理论力学——第八章 刚体平面运动

1、第八章第八章刚体的平面运动刚体的平面运动 8-1 8-1 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动：行星齿轮刚体平面运动：行星齿轮1.1.平面运动平面运动刚体平面运动：车轮运动情况刚体平面运动：车轮运动情况 平面图形的运动平面图形的运动 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为等的距离，这种运动称为平面运动平面运动。平面运动平面运动刚体平面运动的简化2.2.运动方程运动方程 123OOxftyftft基点基点O转角转角3.3.运动分析运动分析=+平面运动平面运动 = = 随随 的平移的

2、平移+ +绕绕 点的转动点的转动 O x y OO x y 平移坐标系平移坐标系 平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中平移的平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。速度和角加速度与基点的选择无关。一般刚体平面运动的分解8-2 8-2 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法1.1.基点法基点法动点：动点：M绝对运动绝对运动 ：待求：待求牵连运动牵连运动 ：平移：平移erMOvvvvO M动系：动系： ( (平移坐标系平移坐

3、标系) )O x y 相对运动相对运动 ：绕：绕 点的圆周运动点的圆周运动 O任意任意A，B两点两点BABAvvv 平面图形内任一点的速度等于基点的速平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。其中其中BAv ABvBA大小大小方向垂直于方向垂直于 ，指向同，指向同AB已知：椭圆规尺的已知：椭圆规尺的A端以速度端以速度vA沿沿x 轴的负向运动，轴的负向运动，如图所示，如图所示，AB=l。求：求：B端的速度以及尺端的速度以及尺AB的角速度。的角速度。例例8-18-11.1. AB作平面运动作平面运动 基点：基点： AsinABAv

4、vsinlvlvABAAB2?BABAAvvvv.大小 ？方向cotABvv 解：解：已知：如图所示平面机构中，已知：如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。在图示位置时，在图示位置时，BDAE，杆杆AB的角速度为的角速度为=5rad/s。求：此瞬时杆求：此瞬时杆DE的角速度和杆的角速度和杆BD中点中点C的速度。的速度。例例8-28-21.1.BD作平面运动作平面运动 基点：基点：BlvvvBDBD5rad sDBDEvvDEl5rad sDBBBDvvBDl2?DBDBvvvl.大小 ？方向32?CBCBBDvvvll.大小 ？方向221.299m sCBCBvvvBD方向

5、沿杆向右解：解：已知：曲柄连杆机构如图所示，已知：曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 。如曲如曲柄柄OA以匀角速度以匀角速度转动。转动。r3求：当求：当 时点时点 的速度。的速度。90,60,0B例例8-38-31.1. AB作平面运动作平面运动 基点：基点：A900,BAABvrvv0Bv06033230cosrvvAB2?BABAvvvr.大小 ？方向解：解：已知：如图所示的行星轮系中，大齿轮已知：如图所示的行星轮系中，大齿轮固定，半固定，半径为径为r1 ，行星齿轮，行星齿轮沿轮沿轮只滚而不滑动，半径为只滚而不滑动，半径为r2。系杆系杆OA角速度为角速度为。O求：轮求：轮的角速度的

6、角速度及其上及其上B，C 两点的速度。两点的速度。例例8-48-4 1. 1.轮轮作平面运动作平面运动 基点基点：A12DAAOvvrr1221DAAOvvrDArr20DADAvvv.122BABAOvvvrrr大小方向？.21222rrvvvOBAAB212rrvvvOCAAC4CACAvvv.解解: :2.2.速度投影定理速度投影定理 同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。的投影相等。沿沿AB连线方向上投影连线方向上投影BAABABvvBABAvvv由由如图所示的平面机构中，曲柄如图所示的平面机构中，曲柄OA长长100mm，以角速

7、以角速度度=2rad/s转动。连杆转动。连杆AB带动摇杆带动摇杆CD，并拖动轮，并拖动轮E沿水平面纯滚动。已知：沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时图示位置时A，B，E三三点恰在一水平线上，且点恰在一水平线上，且CDED。求：此瞬时点求：此瞬时点E的速度。的速度。例例8-58-5 1. 1. AB作平面运动作平面运动BA ABABvv（ ）OAvB30cossm2309. 030cosOAvB2.2.CD作定轴转动，转动轴：作定轴转动，转动轴：C30.6928m sBDBvvCDvCB3.3.DE作平面运动作平面运动cos300.8m scos30ED DEDEEDDEvvvvvv（

