱较 复杂则难以实现；互相关接收属时域分析方法，无需知道原信号复杂则难以实现；互相关接收属时域分析方法，无需知道原信号 的频谱，易实现；的频谱，易实现； 匹配滤波器可用模拟方法实现，能输出匹配滤波器可用模拟方法实现，能输出 的全景（可用峰值的全景（可用峰值 检波器抓最大值）；互相关接收只能一次输出对应一个值（选其检波器抓最大值）；互相关接收只能一次输出对应一个值（选其 中最大）的互相关函数，若要连续输出中最大）的互相关函数，若要连续输出 ，电路结构庞大，多路，电路结构庞大，多路 延迟，且需要比较。延迟，且需要比较。 SXR 4.2 4.2 匹配滤波器与相关接收匹

19、配滤波器与相关接收5 5三种接收方法的比较三种接收方法的比较 匹配滤波、相关接收、积累接收匹配滤波、相关接收、积累接收 三种接收方法都是利用信号与噪声在时域特性或频域特性上的某三种接收方法都是利用信号与噪声在时域特性或频域特性上的某 种差别来改善信噪比的，相互之间具有一定的等效关系，但不可种差别来改善信噪比的，相互之间具有一定的等效关系，但不可 直接叠加运用。直接叠加运用。 利用上述三种方法接收周期性脉冲串信号时，都能改善输出信噪利用上述三种方法接收周期性脉冲串信号时，都能改善输出信噪 比，但均需以增长检测时间为代价。比，但均需以增长检测时间为代价。窄 带滤波器 正弦信号加宽带噪声平方律检波器

20、21独立取样n次加法器n1v)()()(222tAtAtRsc)( cos)()(0 tttRtY(归一化)2022-5-15随机信号分析与检测18五五. .最佳接收方法最佳接收方法（依不同准则分成三类）（依不同准则分成三类）概率、矩函数、误差（最小二乘概率、矩函数、误差（最小二乘不要先验知识）不要先验知识）3.1 3.1 信号检测概述信号检测概述1 1信号接收常用准则：信号接收常用准则：贝叶斯准则：贝叶斯准则：在假设在假设 的先验概率的先验概率 已知，各种判决代价因子已知，各种判决代价因子 赋定的情况下，使平均代价赋定的情况下，使平均代价 最小的准则。最小的准则。jH)(jHPijCC根据不

21、同使用环境、条件、应用而不同，与噪声环境也有关。根据不同使用环境、条件、应用而不同，与噪声环境也有关。贝叶斯准则的派生准则：贝叶斯准则的派生准则： 最小均方误差准则：最小均方误差准则：使使 卡尔曼滤波卡尔曼滤波min2iiixxE 最小错误概率准则：最小错误概率准则： 通信中要求错误最小通信中要求错误最小minieP 最大信噪比准则：最大信噪比准则： 雷达中宁可虚警，通信中也可用雷达中宁可虚警，通信中也可用maxNS 最大后验概率：最大后验概率： 理想接收机理想接收机maxxP Neyman-person Neyman-person准则：准则： ， 在虚警概率固定的情况下在虚警概率固定的情况下

22、 使检测概率达到最大，例如使检测概率达到最大，例如 （500500米内），米内）， 。1 . 0FP1dPaPFmaxdP2022-5-15随机信号分析与检测192 2常用方法：常用方法： 基本上为最佳接收基本上为最佳接收（1 1）相关（自、互）接收法）相关（自、互）接收法3.1 3.1 最佳接收方法最佳接收方法最佳接收的特点：最佳接收的特点： 最佳接收都是按矩函数设计，而非按概率设计；最佳接收都是按矩函数设计，而非按概率设计； 最佳接收在一定条件下为最佳，但特性低于理想接收机；最佳接收在一定条件下为最佳，但特性低于理想接收机； 若按后验概率设计出来，则为在某一信号上的理想接收机。若按后验概率

