基础课教学与创新精神齐民友

1、基础课教学与创新精神齐民友武汉大学 数学与统计学院湖北 武汉 430072科学活动最本质的特点就是 创新或创造 .教学活动必须是 最具有创造性 的活动 .创造因此 ,应该从教学活动的内在特点来理解如何培养学生的创造性性不是“教”出来的，而是在整个教与学的全过程中自然形成 ，或者说，熏陶 而成的 .创造性宁可说是一种心理素质，种为人处事的态度或者习惯;它是种最为宝贵的素质 ：创造始于不满足，始于否定 创造始于自信 .创造始于脚下的每一步 创造成于从心所欲不逾矩以小平邦彦的书为例：小平邦彦是谁？ 1915-1997，是日本 20 世纪最伟大的数学家之一 .是少有的同时获得Fields奖（1954和

2、 Wolf奖（1984-1985的数学家之一.此书是他写的教材 .日文本初版于 1991年（岩波书店出版），当时他已经 76岁高龄，于 1975年在东京大学退休后， 在学习院大学任教 .此书应是他的晚年著作 .他在晚年还 主编了一套日本高中教材，被美国数学会译为英文，获得广泛好评这一位如此高龄以及地位如此崇高的大数学家所写的书充满了创新精神 对于我们如何创造性地做好基础课教学是很好的范例F面从这本书里举几个例子，来说明我们关于教学中的创新的观点1.尽早地比较系统地引入复数 复数与实数的“微积分”真正地表现出本质的区别，应该从哥西一黎曼方程以及哥西定理开始.本书从变量与函数的概念开 始就打破了二

3、者的界限，这样做有许多优点：更深刻地表现了数学的统一性.更符合历史发展的实际情况.及早介绍欧拉公式e cos isin .十分方便教学，特别是后续课程和其他学科的课程的教学.举一个例子现在以1.对于微积分的重要问题给出了比一般教材更加精细更加充分的处理致收敛的函数项级数的逐项积分为例.先看一个习题（出自原书I, 247页第42题)“举例说明，存在满足fn（X）dX 1,并且在区间0 ,）上一致收敛于0的连续0函数序列.”答案其实不难，例如取fn（X）-f xn nf (x)dx 1 即可0(f(X) e x或 f (x)均可）.1 x要点何在？某个区间上的连续函数的一致收敛序列容许在积分号下求

4、极限，应该限制于此区间为紧（通常教材上总说“有界闭区间）紧性的作用.现在通用的教材的一个通病在于没有看到紧性的极端重要性C I当I非紧时不一定是巴拿赫空间.它的对偶空间更是一个麻烦问题.这个问题与构造广义函数（如函数）的关系.自变量x变为1 X （或nx）与函数值变为丄f （或nf）在几何形象上互为“逆 nn变”.还有没有其他的联系？如果说以上只是我们对于这个题目的“教学建议”，下面则是原书作者关 于积分号下取极限的问题 进一步展开.原书1,197页给出了以下定理：“定理5.10 (Arzel d定理) 设在闭区间a,b上，函数fn (x) , n 1,2,3丄连续，并且一致有界，即存在不依赖

5、于n的常量M ,使得在a , b上恒有fn(x)M成立.如果函数序列fn(x)收敛，并且其极限f(x) lim fn(x)在a,b上连续，那么这个结果(以及上面的习题)都不是特别偏僻的，例如可以参看菲赫金哥尔茨微积分学教程(第二卷).但是此书不是把这些进一步的展开作为可有可无 的附加，而是作为完整的论述的有机组成部分来看待.要点何在?本定理是勒贝格控制收敛定理 的特例.您的学生学勒贝格积分理论 感到抽象吗？他们敢不敢应用 这个理论的具体结果于自己的工作中？进而，对于数学中更深刻的结果，他们 是否愿意学？学了以后有没有具体的好处?本书把这个定理用于含参数的积分在积分号下求导数(见原书n, 267

6、页定理6.19).关于交换极限次序的问题，就我所见，本书是最清楚明确而且不繁琐的一本.本书非常注意 前瞻性.如上所述，已经尽可能早地引入复数，应用线性代数的概念(如向量，矩阵等等)解决微积分的问题，现在还与所谓“精密分析”连接起2.不但瞻前，而且顾后.我国的情况是：进了大学就忘了中学；大学数学系毕业以后去教中学时，又觉得大学学的东西完全没有用(实际上是不会用)；大学数学系很少想到担任中学教师是很大一部分学生的出路，培养合格的中学教师是大学不应推辞的义务.例如可以问一个问题：“定义” ap/m对不对?答案应该是：不对因为这个式子的左方把幕的指数写成了分数 ，就是隐含地承认了 ：右方根号的两个指数

