第二章 误差理论与平关原则

1、第二章第二章 误差理论误差理论与平差原则与平差原则 主要内容主要内容13第一节第一节 偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律4第二节第二节 衡量精度的指标衡量精度的指标21第三节第三节 观测向量的精度观测向量的精度第四节第四节 误差传播律误差传播律主要内容主要内容5第五节第五节 误差传播律在测量中的应用误差传播律在测量中的应用第六节第六节 权与定权的常用权与定权的常用678第七节第七节 由真误差计算测角中误差的实际应用由真误差计算测角中误差的实际应用 第八节第八节 测量平差原测量平差原则则最小二乘法最小二乘法第一节 偶然误差的规律性基本假设：基本假设：系统误差已消除，粗差不存在，即观测误差系统误

2、差已消除，粗差不存在，即观测误差仅为随机误差。仅为随机误差。偶然误差：偶然误差：单个误差在误差大小及符号上没有明显的规单个误差在误差大小及符号上没有明显的规律，表现出随机性，称为偶然误差。但对大量误差进律，表现出随机性，称为偶然误差。但对大量误差进行统计具有明显的规律。行统计具有明显的规律。 注：注：一组观测值一组观测值 ，可以是同一个量的观测，可以是同一个量的观测值，也可以不是同一个量的观测值，但必须是同性质，值，也可以不是同一个量的观测值，但必须是同性质，同精度的观测值。同精度的观测值。 4iiiLL 123,nllll寻找偶然误差之规律性的方法寻找偶然误差之规律性的方法 三种统计分析：三

3、种统计分析： 1. 统计表统计表 2. 直方图直方图 3. 误差分布误差分布统计表统计表误差区间+ +个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20450.1260.630460.1280.6400.200.40400.1120.560410.1150.5750.400.60330.0920.460330.0920.4600.600.80230.0640.320210.0590.2950.801.00170.0470.235160.0450.2251.001.20130.0360.180130.0360.1801.201.4060.0170.08550.0140.

4、0701.401.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和1811810.5050.5051771770.4950.495o例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，三角形内角和应为180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。6(K/n)/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数曲线面积= (K/n)/d* d= K/n所有面积之和=k1/n+k2/n+.=1直方图直方图7偶然误差的特性偶然误差的特性由统计分析可以看出，偶然误差具有下列特性：1、有界性：在一定的观测条

5、件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零2、聚中性：绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大；3、对称性：绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；4、抵偿性：偶然误差的理论平均值为零，即801lim1niiinl例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。误差区间+个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d0.000.20400.0950.475460.0880.4400.200.40340

6、.0810.405410.0850.4250.400.60310.0740.370330.0690.3450.600.80250.0590.295210.0640.3200.801.00200.0480.240160.0430.2151.001.20160.0380.190130.0400.200.2.402.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和2102100.4990.4992112110.5010.5019 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.475 频数

7、/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是标准正态分布。2221( )2fe 图1图210误差分布误差分布n 频数/d00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4闭合差22221)(ef 当偶然误差的个数 时，偶然误差出现的频率就趋于稳定。此时，若把偶然误差区间的间隔无限缩小，则直方图将分别变为如图所示的两条光滑的曲线。11正正态分态分布：布： 由高中学过的概率论知，

8、该曲线是正态分正态分布布的概率分布曲线。高斯在研究误差理论时最先使用了这一分布，所以正态分布又称为高斯高斯分布分布。测量上通常将正态分布作为偶然误差的理论分布。或者说偶然误差服从正态分布。其密度函数为：式中： 和 为参数。 注：教材中将 书成 ，会造成前后学习不自然，故而统一之。,)(21exp21)(22f12a由密度函数知，偶然误差 为正态随机变量。所以又称偶然误差为随机误差。 下面来看参数 和 是什么。 对正态随机变量 求数学期望： ,)(21exp21)(22fddfE22)(21exp21)()(13作变量代换，令 得因tdttdtttdtttE22221exp221exp221ex