8、 ）解：解： 8-3 8-3 求平面图形内各点的瞬心法求平面图形内各点的瞬心法 一般情况下一般情况下, ,在每一瞬时在每一瞬时, ,平面图形上都唯一地存在一平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。1.1.定理定理基点基点：AMAMAvvvMAvvAM0ACvvAC 平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。度中心转动的速度。基点基点：CMMCvvCM 2.2.平面图形内各点的速度分布平面图形内各点的速度分布3.3.速度瞬心的确定方法速度瞬心的确定方法/

9、,ABAABvvvABvACBCv且已知已知 的方向，的方向，且且 不平行于不平行于 。BAvv,AvBv00BAABBAABBAMvvvvvvv瞬时平移瞬时平移( (瞬心在无穷远处瞬心在无穷远处) )/,ABvvAB且不垂直于且不垂直于 纯滚动纯滚动( (只滚不滑只滚不滑) )约束约束运动方程运动方程sin1 cosxrttyrt1 cossinxyvrtvrt2|0kvC 瞬心已知：椭圆规尺的已知：椭圆规尺的A端以速度端以速度vA沿沿x 轴的负向运动，轴的负向运动，如图所示，如图所示，AB=l。求：用瞬心法求求：用瞬心法求B端的端的速度以及尺速度以及尺AB的角速的角速度度。例例8-68-6

10、AB作平面运动，速度瞬心为点作平面运动，速度瞬心为点C。sinlvACvAAABcotAABBvBCv解：解：已知：矿石轧碎机的活动夹板长已知：矿石轧碎机的活动夹板长600mm ，由曲柄由曲柄OE借连杆组带动，使它绕借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。曲柄轴摆动，如图所示。曲柄OE长长100 mm，角速度为角速度为10rad/s。连杆组由杆连杆组由杆BG，GD和和GE组成组成，杆杆BG和和GD各长各长500mm。求：当机构在图示位置时，夹板求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。的角速度。例例9-79-7 1.杆杆GE作平面运动，瞬心为作平面运动，瞬心为 C1 。srad2968. 01

11、1ECOEECvEGEsm066. 11GCvGEGmm359115sin01OGGC800mm500mmsin15929.4mmOG 113369mmECOCOE2.杆杆BG作平面运动，瞬心为作平面运动，瞬心为C。GBGvGCcos60BBGGGBCvBCvGCvsrad888. 060cosABvABvGBAB解解: : 8-4 8-4 用基点法求平面图形内各点的加速度用基点法求平面图形内各点的加速度 平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和

12、。基点基点 ：A平移坐标系：平移坐标系：Ax ytBAa ABatBA大小大小方向垂直于方向垂直于 ，指向同，指向同AB大小大小方向由方向由 指向指向nBAan2BAaABBAnrtreaaaaBntBABAABaaaa已知：已知：如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速度匀角速度1绕绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径为转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在大轮上只滚不滑。设在大轮上只滚不滑。设A和和B是行星轮缘是行星轮缘 上的两点，上的两点，点点A在在O1O的延长线上，而点的延长线上，而点B在垂直于在垂直于O1O的半径上。的半径上。求：点求：点A和

13、和B的的加速度。加速度。AB例例8-88-8 1. 1.轮轮作平面运动，瞬心为作平面运动，瞬心为 C。12Ovlrr2d0dt2.2.选基点为选基点为tn2212?0?AOAOAOaaaalr大小方向n2221121(1)AOAOaaallrllr解解: :tn22123.?0?BOBOBOaaaalr大小方向22n2211BOBOaaallrnarctanarctanOBOaral已知：如图所示，在椭圆规机构中，曲柄已知：如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速以匀角速度度绕绕O 轴转动。轴转动。ODADBDl。求：当求：当时，尺时，尺AB的角加速度和点的角加速度和点A的加速度。的加速度。