7、的关系恰好是分子与分母的关系.这恰好就 是需要证明的.本书的定义方法（我作了一些改动）是：“定义”这种有理数指数幕为 方程Zm ap的唯一正实数根.再证明m和P恰好是分母和分子的关系.所以这个根可以合理地写为ap/mam an amn当m, n是一般的有理数时如何证明？以上可见本书I, 72-88页.从这几个例子看：小平邦彦的书有哪些优点和创新?1 .抓住了数学内容的不断发展的实质，而不是把它看成固定不变的，不可逾越的，也不停留在形式推导的表面上；努力建立数学各个部分的 发展和相互 联系，而不是把作为一个整体的数学过度地划分为互不相关的“分支”2提供了许多问题的新的处理方法，使我们不会误认为“

8、数学（具体地说:微积分）”只能有我们熟悉的那一种理解，那一种讲法3体现了高度的个性，正如小平邦彦可以“反常人之道而行”，我们也可以“反小平邦彦之道而行”.没有多样性，就没有创造性鼓励教师和学生走自己的路.总之：一方面要 去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里.达到对数学的规矩（即内在的规律）的认识，做到 中规中矩.另一方面，可以根据自己（教师或学生）的具体情况以及学术上的爱好、习惯、长处与短处等等来教好（或学好）一门课程，从中得到对于数学科学的 真意的理解综合这两 个方面，就是前面说的“从心所欲不逾矩”.从这个意义上说，教与学都是一种“再创造”一一从创造中学创造.这当然是一个艰苦而又漫长的过程

9、.小平邦彦一书的两点说明1 .关于幂运算幂运算a是指数函数和幂函数概念的基础:若视a为变量，就得到幂函数：若视 为变量,则得到指数函数.为什么要求a 0，我已经在另文中作了严格的论证,这里不再说幂运算有3条基本定律(我称为指数定律):彳m n1. a2.(am)nmna ；3.(ab)m当m,n为正整数时,幂就是连乘积：这时,上述3条定律是自明的,我们不再证明.现在要讨论的是m,n为有理分数的情况，即指数为,-，而m ,n, p,q均为正整数的情况 m n(p,q为0也可以，但为简单计，我们不仔细说明).以下，所谓分数均指有理分数，所以如像T之类的数暂不讨论，留待下面m,n为一般实数时再说.首

10、先是当r R为有理分数时(特别是r 1/时)幂运算ar的定义问题.小平邦彦书上是m用y f(x) x的反函数来定义y x1/n的.为此，他需要先证明严格单调连续函数必有反函数存在，并且在讲y f(x) xn时就已经明确地证明了它在0,)上严格单调连续.这些都比我国通用的多数数学分析教材讲得更好 .我在另一篇文章里则用了以下定义:定义1. a1/n (a 0)即方程z a (a 0)的算术根(即正实数根).算术根的存在和唯一性没有用代数的基本定理来证明，因为它只能保证方程Z a (a0)有复根存在，而无法保证有唯一正实根存在.所以我是用连续函数的中间值定理来证明的.这与反函数定理是完全等价的.进

11、步 r p/m的情况有两个方法来定义：或者定义为a1/m的p次幂；或者定义为ap的m次方根，即定义2.ap/m (a 0)即方程Zm ap的算术根.这里3卩加只是一个暂时的记号.现在的中学教材时常就说：分数幂ap/m的定义就是何.必须明确指出，这个说法是错误的，因为它隐含地规定了乘方的次数p与幵方的次数m的关系（也就是方程（1）左右双方的两个乘方次数的关系）是分数分子与分母的关系，而这一点正是需要着力论证的事情.正因为如此，我们在定义2后面特意提醒:“这里3卩加只是一个暂时的记号”.中学教材还有一点遗漏：在好中是先幵方后乘方还是先乘方后幵方 ？看来似乎是先对a乘p次方，再对ap幵次m方.定义2

12、则很明白是这样作的.因此自然有一个问题：可否先幵方后乘方，即定义ap/m% a1/m pmap ?实际上不但可以，而且有时还更好.原因下面再说.在下面的讨论中，我们暂时限制幂 r为正,所以p,q,m,n 0.负指数的问题因为比较明确，不会有什么误解，所以这里不说了我们先来证明先幵方后乘方也是可以的.定理1 .定义2中的3卩/就是定义1中的a1/m的P次方.证明.记定义1中的a1/m为Z，它的存在和唯一性上面已经说了.它是一个正实数，因此可以对它求任意正整数次幂.由定义1,Zm a,双方求p次幂有Zmpap . 但是mp是正整数，从而Zmp就是一个连乘积，所以因此，Zp是方程Xm ap的算术根（

13、注意Zp是正实数）而按照定义1,CC 1/mZpap亦即a1/m pP 1/m p/m a aa1/m作为方程Zm a这个证明的要害是：把a的有理分数幂变成a1/m的正整数幂.反正的算术根是正实数， 它的正整数幂就是简单的连乘积， 所以可以应用前面讲的指数定律.后许多证明都是这样来的这就是为什么前面说先开方后乘方有时更好另一个更重要的问题是： 有理分数 r 可以写成不同形状的分数， 如1/3 2/6 L 5/15 等 等，于是就有不同的 m和P .所以至关重要的是要证明定理2 .如果p/m q/n ,（m,n为正整数，p,q 0.）则对于a 0有a p/m aq/n有了这个定理以后，我们才看见