9、p)(21)(221exp,021exp22dttdttt14所以再求 的方差 。同样作变量代换，可得：22)(E)(DddfED2222)(21exp)(21)()()(2222)(D15 由以上推导知，参数 和 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们确定了正态分布曲线的形状。 由 知，随机误差 的数学期望等于零。 由正态分布知，正态分布曲线具有两个拐点，这两个拐点在横轴上的坐标为 方差的几何意义是：方差是正态分布曲线的拐点横坐标。01lim)(1niinnE拐16检测观测值合理性的一般原则： （1）制定测量限差：在实际工作中，可依据观测条件确定一个误差限值，若观测值的误差绝对值小于该限值，

10、认为观测值合乎要求，否则，应该删除； （2）判断系统误差（粗差）的依据：随机观测系统下，误差的理论平均值为零，即观测值的期望值为其真值。若误差的理论平均值不为零，且数值较大，说明观测成果中含有系统误差和粗差。 第二节第二节 衡衡量精量精度的指度的指标标 一、精度、准确度、精确度 观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误差、粗差）的大小。 精精度：度：指误差分布的密集或离散程指误差分布的密集或离散程度。可度。可利用方差协方差阵描利用方差协方差阵描述或用误差分布曲线来描述。述或用误差分布曲线来描述。 准确度：准确度：观观测值的真值与观测值的数学期望之测值的真值与观测值的数学期望之差，用来描述系

11、差，用来描述系统误差和粗差，即：统误差和粗差，即： 精确度：精确度：是精度和准确度的合成，描述偶然误差、系统误差是精度和准确度的合成，描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，精确度可用观测值的均方误差来描述，即：和粗差的集成，精确度可用观测值的均方误差来描述，即： 当当 ，即观测值中不存在系统误差和粗差时，亦即观测，即观测值中不存在系统误差和粗差时，亦即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，此时精确度就是值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。精度。)(LEL 222)()()(LLELLELMSELLLE)(18精度、准确度和精确度的形象描述精度、准确度和精确度的形

12、象描述19精度准确度精确度二、 衡量精度的指标 精度虽然可以通过直方图或分布曲线的形状来描述，精度虽然可以通过直方图或分布曲线的形状来描述，但在实际工作中很麻烦，且不能用一个数字来衡量其但在实际工作中很麻烦，且不能用一个数字来衡量其高低。为此，人们希望通过一个数字高低。为此，人们希望通过一个数字来反映偶来反映偶然误差然误差的离散程度。能反映偶然误差的离散程度的数字称为的离散程度。能反映偶然误差的离散程度的数字称为衡量精度的指标。这样的数字很多，比如：衡量精度的指标。这样的数字很多，比如： 1. 方方差和中误差差和中误差 设在相同的观测条件下得到一组独设在相同的观测条件下得到一组独立观测误差立观

13、测误差 ，则其方差定义为：，则其方差定义为： 22221( )()( )limlimniinnDEfdnn i20 方差的算术平方根定义为中误差( 统计中的标准差)， 即 注： 为求和符号， 表示 ；在实际工作中，n总是有限的，由有限个观测值的真误差只能求得方差和中误差的估值： 和 21limlimniinnnnnnii12221niin21 21nii 22( 5.2)( 3.1)(0.0 例1 某测区的16个三角形内角和误差如下，试求三角形内角和的中误差。-5.2 ,+3.1 ,0.0 ,-0.2 ,+1.1 ,-1.7 ,+0.1 ,+1.2-0.6 ,+2.2 ,-3.2 ,+1.4

14、,-0.8 ,+1.0 ,-0.2 ,+1.0解:将三角形内角和的真误差代入式(2-9),可得三角形内角和的中误差22)( 1.0)1.9716 2.平均误差 设在相同的观测条件下得到一组独立观测误差 ，则其平均误差由 之绝对的数学期望(绝对值的平均数)定义，即： 因为 所以 iindfEniin1lim)()(dfdf)(2)(0547979. 0245253. 1223 由上式知，不同的 ，对应着不同的 ，于是就对应着不同的误差分布曲线。所以平均误差 也可作为衡量精度的指标。 在实际工作中，既可通过以上等量关系来计算平均误差的估值： 也可由下式计算之： nnii1nnii12545424