14、 60例例8-98-91. AB作平面运动，瞬心为作平面运动，瞬心为 C。llCDvDAB22.DDal选 为基点tn22?ADADADaaaall大小 ？方向分别沿轴和轴投影ncoscos 2ADADaaasincossin0ntADADDaaat2t00ADAADABaalaAD 解得解：解：求：车轮上速度瞬心的加速度。求：车轮上速度瞬心的加速度。已知：车轮沿直线滚动。已知车轮半径为已知：车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心中心O的速度为的速度为，加速度为加速度为，车轮与地面接触无相车轮与地面接触无相对滑动。对滑动。OvOa例例8-108-101. 1. 车轮作平面运动，瞬心为车轮作平面

15、运动，瞬心为 C。2OvR.dd1ddOOvatRtR3.3.选选为基点为基点tn2COCOCOOaaaaaRR大小 ？方向 ？n2CCOaaR解：解：8-5 8-5 运动学综合应用举例运动学综合应用举例1.1.运动学综合应用运动学综合应用 ： 机构运动学分析。机构运动学分析。2.2.已知运动机构已知运动机构 未知运动机构未知运动机构 连接点运动学分析3.3.连接点运动学分析连接点运动学分析接触滑动接触滑动合成运动合成运动铰链连接铰链连接平面运动平面运动求：该瞬时杆求：该瞬时杆OA的角速度的角速度与角加速度。与角加速度。已知：已知：图示平面机构，滑块图示平面机构，滑块B可沿杆可沿杆OA滑动。杆

16、滑动。杆BE与与BD分别与滑块分别与滑块B铰接，铰接，BD杆可沿水平轨道运动。滑块杆可沿水平轨道运动。滑块E以匀速以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆沿铅直导轨向上运动，杆BE长为长为。图示。图示瞬时杆瞬时杆OA铅直，且与杆铅直，且与杆BE夹角为夹角为l 245例例9-119-111.杆杆BE作平面运动，瞬心在作平面运动，瞬心在O点点。lvOEvBEvOBvBEB取取E为基点为基点tn2?0?BEBEBEEaaaaBE大小方向沿沿BE方向投影方向投影2nn22cos452cos45BBEBEBvaalaval 解：解：绝对运动绝对运动 ：直线运动：直线运动(BD)相对运动相对运动 ：直线运动：直线运

17、动(OA)牵连运动牵连运动 ：定轴转动：定轴转动(轴轴O)2.动点动点 ：滑块：滑块B 动系动系 ：OA杆杆aer?vvvv大 小方 向沿沿BD方向投影方向投影lvOBvvvvvOAerae0tnaeerC222?0OAaaaaavll大小方向沿沿BD方向投影方向投影22te2ate22lvOBalvaaOA求：此瞬时杆求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度。的角速度及角加速度。已知：已知：在图所示平面机构中，杆在图所示平面机构中，杆AC在导轨中以匀速在导轨中以匀速v平移，通过铰链平移，通过铰链A带动杆带动杆AB沿导套沿导套O运动，导套运动，导套O与杆与杆AC距离为距离为l。图示瞬时杆图示瞬时杆A

18、B与杆与杆AC夹角为夹角为。60例例9-129-121. 1. 动点动点 ： 铰链铰链A 动系动系 ： 套筒套筒O aer2?vvvv.大小方向260cos2360sinaraevvvvvvlvAOvAB43etnaeer2er0? 2CABaaaaaAOv大小方向tea沿 方向投影22te833lvAOaABlvaaaa4302CteCte解：解：另解：另解： 1.1.取坐标系取坐标系Oxy2. A点的运动方程点的运动方程cotlxA3.3.速度、加速度速度、加速度vlxA2sin2sinlv2sinsin2sin222lvlv 03604ABvl当时有223 38ABvl求：此瞬时求：此瞬时AB杆的杆的角速度及角加速度。角速度及角加速度。已知已知：如图所示平面机构，如图所示平面机构，AB长为长为l，滑块滑块A可沿摇杆可沿摇杆OC的长槽滑动。摇杆的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度以匀角速度绕轴绕轴O转动，滑转动，滑块块B以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，铅直，AB与水平线与水平线OB夹角为夹角为。lv 30例例9-139-13 2.2.动点动点 ：滑块：滑块 A，动系动系 ：OC 杆杆1.1.杆杆AB作平面运动，基点为作平面运动，基点为B。ABABvvv?AerBABvvvvvOAl大小方向Bv沿方向投影esin302BABlvvve2ABB