低速空气动力学理论及计算：第四章

1、低速空气动力学理论与计算第四章：低速平面位势流1本章主要内容一平面不可压缩位势流的基本方程 流函数二简单的二维位势流l基本的二维位势流l基本位势流的迭加三镜像法概述l直壁的干扰l地面效应l圆壁的干扰l洞壁干扰四鳞片布源法五保角变换法2引言本章开始低速空气动力学的核心内容研究对象是低速不可压缩理想流体假定来流有势求解求解速度位势满足的方程线性叠加原理 保角变换研究对象的选择研究方法数学工具基本结论3平面不可压缩位势流的基本方程位势流是无旋流，在无旋条件下存在速度势。按照Kalvin定理，流动原来无旋，后来必然无旋。这个假设在流场大部分区域内满足，只是物面附近不成立，用此假设可以建立流场的初步解。

2、平面流是二维流动，是真实情况的一个极大简化。4平面不可压缩位势流的基本方程流动的基本方程已经推导过了，对于平面流动只要令z方向导数全部为0即可考虑无旋条件存在位势函数5流函数平面不可压缩的连续方程这是微分式 是全微分的必要和充分条件存在一个函数流函数：6流函数=Const.的曲线是流线（极容易证明）一系列常数Const.对应一系列流线流线不能穿越（与位势函数一样，其绝对值没有意义，差值有意义）流函数可以代表流量7流函数是点的函数在同一流线上的值都相同等流量差的作一系列曲线，可以看出流速大小流线一般不相交，可以分叉8位势函数与流函数无旋条件，就有位势函数。对于平面流动 总是成立的。将位势函数 带

3、入上式，有必然遵守的方程：9位势函数与流函数流函数是根据不可压缩平面流的连续性方程导出的，而连续性方程总是成立，所以凡是平面流动必然存在流函数平面流动必然存在流函数如果附加无旋条件：将前式带入无旋条件，得到满足的方程10位势函数与流函数不可压缩的平面无旋流必然同时存在位势函数和流函数，且这两个函数满足相同的微分方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程是线性方程，比起流动的基本方程（非线性）简单很多线性方程线性迭加原理要描述一个不可压缩平面流场，找到其中一个函数即可（找到一个，另一个自然得出），等位线和流线都可以画出来11位势函数与流函数等位线和流线正交沿流线有 流线的斜率是沿等位线有 或由此比较两式 12

4、位势函数与流函数说明：另外一种证明方法不论哪种证明方法，在速度为零处都不成立13例子求流场上的速度分布、压力分布；画流线和等位线14几种简单的基本二维流动将几种简单函数表示的位势流动，它们是最基本的流动，许多的流动可以用它们组合而成 思想：线性迭加原理的应用线性迭加原理的应用15几种简单的基本二维流动：直匀流速度不变，彼此相等的平行流动位势函数：流速：流线考虑平行于x轴的直匀流16几种简单的基本二维流动：点源描述：从流场某一点有一定流量向四面八方的流动（有正负汇）把源放在坐标原点，使用极坐标，只有径向速度，没有角速度设半径为r处的流速是vr，源的总流量流速与半径成反比流函数：位势函数：积分速度

5、特例：源不在坐标原点的情况17几种简单的基本二维流动：点源受扰点P（x，y）至源的距离为r，有18几种简单的基本二维流动：偶极子描述：等强度的一个源和一个汇，放在x轴上，源放在（-h，0），汇放在（0，0）处，从源出来的流量都进入汇应用迭加原理，按照上页公式，位势函数为：流函数：上述两个角度分别是流场点P与源和汇连线与正x轴的夹角19几种简单的基本二维流动：偶极子考虑当h0但Q增大，使Qh/2Qh/2=M=M保持不变的极限情况，此时的位势函数：这种极限情况并不是把有限强度的源和汇放在一起，彼此对消，什么也没有，而是h0，Q的一种极限情况偶极子流等位线是圆心在x轴上的圆，且过原点20几种简单的基

