新湘教版九年级下21圆的对称性

1、第二章第二章 圆圆本课内容本节内容2.12.1 圆的对称性圆的对称性说一说说一说 图图3-1是国际奥林匹克运动会旗的是国际奥林匹克运动会旗的标志图案标志图案.图图3-1说一说说一说 图图3-29是篮球运动员是篮球运动员A，P，Q在比赛在比赛中的位置中的位置. 运动员运动员A，P，Q与发球区圆心与发球区圆心O的距的距离跟发球区圆的半径离跟发球区圆的半径r有什么关系？有什么关系？图图3-29如图如图3-30，圆，圆O的半径为的半径为r . .如果点如果点A在圆上，那么在圆上，那么OA=r；如果点如果点P在圆内，那么在圆内，那么OPr；( (园内的点）园内的点）如果点如果点Q在圆外，那么在圆外，那么

2、OQr.（圆（圆外的点）外的点）图图3-30 用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合，观察这两个圆是否重合圆的圆心重合，观察这两个圆是否重合.说一说说一说这两个圆这两个圆 重合重合 . 现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心现在用一根大头针穿过这两个圆的圆心. 让硬纸板保持不动，让白纸绕圆心旋转任意角让硬纸板保持不动，让白纸绕圆心旋转任意角度度. 观察旋转后，白纸上的圆是否仍然与硬纸观察旋转后，白纸上的圆是否仍然与硬纸板上的圆重合板上的圆重合.这体现圆具有什

3、么样的性质？这体现圆具有什么样的性质？能够重合的两个圆叫做相等的圆，能够重合的两个圆叫做相等的圆，或等圆或等圆. 在白纸的圆上面画任意一条直径，把白在白纸的圆上面画任意一条直径，把白纸沿着这条直径所在的直线折叠纸沿着这条直径所在的直线折叠.说一说说一说这体现圆具有什么样的对称性？这体现圆具有什么样的对称性？ 观察圆的两部分是否互相重合观察圆的两部分是否互相重合. 你能讲出圆具有这你能讲出圆具有这种对称性的道理吗？种对称性的道理吗？例例1 已知：如图已知：如图3-3，在，在O中，直径中，直径CD与与 弦弦AB垂直，垂足为垂直，垂足为E. 求证：求证：AE=BE . 举举例例图图3-3证明证明 连

4、结连结 OA，OB. 图图3-3由于由于 OA=OB，因此因此OAB是等腰三角形是等腰三角形. 又又OE是底边是底边AB上的高，上的高，因而因而OE也是底边也是底边AB上的中线上的中线. 从而从而AE=BE.结论结论定理定理1 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦. 现在你能说出道理吗？现在你能说出道理吗？ 为什么圆的任意一条直径所在的为什么圆的任意一条直径所在的直线是它的对称轴？直线是它的对称轴？ 如图如图3-4，EF是是O的任意一条直径，的任意一条直径，P是是O上任意一点，过点上任意一点，过点P作作EF的垂线，与的垂线，与O交于点交于点Q，直线直线EF与线段与线段PQ的关系如何

5、？的关系如何？ 根据定理根据定理1，EF平分弦平分弦PQ，从而直线，从而直线EF是线段是线段PQ的垂直平分线的垂直平分线.图图3-4 于是点于是点P与点与点Q关于直线关于直线EF对称，对称，因此，圆因此，圆O关于直线关于直线EF对称对称.图图3-4结论结论 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴直线都是它的对称轴. 1. 自行车的车轱辘是圆形，为什么？自行车的车轱辘是圆形，为什么？练习练习答：答：车轱辘车轱辘( (圆周圆周) )上的任意一点到轴上的任意一点到轴 ( (圆心圆心) )的距离都相等的距离都相等( (半径半径) ). 2. 下述命题是否

6、正确？为什么？下述命题是否正确？为什么？（1）平分弦）平分弦( (不是直径不是直径) )的直径垂直于这条弦；的直径垂直于这条弦；（2）圆只有一条对称轴；）圆只有一条对称轴；答：正确答：正确. 因为平分非直径的弦的直径所在的因为平分非直径的弦的直径所在的 直线是这条弦的对称轴直线是这条弦的对称轴.答：不正确答：不正确. 圆的任何一条直径所在的直线都是圆的任何一条直径所在的直线都是 圆的对称轴圆的对称轴.（3）圆的任意一条弦是圆的对称轴；）圆的任意一条弦是圆的对称轴；（4）圆既是中心对称图形，又是轴对称图形）圆既是中心对称图形，又是轴对称图形.答：不正确答：不正确. 答：正确答：正确. 3. 已知

