函数模型的应用实例

1、函函 数数 模模 型型 的的应应 用用 实实 例例基本步骤：基本步骤：第一步：阅读理解，认真审题第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息。把握住新信息。第二步：引进数学符号，建立数学模型第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为设自变量为x，函数为，函数为y，并用，并用x表示各相关量，然后根据问题已知表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理

2、知识及其他相关知识建立函条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。即所谓建立数学模型。第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果。题（即数学模型）予以解答，求得结果。 第四步：再转译为具体问题作出解答。第四步：再转译为具体问题作出解答。 实际问题实际问题 数学模型数学模型实际问题实际问题 的解的解抽象概括抽象概括数学模型数学模型 的解的解还原说明还原说明推理推理演算演算例例1

3、：150房价（元） 住房率（%） 160 55 140 65 120 75 100 85 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：设旅馆一天的收入为y元，每天房价相 对160元下降x元. 则y=150(160-x)(55+0.5x)% =0.75(-x2+50 x+17600) (0 x90) 当x=25时，y取得最大值. 所以当每天的房价为135元时，每天 的客房总收入最大，最大收入为 13668.75 元，且每天住房率为67.5%. 例例2 2：某旅游公司有客房300间,每间房租为200元,每天客满,公司欲提高档次,并提高租金.如果每间客房每日增加20元,客房出租就减少10间,若不考虑其他

4、因素,公司将房租提高到多少时,每天客房的租金总收入最高？(每次房租提高为20的整数倍) 解：设公司将房租提高解：设公司将房租提高x个个20元元,则每天客房的租金收则每天客房的租金收 入为入为: y=(200+20 x)(300-10 x)=60000+400 x-200 x2 所以，当所以，当x=10时，时，y最大值最大值=80000， 所以客房的租金为所以客房的租金为200+2010=400.答：将房租提高到答：将房租提高到400元元/间时间时,客房的租金总收入最高客房的租金总收入最高, 每天为每天为80000元元.例例3 3：学校某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为学校某桶装水经

5、营部每天的房租、人员工资等固定成本为200200元，每桶元，每桶 水的进价是水的进价是5 5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价（元）销售单价（元）日均销售量（桶）日均销售量（桶）6 67 78 89 9101011111212480480440440400400360360320320280280240240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？分析：由表中信息可知分析：由表中信息可知:销售单价每增加销售单价每增加1元，日均销售量就减少元，日均销售量就减少 4

6、0桶；桶；计算每天销售数量；计算每天销售数量；建立利润关于价格的函数（建模）。建立利润关于价格的函数（建模）。解：设在进价基础上增加解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为元，则有日均销售量为 xx40520) 1(40480 （桶）（桶） 而 130, 040520, 0 xxx即且1490)5 . 6(4020052040200)40520(22 xxxxxyyx时，当5 .6有最大值有最大值 只需将销售单价定为只需将销售单价定为11.511.5元，就可获得最大的利润。元，就可获得最大的利润。 练习练习1 1：一家旅社有一家旅社有100100间

7、相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每间每天房价每间每天房价住房率住房率2020元元1818元元 1616元元1414元元6565 757585859595要使每天收入达到最高，每间定价应为（要使每天收入达到最高，每间定价应为（ ）A.20A.20元元 B.18B.18元元 C.16C.16元元 D.14D.14元元2. 2.将进货单价为将进货单价为8080元的商品按元的商品按9090元一个售出时，能卖出元一个售出时，能卖出400400个，已知这

8、种商品个，已知这种商品每个涨价每个涨价1 1元，其销售量就减少元，其销售量就减少2020个，为了取得最大利润，每个售价应定为个，为了取得最大利润，每个售价应定为( )( ) A.95 A.95元元 B.100B.100元元 C.105C.105元元 D.110D.110元元CAy=(90+x-80）（）（400-20 x)练习2：为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已 知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为 （a为常数），如图所示据图中提供的信息，回答下列问题：（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（

9、毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 ；（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室0.11y（毫克）x（小时）116t ay110110010(1)111610tttyt (2) 0.6这个函数的图像如下图所示：这个函数的图像如下图所示：解解(1)(1)阴影部分的面积为阴影部分的面积为阴影部分的面积表示汽车在这阴影部分的面积表示汽车在这5 5小时内行驶的路程为小时内行驶的路程为360km360km360165175190180150 (2) (2)根据图形可得：根据图形可得：S200450 t10