15、3. 或然误差 当观测误差出现在 之间的概率等于二分之一时，称 为或然误差（如图），即令 ，则有 由概率积分表可查得，当概率为二分之一时，积分限为0.6745，于是可得中误差与或然误差的理论关系： ),(21)(df1/41/41/20t212exp212)(2/0dttdf234826. 1,326745. 025 中误差、平均误差和或中误差、平均误差和或然误差然误差都可以作为衡量精度的都可以作为衡量精度的指标，但由于指标，但由于当当n不大时，中误差比平均误差更能反映大误差的影响不大时，中误差比平均误差更能反映大误差的影响中误差具有明确的几何意义（分布曲线的拐点坐标）中误差具有明确的几何意义

16、（分布曲线的拐点坐标）平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系 所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指标，我国也统一采用标，我国也统一采用中误差中误差作为衡量精度的指标。作为衡量精度的指标。264. 极限误差 由中误差的定义知，中误差是一组同精度观测误差的平方的平均值的平方根的极限。既然是平均值，就会有的观测误差的绝对值比中误差大，有的观测误差的绝对值比中误差小。那么，绝对值比中误差小的观测误差出现的概率是多少？绝对值比中误差大的观测误差出现的概率又是多少呢？由下图，通过积分27 可得观测误差 出现在给定

17、区间 内的概率为：)(kkdkkPkk222exp21)(作变量代换，得k=1，2，3时的概率分别为：%7 .99)33(%5 .95)22(%3 .68)(PPP 上式表明：绝对值大于中误差的观测误差出现的概率为31.7%；绝对值大于二倍中误差的观测误差出现的概率为4.5%；绝对值大于三倍中误差的观测误差出现的概率仅为0.3%。即观测误差的绝对值一般不会大于三倍中误差。因此，实际工作中通常以三倍中误差作为观测误差的极限，并称为极限误差，用 表示。若对观测要求严格，也常取 。3限282限5. 相对中误差 对于某些观测结果，必须用中误差与观测值之比来衡量精度相对中误差。观测值的中误差与观测值本身

18、之比，称为相对中误差。29中误差相对中误差观测值 对应以上所学，除了相对中误差外，还有相对真误差、相对极限差等，统称为相对误差，常还有表示为 ：1N定义定义量纲量纲相对误差相对误差绝对误差绝对误差观测值观测值无无反映测量反映测量效果效果绝对误差绝对误差测得值测得值- -真真值值有有( (与被测与被测量相同量相同) )结果的实结果的实际误差值际误差值本节本节 小小结结几个名词几个名词误差误差观测误差观测误差偶然误差偶然误差 随随机误差机误差精度精度精确度精确度系统误差系统误差准确度准确度粗差粗差真误差真误差方差中误差方差中误差平均误差平均误差或然误差或然误差极限误差极限误差相对误差相对误差绝对误

19、差绝对误差衡量精度的指标衡量精度的指标1. 几个基本概念及相互关系312. 一一个事实个事实 不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。3. 基基本假设本假设 在本课程中，我们假设观测误差为偶然误差，即不含在本课程中，我们假设观测误差为偶然误差，即不含系统误差和粗差。换句话说，我们假设观测误差为服从系统误差和粗差。换句话说，我们假设观测误差为服从正态分布的随机误差。正态分布的随机误差。4. 统统计规律计规律 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零；限值，即超过

20、一定限值的偶然误差出现的概率为零；绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大概率大；绝；绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；偶然误差的理论平均值为零。偶然误差的理论平均值为零。32第三节第三节 观测向量的精度观测向量的精度 作为衡量精度的指标，中误差可衡量一组观测值的精度。在实际工作中，我们得到的观测值往往是由多个观测值所构成的观测向量。 因此，需要引入观测向量矩阵和方差协方差矩阵。一、观测量间的协方差一、观测量间的协方差 对于变量X、Y，其协方差为：33)()()()(XEXYEYEYEYX

