专题86空间向量及空间位置关系练解析版

1、专题8.6空间向量及空间位置关系1.（广东佛山一中2019届期中）平面”的法向量为（1,2,2）,平面3的法向量为（一2,4,k）,若all3,则k等于（）A.2B.-4C.4D.-2【解析】all3，两平面的法向量平行,k2，k4.2 .（广西河池高级中学2019届期末）在空间直角坐标系中，已知A（1,2,3）,B（-2,1,6）,0（3,2,1）,D（4,3,0）,则直线AB与CD的位置关系是（）A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直【答案】B【解析】由题意得，AB=(-3,3,3),Cb=(1,1,1),所以AB=3CD,所以AB与CD共线,又AB与CD没有公共点，所以AB/CD.3

2、.（山东日照一中2019届期中）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点，则AEAF的值为()A.a2B.1a2C.1a2D.fa2244【答案】C【解析】如图，设AB=a,AC=b,AD=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60.AE=1(a+b),AF=2c,AEAF=2(a+b)2c4(ac+bc)=4(a,3吟cos60+a2cos60)=4a2.4.（黑龙江鹤岗一中2019届期末）如图，在空间四边形OABC中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,1CW/OAC=45°,ZOAB=60°,则OA

3、与BC所成角的余弦值为（）【解析】因为EBC=.AC-AB,所以OABC=OAaC-OA能=|OA|AC|cos<OA,AC-|OA|AB|cos<OA,AB=8X4Xcos135-8X6>os120=16避+24.所以cos<OA,BC>=OABC|OA|bC|24-16723-22=8X5=5.即OA与BC所成角的余弦值为3-斗.55 .（江苏金陵中学2019届期中）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a,M,N分别为AiB和AC上的点，AiM=AN=,则MN与平面BB1C1C的彳立置关系是（）A.斜交B.平行C.垂直D.MN在平面BBiCiC

4、内【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1M=AN=、a，则Ma,2a3,N2a2aa,M-a，0,1a又CiDi，平面BBiCiC,所以C；Di=(0,a,0)为平面BBiCiC的一个法向量.因为mNciDi=0,所以亦，CDi,又MN?平面BBiCiC,所以MN/平面BBiCiC.6 .(安徽淮北一中20i9届期末)已知AB=(i,5,2),BC=(3,i,z),若AfeBC,BP=(x-i,y,3),且BP,平面ABC,则实数x+y=.【答案】253+5-2z=0,【解析】由条件得x-i+5y+6=0,3(xi)+y3z=0,右力/日40i5,解得x=,y=-z=4,40

5、i525-x+y=一一一=一777.7 .(浙江余姚中学20i9届期中)正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD中点，则EF的长为.【答案】2【解析】|EF|2=(EC+CD+IDF)2=EC2+CD2+DF2+2(ECCD+ECDF+CDDF)=12+22+12+2(1>2Xcos120+0+2X1>dos120)=2,|E|=V2,EF的长为位.8 .(一中2019届期末)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).对于结论：APXAB;APLAD;动是平面ABCD的法向量；簿M此.其中正

6、确的序号是.【答案】【解析】:A&AP=0,A6AP=0,AB1AP,AD±AP,则正确；又ABCAD=A,.APL平面ABCD,茹是平面ABCD的法向量，则正确；b6=Ab-Ab=(2,3,4),扉=(1,2,-1),前)与乖不平行，故错误.9.(黑龙江齐齐哈尔市实验中学2019届期中)正方体ABCDA1B1C1D1中，M,N分别是CiC,B1C1的中点.求证：MN平面AiBD.证明如图所示，以D为坐标原点，DA,DC,DDi所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1,则一.1.1D(0,0,0),Ai(1,0,1),B(1,1,0),M0,1,万，

7、N2，11,于是而=1，0，2,DA=(1,0,1),DB=(1,1,0).设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),一一-一zt,x+z=0,则nDA1=0,且nDB=0,得x+y=0.取x=1,得y=1,z=1.所以n=(1,1,-1).1一1又mNn=2，0,2(1,1,1)=0,所以MNn.又MN?平面A1BD,所以MN/平面ABD.10.(江苏省丹阳高级中学2019届期末)如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，/ABC=/BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC,底面ABCD.证明：(1)PA±BD;(2)平面PAD，平面PAB.证明(

8、1)取BC的中点O,连接PO,APBC为等边三角形，即POXBC,平面PBS底面ABCD,BC为交线，PO?平面PBC,.POL底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为Z轴，建立空间直角坐标系，如图所示不妨设CD=1,贝UAB=BC=2,P0=3.A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,啊-Bb=(-2,-1,0),潴=(1,-2,-3).V晶茂=(2)M+(1)X2)+023)=0,r!b6,FAXBD.取PA的中点M,连接DM,则M-1,9.-DM=I，0,PB=(1,o,-3),.而PB=|

