静定平面桁架

1、本章主要内容提要一、桁架的组成与分类一、桁架的组成与分类二、基本假定二、基本假定三、桁架内力的数解法三、桁架内力的数解法1 1、结点法、结点法2 2、截面法、截面法3 3、特殊杆件、特殊杆件4 4、结点法与截面法的联合运用、结点法与截面法的联合运用5 5、约束代替法、约束代替法四、组合结构的内力计算四、组合结构的内力计算一、桁架及其组成一、桁架及其组成桁架由许多细长杆件连接而成的空腹形式的结构，广泛应用桁架由许多细长杆件连接而成的空腹形式的结构，广泛应用于建筑工程和机械工程。于建筑工程和机械工程。各结点是光滑无摩擦的铰结点各结点是光滑无摩擦的铰结点各杆轴均为直线，且通过铰的几何中心各杆轴均为直

2、线，且通过铰的几何中心荷载作用在结点上荷载作用在结点上1桁架的计算简图桁架的计算简图桁架各杆之间的连接一般由螺栓或焊接（具体在桁架各杆之间的连接一般由螺栓或焊接（具体在钢结构钢结构中学习），为简化计算，通常作如下假设：中学习），为简化计算，通常作如下假设：2桁架的组成及分类桁架的组成及分类 这样的桁架称为这样的桁架称为理想桁架理想桁架。桁架中每根杆仅在两端铰接，这。桁架中每根杆仅在两端铰接，这样的杆称为样的杆称为链杆链杆或或二力杆二力杆。节间 上弦杆腹（竖）杆跨度 L 下弦杆 斜腹杆端柱 桁高1. 1.简单桁架简单桁架桁架分类由简单桁架，按两刚片或三刚片由简单桁架，按两刚片或三刚片法则连接，最

3、后与基础连接法则连接，最后与基础连接3. 3.复杂桁架复杂桁架 由铰结三角形出发，依此增加二元体，最后与基础连接。由铰结三角形出发，依此增加二元体，最后与基础连接。2. 2.联合桁架联合桁架不属于上两类，无法用两刚片不属于上两类，无法用两刚片或三刚片法则分析的桁架。或三刚片法则分析的桁架。简单桁架简单桁架 联合桁架联合桁架 复杂桁架复杂桁架 1应用条件应用条件二、桁架内力的数解法二、桁架内力的数解法（一）结点法（一）结点法（1 1）连接两根不共线杆的结点）连接两根不共线杆的结点( (二二元片元片) )，若该结点上无荷载作用，则，若该结点上无荷载作用，则此两杆的轴力为零。此两杆的轴力为零。 S1

4、=0 S2=0 2特殊杆件特殊杆件（1 1）一般应用于简单桁架，且按与简单桁架增加二元体的）一般应用于简单桁架，且按与简单桁架增加二元体的反向截取结点，可保证每个结点仅有两个未知力。反向截取结点，可保证每个结点仅有两个未知力。 （2 2）原则上，只要截取的结点有不多于两个未知力，均）原则上，只要截取的结点有不多于两个未知力，均可用结点法。可用结点法。 （2）连接三根杆的结点上无荷载三根杆的结点上无荷载，且其中两根杆共线两根杆共线，则另一杆必为零轴力杆另一杆必为零轴力杆（3）X形连接杆件的受力特点。（4）K形连接杆件的受力特点。 S1 S2= - S1 S2 S3=S2 S1=0 S1 S3 =

5、S4 S2 =S1 S4 3相似定理相似定理xxyyLSLSLS B L L y A L xS S y Sx 例题12）取结点）取结点8为研究对象，画出为研究对象，画出受力图受力图N87X=0，N87+40=0，得：得：N87= -40 kN（得负值表示受压）（得负值表示受压） 解：解：1）先找零力杆。）先找零力杆。N67=0，N63=0， N85=0未知轴力未知轴力N87以受拉方向画出。以受拉方向画出。840 kN N85=0 6 7 8 40 kN 3 4 5 40 kN 3m3m4m4m 1 2 4计算例题3）再取结点）再取结点7为研究对象，画出受力图。为研究对象，画出受力图。由于由于s