23、设计出来，则为在某一信号上的理想接收机。 （3 3）线性滤波器）线性滤波器 维纳滤波器维纳滤波器 利用利用最小均方误差准则最小均方误差准则令系统误差令系统误差 ，利用最小均方误差准则，即按，利用最小均方误差准则，即按 最小，最小，求得线性滤波器最佳传输函数为求得线性滤波器最佳传输函数为 tYtYt0 t2 nssGGGH输入噪声的功率谱密度输入噪声的功率谱密度 大大, ,则传输函数小则传输函数小 反比反比 nG输入信号的功率谱密度输入信号的功率谱密度 大大, ,则传输函数大则传输函数大 正比正比 sG实质：实质：最大限度保留信号而衰减噪声。最大限度保留信号而衰减噪声。（2 2）积累接收法）积累

24、接收法2022-5-15随机信号分析与检测20 匹配滤波器匹配滤波器 利用利用最大信噪比准则最大信噪比准则2 2常用方法：常用方法：3.1 3.1 最佳接收方法最佳接收方法（3 3）线性滤波器）线性滤波器NS特点：特点：a a） 最大；最大；b b）灵敏度高；）灵敏度高；c c）频率响应特性为信号频谱的）频率响应特性为信号频谱的 复轭；复轭；d d）在一定意义上等同于相关接收（前面提到过）。）在一定意义上等同于相关接收（前面提到过）。 3.3.假设检验与统计判决假设检验与统计判决先假设一定范围，再统计样本是否在此范围内。信号检测刚好解先假设一定范围，再统计样本是否在此范围内。信号检测刚好解决信

25、号有无和判决问题。决信号有无和判决问题。例：例：统计接收设备方框图统计接收设备方框图 tntX tntstX接收接收窄带窄带 tntY tntstY检测、判决检测、判决虚 警有信号无信号漏 报有相移、失真有相移、失真白噪过窄带白噪过窄带2022-5-15随机信号分析与检测2111000 PP1cP11101 PP1dP3.1 3.1 假设检验与统计判决假设检验与统计判决01000000| HHPPPC接受正确检测01 10|)(HHPPPf接受警虚10 01|)(HHPPPM接受报漏11 11| HHPPPd接受确正发现概率发现概率11漏报漏报第二类错误第二类错误虚警虚警第一类错误第一类错误1

26、0正确不发现概率正确不发现概率判决概率判决概率输出输出输入输入3.3.假设检验与统计判决假设检验与统计判决零假设零假设 = = 假设无信号（仅有噪声）或信号为假设无信号（仅有噪声）或信号为备择假设备择假设 = = 假设有信号（噪声中混有信号）或信号为假设有信号（噪声中混有信号）或信号为)(0ts)(1ts2022-5-15随机信号分析220H1H0H)(1Hp z1H)(0Hp z成立成立成立成立信信源源观测空间观测空间0R0R0R1R复习复习二元假设检验基本模型二元假设检验基本模型 )()()(tntstzTt 01H：Tt 0)()(tntz0H：2022-5-15随机信号分析23连续信号

27、连续信号抽样抽样级数（离散值）级数（离散值）如何使其不相关？如何使其不相关？ 2022-5-15随机信号分析24一一. .信号的正交级数表示信号的正交级数表示1 1正交函数集正交函数集4.3 4.3 卡享南卡享南- -洛维展开洛维展开2 2确知信号确知信号 正交级数表示正交级数表示 )(tsNkkkNtfsts1)(lim)(展开式的系数：展开式的系数：Tkkdttftss0 )()(Tt 0NkkkNtfsts1)()(坐标函数，坐标函数， 为正交函数集为正交函数集 )(tfkjijidttftfijTji , 1 , 0 )()(0 不相关不相关目的目的 把随机过程变成互不相关的级数。把随

28、机过程变成互不相关的级数。作用作用 解决离散化和不相关问题。解决离散化和不相关问题。 关键关键ktftfztzji)()()(2022-5-15随机信号分析253 3随机信号随机信号 正交级数表示正交级数表示 )(tz)()()(tntstzTt 00)()(lim21NkkkNtfztzE其中：正交函数集其中：正交函数集 , , 满足满足 )(tfk , 2 , 1kkjTjkdttftf0 )()(展开式的系数：展开式的系数： Tkkdttftzz0 NkkkNtfztz1)(lim)(4.3 4.3 信号的正交级数表示信号的正交级数表示 均方收敛于均方收敛于Nkkktfz1)()(tz