21、EXEYXXYYXXYnYXXY二、观测量的方差二、观测量的方差协方差阵协方差阵 设有n维观测向量为 则其方差协方差阵定义为：特点：特点：对称；正定；互不相关时为对角矩阵，对角线元素相等时，为等精度观测。34TnnlllL)(21111 212 12212222( )( )nnnnnll ll ll lll lTLLn nl ll llDELE LLE L*三、互协方差阵三、互协方差阵 设有两组观测向量为， n维的X，r维的Y。则，它们的互协方差阵为：35rnnnrrYXYXYXYXYXYXYXYXYXXYD212221212111YXZ思考：思考：若求DZZ？第四节 误差传播律一、新课引入：

22、 前面学习过程明确指出，常用中误差作为衡量一组观测值的精度指标，但在实际工作中，常常遇见未知观测量是由已知观测量的函数关系确定的，那将如何确定未知观测量的精度呢？ 1. 是直接用前面的方法去观测未知观测？ 2. 还是借助已知观测量的观测结寻求函数关系进行求解？ 这就是我们今天要研究的课题：误差传播律用函数关系确定未知观测量的中误差。二、新课讲授：1. 倍乘函数： 式中k为没有误差的常数，x为已知观测量，z为未知观测量。 根据真误差及函数增量的关系，不难得到： 对于一组同精度的观测值 ，其真误差分别为 ，与其对应的中误差为 。由 引起的z的一组真误差 为 zkxzxk 12,nx xx12,nx

23、xxxixiz,(1,2, )iizxkin 按中误差的定义，经运算处理，得倍乘函数的方差及中误差为：注：观测值与一个常数乘积的中误差，等于观测值的中误差乘以该常数。 例题2-2：在1：1000的地形图上，量得a、b两点间的距离d=40.6mm,测量中误差 ，求该两点实际距离的中误差 。 0.2dmm222zxzxkk或D2. 和或差函数根据方差与协方差定义内涵，可推得：由于x与y相互独立时，两者的协方 ，则结果可写成 zxy2222zxyxy0 xy222zxy以上情况可推广至有限个观测量的代数和： 其方差为 特别地，当各观测值的精度相同，且相互独立，高其中误差为 ，则 即 例题：2-3；2

24、-4； 12nzxxx121 21 312222222nnnzxxxx xx xxx22znzn3. 线性函数 设有函数其中 为常数；（1）若 均为独立观测，中误差分别为 ，则其误差传播规律为：（2）若 不相互独立，可依照代数和函数的情况改写结果。1 1220nnzk xk xk xk12,nxxx01,nkkk12,n22222221122znnkkk12,nxxx若令则函数 的方差的矩阵式为例题：2-5；ZKX12( ,)TnXx xx1212121221222nnnnXXnD2TZZXXDKDK12( ,)nKk kk4. 一般函数（非线性函数）的中误差计算公式：由高等数学的知识，求全微

25、分，并用 代替 ，用 代替 。即得：式中 为函数对观测量 的偏导数，将各个观测值代入算出数值，均为常数。 若设得 12( ,)nZf x xxZdZixixd1122Znnkxkxkx ifxixiifkx1212Znnfffxxxxxx 从而将形式统一成线性函数模式。 u应用误差传播律应注意的问题应用误差传播律应注意的问题（1）根据测量实际，正确地列出函数式；（2）根据函数表达式，写出真误差关系式（或用全微分列出函数真误差关系式，并用观测值计算偏导数值）；（3）将真误差关系式改成中误差关系式（纯量式），计算时注意各项的单位要统一；（4）或将纯量式或微分关系写成矩阵形式；（5）直接应用协方差传

26、播律，得出所求问题的方差协方差矩阵。例题：2-6第五节 误差传播律在测量中的应用一、水准测量的精度： 设经过n个测站测定A、B两水准点间的高差，且第i站的观测高差为 ，于是，A、B两点的总高差为： 1. 若A、B两水准点间坡度较大时，设各观测站观测高差精度相同，其中误差为 ，根据线性函数误差传播律，可得 中误差为 ih12ABnhhhh站ABhABhn站2. 当A、B两水准点间坡度不大或是平坦地区时，则各观测站的距离s大致相等，令A、B两点之间距离为S，则测站数 得：令单位距离观测高差的中误差为则 SnsABhSs站1kms站ABhkmS二、导线边方位角的精度： 如教材所示图2-6的支导线01

