大学电磁场第二讲

1、矢量场的通量与散度通量：矢量 E 沿有向曲面S的面积分 0 0 ( (有正源有正源) ) = = 0 0 ( (无源无源) )矢量场的通量矢量场的通量 0 0 ( (有负源有负源) )矢量场的通量矢量场的通量 若S S 为闭合曲面，则sd sESE dS可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:矢量场散度（通量密度） 如果包围点P的闭合面S S所围区域V V以任意方式缩小为点P时,通量与体积之比的极限存在，即Sv10vdSAAlimdiv散度(divergence)直角坐标系计算公式zAyAxAzyxAA div散度的物理意义散度代表矢量场的通量源的分布特性 A A= 0 (无源） A A=

2、0 (负源) A A= 0 (正源) 在矢量场中，若 A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A A=0，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；矢量场的环量与旋度环量：矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分LdlA例：流速场水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源环量密度 过点P作一微小曲面S S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S S点P时,存在极限LdS1dSdPSllim定义为环量密度，取不同的路径，其环量密度不同。旋度旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。它与

3、环量密度的关系为ndSdeA rot AArot 在直角坐标系下zyxzyxzyxAAAeeeA旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点P 的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 在矢量场中，若A A=J J0,称之为旋度场 (或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)； 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 若矢量场处处A A=0，称之为无旋场。高斯公式(散度定理)V1nn0VnSdVVlimdnAASASv10vdSAAlimdiv由于A是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对 A 体积分后，为穿出闭合面S S的通量 该公式表明了区域V 中场A A与边界 S上

4、的场A A之间的关系。高斯公式VSdVdASA 矢量函数的面积分与体积分的互换。斯托克斯(Stockes)定理A A 是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为iiddilSAAl)(SAlAd)(dSlStockesStockes定理定理在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。 矢量函数的线积分与面积分的互换。 该公式表明了区域S中场A A与边界L上的场 A之间的关系亥姆霍兹定理在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。已知矢量A A的通量源密度矢量A A的旋度源密度场域边界条件在电磁场中电荷密度电流密度J场域边界条件（

5、矢量（矢量A唯一地确定）唯一地确定）例：判断矢量场的性质?FF?FF?FF=0=0=000=03. 电磁场物理模型的构成源量点电荷：q、单位：C。电荷体密度：、单位：C/m3。电荷面密度：、单位：C/m2。电荷线密度：、单位：C/m。如果已知上述各种电荷的分布规律，则对应的q、 和 都应是已知的空间坐标变量的函数。又若已知电荷均匀分布，则意味着这些源量都将是某个已知的常量。电流：i、单位：A。电流密度（面积电流）：J、单位：A/m2。面电流密度：K、单位：A/m。场量电场强度：E、单位：V/m。磁感应强度（磁通密度）：B、单位：T。电磁性能参数电介质：介电常数、单位：F/m。真空中， 磁介质：

6、磁导率、单位：H/m。真空中，导电媒质：电导率、单位：S/m12-9-0108.85410361-70104 媒质的构成方程（本构关系）电位移矢量：D、单位：C/m2。磁场强度：H、单位：A/m。构成方程（本构关系）： ED BH EJ 4.电磁场的基本规律-麦克斯韦方程组 tDJHt BE0BD 第一章第一章 静电场静电场1.1 电场强度1.2 高斯定律1.3 静电场基本方程1.4 静电场边值问题1.5 分离变量法1.6 有限差分法1.7 镜像法和电轴法1.8 电容和部分电容1.9 静电能量与力1.1.1 库仑定律1.1 电场强度 21202121R4qqeFN( 牛顿)1221FF适用条件

7、 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力; 无限大真空情况 (式中可推广到无限大各向同性均匀介质中1291085. 836100F/m)(022102112R4qqeFN( 牛顿)结论：电场力符合矢量叠加原理图1.1.1 两点电荷间的作用力 库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明: 真空中两个静止的点电荷 与 之间的相互作用力:2q1q 当真空中引入第三个点电荷 时，试问 与 相互间的作用力改变吗? 为什么？3q1q2q1.1.2 静电场基本物理量电场强度定义： t0qq)z,y,x()z,y,x(limtFEV/m (N/C) 电场强度（Electric Field Intensit

8、y ) E 表示单位正电荷在电场中所受到的力(F ), 它是空间坐标的矢量函数, 定义式给出了E 的大小、方向与单位。a) 点电荷产生的电场强度r20tpr4qq)(eFrEV/m4qq)(20tprrrrrrFrE304)(qrrrrR20R4qeV/m图1.1.2 点电荷的电场 b) n个点电荷产生的电场强度 (注意:矢量叠加)c) 连续分布电荷产生的电场强度)(dq41)(30rrrrrrdEkN1k2kk0kkN1k2kk0Rq41q41)(errrrrrrEV/m体电荷分布dV)(dqrdq41)(V30rrrrrER v20Rdv)(41er面电荷分布R s20Rds)(41)(e

9、rrE) (dsdqr线电荷分布Rl20Rdl)(41)(errE) (dldqr图1.1.3 体电荷的电场试求P 点的电场.解: 采用直角坐标系, 令y轴经过场点p,导线与x轴重合。)yx(4dx)y,x(dE22odEyxxdE22xdEyxydE22y)11(4)(4221222222221yLyLdxyxxyxEoLLox)yLLyLL(4dxyxy)yx(4E22112222o22LL22o21y,时当21LLLxxyypEE)y(eeE(直角坐标)y0y2ezzEEE)z ,(eeeE( 圆柱坐标)e02图1.1.4 带电长直导线的电场例1.1.1 真空中有长为L的均匀带电直导线 , 电荷线密度为 , 无限长直均匀带电导线产生的电场为平行平面场。 电场强度 的矢量积分一般先转化为标量积分, 然后再合成,即)z , y, x(EzzyyxxEEEeeeE 点电荷的数学模型 积分是对源点 进行的,计算结果是场点 的函数。) , , (zyx),(zyx 点电荷是电荷体分布的极限情