29、不相关不相关2022-5-15随机信号分析26根据随机变量不相关的判断条件根据随机变量不相关的判断条件kjjjjkkszszE )( )(jk 当当 时，时，0 )( )(jjkkszszE3 3随机信号随机信号 正交级数表示正交级数表示)(tz4.3 4.3 信号的正交级数表示信号的正交级数表示TkkdttftzEzE0 )()()(kTksdttfts0 )()( , 2 , 1kTkdttftntsE0)()()( 的均值的均值kz问题问题2 2：如何选择能使：如何选择能使 互不相关的正交函数集互不相关的正交函数集 呢？呢？)(tfkkz 展开式系数展开式系数 的均值的均值kz 即抽样值

30、，故无失真即抽样值，故无失真 展开式系数展开式系数 的协方差的协方差kz 即展开式的各系数互不相关即展开式的各系数互不相关问题问题1 1： 能否反映原信号的特征呢？能否反映原信号的特征呢？kz2022-5-15随机信号分析273 3随机信号随机信号 正交级数表示正交级数表示)(tz4.3 4.3 信号的正交级数表示信号的正交级数表示 )( )(jjkkszszETTjnkT TjkdtduufutRtfdtduuntnEuftf000 0 )()( )( )( )()()(TjTjTkTkduufusduufuzdttftsdttftzE0000 )()( )()( )()( )()()()(

31、)(tntstz噪声噪声 的自相关函数的自相关函数 )(tn)( )()(0tfduufutRjjTjnTt 0则必须满足则必须满足kjjjjkkszszE )( )(若要令若要令 齐次积分方程齐次积分方程积分方程的核函数积分方程的核函数 特征值特征值 特征函数（或本征函数）特征函数（或本征函数）即所求的正交函数即所求的正交函数kjTjkdttftf0 )()(如何选择满足如何选择满足 的正交函数集的正交函数集 呢？呢？)(tfkkjjjjkkszszE )( )()(tn噪声噪声 的自相关函数的自相关函数关键关键 2022-5-15随机信号分析283 3随机信号随机信号 正交级数表示正交级数

32、表示)(tz4.3 4.3 信号的正交级数表示信号的正交级数表示总结：总结：求求 求坐标函数求坐标函数形成正交级数形成正交级数)(utRn解决三个问题：解决三个问题： 推荐了一个正交集。推荐了一个正交集。 信号如何用正交集表示。信号如何用正交集表示。 正交集函数具体求解方法：求积分方程。正交集函数具体求解方法：求积分方程。 问题：问题：正交集是否唯一？正交集是否唯一？ 用用 对对 进行展开，进行展开， 互不相关，这就是互不相关，这就是卡享南卡享南- -洛洛维展开式维展开式。)(tfjkz)(tz2022-5-15随机信号分析29二二. .白噪声的正交展开白噪声的正交展开齐次积分方程式为齐次积分

33、方程式为白噪声情况下的功率谱密度为白噪声情况下的功率谱密度为2)(0NGnTjjjduufutNtf00)()(2)(结论：结论：只要满足只要满足 ，任一函数，任一函数 均满足上式。均满足上式。20Nj)(tf)(2)(0utNutRn其自相关函数为其自相关函数为4.3 4.3 卡享南卡享南- -洛维展开洛维展开 非常重要非常重要TTjnkjjkkdtduufutRtfszszE00 )()( )( )( )(因此，因此，任一组正交函数都可作为白噪声情况下的展开函数任一组正交函数都可作为白噪声情况下的展开函数。 kjTjkTTjkNdttftfNdtduufutNtf2 )()(2 )()(2

