材料力学第七章_3_+应变能密度和强度理论

1、 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论材 料力学第第7 7章章应力状态和强度理论应力状态和强度理论 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论材料力学实验（拉、压、扭）：材料力学实验（拉、压、扭）：5月月11日（本周日）日（本周日）地点：地点：1号实验楼一楼号实验楼一楼 安全安全12-112-1、12-312-3：上午：上午9:00-12:009:00-12:00 安全安全12-212-2、12-412-4：下午：下午3:00-6:003:00-6:00 安全安全12-512-5：晚上：晚上7:00-9:307:00-9:30材料力学期

2、末考试材料力学期末考试考试时间：考试时间：6月月7日（日（15周周六）周周六）上午上午8:30-10:30。考试地点：考试地点：3205、3206、3207考试方式：闭卷、考试方式：闭卷、统考统考。 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论cos2sin222xyxyx sin2cos22xyx 斜截面上的应力：斜截面上的应力：2max2min22xyxyx 主应力的解析表达式：主应力的解析表达式：1022tan ()xxy 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论D xo o xy xA y yD应力圆的作法：应力圆的作法：2 22 2

3、1 1 minmax最大和最小切应力的表达式：最大和最小切应力的表达式： 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论123123123 A 1O 2BC 3k1 2 3 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论,yzyzG ,xyxyG Gzxzx zyxxE 1 xzyyE 1 1zzxy E 各向同性材料的广义胡克定律：各向同性材料的广义胡克定律： 上述一组方程为用应力表示应变，若用应变表示应力，上述一组方程为用应力表示应变，若用应变表示应力，该如何改写？该如何改写？ 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论

4、二、各向同性材料的体积应变二、各向同性材料的体积应变123123构件每单位体积的体积变化构件每单位体积的体积变化, , 称为体积应变用称为体积应变用表示表示. .如图所示的单元体，三个边长为如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3变形后的边长分别为变形后的边长分别为变形后单元体的体积为变形后单元体的体积为a1(1+ ，a2(1+ 2 ，a3(1+ 3 V=a1(1+ a2(1+ 2 a3(1+ 3 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论体积应变体积应变为：为：112233123123123123123123123 (1)(1)(1) (1) VVVa

5、aaa a aa a aa a aa a aa a a 32111E 13221E 21331E )(21321E 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论令令1231()3m)21(3 EKKm m称为平均正应力称为平均正应力，K 称为体积弹性模量称为体积弹性模量。上式称为体上式称为体积胡克定律。积胡克定律。纯剪切应力状态下的体积应变纯剪切应力状态下的体积应变即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变. .xy 3102 0 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论 目目 录录7-

6、-1 应力状态概述应力状态概述7-2 7-2 平面应力状态分析平面应力状态分析主应力主应力7-3 7-3 空间应力状态的概念空间应力状态的概念7-4 7-4 应力与应变间的关系应力与应变间的关系7-5 7-5 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度7-6 7-6 强度理论及其相当应力强度理论及其相当应力7-7 7-7 强度理论的应用强度理论的应用 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论一、应变能密度的定义一、应变能密度的定义二、应变能密度的计算公式二、应变能密度的计算公式1、单向应力状态下，物体内积蓄的应变能密度为单向应力状态下，物体内积蓄的应变能密

7、度为v21 物体在单位体积内所积蓄的应变能。物体在单位体积内所积蓄的应变能。7-9 空间应力状态的应变能密度空间应力状态的应变能密度 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论将广义胡克定律代将广义胡克定律代入上式入上式, 经整理得经整理得2、三个主应力同时存在时、三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度为单元体的应变能密度为)(21332211v 133221232221221Ev 应变能密度应变能密度 v等于两部分之和等于两部分之和dvvvV 32111E 13221E 21331E 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论2321)

8、(621 EvV式中，体积改变能密度为：式中，体积改变能密度为：形状改变能密度为：形状改变能密度为：)()()(61213232221dEv 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论 例例9 988证明弹性模量证明弹性模量E 、泊松比、泊松比 、切变、切变弹性模量弹性模量G 之间之间的关系为的关系为 。)1(2 EG 3 1证明：证明： 纯剪应力状态应变能密度为纯剪应力状态应变能密度为211122vG321, 0,用主应力计算比能用主应力计算比能2222123122331222212 ()2110()2 (00)2vEEE 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7