9、xi+0X)+x(-"j3)=0,DM±PB,即DM±PB.'DMPA=|x1+0>(-2)+><(-V3)=0,而±R,即DM±FV,又,PAnPB=P,PA,PB?平面FAB,DM，平面PAB.DM?平面FAD,平面FAD，平面PAB.11 .（辽宁沈阳二中2019届高三模拟）有下列命题：若p=xa+yb,则p与a,b共面；若p与a,b共面，则p=xa+yb;若演=xMA+yMfe,则P,M,A,B共面；若P,M,A,B共面，则lMP=xMA+yMB.其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】

10、正确；中若a,b共线，p与a不共线，则p=xa+yb就不成立；正确；中若M,A,B共线，点P不在此直线上，则MP=xlMA+yMB不正确.12 .（河北辛集中学2019届高三质检）如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=J2,AF=1,M在EF上，且AM/平面BDE.则M点的坐标为（）B.A.(1,1,1)D.【解析】设AC与BD相交于。点，连接OE,由AM/平面BDE,且AM?平面ACEF,平面ACEFn平面BDE=OE,AM/EO,又O是正方形ABCD对角线交点，M为线段EF的中点.在空间坐标系中，E（0,0,I）,f（、2,、2,I）.由中点坐标公式，知点M的坐标（，祟

11、1.一_._.、，、一、.一.，.13 .（陕西西安市第一中学2019届局二模拟）已知空间任意一点O和不共线的二点A,B,C,若OP=xOA+yOfe+zOt（x,y,zCR）,则x=2,y=-3,z=2”是P,A,B,C四点共面”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当x=2,y=-3,z=2时，即OP=2OA3OB+20b.则APAO=2OA3（ABAO）+2（ACAO）,即AP=3AB+2AC,根据共面向量定理知，P,A,B,C四点共面；反之，当P,A,B,C四点共面时，根据共面向量定理，设AP=mAfe+nAt（m,nR）,即O

12、POA=m（OBOA）+n（OCOA）,即OP=（1mn）OA+mOfe+nOC,即x=1mn,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故x=2,y=-3,z=2”是P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件.14 .（重庆巴蜀中学2019届高三调研）如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=亚，AF=1,M在EF上，且AM/平面BDE,则M点的坐标为（）A.(1,1,1)B.【解析】又E(0,25，1D.M点的坐标为（x,V,1）,因为ACABD=O,所以O字，半，0,0,所以OE=1),A(2,2,0),多_/1，AM=(x-*,y-2,1),因为AM/平面BDE,x一也

13、一也X222)所以y-2=-三,所以OE/AM,Y_2x-2,?y=23，y2'所以M点的坐标为¥，ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2,AB=BC=1,15 .（广西南宁三中2019届高三模拟）如图，在正四棱柱动点P,Q分别在线段C1D,AC上，则线段PQ长度的最小值是DQ=DA+MDCDA)=(1,0,0)+K1,1,0)=(1内0).所以|向|=|DQDP|=|(1白门人2研='(1。2+(科万2+4?2nr519=y5卜51+TL9+-.l，4=3，当且仅当上兰产5所以线段PQ长度的最小值为2.故选C.316 .(广东惠州一中2019届高三调研)在正三棱柱

14、ABC-A1B1C1中，侧棱长为2,底面边长为1,M为BC的中点，Ch=NC,且ABdMN,则入的值为.【答案】15【解析】如图所示，取B1C1的中点P,连接MP,以MC,MA,MP的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，311一一1一一因为底面边长为1,侧棱长为2,则A0,寸，0,B1(-,0,2),C2，0,0,C120,2,、一1M(0,0,0),设N2，。，t,因为CN=?nC,所以n1,0,十，21十人所以aB=；-23,2,mN=20,12-卜.又因为AB1XMN,所以AB1MN=0.14所以-1+'=0,所以入=15.41+入17.（湖北襄樊五中2019届高三模拟）

15、如图，正方体ABCDAiBiCiDi的棱长为1,E,F分别是棱BC,DDi上的点，如果BiEL平面ABF,则CE与DF的和的值为【答案】i【解析】以DiAi,DiCi,DiD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设CE=x,DF=y,则易知E(x,i,i),Bi(i,i,0),F(0,0,i-y),B(i,i,i),BiE=(x-i,0,i),FB=(i,i,y),由于BiEL平面ABF,所以FBb1e=(i,i,y)(xi,0,i)=0?x+y=i.18 .(河南新乡一中20i9届高三模拟)如图，正ABC的边长为4,CD为AB边上的高，E,F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直