34、 )(0000002022-5-15随机信号分析30一一. .简单二元检测简单二元检测1 1要解决的问题：要解决的问题：根据在时间根据在时间 内的观测信号波形内的观测信号波形 ，作出，作出 是假设是假设 成立还是假设成立还是假设 成立的统计判决。成立的统计判决。 ), 0(T)(tz1H0H)()()(tntstzTt 01H：Tt 0)()(tntz0H：4.4 4.4 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测2 2 的正交级数表示的正交级数表示 卡享南洛维展开式卡享南洛维展开式 )(tz目的：目的：使使 展开式各系数展开式各系数 不相关。不相关。)(tzkzNkkkNtfztz1)(l

35、im)(NkkkNtfztz1)()(Tt 0NknsdttftntszHkkTkk , 2 , 1 )()()( :01NkndttftnzHkTkk , 2 , 1 )()( :00Tkkdttftss0 )()( 归一化正交函数集归一化正交函数集 Tkkdttftzz0 )()( Tkkdttftnn0 )()( kz 是高斯随机变量是高斯随机变量2022-5-15随机信号分析313 3似然函数和判决规则似然函数和判决规则在假设在假设 下下0H4.4 4.4 简单二元检测简单二元检测0 )()()()(000TkkkdttftnEHnEHzE2 )(2)()( )()( )()()()v

36、ar(000000020NdudtutNuftfduufundttftnEHnEHzTTkkTkTkkk 1H在假设在假设 下下kkkksHnsEHzE)()(012)()var(0121NHnEHzkk0212101exp1)(NszNHpkkNkNz0212100exp1)(NzNHpkNkNz联合概率密度函数联合概率密度函数为：为：NkkNkkkNzNkNNszNkNNsNszNHpHpkkk120101211)(12110112expexp)(exp)()()()(020020zzz似然函数似然函数为：为：2022-5-15随机信号分析32NkkNkkkNsNszN1201012)(l

37、nz令令 N3 3似然函数和判决规则似然函数和判决规则4.4 4.4 简单二元检测简单二元检测Tkkdttftss0 )()( Tkkdttftzz0 )()( )(lim)(tstsNNNkkkNtfsts1)()(Tt 0lim)(ln)(lnlim1211200NkkNNkkkNNNNssztzz )()( )()( lim11T01T0200 NkNkkkNkkNNsdttftssdttftzTNkkkNNTNkkkNNdttfstsdttfstz011012 )(lim)( )(lim)(0000202102 )( )( )( )( )(000NEdttstzdttsdttstzsT

38、NTNTN)(tsN)(ts001000ln )( )(2)(lnHHNEdttstzNtzsT000010 2ln2 )( )( )(sTENHHdttstztzl2022-5-15随机信号分析334 4最佳检测系统（又称最佳接收机）的结构最佳检测系统（又称最佳接收机）的结构(1) (1) 相关检测系统（相关接收机）的结构框图相关检测系统（相关接收机）的结构框图Tdt0)(判判决决电电路路1H0H0 0 0 )(ts)(tz)(tzl门门限限成成立立成成立立)(tz)(ts因为检验统计量因为检验统计量 是由接收信号是由接收信号 和确知信号和确知信号 经相关经相关运算得到的，所以称之为相关检测

39、系统。运算得到的，所以称之为相关检测系统。 Tdttstztzl0 )( )()(4.4 4.4 简单二元检测简单二元检测匹配滤波器TttTsth0 )()(判判决决电电路路1H0H0 0 0 )(tzTt 门门限限成成立立成成立立时刻(2) (2) 匹配滤波检测系统（接收机）的结构框图匹配滤波检测系统（接收机）的结构框图由于在白噪声情况下，在由于在白噪声情况下，在 时刻相关器输出和匹配滤波器输出时刻相关器输出和匹配滤波器输出是相等的。判决规则表示式也可以用匹配滤波器来实现。是相等的。判决规则表示式也可以用匹配滤波器来实现。 Tt 2022-5-15随机信号分析345 5接收机性能接收机性能4