27、2n1a2a3ana以同样的精度测得n个转折角（左角） ，它们的中误差均为 。第n条导线边的坐标方位角为式中 为已知坐标方位角，没有误差。则第n条边的坐标方位角的中误差为 支导线中第i条导线边的坐标方位角的中误差，等于各转折角之中误差的 倍，n为转折角的个数。 123,n012180nin0nnn三、 同精度独立观测值的算术平均值的精度： 设对某量同精度独立观测n次，其观测值为它们的中误差均为 ，则算术平均数为根据误差传播律，算术平均值的中误差为 n个同精度的观测值的算术平均值的中误差等于各观测值的中误差除以 。12,nL LL12 111nLxLLLnnnnxnn四、若干个独立误差的联合影响

28、： 测量工作中经常遇到这样的情况：一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响。如在角度观测时会受地面平整误差、照准误差、对中误差、气候误差、读数误差等的影响。在这种情况下，观测结果的真误差可以看成各个独立误差的代数和。 即 因为这些误差是相互独立的，各种误差的出现属偶然性的，由和差函数的误差传播律可得： 观测结果的中误差的平方等于各种独立误差的所对应的中误码差的平方和。 12Zn 222212Zn五、根据实际要求确定部分观测值的精度： 误差传播律的一般应用是已知观测值的精度，来求观测值函数的精度，但在测量实际工作中，经常会出现为了使观测值函数的精度达到某一预定的要求，反推观测值应具有的精度，即

29、已知观测值函数的精度，求部分观测值的精度。 例题2-7：一个三角形观测其两个内角 和 ，第三个内角为 ，已知 角的测角中误差为 ，要求 角的中误差 ，问 角的测角精度不能低于多少？35一、权的概念一、权的概念 1. 权的思想： 在一组不等精度的观测值中，由于观测值的精度不同，观测值在数据处理中所占的可靠性不同，精度高的可靠程度大，精度低的可靠程度小。为了区别起见，引入权的概念。 权是表征精度的相对指标，指观测值所占的比重，精度越高，比重越大，但比重大小要适宜。第六节第六节 权及定权的常用方法权及定权的常用方法 示例：示例：对一个已知角对一个已知角 进行两次不同进行两次不同精度的观测，其观测值为

30、精度的观测，其观测值为 ， ，它们的中误差分别为它们的中误差分别为 。试求该角的最或是值及。试求该角的最或是值及其中误差。其中误差。2.权的定义 其中 为第i个观测值的权， 为比例常数，可任意选取。 权与方差成反比 权的意义，不在于其数值的大小，重要的是它们之间的比例关系。（一般不直接对某个单独观测值说权，这没有意义。）220iip222000122222221212111:nnnppp(30 25 36 )A A130 25 34A230 25 42A2.0 ,4.00iP二、权的意义及单位权二、权的意义及单位权 1. 权有意义：权有意义：（1）选定一个 ，即有一组对应的权；（2） 不同，权

31、不同，但权之间的比值不变；（3）同一个问题系列（可以包括各种不同性质的观测值）中只能选一个 ，不能选多个，否则就破坏了权之间的比例关系。（4）只要事先给定观测条件，就可确定权的数值。2. 单位权中误差的概念单位权中误差的概念 权为1的观测值称为单位权观测值，所对应的中误差，称为单位权中误差，即 。 00003. 权与中误差的区别： 中误差是一组观测值的绝对精度指标，这组观测是是同性质的观测值，若是不同性质的观测值，那必须用相对中误差；而权是一组观测值的相对精度指标，这组观测值可以是同性质的，也可以是不同性质的。4. 权的单位 一般地，在同性质的观测值系列下，权是没有量纲的，但当观测值的性质不同