6、in=0.6 ，cos=0.8，由（，由（1），（），（2）两式得：）两式得： N73= -25 kN（受压）（受压） ，N75= 25 kN（受拉）（受拉） X=0，cos40cos7573NN -（1）Y=0，0sinsin7573NN -（2）N73 N7540 kN0X Y未知轴力未知轴力N73，N75以受拉方向画出以受拉方向画出，已知轴力已知轴力N87以实际以实际方向画出。方向画出。3m3m4m4m123456784 4）再取结点）再取结点3 3为研究对象，画出受力图。为研究对象，画出受力图。未知轴力未知轴力N N7373，N N7575以受拉方向画出，以受拉方向画出， 已知轴力已知

7、轴力N N3737以实际方向画出。以实际方向画出。以后截取结点的顺序依次为：以后截取结点的顺序依次为： 5 5，4 4，1 1 。可保证每个结点不。可保证每个结点不多于两个未多于两个未 知力，顺利求出每根杆的轴力。知力，顺利求出每根杆的轴力。 X X N N3434 N N313125 kN25 kNY Y0cos2534NX=0X=0， - -（1 1）Y=0Y=0，0sin2531N - -（2 2）由于由于sin=0.6 sin=0.6 ，cos=0.8cos=0.8，由（，由（1 1），（），（2 2）两式得：）两式得： N N3434= 20 kN= 20 kN（受拉）（受拉） ，N

8、 N3131= -15 kN= -15 kN（受压）（受压）3m3m3m3m4m4m4m4m1 12 23 34 45 56 67 78 8例题例题2 2找出所有零杆找出所有零杆 P PP PP（二）截面法（截取两个以上结点作为研究对象）（二）截面法（截取两个以上结点作为研究对象）1截面法的应用条件：截面法的应用条件：2截面单杆的概念截面单杆的概念 a 杆系 A 杆系取MA=0，求Na 截面所截断的各杆中，未知力的个数不超过截面所截断的各杆中，未知力的个数不超过3 3个个（1 1）截面截得的各杆中，除某一根杆外，其余各杆都交于）截面截得的各杆中，除某一根杆外，其余各杆都交于同一点。则此杆为截面

9、单杆。如图中的同一点。则此杆为截面单杆。如图中的a a、b b、c c杆杆取MB=0，求Nc abcB（2 2）截面截得的各杆中，除某一根杆外，其余各杆都彼此平）截面截得的各杆中，除某一根杆外，其余各杆都彼此平行（或认为交于无穷远）。则此杆为截面单杆。如图中的行（或认为交于无穷远）。则此杆为截面单杆。如图中的a a杆杆取取Y=0Y=0，先求，先求N Na ya y ，再由相似定理求，再由相似定理求N Na a axyy=0，求Na杆系 取MA=0，求Na 杆系 aA4ddP1233计算例题计算例题求指定杆求指定杆1,2,31,2,3的轴力的轴力P123N1A 解：作解：作-截面截面取右部分为研

10、究对象取右部分为研究对象MA=0，Pd-N1d=0N1=P（拉力）（拉力）N1， N2 ，N3均为截面单杆均为截面单杆例题例题1P123N1AB例题例题2b2m3=6m2m3=6ma10kN10kN 0Xba10kNba10kNx10kN210-aSba10kN 0BM2210CXSkNSCX10kNSC210a10kNBSCSCxbScS0YkNSb10bPP3d3d例题3bANb解：这是复杂桁架，直接结点法不能求解。必须用截面法，这解：这是复杂桁架，直接结点法不能求解。必须用截面法，这就需要找截面单杆。就需要找截面单杆。为此，做为此，做- -截面，取内部为研究对象。如图，截面，取内部为研究