40、.4 4.4 简单二元检测简单二元检测)()()(tntstzTt 01H：Tt 0)()(tntz0H：检验统计量检验统计量 ，是高斯随机过程。，是高斯随机过程。Tdttstztzl0 )( )()( 描述了描述了 与与 检测门限检测门限 和信噪比和信噪比 的关系的关系FPDPd)(00sTTTTEdttnEtsdttsdttstntsEHdttstzEHlE0020101 )()( )( )()()( )( )()(sEHlE)(10 )()( )( )()(0000TTdttstnEHdttstzEHlE0)(0HlETTduusundttstnEHlEHlEHl002000 )( )(

41、 )( )()()()var(sNTT NTTEdtduustsutdtduuntnEusts20020000)()()( )()()()( sNEHlHl2100)var()var(exp)()(020)(2111sssENElENHlpexp)()(0202110ssENlENHlp20200200ln211001 exp)( )()(sENssdldlHlpHHPPENlENF2ln exp)( exp)(0*ln22121)ln(22121022102022020202dderfcdvdvNsEsENsENsENvv2ln )()(0*11110dderfcdlHlpHHPPD0000

42、1 2ln2 )(sENHHtzl2022-5-15随机信号分析35在一般的高斯问题二元假设检验下，信噪比在一般的高斯问题二元假设检验下，信噪比)|var()|()|(02012HlHlEHlEd)var()()(02012HlHlEHlEd02NEs5 5接收机性能接收机性能4.4 4.4 简单二元检测简单二元检测02NEds 功率信噪比功率信噪比 信噪比信噪比sEHlE)(10)(0HlEsNEHlHl2100)var()var(222md),()( :21mNtzH), 0()( :20NtzHmd 22012)(mmd),()( :211mNtzH),()( :200mNtzH01mm

43、d同例同例3.3.33.3.32022-5-15随机信号分析360 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 增加00 . 1d0 . 2d5 . 0d0dDPFP)(0)0(002NEsd 0 2 4 6 810-20.30.80.980.999910-310-10.50.90.9990.70.99110FP210FP310FP410FP510FP610FP810FP1010FP1210FP1410FPDPd02NEsd 5 5接收机性能接收机性能4.4 4.4 简单二元检测简单二元检测接收机工作特性（接收机工作特性（ROCROC）曲线）曲线根据根据 与与 检测门

44、限检测门限 和信噪比和信噪比 的关系的关系FPDPd)(00检测概率检测概率 与参数与参数 的关系的关系DPd2022-5-15随机信号分析376 6最佳接收机的另一种推导方法最佳接收机的另一种推导方法 充分统计量法充分统计量法4.4 4.4 简单二元检测简单二元检测目的：目的：寻找一个充分统计量寻找一个充分统计量 ，使观察空间的维数压缩至有限维，使观察空间的维数压缩至有限维， 并能获得被观测量的全部信息。并能获得被观测量的全部信息。 )(zlTtdttstzdttftzzTETs0 , )()( )()(010111011010111 )( )( : )()()( :ndttstnzHnEd

45、ttstntszHTEsTEss)()(11tstfsE令令高斯白噪声的正交级数展开式中的第一项系数高斯白噪声的正交级数展开式中的第一项系数1 )()( )()()( 0001kndttftnzHndttftntszHkTkkkTkk：由于由于 与与 正交，且正交，且) 1( ),(ktfk)(1)(1tsEtfsjijidttftfTji , 1 , 0 )()(0 与假设无关与假设无关因此，因此， 是充分统计量，且是充分统计量，且1zTEdttstzzs011 )()( 是高斯随机变量，是高斯随机变量， 且与假设有关且与假设有关1z2022-5-15随机信号分析38利用充分统计量利用充分统

46、计量 构成似然比检验，其判决规则为构成似然比检验，其判决规则为1z0011)(HHz4.4 4.4 简单二元检测简单二元检测6 6最佳接收机的另一种推导方法最佳接收机的另一种推导方法 充分统计量法充分统计量法ssEnEEHzE)()(1110)()(101nEHzE2)()()var(0212111NnEEnEEHzss2)()0()var(0212101NnEnEHz由于由于 是高斯随机变量是高斯随机变量1z001001211)(21101111 2expexp)(exp)()()()(02100210HHNENzEHzpHzpzssNzNNEzNs000011 2ln2ssEENHHz20