32、时，权具有单位，而且当单位权观测值选取不同，还会有不同的单位出现。 由权的定义，要确定权必须先确定观测值的中误差，可是，在实际作业中，观测值的中误差常常在平差处理后才能得到，但平差计算前必须知道观测值的权，这就提出了如何提前确定权的要求。三、测三、测定中定权的常用方法定中定权的常用方法1. 水准测量的权（1）水准观测坡度大时，设各观测站高差精度相同，第i段水准线路高差权，按测站数确定：（2）水准观测坡度不大时，设每公里观测高差精度相同，按路线长度确定：例题：2-8；2-9；iiNCp nnNNNppp1:1:1:2121nnSSSppp1:1:1:2121iiCpS:iS 是第i段水准线路的公

33、里数:iN 是第i段水准线路所包含的观测站数2. 三角高程的权 是通过观测两点间水平距离和高度角求两定点的高差的方法。此方法受大气折光的严重影响，当视线长度超过1000米，折光角通常为2至3秒，故自水准观测方法出现后，三角高程观测法就退居二线，不再常用。其中 为任意一边的水平距离，C为任意常数。 2(1,2, )iiCPinSiS3 . 同精度观测值之算术平均值的权： 设 分别是 次同精度观测值的算术平均值系列，若每次观测值的中误差为 ，则第i个算术平均值的中误差为 令 则 的权为 例题：2-10 ； iL12,nN NNiiN0C202iiiNpC12,nL LL四、协因数和协因数阵1. 协

34、因数与互协因数协因数与互协因数 协因数即为权倒数。观测值的协因数与方差成正比，与权类似，是一种衡量观测值精度的相对指标。互协因数与协方差成正比，是衡量观测值相关程度的一种指标，其绝对值越大，表示观测值相关程度越高，反之越低。互协因数为正时，正相关；为负时，负相关；为零时，不相关，即为独立观测。2021iiiipQ20ijijQ111212122212nnLLnnnnQQQQQQQQQQ特点：I 对称，对角元素为协因数，即权倒数； II 正定； III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当为等精度观测，为单位阵。2. 协因数阵协因数阵 当一组观测值 构成观测微量 ，则有：201LLLLQD12,n

35、LLLL 20LLLLDQ3. 权阵权阵11112111121212222122211212nnnnnnnnnnnnQQQpppQQQpppPQQQQppp 观测值的协因数均可在其观测向量的协因数阵中（主对角线上的元素）找到，而观测值的权不一定能在其观测向量的权阵中找到，换言之，权阵中主对角线上的元素不一定是相应观测值的权，若观测值之间相互独立时，权阵为对角阵，此时，主对角线上的元素为相应观测值的权；当观测值不相互独立时，权阵中的主对角线上的元素不是观测值的权，但它们的作用与观测值的权相同，即它们之间的比例关系与权之间的比例关系相同。一般地，欲求观测值的权，必须先求出协因数阵，再利用协因数阵主

36、对角线上的元素求倒数可得。6321201222202022010.00.01.0.01.100.00.L LL LnnPPQDP1LLLLPQnLLPPPP.00.0.0.021观测值相互独立时的权阵：观测值相互独立时的权阵：*1. 协因数传播律协因数传播律称为协因数传播律，或权逆阵传播律。与协方差传播律合称为广义传播律。64TXXZZKKQQ0KKXZ0FFXYTYYTXXrrYYQFFQQTYZTXXrtZYQFKQQ五、协因数及权倒数传播律1222211222221212(,):1111()()()1111:nZnniinZnZf L LLdZK LfffPLPLPLPfkxkkkPPP

37、P设有独立观测值的函数全微分令得2. 权倒数传播律权倒数传播律全微分例题2-11 、2-12(见教材);例题2-13 ：算术平均值之权等于观测值之权的n倍。 带权平均值的权等于各观测值权之和。例题2-14： 6622212121111nZndZKLkkkppppnppXniiXpp121KXZFXYTXXYZKFQQ21 单位权中误差的计算单位权中误差的计算 用不同精度的真误差计算单位权中误差的公式如下： 实际应用1. 由三角形闭合差求各测角中误差： 公式（2-9）求同精度观测值的中误差，概括起来有两个条件：各观测值精度相同；观测值的真值已知； 但在求观测值的中误差时，往往真值是未知的，因而无