10、 t2054) 1(80t21 t2134)2(90t32 t2224)3(75t43 t2299)4(65t54 t 例例4 4：一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：（1 1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2 2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km2004 km， 试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skmskm与时间与时间thth的函数的

11、函数 解析式，并作出相应的图象解析式，并作出相应的图象908070605040302010vt12345y在在x 250，400上是增函数上是增函数 数量(份)价格(元)金额(元)买进卖出退回则每月获利润则每月获利润y（6x750）（）（0.8x200）6x0.8x550（250 x400） x400份份时，时，y取得最大值取得最大值870元元 答：每天从报社买进答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为份时，每月获的利润最大，最大利润为870元元 例例5：一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格元，卖出的价格是每份

12、是每份0.30元，卖不完的还可以以每份元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社在一个元的价格退回报社在一个月（以月（以30天计算）有天计算）有20天每天可卖出天每天可卖出400份，其余份，其余10天只能卖天只能卖250份，但份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？30 x0.206x20 x+102500.306x+75010(x-250)0.080.8x-200( )Pf t例例6：某蔬菜基地种植西红柿，由历

13、年市场行情得知，从二月一日某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的起的300天内，西红柿市场售价与上市时间关系用图天内，西红柿市场售价与上市时间关系用图1的一条折线表的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示：的抛物线表示：（1）、写出图）、写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式表示的市场售价与时间的函数关系式，写出图写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式表示的种植成本与时间的函数关系式( )Qg t（2）、认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿）、认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西

14、红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位： ，210 kg元时间单位：天）时间单位：天） 0200300t100300P0tQ50150300100150解解(1)由图由图1可得市场售价与时间的函数关系式为可得市场售价与时间的函数关系式为:300,0200( )2300,200300ttf ttt 由图由图2可得种植成本与时间的函数关系式为可得种植成本与时间的函数关系式为:21( )(150)100,0300200g ttt (2)设设 时刻的纯收益为时刻的纯收益为 ,则由题意得则由题意得 即即t( )h t( )( )( ),h tf tg

15、t22171025,200300211175,020020002( )2022tttttth t 200300t 时时,配方整理得配方整理得 ,所以当所以当 时时, 取得取得 上的最大值上的最大值当当0200t 时时,配方整理得配方整理得21( )(50)100,200h tt 所以当所以当50t 时时,( )h t取得取得0,200上的最大值上的最大值100;当当21( )(350)100200h tt 300t ( )h t(200,30087.5综上综上,由由 可知可知, 在在 上可以取得最大值上可以取得最大值100,此时此时 =50,即二月一日开始的第即二月一日开始的第50天时天时,上

16、市的西红柿纯收益上市的西红柿纯收益最大最大.10087.5( )h t0,300t例例7 7：某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为4040元，出场单价元，出场单价 定为定为6060元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过过100 100 件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低低0.02 0.02 元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500500件。件。 （1 1）设一次订购量为）设一次订购量为x x件，

17、服装的实际出厂单价为件，服装的实际出厂单价为P P元，写元，写出函出函 数数P P= =f f（x x）的表达式，）的表达式， （2 2）当销售商一次订购）当销售商一次订购450450件服装时，该服装厂获得的利件服装时，该服装厂获得的利润是润是 多少元？（服装厂售出一件服装的利润多少元？（服装厂售出一件服装的利润= =实际出厂单价实际出厂单价- -成本）成本） (1)10060100500600.02100625060, 01006210050050 xPxxPxxPf xxx解： 当0时，；当时，（2）设销售商一次订购销售商一次订购x x件服装时，该服件服装时，该服 装厂获得的利润是装厂获得

18、的利润是L L元，则元，则 220 , 0100,4022100500504505850 xxLPxxNxxxxL，所以当时，答：销售商一次订购答：销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的件服装时，该服装厂获得的 利润是利润是5850元元 例8： 某小型自来水厂的蓄水池中存有400吨水， 自来水厂每小时可向蓄水池中注入60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断地供 水，t小时内供水总量为120(6t)0.5吨（0t24） （1）从供水开始后几个小时，蓄水池中的水量最少？最少水量有多少吨？ （2）若蓄水池中水量少于80吨，就会出现供水紧张现象。试问在一天24小时内，有几个小时出现供水紧张现象？并说