47、22-5-15随机信号分析39两种方法的比较：两种方法的比较： 卡享南洛维展开法卡享南洛维展开法Tdttstztzl0 )( )()(Tt 0检验统计量为检验统计量为检验门限为检验门限为000ln22sNE 充分统计量法充分统计量法11)(zzlTsdttstzE0 )( )(1Tt 0检验统计量为检验统计量为2ln2000ssEEN检验门限为检验门限为4.4 4.4 简单二元检测简单二元检测6 6最佳接收机的另一种推导方法最佳接收机的另一种推导方法 充分统计量法充分统计量法结论：结论：由于正交级数展开法和由充分统计量导出的判决规则表示式是由于正交级数展开法和由充分统计量导出的判决规则表示式是

48、 相同的，因而也具有相同的结构和相同的性能。相同的，因而也具有相同的结构和相同的性能。2022-5-15随机信号分析40二二. .一般二元检测一般二元检测 4.4 4.4 高斯白噪声中信号的检测高斯白噪声中信号的检测TttntstzHTttntstzH0 )()()( : 0 )()()( :0011TdttsE0211 )(TdttsE0200 )()(1)(111tsEtSn)(1)(000tsEtSn1 1正交级数展开法正交级数展开法NkkkNtfztz1)(lim)(NkkkNtfztz1)()(Tt 0Tkkdttftzz0 )()( TdttstsEE00101 )( )(11 波

49、形的相关系数波形的相关系数 归一化信号归一化信号 （1 1）正交级数展开）正交级数展开)()(01tsts1反相（互补）信号反相（互补）信号 ，)(1ts)(0ts0 )( )(100101TdttstsEE与与 正交，正交，2022-5-15随机信号分析41NknsdttftntszHkkTkk , 2 , 1 )()()( :1011NknsdttftntszHkkTkk , 2 , 1 )()()( :0000Tkkdttftss011 )()( 归一化正交函数集归一化正交函数集 Tkkdttftss000 )()( 高斯随机变量高斯随机变量Tkkdttftnn0 )()( 4.4 4.

50、4 一般二元检测一般二元检测1 1正交级数展开法正交级数展开法（1 1）正交级数展开）正交级数展开2)()()var(02200NnEszEHzkkkkkksHzE00)(kksHzE11)(2)()()var(02211NnEszEHzkkkk（2 2）似然函数和判决规则）似然函数和判决规则在假设在假设 下下0H1H在假设在假设 下下2022-5-15随机信号分析424.4 4.4 一般二元检测一般二元检测1 1正交级数展开法正交级数展开法NkkNNkkNNkkkkNsNsNsszNtz120012101010lim1lim1)(lim2)(ln0001000010 )( )(2 )( )(

51、2NENEdttstzNdttstzNTT00100010001 )(21ln2 )( )( )( )()(EENHHdttstzdttstztzlTT（2 2）似然函数和判决规则）似然函数和判决规则NkkkkkkNNkNszNNszNkNNsssszNtzkkkk120210101)(211)(1211)(21explimexpexplim)(02000210似然函数似然函数为：为：对数似然函数对数似然函数为：为：检验统计量检验统计量 Tkkdttftss0 )()( Tkkdttftzz0 )()( )(lim)(tstsNNNkkkNtfsts1)()(Tt 0NkkkNtfs1 )(l

52、im)(tsN)(tsTdttsE0211 )(TdttsE0200 )(2022-5-15随机信号分析434.4 4.4 一般二元检测一般二元检测1 1正交级数展开法正交级数展开法相关检测系统相关检测系统Tdt0)()(1ts)(0ts)(tz判决电路1H0H0 0 0 门门限限成成立立成成立立Tdt0)(匹配滤波器TttTsth0 )()()(tzTt 时刻判决电路1H0H0 0 0 门门限限成成立立成成立立匹配滤波器TttTsth0 )()(Tt 时刻匹配滤波检测系统匹配滤波检测系统（3 3）最佳检测系统（又称最佳接收机）的结构）最佳检测系统（又称最佳接收机）的结构2022-5-15随机