6、本二维流动：偶极子流函数可以从位势函数推导，也可以对非极限情况的流函数求极限，有流线也是一些圆，圆心都在y轴上，且过原点速度公式：21几种简单的基本二维流动：偶极子说明：偶极子是极限情况，它是有轴线方向的，原来的源和汇放在哪条直线上，那条直线就是轴线偶极子轴与x轴成角偶极子位于其他点，轴线与x轴平行22几种简单的基本二维流动：点涡位于原点的一个点涡流动，图案很想点源，只是流线和等位线对调，流线是同心圆，等位线是过圆心的射线；流动只有角速度，没有径向速度位势函数和流函数是23几种简单的基本二维流动：点涡上述公式中的0是个常数，称为点涡强度速度：这个速度与离中心的距离r成反比。对此速度绕封闭圆圈做

7、环量计算，有这个点涡强度就是环量的值，不论沿哪个回路积分其结果都一样24几种简单的基本二维流动：点涡如图，沿图中路径积分沿BC，DE等径向线段的环量都是零，沿AB，CD，EF等弧线的速度积分等于各段弧对的圆心角乘以0/2所以25几种简单的基本二维流动：点涡再继续推广，沿任何形状的围线积分计算环量都一样（只要点涡在围线内如图沿ABCDEFA仍等于0，沿HIGH积分环量为026几种简单的基本二维流动：点涡如果点涡在（，），不在原点，流函数和位势函数的表达式27几种简单的基本二维流动：点涡这种点涡其实应该看作是一根在z方向无限长的直涡线，除涡心，其余地方无旋点涡的速度分布不可能一直用到核心上去，当r

8、0时v，压强28几种简单的基本二维流动：点涡上述的情况是不真实的，按照点涡的速度分别规律，速度在半径方面的变化率是当r很小时，这个变化率极大，这时黏性必然起作用（黏性力与时代的法向变化率的关系参考前几次课的内容），结果导致涡有一个核，核内的流体v不是与r成反比，而是与r成正比；核外流速与r成反比，如图29几种简单的基本二维流动：点涡结论：点涡有涡核核内是有旋流，核外是无旋流涡核的尺寸？做外部计算可以忽略，看作很微小即可涡对外部流场是产生诱导（扰动、感生）速度的，其值与至中心的距离成反比，但对它自己的核心并无诱导速度。30基本位势流的迭加对于平面位势流动，方程变为以速度位势或流函数为变量的线性方

9、程对于任意物体（二维）的绕流问题如何处理？无法直接求解，而是利用基本位势流动或奇点的迭加构筑物体外形（流场几何），其速度位势是各基本位势流动之和（线性迭加原理），构筑出满足要求的流场，问题即可解出对于压力场可以使用Bernulli积分获得31基本位势流的迭加：直匀流加点源一个平行于x轴由左向右的直匀流里面加入一个强度为Q的点源速度位势分速度32基本位势流的迭加：直匀流加点源X轴上存在驻点vxA=0，可以得到驻点坐标： 在驻点流速为0，点源的速度与直匀流的速度抵消流线如图经过驻点的流线BAB是 一条特殊的流线围墙与直匀流里面放置一个半无限长物体造成的流动等效 （为何是半无限长？）33基本位势流的

10、迭加：直匀流加点源半无限体在+x无限远处的宽度D（y方向的尺寸）流线BAB可以根据流函数=0画出，也可以从流量关系计算出来BAB流线上的其他点的坐标的确定流场上的压强用速度得到，可以表示为无量纲的压强系数Cp，其定义为34基本位势流的迭加：直匀流加点源按照压强系数的定义，沿半无限长体的外表面，压强系数的分布是： 代入后，有Cp沿x轴的分布曲线A驻点Cp一定为+1，与物体形状无关经过驻点Cp迅速下降至Cp=0，该点流速已达到远前方来流速度，此后气流沿物面加速，经过一段距离达到速度最大值（Cp最小），一般物体也有类似规律，地点或早或迟经过速度最大点流动开始减速，减速很慢，到无穷远恢复到来流速度35

11、基本位势流的迭加：直匀流加偶极子直匀流加源得到半无限长体流动，物形不会收口；如需收口需要加负源，当正源和负源的总强度为零时，物形才能收口直匀流加偶极子可以得到封闭的物形直匀流平行于x轴，由左向右，一个轴线指向负x的偶极子放在坐标原点，位势函数36基本位势流的迭加：直匀流加偶极子流动图案：直匀流绕圆圆的半径a由驻点A确定根据a的表达式，位势函数可以写成流函数=0是一条特殊的流线，此时=0或，这就是x轴；还有r=a，这是一个半径为a的圆37基本位势流的迭加：直匀流加偶极子速度分量：在r=a的圆上绕圆的流动在圆表面上只有圆周的速度v，而没有径向速度vr，38基本位势流的迭加：直匀流加偶极子压强系数压