11、对象。如图，N Nb b为截面单杆。为截面单杆。A PNbMMA A=0 =0 ，N Nb b的力臂不易求出。的力臂不易求出。023dPdNby得：32PNby由相似定理，ybybLNLN ，得：PPddNLLNbyyb353225（压力）MMA A=0=0， Nbx Nby Nb B为此，把为此，把N Nb b沿其作用线延长沿其作用线延长至至B B点，然后分解，先求点，然后分解，先求N Nb yb y例题例题4ABPddddab123为求为求N Nb b，取结点，取结点B B为研究对象，为研究对象， X B Nb P Y PPNb2245cos0（拉力）X=0，BAbP例题例题51 1、如图

12、示结构取、如图示结构取-以内为隔离体，以内为隔离体，N1N2N3对其中两个力的交点取矩可对其中两个力的交点取矩可求出另一个力，在这里可得求出另一个力，在这里可得三力全为零。三力全为零。 2 2、用力学概念用力学概念 3 3、几何构造几何构造由三力平衡汇交定理知，由三力平衡汇交定理知，该三力不相交而使物体平衡，该三力不相交而使物体平衡，它们必为零。它们必为零。由里面的小三角形为附属部分，由里面的小三角形为附属部分，不受外力。其内力为零。不受外力。其内力为零。求求1,2,31,2,3杆轴力杆轴力123（三）结点法和截面法的联合应用（三）结点法和截面法的联合应用2 2技巧技巧（1 1）巧取隔离体，即

13、）巧取隔离体，即巧作截面巧作截面，尽力找出截面单杆。，尽力找出截面单杆。（2 2）避免求未知力臂避免求未知力臂，把所求力沿其作用线延长至恰当位置，把所求力沿其作用线延长至恰当位置 后分后分 解，先求分力，再求该力。解，先求分力，再求该力。（3 3）结点法求解时，）结点法求解时，选恰当的坐标系选恰当的坐标系，尽力避免求解联立方程，尽力避免求解联立方程（4 4）结合）结合特殊杆件特殊杆件的受力，结合的受力，结合对称性对称性进行综合分析。进行综合分析。（5 5）利用）利用力学概念力学概念判断杆件受力判断杆件受力在求解桁架内力时，结点法和截面法都可以应用。不必拘泥于那种方法，不分先后，只要能不分先后，

14、只要能简单、快捷简单、快捷求出内力求出内力就是行之有效的1基本理论基本理论 隔离体（研究对象），平衡力系隔离体（研究对象），平衡力系（四）对称性的利用（四）对称性的利用结构对称是指结构的几何对称几何对称荷载正对称荷载正对称是指结构按对称轴折合后荷载重合荷载重合荷载反对称荷载反对称是指结构按对称轴折合后荷载方向反向荷载方向反向 2d 4d 2d 2d2dPPPPPPPP结合结合4 4类特殊杆件，判别一些杆件的内力较方便类特殊杆件，判别一些杆件的内力较方便12PPD对称轴上的K型结点无外力作用时，其两斜杆轴力为零基本结论：基本结论： 对称结构在对称结构在正对称荷载正对称荷载作用下，对称的杆件的轴力

15、必作用下，对称的杆件的轴力必等值同号等值同号 对称结构在对称结构在反对称荷载反对称荷载作用下，对称的杆件的轴力必作用下，对称的杆件的轴力必等值反号等值反号P1P1满足等值反号-N1=0PPP反对称时：与对称轴垂直贯穿的杆轴力为零反对称时：与对称轴重合的杆轴力为零qq例题 求指定杆的轴力，N1，N2，N3ABP4m4m3m4m 123注意注意K K型杆的受力特型杆的受力特性及利用对称性性及利用对称性ABP123ABPABPP三、组合结构的计算三、组合结构的计算 梁式杆 链杆 1组合结构的特点及计算过程由链杆及梁式杆构成由链杆及梁式杆构成-组成组成先计算链杆的轴力，后计算梁式杆的内力先计算链杆的轴