19、明理由。解：(1)设蓄水池中供水t小时后的总水量为y吨，则40060120024yttt 260640 02 6ytt配方整理得：min640ty当，从供水开始后6小时，蓄水池水量最少，最少水量一40吨.(2)80166440060120 68066yttt依题意当时，会出现供水紧张现象即64168.66一天中有小时出现供水紧张现象ODCBA224xyxRR 定义域为定义域为:|02xxR 例10：如图：在边长为4的正方形ABCD的 边上有 一动点P，沿着折线BCDA由点 B（起点） （终点）运动，设点P 运动的路程为x，三角 形APB的面积为y. 求 (1) y与x之间的函数关系式： （2）

20、画出y=f(x)的图像. 2 , 048 ,482 12, 812xxyxxx例11：如图，铁路线上AB段长100km，工厂C到铁路的距离CA为20km。现要在AB上某一点D处，向C修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为3：5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少，点D应选在何处？DCBA.3DAxaay设，铁路吨千米运费为，公路吨千米运费为5 ，总费用为 元2310054000,100yaxax x则23005 4003yaxxa即：22300166100000yatxtxta令， 则min0808015ttx 由， 此时15DAkm答：当点 选在距处时，总费用最省

21、.例例12：某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和台和6台。现销售给台。现销售给A地地10台，台，B地地8台台. 已知从甲地调动已知从甲地调动1台至台至A地、地、B地的运费分别为地的运费分别为400元和元和800元，从乙地调运元，从乙地调运1台至台至A地、地、B地的费地的费用分别为用分别为300元和元和500元元.（1）设从乙地调运）设从乙地调运x台至台至A地，求总费用地，求总费用y关于台数关于台数x的函数式；的函数式；（2）若总运费不超过）若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案；元，问共有几种调运方案；（3）求出总运费最低的调运方案

22、及最低的费用）求出总运费最低的调运方案及最低的费用.分析：将所获得的信息表格法分析：将所获得的信息表格法调调 出出 地地甲甲 地地乙乙 地地调调 至至 地地A地地B地地A地地B地地台台 数数每台运费每台运费运费合计运费合计10-x12-(10-x)x6-x400800300500400(10-x)800(2+x)300 x500(6-x)例例3： 人口问题是当今世界各国普遍关注的问人口问题是当今世界各国普遍关注的问题题,认识人口数量的变化规律，可以为有效控制认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。人口增长提供依据。1798年英国经济学家马尔年英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态

23、下的人口增长模型：萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：年份年份1950195119521953195419551956195719581959人数人数（万人）（万人）55196563005748258796602666145662828645636599467207其中t表示经过的时间， 表示t0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。下表是19501959年我国的人口数据资料：0yrteyy0（1 1）依题意得：依题意得： y=400(10-x)+800(2+x)+300 x+500(6-xy=400(10-x)+800(2+x)+300 x+500(6-x） 即即y=200(x+43y=2

24、00(x+43） （0 x60 x6，xZ)xZ)（2 2） 由由y9000y9000，解得，解得x2x2， 因为因为0 x60 x6，xZxZ，所以，所以x=0 x=0，1 1，2 2 答：答： 共有三种调运方案共有三种调运方案. .（3 3） 由一次函数的单调性知，由一次函数的单调性知，x=0 x=0时，时， 总费用最低，最低费用为总费用最低，最低费用为86008600元元. .答：答： 从乙地调从乙地调6 6台给台给B B地，甲地调地，甲地调1010台给台给A A地，调地，调 2 2 台给台给B B地的调运方案的总运费最低，最低地的调运方案的总运费最低，最低 运费为运费为86008600元。元。(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符;于是, 19511959年期间,我国人口的年均增长率为解：设19511959年的人口增长率分别为129,rrr由55196(1+r1)=56300得r1=0.0200,同理可得:r20.0210, r30.0229, r40.0250 r50.0190, r60.0223, r70.0276 r80.0222, r90.0