9、章 应力和应变分析强度理论12vv 22121 EG 2(1)EG 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论一、一、强度理论的概念强度理论的概念max max 11-5 11-5 强度理论强度理论 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论3. 强度理论的提出强度理论的提出 杆件基本变形时，危险点处于单向应力状态或纯剪切应力杆件基本变形时，危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，其强度条件分别为状态，其强度条件分别为 max max 许用应力可由实验测出。许用应力可由实验测出。 在复杂应力状态下，不可能测出每一种应力状态下的极在复杂应力状态

10、下，不可能测出每一种应力状态下的极限应力，因此提出了材料在不同应力状态下产生某种形式破限应力，因此提出了材料在不同应力状态下产生某种形式破坏的共同原因的各种假设，这些假设称为强度理论。强度理坏的共同原因的各种假设，这些假设称为强度理论。强度理论的核心是认为复杂应力状态下的某一因素达到简单拉伸的论的核心是认为复杂应力状态下的某一因素达到简单拉伸的试验破坏时的同一因素，材料也将失效。试验破坏时的同一因素，材料也将失效。 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论二、常用四个强度理论二、常用四个强度理论 第一强度理论（最大拉应力理论）第一强度理论（最大拉应力理论） 该理论不

11、论材料处于什么应力状态，引起材料脆性断裂该理论不论材料处于什么应力状态，引起材料脆性断裂破坏的主要原因是最大拉应力，并认为当复杂应力状态的最破坏的主要原因是最大拉应力，并认为当复杂应力状态的最大拉应力达到单向应力状态破坏时的最大拉应力时，材料便大拉应力达到单向应力状态破坏时的最大拉应力时，材料便发生断裂破坏。由此，材料的断裂判据为发生断裂破坏。由此，材料的断裂判据为1u 强度条件为：强度条件为： 1 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论 第二强度理论（最大伸长线应变理论）第二强度理论（最大伸长线应变理论） 该理论认为材料发生脆性断裂破坏是由最大拉应变引起该理论认

12、为材料发生脆性断裂破坏是由最大拉应变引起的：复杂应力状态下，当最大拉应变的：复杂应力状态下，当最大拉应变 1达到单向拉伸达到单向拉伸时发生时发生脆性断裂破坏的极限应变时脆性断裂破坏的极限应变时，材料，材料发生脆性断裂破坏，即断发生脆性断裂破坏，即断裂条件为裂条件为强度条件为强度条件为：u11231()EE )(321 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论 第三强度理论（最大切应力理论）第三强度理论（最大切应力理论） 该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由最大切应力引起该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由最大切应力引起的：复杂应力状态下，当最大切应力的：复杂应力状态下，

13、当最大切应力 max达到单向拉伸达到单向拉伸时发时发生塑性屈服破坏的最大切应力生塑性屈服破坏的最大切应力 S 时，材料时，材料发生塑性屈服破发生塑性屈服破坏，即屈服条件为坏，即屈服条件为强度条件为：强度条件为：22S31max 31 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论 第四强度理论（形状改变能密度理论）第四强度理论（形状改变能密度理论） 该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由形状改变能密度该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由形状改变能密度引起的：复杂应力状态下，当形状改变能密度引起的：复杂应力状态下，当形状改变能密度vd 达到单向达到单向拉伸拉伸时发生塑性屈服破坏的

14、形状改变能密度时发生塑性屈服破坏的形状改变能密度vd，材料，材料发生塑发生塑性屈服破坏。性屈服破坏。相关理论分析可得三向应力状态下的形状改变能密度为相关理论分析可得三向应力状态下的形状改变能密度为222d1223311()()() 6vE 单向拉伸至屈服时单向拉伸至屈服时， ， s 1032 代入上式得到单向拉伸至屈服时的形状改变能密度为代入上式得到单向拉伸至屈服时的形状改变能密度为 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论强度条件为：强度条件为：2s213232221d31)()()(61 EEv s)()()(21213232221 )()()(21213232

15、2212ds13vE 按照形状改变能密度理论，屈服判据为按照形状改变能密度理论，屈服判据为 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论 1. 强度理论的统一形式：强度理论的统一形式：11r2123()r 313r)()()(212132322214r r r 称为称为相当应力相当应力第一第一相当应力相当应力第二第二相当应力相当应力第三第三相当应力相当应力第四第四相当应力相当应力三、强度理论的应用三、强度理论的应用 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论2. 强度理论的选用强度理论的选用一般情况下：脆性材料通常发生脆性断裂破坏，应一般情况下

