第二讲函数及其性质之3-函数单调性及值域

1、函数的单调性与最值函数的单调性与最值 第二讲函数及其性质之三第二讲函数及其性质之三忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点上升的上升的 下降的下降的 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点增函数增函数 减函数减函数 2121212121函数的单调性与不等式函数的单调性与不等式 设函数设函数yf(x)的定义域为的定义域为I,如果对于定义域如果对于定义域I内的内的某个区间某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1、x2,当当x1x2时时,都有都有f(x1)f(x2),那么就说那么就说f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数.1.函数单调性的定义函数单调性的定义 设函数设函数yf(x)的

2、定义域为的定义域为I，如果对于定义域，如果对于定义域I内内的某个区间的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1、x2, 当当x1f(x2) , 那么就说那么就说f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数.忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点任取任取x1, x2D,且且x10时，时，f(x)1,且对任意的且对任意的a,bR, f(a+b)= f(a) f(b). (1)求求f(0)的值；的值； (2)判断判断f(x)的单调性的单调性.一、抽象函数的单调性与最值一、抽象函数的单调性与最值解解: (1)令令 a = b = 0, 则则2(0)(0),ff (0)0,(0)1.ff任取任

3、取x1, x2R，且，且x10 恒成立恒成立.(0)( )(),ff xfx( )()1f xfx即即. .由于当由于当 x 0 时，时，f (x) 1,则则 f(x2)=f(x2- -x1)+x1 f( x1).即即 f(x2)f(x1). f(x) 是是 R 上上 的增函数的增函数.=f(x2- - x1)f(x1) f(x2- - x1)1. 【1】若对一切实数】若对一切实数x, y 都有都有 (1)求求f(0)的值的值; (2)判定判定f(x)的奇数偶性的奇数偶性. .()( )( ).f xyf xf y 令令 x = y = 0, 则则令令y = - -x , 则则故故 f (x)

4、是奇函数是奇函数.解解:因为对于任何实数因为对于任何实数 x, y 都有都有(0)( )(),ff xfx(0)2 (0),ff (0)0.f()( ).fxf x ()( )( ),f x yf xf y 证明证明: 任取任取 x1, x2R，且，且 x10, f(x2- - x1)1. = =f(x2- - x1)- -1.f(x2)- -f(x1)0， 即即 f(x2)f(x1). f(x) 是是 R 上上 的增函数的增函数. 【 2 】 若 函 数若 函 数 f ( x ) 对 任 意对 任 意 a , b R 都 有都 有 f(a+b)=f(a)+f(b)- -1, 并且当并且当x0

5、 时时, 有有 f(x)1. 求证求证: f(x) 是是 R 上上 的增函数的增函数.f(x2- - x1)- -10. =f(x2- - x1)+f(x1) - -1- - f(x1) 【3】已知函数】已知函数 f (x) 对于任何实数对于任何实数 x, y 都有都有 f (x+y)+f(x- -y)=2f (x) f (y) 且且 f (0)0求证求证: f (x) 是偶函数是偶函数.令令 x = y = 0, 则则令令 x = 0 , 则则故故 f (x)是偶函数是偶函数.解：已知函数解：已知函数 f (x) 对于任何实数对于任何实数 x, y 都有都有 f (x+y)+f(x- -y)

6、=2f (x) f (y)，( )()2 ( ),f yfyf y22 (0)2(0),ff(0)0,(0)1.ff( )(),f yfy( )().f xfx即即例例2.2.判断函数判断函数 在区间在区间(- -1,1)上的单调性上的单调性.2( )1xf xx 解解: :设设则则 f( (x1 1) )f( (x2 2) )12221211xxxx ) 1)(1(222122121221 xxxxxxxx12212212(1)().(1)(1)x xxxxx 1x1x21,1+x1x20,x2x10,221210,10,xx f(x1)f(x2)0 .即即 f(x1)f(x2) .故此函数

7、在故此函数在( (- -1,1)1,1)上是减函数上是减函数. .1211,xx 二、函数单调性的判定及证明二、函数单调性的判定及证明例例3. 设设 为奇函数为奇函数,且定义域为且定义域为R.(1)求求b的值；的值；(2)判断函数判断函数f(x)的单调性；的单调性；(3)若对于任意若对于任意t R, 不等式不等式 恒成立，求实数恒成立，求实数k的取值范围的取值范围12( )22xxbf x 22(2 )(2)0f ttftk 解解: (1)由由 f ( x ) 是奇函数是奇函数, 则则 f(- -x )=- -f (x),整理整理, 得得1.b 1122,2222xxxxbb 111220,2

8、 222xxxxbb (1)(21)0,2(21)xxb 证明证明: (2) 任取任取 x1, x2 , 且且x1 x2 , 12()()f xf x 则则1212()()0,()().f xf xf xf x 即即所以函数所以函数 f(x) 在在R内是减函数内是减函数.( 21) 211( ),22(21)21xxxf x 121111()222121xx 121111()222121xx 2112220.(21)(21)xxxx 所以实数所以实数k的取值范围是的取值范围是解解: (3) 因为因为 f(x)定义域为定义域为R的奇函数的奇函数,且是减函数且是减函数,从而判别式从而判别式4120,k 1.3k 22(2 )(2)0,f ttftk 22(2 )( 2),f ttftk 2222,tttk 所以对任意所以对任意t R, 不等式不等式 恒成立恒成立.2320ttk 从而不等式从而不等式等价于等价于1.3k 所以实数所以实数k的取值范围是的取值范围是设设22(2 )(2)0,f ttftk 22(2 )( 2),f ttftk 2222,tttk 所以对任意所以对任意t R, 恒成立恒成立.232ktt 从而不等式从而不等式等价于等价于1.3k min( ).kg t 从而从而只须只须2( )32 ,g ttt 211( )3(