38、法用公式2-9，求解中观测值中误差。可是，在一些特定情况下，由观测值构成的函数值的真值是已知的，要以先求出观670liminpn0ipn第七节 由真误差计算中误差的实际应用测值函数的中误差，再利用误差传播律反求观测值的中误差。 设有一个三角网,以同精度独立分别观测n个三角形的三个内角，算出n个三角形闭合差，分别为 。根据公式（2-9）可得三角形内角和的中误差： 由于得：其中 为三角形内角和的中误差； 为各内角观测值的中误差。故测角中误差为： (1,2,3,)iiiiin 3n12,n 33菲列罗公式：limnn3n2. 用不同精度的真误差计算单位权中误差 设一系列非等精度观测值及其对应的真误差

39、和权分别为： 因其为非等精度系列，故而不能用同精度公式来计算，须先作等精度变换（构造虚拟观测值）。 121212,nnnLLLppp00(1, 2,)iiiiiiiiiiiiLp LinLPPpP则的 中 误 差 为由得 故有利用非等精度观测值的真误差计算单位权中误差的计算公式： 再利用权的定义式，即可算各观测值的精度。0Pn3. 由双观测值之差计算中误差 在实际测量工作中，经常对一系列观测量进行成对观测，形成双观测值（观测对），观测对的真值相同，真值之差为零，因而，可以利用各观测对之差计算中误差。 设对 各观测两次，得到独立观测值为：12121212,nnnniiixxxLLLLLLpppd

40、LL各 观 测 值 之 差 为 :12,nx xx1212,nndddppp 由权倒数传播律可得其权为： 明显地，各 的精度也不相同，由于差数 的真值为零，所以差数 也是权为 观测对差值的真误差。 由前面所研究得的“不同精度的真误差计算单位权中差”得单位权中误差为即特别地，等精度双观测值的中误差为 2iidPP ididididP0dP ddn02Pddn02ddn 以观测对的平均值作观测对象的估计值例题：2-14（见课本P28）；01iiiiLLiP可 得 各 观 测 值 L 与 L 的 中 误 差 为 :02122iiiiiLxiLLxP其 中 误 差 为第八节 测量平差原则 在对某观测对

41、象进行测量时，为提高精度和控制误差，人们经常做多余观测，由于各个观测值中均含有误差，因而，观测会出现不符值，必须对观测到的数据进行处理，消除矛盾，即平差处理。 那么，按什么原则进行平差处理？ 在观测值精度相同且独立时，各观测值改正数的平方和为最小的那组改正数使平差结果的精度最高（最小二乘法：误差平方和小。），称为最或是值。 即这就是测量平差遵循的原则最小二乘法原理。 min()vv 最小设改正数向量为：1 . 当观测值独立且同精度时，设各观测值权不1，最小二乘法原理的矩阵表达式为： 12nvvVvminTV V 2. 当观测值相互独立，但不等精度时，设权阵为：则最小二乘法原理的矩阵表达式为：1

42、2000000nppPpminTVPV 3. 当观测值不相互独立，且不等精度时，设权阵为：则最小二乘法原理的矩阵表达式为： 例：2-15 设对某量同精度观测n次，其观测值为 。试按最小二乘法原理求该量的最或是值。minTV PV 1112121222112nnnnnnPPPPPPPQPPP123,nL L LL 测试题2-1 已知单位权方差为 、观测值 的权矩阵为试求：1、 的方差；2、 的方差 ；3、 与 的协方差 ；79420200042026P523211LLLF22F2F1F21FF12310,10,5LLL2222112132233111111105510510FLL LL LLL

43、LL803-2 某地块由一梯形和一个半圆形组成，如图所示。已知观测值a=12m、b=8m、c=10m的方差协方差矩阵为：试求该地块的面积S的方差 。（注：取 ）2S32401103110000114LLDm81821平差函数模型平差函数模型2平差数学模型平差数学模型3参数估计与参数估计与最小二乘最小二乘条件平差间接平差附参数条件平差附条件间接平差随机模型函数模型函数模型线性化参数估计最优估计的性质最小二乘原理Ch4最小二乘原理最小二乘原理834.1平差函数模型平差函数模型函数模型函数模型 描述观测量与未知量间的数学函数关系的模型 目的：最优估计函数模型的未知量 函数模型如何构造？必要观测、多余