16、：脆性材料通常发生脆性断裂破坏，应 采用第一和第二理论；采用第一和第二理论； 塑性材料通常发生塑性屈服破坏，应塑性材料通常发生塑性屈服破坏，应 采用第三和第四理论。采用第三和第四理论。特殊情况下：三向受拉时，不论是脆性材料还是塑特殊情况下：三向受拉时，不论是脆性材料还是塑 性材料，用第一和第二理论；性材料，用第一和第二理论； 三向压缩时，不论是脆性材料还是塑三向压缩时，不论是脆性材料还是塑 性材料，用第三和第四理论。性材料，用第三和第四理论。 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论例题例题9 根据强度理论根据强度理论 , 对于塑性材料，可由单轴拉伸时的对于塑性材料

17、，可由单轴拉伸时的 推知纯剪切应力状态下的推知纯剪切应力状态下的 .纯剪切应力状态下纯剪切应力状态下: 1 = , 2 = 0 , 3 = 按第三强度理论得强度条件为：按第三强度理论得强度条件为：另一方面，剪切的强度条件是另一方面，剪切的强度条件是：所以所以 = 0.5 2)(31 2 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论 为材料在单向拉伸时的许用拉应力为材料在单向拉伸时的许用拉应力.材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为 . 3 3)()0()0(21222 按第四强度理论得强度条件为：按第四强度理论得强度条件为： 6 . 0

18、577. 03 按第三强度理论得到按第三强度理论得到：按第四强度理论得到：按第四强度理论得到： = 0.5 0.6 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论 例例11.10 图示工字型焊接钢板梁，尺寸及载荷如图所示。图示工字型焊接钢板梁，尺寸及载荷如图所示。已知已知 ，梁的许用应力为，梁的许用应力为 = 150MPa， = 90MPa. 试校核梁的强度。试校核梁的强度。Fl=400 mmkN 80F100 102007 10 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论Fl=400 mmSFxkN 80mkN 32 xM解解 1. 确定危险截

19、面：确定危险截面： 梁的剪力图和弯矩图如图所示。梁的剪力图和弯矩图如图所示。固定端截面为危险截面固定端截面为危险截面。 2. 校核最大正应力校核最大正应力3364100 20093 1801212 21.47 10 mmzI6421.47 10 m 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论64633max21.47 10 m214.7 10 m100 10 mzzIWy 36maxmax6332 10 N m149 10 Pa=149 MPa214.7 10 mMW 即满足正应力强度要求即满足正应力强度要求 3. 3. 校核最大切应力：校核最大切应力：*363(10

20、0 mm 10 mm)95 mm(7 mm90 mm)45 mm 123350 mm123.3510 mzS *363max6336(80 10 N) (123.35 10 m )(21.47 10 m ) (7 10 m) 65.7 10 Pa=65.7 MPaSzzF SI d 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论切应力也满足强度要求。切应力也满足强度要求。4. 4. 主应力校核主应力校核：100 102007 10 取取 A 点分析点分析 3364(32 10 N m) (90 10 m)21.47 10 mAzMyI 6134 10 Pa=134 MPa

21、 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论*3333636(80 10 N) (100 10 m)(10 10 m)(95 10 m)21.47 107 10 50.6 10 Pa=50.6 MPaSzzF SI d 21232222 22xyxyx 22222r4122331132 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第 7章 应力和应变分析强度理论 22(134 MPa)3 (50.6 MPa)160 MPa 由于该梁的相当应力由于该梁的相当应力 已超过已超过 的的6.7%，超过了，超过了5%，故不满足强度要求。故不满足强度要求。r4 对于焊接的工字梁（又称为钢

22、板梁），需对腹板与翼对于焊接的工字梁（又称为钢板梁），需对腹板与翼缘交接点进行主应力校核。对于符合国家标准的型钢，一缘交接点进行主应力校核。对于符合国家标准的型钢，一般不需要对腹板与翼缘交接点进行主应力校核。因为型钢般不需要对腹板与翼缘交接点进行主应力校核。因为型钢截面在腹板与翼缘交接处有圆弧过渡，且翼缘的内边有一截面在腹板与翼缘交接处有圆弧过渡，且翼缘的内边有一定的斜度，从而增加了交接处的截面宽度。因此，只要保定的斜度，从而增加了交接处的截面宽度。因此，只要保证了梁的最大正应力和最大切应力满足强度条件，腹板与证了梁的最大正应力和最大切应力满足强度条件，腹板与翼缘交接点一般不会出现强度问题。翼缘交接点一般不会出