53、信号分析444.4 4.4 一般二元检测一般二元检测1 1正交级数展开法正交级数展开法（4 4）接收机性能）接收机性能 TTdttstzdttstztzl0001 )( )( )( )()( 高斯随机变量高斯随机变量 )|var()|()|(02012HlHlEHlEd100011 )( )( )( )()(HdttstzdttstzEHlETT011001011 )( )()( )( )()(EEEdttstntsdttstntsETT 描述了描述了 、 、 、 的关系的关系FPDPd)(00TdttstsEE00101 )( )(10010)(EEEHlE)2(2)var()var(010

54、1001EEEENHlHl)2(201010EEEEN2022-5-15随机信号分析450200)( )var(HHlElEHl2001000010 )( )()( )( )()( EEEdttstntsdttstntsETT20001 )( )( )( )( TTdttntsdttntsET TT TT TdtduuntnustsdtduuntnustsdtduuntnustsE0 0010 0000 011 )( )( )( )(2 )( )( )( )( )( )( )( )( T TT TT TdtduuntnEustsdtduuntnEustsdtduuntnEusts0 0010

55、0000 011 )( )()( )(2 )( )()( )( )( )()( )()2(201010EEEEN4.4 4.4 一般二元检测一般二元检测1 1正交级数展开法正交级数展开法（4 4）接收机性能）接收机性能 描述了描述了 、 、 、 的关系的关系FPDPd)(00)(2)(0utNutRnTdttsE0211 )(TdttsE0200 )(TdttstsEE00101 )( )(12022-5-15随机信号分析462ln)(001dderfcPHHPF2ln)(011dderfcPHHPD4.4 4.4 一般二元检测一般二元检测1 1正交级数展开法正交级数展开法（4 4）接收机性能

56、）接收机性能 描述了描述了 、 、 、 的关系的关系FPDPd)(001E0E在信号能量在信号能量 和和 保持不变的情况下，波形相关系数保持不变的情况下，波形相关系数 将影响将影响检测系统的性能。检测系统的性能。)2(2010102EEEENd2022-5-15随机信号分析474.4 4.4 一般二元检测一般二元检测1 1正交级数展开法正交级数展开法2 2充分统计量法充分统计量法前提：前提：任一组正交函数都可作为白噪声情况下的展开函数任一组正交函数都可作为白噪声情况下的展开函数。TdttstsEE00101 )( )(11)(1ts)(0ts 与与 不一定正交不一定正交)(1ts)(0ts与与

57、 的波形相关系数为的波形相关系数为2022-5-15随机信号分析48（1 1）寻找正交函数集）寻找正交函数集4.4 4.4 一般二元检测一般二元检测2 2充分统计量法充分统计量法)()(1111tstfE令令)(1ts 与与 有关有关)(0ts 要求与要求与 有关，且与有关，且与 正交正交?)(2tf)(1tf根据根据格拉姆施密特（格拉姆施密特（Gram-SchmidtGram-Schmidt）正交化）正交化方法方法 )(0ts)(1)(111tsEtfTt 0)(1tf)(2tg用用 和和 生成在生成在 内与内与 正交的信号正交的信号)( )()( )()()()(1010100210tst

58、stfdttftststgEETTEEEEEEdttstststststsTdttgtgtf0101021102201100 )()( 2)()()( )(02222)()()(TdttstsEE00101 )( )(1)( )(10 )1 (11002tstsEEE2),(ktfk)(1tf)(2tf其余的其余的 ，可选与，可选与 、 正交的任意函数集正交的任意函数集 , 2 , 1 )()(0kdttftzzTkk2022-5-15随机信号分析49110111011 )()()( )()(1nEdttstntsdttftzzTET4.4 4.4 一般二元检测一般二元检测2 2充分统计量法充分统计量法2200100 )1 (1022)1 ( )( )()()( )()(10102nEdttststntsdttftzzTEEEET在假设在假设 下下0H1H在假设在假设 下下100101011 )()()( )()(1nEdttstntsdttftzzTETTdttstsEE00101 )( )(120101 )1