16、二面角A-DC-B.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；RP一(2)在线段BC上是否存在一点P,使APLDE?如果存在，求出赤的值；如果不存在，请说明理由BC【解析】(1)AB/平面DEF,理由如下：在ABC中，由E,F分别是AC,BC的中点，得EF/AB.又因为AB?平面DEF,EF?平面DEF,所以AB/平面DEF.(2)以点D为坐标原点，直线DB,DC,DA分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2-3,0),E(0,®1),故DE=(0,1).假设存在点P(x,v,0)满足条件,则后=(x,y,

17、2),APlDi=N3y-2=0,所以y=醇.3又BP=(x2,y,0),PC=(-x,23-y,0),EBP/PC,所以(x2)(2或y)=xy,所以4x+y=2P.把y=2代入上式得x=4,所以BP=1bC,333所以在线段BC上存在点P使APLDE,此时襄=；BC31_.一一qBC,二面角Ai-AB-C是直19 .(山东济南外国语学校2019届高三质检)如图，在多面体ABC-AiBiCi中，四边形AiABBi是正方形，AB=AC,BC=>/2AB,BiCi二面角.求证：(i)AiBi,平面AAiC;(2)ABi/平面A1C1C.证明：因为二面角Ai-AB-C是直二面角,四边形AiA

18、BBi为正方形，所以AAi,平面BAC.又因为AB=AC,BC=2AB,所以/CAB=90°,即CAXAB,所以AB,AC,AAi两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设AB=2,则A(0,0,0),Bi(0,2,2),Ai(0,0,2),C(2,0,0),Ci(i,i,2).温i=(0,2,0),AA=(0,0,-2),AC=(2,0,0),-2z=0,2x=0,设平面AAiC的一个法向量n=(x,y,z),nAiA=0,即nAC=0,x=0,即取y=i,则n=(0,i,0).z=0,所以A；Bi=2n,即AiBiHn.所以AiBi,平面AAiC.(2)易知ABi=(

19、0,2,2),AiCi=(i,i,0),AiC=(2,0,2),设平面AiCiC的一个法向量m=(xi,yi,zi),mAiCi=0,xi+yi=0,贝u即ymAb=0,2x1-2Z1=0,令Xi=1,则yi=1,zi=1,即m=(1,1,1).所以ABim=0M+2X1)+2M=0,所以ABi±m,又ABi?平面AiCiC,所以ABi/平面AiCiC.20 .(江西临川一中2019届高三模拟)如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的小倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证：ACXSD;(2)若SDL平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE/平面FAC

20、?若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由.【解析】(1)证明：连接BD,设AC交BD于点O,连接SO,则ACXBD.由题意知SO±¥面ABCD.以O为坐标原点，Ob,Oo,OW别为X轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图.设底面边长为a,则高SO=26a,是S0,0,，a,D-22a,0,0,B黄，0,0,C0,§a,0,OC=0,号a,0,SD=-22a,0,-26a,故OCXSD.从而ACXSD.(2)棱SC上存在一点E,使BE/平面RAC.理由如下:由已知条件知DS是平面RAC的一个法向量,且DS=/a,0,226a,CS=0,W，*a,B

21、C=一,得a,0.设CE=tCS,则Bfe=Bfc+Cfe=BC+tCS22-、6=2a,2a(1t),2at,而BEDS=0,解得t=T.3即当SE:EC=2：1时，BE±dS.而BE?平面PAC,故BE/平面PAC.21 (2018年天津卷)如图，且AD=2BC,，且EG=AD,且CD=2FG,DA=DC=DG=2.(I)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：；(II)求二面角的正弦值；(III)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60。，求线段DP的长.【答案】(I)证明见解析；(II);(出).【解析】依题意，可以建立以D为原点，分别以，的方向为x轴，y轴

22、，z轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,1),N(1,0,2).(I)依题意=(0,2,0),=(2,0,2).设n0=(x,y,z)为平面CDE的法向量，则即不妨令z=-1,可得n0=(1,0,T).又=(1,1),可得，又因为直线MN平面CDE,所以MN/平面CDE.(n)依题意，可得=(T,0,0),二(0,T,2).设n=(x,y,z)为平面BCE的法向量，则即不妨令z=1,可得n=(0,1,1).设m=(x,y,z)为平面BCF的法向量，则即不妨令z=1,可得m=(0,2,1).因止匕有cos<