12、强系数分布如图：驻点，来流速度点，最大速度点，后驻点流动上下、左右对称不考虑流体的黏性，任何封闭物体的阻力为零（达朗贝尔佯谬）研究无黏流的意义分析流动的各个因素翼型升阻比的提高39基本位势流的迭加：直匀流加偶极子和点涡上述流动中再在圆心处加一个强度为-的点涡（顺时针为负）位势函数和流函数：40基本位势流的迭加：直匀流加偶极子和点涡在极坐标下的速度分量r=a仍旧是一条流线，在这个圆上驻点位置的确定：0在第三四象限，前后驻点关于y轴对称。驻点0离开和0的多少决定于环量与半径速度之积的比值，环量越大，驻点越下移41基本位势流的迭加：直匀流加偶极子和点涡流动左右对称，上下不对称，y方向合力不为零用Be

13、rnulli积分计算合力：按照速度在圆上的分布，根据Bernulli方程计算压力，然后沿圆周积分，最后计算出压强系数用动量定理计算合力：控制面S包括圆面和链接割线，S上的压力积分是物体所受的合力，无X，只需计算Y42基本位势流的迭加：直匀流加偶极子和点涡Y向力的表达式： 库塔库塔茹科夫斯基定理（升力）茹科夫斯基定理（升力）这是作用在单位长度柱体上的升力只要是一个封闭物体，代表这个物体作用的正负源强度总和必须为零正负源放在一起，远离物体，其作用与偶极子没有区别环量是升力存在的最根本因素43基本位势流的迭加：直匀流加偶极子和点涡带环量的压力分布有环量与无环量压力分布的对比：升力来自于“吸力”44镜

14、像法直壁的干扰固体表面是流线，不可逾越（特殊的流线可以视为壁面，反之流场中的壁面可以设法产生与固壁一样的流线） 45如何用流函数表达直壁？镜像法对于直壁，在直壁的另一侧对称的点上放置一个同一强度的源，这两个源在直壁位置上产生的速度必然大小相等，一个上斜，一个下斜，斜角相等，结果合速度必然恰好与直壁一致直壁上一半为真实流动，下一半是认为配的，这种方法称为镜像法镜像法的流函数：46镜像法y=0时，=0，x轴是流线之一。沿y轴只有vy镜像源的作用分析0ya：镜像产生的速度与实有点源的速度同一方向，增大速度（设想点源自由移动）在直壁上：坐标原点O左右|x|a，流速逐渐增大，压强逐渐下降在原点附近：高压

15、区（气垫船）47镜像法一个强度为的点涡放在一个直壁旁边，直壁的作用也用镜像法分析：在直壁另一侧布置等强度反向镜像点涡流函数：48镜像法直壁上任何一点P受到两个涡的作用，合速度vx，和没有直壁的情况对比，直壁的存在把实有点涡原来的下一半的流动挤到一起，流速增大单个涡的存在，自己对自己无诱导速度，所有涡不会移动。直壁的作用等于镜像，镜像涡会对实有涡产生诱导速度，使实有涡以4a的速度向右移动49镜像法一对实有涡在彼此的作用下会平行向前，同时直壁的作用又使二者向x方向运动（二者分开向外移动）两个镜像涡对每一个实有涡都起作用，而且二者所产生的x方向的诱导速度方向恰好相反，但并不恰好对消一个涡在互相垂直的

16、两直壁间情况与图类似50地面效应飞机的地面效应地面效应的计算方法地面效应对飞机飞行的影响地面效应的利用51地面效应飞行器52圆壁的干扰点源强度Q，坐标（a,0）；半径R的圆，Ra，圆心在原点如何布置镜像点源，得到有圆壁存在时的点源流动？（圆是一条流线）53例子位于(a,0)、(-a,0)强度为+Q的两个点源和位于(0,a)、(0,-a)强度为-Q的两个点源构成的流场中有一条流线是半径为a的圆54洞壁干扰风洞有限的尺度与飞机在大气中飞行存在较大差别，风洞实验的数据必须经过修正才能使用，这种修正称为洞壁干扰修正低速风洞的洞壁干扰又两种效应模型对气流的堵塞效应（通道变窄，流速提高，相当于改变了来流速

