高等数学课件：w-8-2偏 导 数

1、高等数学第二节第二节 偏偏 导导 数数 一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数二、高阶偏导数重点：多元函数求偏导重点：多元函数求偏导难点：可导、连续与极限的关系难点：可导、连续与极限的关系高等数学一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.高等数学高等数学同同理理可可以以定定义义函函数数),(yxfz 对对自自变变量量y的的偏偏导导数数，记记作作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.高等数学偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处

2、),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 高等数学 求求 223yxyxz 在在点点)2 , 1(处处的的偏偏导导数数 解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例1 1高等数学 设设yxz )1, 0( xx， 求求证证 zyzxxzyx2ln1 . 证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论

3、成立原结论成立 例例2 2高等数学 设设22arcsinyxxz ，求求 xz ，yz . 解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy 例例3 3高等数学 yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在高等数学 已已知知理理想想气气体体的的状状态态方方程程RTpV （R为为常常数数） ，求求证证：1 pTTVVp. 证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 例例4 4高等数学

4、偏导数偏导数xu 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例如例如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 高等数学、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连

5、续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，高等数学4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图高等数学 偏偏导导数数),(00yxfx就就 是是曲曲 面面被被 平平面面0yy 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线xTM0对对x轴轴的的斜斜率率. 偏偏导导数数),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线yTM0对对y轴轴的的

6、斜斜率率.几何意义几何意义: :高等数学),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二、高阶偏导数二、高阶偏导数高等数学设设13323 xyxyyxz， 求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz . 解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y

7、 xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx 例例5 5高等数学设设byeuaxcos ，求求二二阶阶偏偏导导数数. 解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 例例6 6高等数学解解).0 , 0(),0 , 0(,0, 00,),(22222222yxxyffyxyxyxyxxyyxf 求求设设xfxffyfyffyyxyxxxyxy)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(,)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(00 例

8、例7 7, 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(, 0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(,lim)0 ,(),(lim)0 ,(,lim), 0(),(lim), 0(00222200222200 yfyffxfxffxyyxyxxyyxfyxfxfyxyxyxxyxyfyxfyfyyxxyyyxxx而而. 10lim)0 , 0(, 10lim)0 , 0(00 xxfyyfxyxyxy高等数学定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 D D 内连续，那末在该区域内这内连续，那末在该区域内这两个

9、二阶混合偏导数必相等两个二阶混合偏导数必相等问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？注意注意: : 上述条件只是充分的上述条件只是充分的.(?).(?)高等数学解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 验验证证函函数数22ln),(yxyxu 满满足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程 . 02222 yuxu 例例8 8高等数学偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限） 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）三、小结三、小结高等数学若函数若函数),(yxf在 点在