16、力，后计算梁式杆的内力-计算顺序计算顺序截面法时，避免截断梁式杆（受弯杆）截面法时，避免截断梁式杆（受弯杆） -注意事项注意事项例题1A B2m10KN/m2m2m2m2mGCFDEVAVB解解: (1) 求支座反力求支座反力VA=VB=40KN2计算例题求链杆的轴力和受弯杆件的弯矩图求链杆的轴力和受弯杆件的弯矩图A B2m2m2m2m2mGCFDE（2）求桁架的链杆内力）求桁架的链杆内力作截面作截面 - ，取左半为研究对象，取左半为研究对象A GCDVANDEXCyCMC=0，NDE=40 kNX=0，XC= - 40 kNY=0，YC= 0 结点：结点：A BVA2m10KN/m2m2m2

17、m2mGFEVBD40NDGNADCY=0 NDG+NADy=0 NDG= 40kNNAD=40 kNX=0 2NADy=(40/2)2 =40 kN (3) 求梁式杆内力求梁式杆内力A BVA2m10KN/m2m2m2m2mGFEVBD40KN40KN40KNCNDG= 40kNNDE= 40kNACGkNNAD2402400A BGFC40KN-40KN20KNm20KNmA B2m10KN/m2m2m2m2mGCFDE240例题2 5kN/m 10 kN G2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m D E A B 2m C MB=0，6852108AV解：1）支座反力VA VBY=0，得

18、：VB=22.5 kN （向上） 得：VA=27.5 kN （向上） 2）取结点A、B、C为研究对象，25 .27ADNkN（压力），5 .27ACNkN （拉力）5 .22BCNkN（拉力），25 .22BENkN （压力） 25 . 2CDNkN（压力），25 . 2CENkN （拉力）NBE VBNBC BG D E A B C VA NAD A NACNCD NCE C 22.5 27.5 3）取结点D为研究对象，X=0，得：VDG=-25 kN同样，取结点E为研究对象，得：VEH=25 kN 90 90 40 40 50 50 NDG VDG D X 25 .2725 . 25kN/

19、m 10 kNG2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m D E A B 2m C -38.9 -3.5 3.5 -31.8 27.5 22.5 21ABII21B30BM求 N30CM求 N1例题3，试找出求指定杆轴力，作弯矩图的思路21B3CIIII23IIIIC0CM求 N221AB弯矩图做法弯矩图做法Pa/2DMDBN10DM0AMMAN3N1E四、约束代替法四、约束代替法图图1 1 所示结构，支座反力所示结构，支座反力有有4 4个，难以求解。几何构个，难以求解。几何构造分析也不易用刚片法则造分析也不易用刚片法则判断。判断。 P1 P2 B C A 图12 2约束代替法的思路约束代替法

20、的思路1 1约束代替法所解决的问题约束代替法所解决的问题 复杂结构，几何构造分析不易用刚片法则判断，从而没复杂结构，几何构造分析不易用刚片法则判断，从而没有清楚的求解途径。有清楚的求解途径。 P1 P2 B C A 图1P1 P2 B C 图2 1 1）支座）支座A A处的约束反力用力是唯一确定的，用力处的约束反力用力是唯一确定的，用力X X代替代替2 2）按叠加法，）按叠加法，此时结构看作此时结构看作P P1 1、P P2 2、X 3X 3个荷载的共同作用，个荷载的共同作用，但，此时结构本身是少约束，可变体系。但，此时结构本身是少约束，可变体系。为此，在为此，在B B，C C结点虚加链杆结点虚加链杆BCBCXP1 P2 B C图3因此，先计算图因此，先计算图3 3结构的结构的 PBCN，再计算图，再计算图4 4结构的结构的 XBCN（是（是