17、度）洞壁的限制改变气流的下洗角（三维机翼的迎角有所改变）第一种效应在低速风洞中往往修正不大，主要考虑第二种问题的修正55洞壁干扰圆形洞壁的修正一个有限机翼的涡系可以用两个翼尖涡代替，则在圆外反演点上放两个同强度反向点涡就行圆心不必放，未增加环量计算这两个镜像涡在翼展的中点（圆心）所产生的下洗速度（负值，实为上洗速度）模型吹风角等于安装角加上这个上洗角56洞壁修正矩形洞壁的修正镜像涡非常复杂：镜像的镜像，无穷无尽平壁和竖壁分开考虑，结合后如右图需要计算两个无穷多涡系对机翼翼展中心的上洗速度，并双重求和如果风洞是开敞的，情况简单很多57鳞片布源法前面讲的基本位势流迭加太简单，没有实际应用的价值，需

18、要理解的重点是：直匀流绕流的基本特点和研究方法理解源、涡这些基本解能起的作用：源源把来把来流撑开；涡流撑开；涡产生升力产生升力鳞片布源法是一种实用的求解绕流问题的方法，其应用不限于二维无升力问题，可以求解三维问题，也可以有升力问题。 本章先用无升力问题介绍此法，掌握要领58鳞片布源法问题的提出：点源可以起到撑开流体的作用，那么如何布置点源可以得到我们需要如何布置点源可以得到我们需要的物体的形状的物体的形状？例如，若想使驻点成为一条竖壁，如何布置点源？答案：在半无限长体驻点的基础上，在上下位置多布置几个同强度源逐步增加点源数目，看看能达到什么效果。59鳞片布源法60鳞片布源法表面分布的一系列源产

19、生的扰动速度把源分得极碎，均匀分布在一条直线上，分布强度是是单位线长的流量如果布置的合适，可以得到任意外形的绕流的流场61鳞片布源法扰动速度公式： 如果=1，则扰动速度为62鳞片布源法根据扰动速度公式画出速度的分布曲线根据这些结果可以模拟 竖壁竖壁 需要布置什么样的源了63鳞片布源法根据上述结果可以确定布源的原则：在物面上布置分布源，源引起物面上在物面上布置分布源，源引起物面上的扰动速度要保证没有法向分量，只的扰动速度要保证没有法向分量，只有切向分量，从而物线恰好成为流线有切向分量，从而物线恰好成为流线对于竖线段应该布j =2v，从而扰动速度对消来流速度，沿该线没有法向速度，只有切向速度。64

20、鳞片布源法上述办法可以用来计算任意形状物体的无升力流动：确定离散外形“鳞片”上的点源强度，所有问题就有答案了65鳞片布源法：求解思路把物体的周线分成m段，0,1,2m-1,m各分点称为“边界点”，第m个边界点和出发点0重合。各分段长度不一定相等（曲率半径小分段可长；反之分段短）。在每个分段上各布一种等强度j。布置了源的分段就是“鳞片”，每一片的中点称为“控制点”。在控制点上满足边界条件，即在该点上的合速度的法向分量为零，此处的合速度包括来流速度，本片的源分布在控制点产生的法向速度（0.5 j ）以及其他m-1个片在此控制点产生的法向速度。在每个控制点上按照边界条件建立了一个代数方程，其中在每个

21、控制点上按照边界条件建立了一个代数方程，其中包括包括m m个待定的源强个待定的源强j j，一共，一共m m块，建立了块，建立了m m个线性方程，个线性方程，求解该方程得到各片上的点源强度，问题就求解出来了。求解该方程得到各片上的点源强度，问题就求解出来了。66鳞片布源法：求解步骤1.在整个流场上先确定一个坐标系x,y；2.计算某一个鳞片的源对另一个鳞片的作用时，规定起作用的片为第j片，受到扰动的片是第i片；3.给第j片设置一个局部坐标系x，y；这个坐标系的原点O放在第j片的中点，其x轴与第j片一致4.最原始的数据是围线各分点在总坐标系上的坐标值(x1,y1),(x2,y2)(xm,ym)，分点