7、已知 O的半径为的半径为5 cm，弦，弦AB的长为的长为6 cm， 求圆心到求圆心到AB的距离的距离.答：在答：在 O中半径中半径r=5 cm，AB=6 cm， 作直径垂直平分于作直径垂直平分于AB，交，交AB于点于点M， 所以所以AM=MB=3 cm. 所以在所以在RtAMO中，中， AO=5cm，AM=3 cm， 所以所以OM=4 cm. 即圆心到即圆心到AB的距离为的距离为4 cm.ABOM 圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧，简称，简称弧弧.弧用弧用符号符号“”表示，如图表示，如图3-5( (1) )，圆，圆O上两点上两点A，B间的间的小于半圆的部分叫做小于半圆的

8、部分叫做劣弧劣弧，记做，记做 ；A，B间的大间的大于半圆的部分叫做于半圆的部分叫做优弧优弧，记做，记做 ，其中，其中M是圆上是圆上一点一点. 如图如图3-5( (1) )，AOB叫做叫做 所对的所对的圆心角圆心角， 叫做圆心角叫做圆心角AOB所对的弧所对的弧. 在生活中，我们常遇到圆心角，如飞靶在生活中，我们常遇到圆心角，如飞靶( (图图3-5( (2)中有圆心角，还有手表中的时针与分针所成的中有圆心角，还有手表中的时针与分针所成的角也是圆心角角也是圆心角. .ABAMBABAB动脑筋动脑筋 如图如图3-6，圆心角，圆心角AOB=COD. 它们所它们所对的弧对的弧 与与 相等吗？它们所对的弦相

9、等吗？它们所对的弦AB与与CD相等吗？相等吗？ ABCD图图3-6 由于圆是旋转对称图形，因此由于圆是旋转对称图形，因此可以绕圆心可以绕圆心O旋转，使点旋转，使点A与点与点C重重合合. 由于由于AOB=COD，因此，点，因此，点B与点与点D重合重合. 从而从而 ，AB=CD.=AB CD结论结论 在同一个圆中，如果圆心角相等，那么在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等它们所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同一个圆中，如果弧相等，那么它们在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦相等吗？你所对的圆心角相等吗？所对的弦相等吗？你能讲出道理吗？能讲出道

10、理吗？动脑筋动脑筋 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？你所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？你能讲出道理吗？能讲出道理吗？ 垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧吗？弧吗？ 如图如图3-7，直径，直径CD垂直于弦垂直于弦AB. 根据定理根据定理1可得，可得，直线直线CD是线段是线段AB的垂直平分线，从而点的垂直平分线，从而点A与点与点B关于关于直线直线CD对称对称. 由于圆由于圆O关于直线关于直线CD对称，因此沿着直线对称，因此沿着直线CD折叠，点折叠，点A与点与点B重合，重合，从而从而 与与

11、 重合，重合， 与与 重合重合.ADBDACBC图图3-7结论结论垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧.举举例例例例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 已知：如图已知：如图3-8，圆，圆O中，弦中，弦AB与弦与弦CD 平行平行. 求证：求证：=ACBD图图3-8证明证明 作直径作直径EF垂直于弦垂直于弦AB，图图3-8由于由于ABCD，因此因此EFCD.由于由于EFAB，由于由于EFCD，因此因此 ，=AEBE因此因此 . =CEDE从而从而=AE CEBE DE- - -即即 =.ACBDEF 1. 如图如图3-9，圆，圆O中，中，ABCD. 求证：求证：AOC=BOD.练习练习答答图图3-9 ABCD. = ACBD AOC=BOD.（由例题结论得（由例题结论得)2. 如图如图3-9，圆，圆O中，中，ABCD. 求证：求证：AC=BD.答：答： ABCD. （由例题结论得）（由例题结论得） AC=BD. = ACBD图图3-9中考中考 试题试题例例1A 过过 O内一点内一点P的最长弦长为的最长弦长为10cm，最短弦长，最短弦