44、观测必要观测、多余观测1 1）确定平面三角形的形状确定平面三角形的形状观测三个内角的任意两个即可,称其必要元素个数为2，必要元素有 种选择23C84必要观测、多余观测必要观测、多余观测2）确定平面三角形的形状与大小6个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。4.1平差函数模型平差函数模型s1s3s285必要观测、多余观测必要观测、多余观测3）确定如图四点的相对高度关系必须有选择地观测6个高差中的3个，其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等ADCBh1h6h5h2h4h34.1

45、平差函数模型平差函数模型必要观测必要观测: 能够唯一确定一个几何模型所必要的观测 一般用t表示。特点: 给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。 必要观测之间不能有任何函数关系，即相互独立。86多余观测: 观测值的个数n与必要观测个数t之差 一般用r表示，r=n-t。观测值: 为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际 观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。nt,，可以确定模型，还可以发现粗差。4.1平差函数模型平差函数模型必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。123tnrtn180ADCBh1h6h5h2h4h3336tnrt

46、n0621hhh0432hhh0546hhh实际上：1801804.1平差函数模型平差函数模型88函数模型函数模型1 1、条件平差、条件平差 以条件方程为平差函数模型的平差方法2 2、间接平差、间接平差 以观测方程为平差函数模型11010rrnnrALA1110rrnnrWA111nttnndXBL111nttnnlxB或或4.1平差函数模型平差函数模型894.1平差函数模型平差函数模型3 3、附有参数的条件平差、附有参数的条件平差 以含有参数的条件方程为平差函数模型4 4、附有条件的间接平差、附有条件的间接平差 以观测方程和约束参数的条件方程为平差函数模型110110ccuucnncAXBL

47、AtusWxClxBVsxsusnuunn,01111111110ccuucnncWXBA或条件方程的综合形式为：条件方程的综合形式为：),(1 ,1 ,1 ,uncXLFF 为了线性化，取X的近似值：0X取 的初值： LLxXX0LL将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及以上项：4.2平差数学模型平差数学模型非线性函数线性化非线性函数线性化xXFLFXLFxXLFFXLXL00,0),(),(0,212221212111,XLnnnnnncLFLFLFLFLFLFnLFLFLFLFA0,212221212111,XLunnnuuucXFXFXFXFXFXFXFXFXFXFBBxAXL

48、FxXLFF),(),(0模型形式与线性函数类似。92用平差值代替真值11010rrnnrALA1110rrnnrWVA11110ccuucnncWxBVA111nttnnlxBVtusWxClxBVsxsusnuunn,01111112020PQD4.2平差数学模型平差数学模型934.2平差数学模型平差数学模型函数模型随机模型测量平差数学模型平差数学模型是平差函数模型和随机模型的综合体。表达模型并用于求未知量最佳估值用于评定精度方差 协方差4.3参数估计与最小二乘 不论何种平差方法，平差最终目的都是对参数和观测量作出某种估计，并评定其精度，统称为对平差模型的参数进行估计。一、参数估计测量平差

49、的参数估计，是要在众多的解中，找出一个最为合理的解，作为最终估计。最终估计值应具有最优的统计性质。944.3参数估计与最小二乘二、最优估计的性质1、无偏性 为参数 的估计量，若有 则称 是 的无偏估计量2、一致性 若估计量同时满足 则称 是 的严格一致估计量95)(E1)(limP0)(lim)(2EEn4.3参数估计与最小二乘3、有效性 若 是 的无偏估计，具有无偏性的估计量并不唯一。如果对于两个无偏估计量 和 ，有 则称 比 有效。 若 此时为最有效估计量。9612)()(21DD12min)(D4.3参数估计与最小二乘三、最小二乘原理例：作匀速运动的质点在时刻 的位置是 ，函数如下： 在不同时刻 测定质点位置，得一组观测值 由运动方程可得： 或用图解表示如图： 97yyYXBVn.,21nyyy.,21iiiyvoyiiyy4.3参数估计与最小二乘