22、号码顺时针排列5.各控制点坐标取中点6.确定各片的法线方向余弦7.确定第i片的控制点在第j片局部坐标上的坐标值8.列代数方程组，并求解67例子使用鳞片布源法计算直匀流绕二维圆柱：68保角变换法复变函数可以用来描述平面流动，但只能描述平面流动（这是它的缺点），但使用复变函数方法描述平面流动非常简洁基本思路：使用变换关系，将一个平面上的图形变为另一个平面上的图形，将一个复杂的、位势函数写不出来的绕流问题变为一个简单的、已知位势函数的流动，间接解决二维复杂绕流。69保角变换法复变函数的相关知识复习解析函数复位势函数保角变换70解析函数解析函数的概念解析函数的定义解析函数的导数（微分）解析函数的的性质

23、：CauchyRiemann条件解析函数的积分：Cauchy积分定理Cauchy残值定理71复位势函数解析函数的实部和虚部可以构成位势函数和流函数，组成复位势函数代表平面不可压缩无旋流，速度分量和模复速度并不是速度向量本身，而是在x轴另一边的镜像，它是速度向量的共轭复数72复位势函数复位势函数的性质绕角的流动在基本解中并未提及，真实意义不大，局部特性具有普遍意义凹角凸角73复位势函数其它几个简单流动的复位势函数74布劳休斯定理计算物体上所受力和力矩有布劳休斯定理可用。这个定理是根据动量定理和动量矩定理用复位势函数导出的两个公式75布劳休斯定理布劳休斯定理：如果流动存在位势函数，其导数平方的一次

24、极点系数满足 实部为物体x方向受力，虚部位y方向受力； 其导数平方与z乘积的一次极点系数满足 实部是力对原点的力矩例：带环量的绕圆流动76保角变换z平面和平面， 也是复变数二者之间规定一个关系z平面图形与平面图形的对应关系：除了个别点之外，相应的图形上两线段之间的夹角和原图形上两对应线段之间的夹角相等 -保角变换77保角变换如果z平面上的两个点对应平面上的同一个点，如z=0点变换不保角，角度增大一倍|d/dz|=0或无穷，奇点，变换不保角不保角点上的角度变换规律78保角变换利用边界上的奇点进行变换：把圆变成机翼79流型的变换在z平面上的一个位势流动（比如绕某封闭曲线C的流动），等位线与流线正交

25、。经过变换，在平面上，C变成C，等位线和流线变成另外两族曲线，仍旧正交。变换变换后的两族曲线仍旧可以看作等位线和流线后的两族曲线仍旧可以看作等位线和流线。经过一个给定的变换，z平面上绕C的位势流变成平面上绕C的另一个位势流。80流型的变换在平面上，流动的复位势函数导自为W(z)W=W(z), =f(z)，可有W=W()平面上的复速度一般的地方，|d/dz|是有限值，但在奇点处此值可以是零或无限大的速度。 在在z z平面上本来是有限的速度，到了平面上本来是有限的速度，到了平面上可能变成无限大的平面上可能变成无限大的速度速度 通过保角变换圆可以变成翼型通过保角变换圆可以变成翼型81流型的变换直匀流

26、绕圆周变成流过平板（与来流平行）的流动82流型的变换绕圆的流动的复位势函数是给定变换关系此式称为茹科夫斯基变换，其特点为：将z平面上半径为a的圆以外的域变成整个平面不改变来流83流型的变换在平面上的复速度：在远前方Z平面上绕圆的流动经过变换变成：这是流速为v平行于轴的直匀流物体变成和来流平行的无厚度的平板 不考虑黏性，平板自然是一条流线，对流动无扰动 84流型的变换这个变换的导数是 因而存在z=a两个奇点，将在z0=a展开 85流型的变换直匀流从负i轴绕过一块总长4a的横板在平板两头 z=a的地方速度无限大实际情况不同，不存在无限大速度，但z=a是速度最大点黏性的效应，以后会介绍86流型的变换与图中平板相应的物形在z平面上