14、了 3卩/中p/m确实是一个有理分数.（但是我们下面还会给出一个符合现代数学要求的形式化的证明，虽然这对于大多数中学老师更不说是 全部中学生一一是完全不必要的）.证明的方法和定理1的证明方法是一样的.证明.对ap/m乘以mn次方.由于p/m q/n即pn qm ,所以由（2）式有m, n为正第一步的方括号处我们应用了（2）式；第二步最外层的方括号处，我们利用了整数，从而可以利用前面关于幂运算的指数定律的第2条；最后一步则是定理的假设.同样，我们也有这样，玄卩加和aq/n是同一个方程的算术根心卩川和aq/n是正实数从定义2中已经明确）.由算术根的唯一性即知二者相等.证毕.以上只考察了幂为正的情况

15、 . 如果幂为负，也不会有大的难处，所以不再讨论在小平邦彦的书中，以上全部内容只写了不到1页的篇幅.他说：在本节，我们将对在高中数学中学过的指数函数和对数函数进行严格的论证 由此可见日本对高中学生和教师是什么样的要求！我比较详细地写了这么多， 无非是感到此书言简意骇 , 而自己教了这么多年的书，其实没有把最基本的东西讲清楚，实在汗颜 , 所以多写了几句 .F面再来证明对于有理分数幂，幂运算的3条定律也成立.因为证法完全一样，下面只证明第一条：如果p/m q/n,（m,n为正整数，p,q 0.）而a 0，则有P/m q/n P/m q/na a a证明.将上式左方乘mn次方.因为mn是正整数，所

16、以可以应用幂运算的第3条定律而这里我们用了上面的 证明 ，以及对于正整数幂的指数定律的第一条由此可见（4）式左方是方程 zmn aPnqm的算术根.因此定理证毕为了更好地理解以及教好一个数学问题 ,一个有效的方法是注意 瞻前顾后 :我们不妨回忆一下小学生学分数运算的情况 . 如果有几个分数要处理 , 最好是先求出公分母 , 最方便的 方法是把几个分母乘起来，如同上面的mn那样,而不必求最小公分母.作了通分以后，就完全成了分子的正整数运算一一分数问题化成了正整数.我们这里也是一样:先乘上mn次方,就把分数幂的运算化成了正整数幂的运算 . 可见从原理到方法都是相通的 . 以上都是“顾后 ”., 除

17、法变成了再说“瞻前”. 我们讲的幂运算与小学讲分数不同之处仅在于乘法变成了乘方 开方这正是对数的思想 . 如果再进一步，想一下如果对于幂运算没有如此清楚的理解， 指数函数该怎么教？岂非大厦立在完全靠不住的基础上？对于学生当然不能这样要求，但 是作为一个教师，养成这样的瞻前顾后的好习惯， 无疑是会得到丰厚的报偿的 . 但是前面所 讲只不过是“ 体会”： 数学里少不了某些只可意会的“体会” ，但是终究应该用清晰明确的 语言把它表达出来 .所以， 形式化 是不可避免的，是一大进步 .下面我们试图把它形式化 .什么是分数？一个烧饼3个人均分，每人得1/3个.教小学生这就够了 .但是对成熟的中学老师，这

18、是不行的 . 现代对分数的理解，就是 把分数考虑成为一个有序的整数对 P, m，m 0 就是其中 m 0. 所谓“有序”其实就是说前项是分子，后项是分母，次序不得混淆； 分母不得为0 .但是1,3,2,6是同一个分数，所以在这类有序的整数对的集合里需要引入一个等价关系：若P ,m,q, n适合关系式：pn mq,就说这两个有序的整数对等价，并且记作P , m : q , n.:确实是一种等价关系，因为它具有以下3条性质: 自反性 ：P,m : P,m.2. 对称性：若P , m : q , n,则q , n : p , m.3. 传递性：若p , m : q , n,而且q , n : r ,

19、 l,则p , m : r , l.这些性质都不再证明了 .以后就称这个等价类为一个分数，并且把P , m记作 p/m.若P , m : q , n,则说0p/m q/n.以上所述全都可以在一本较完备的现代代数教本里找到，是每一个大学数学系的学生都应该学过的(或者可以容易学懂的).因为手边没有参考书，就不再指出出处了，而是回到分数幂问题上来回到用于定义ap/m的方程(1).我们现在不再用3卩川这个暂时的记号.但无论如何, 这个方程的解(存在和唯一性问题已经解决了)总是 a , P ,m的函数.因为在整个过程中p/ma 一直没有变动，所以这个函数可以写作 Fa( P , m).但是，定理2告诉我

20、们它其实是 p , m所成的等价类p ,m的函数，所以应该写成a(P /m).当然最自然的记号应该是ap/m，因为当m 1而p,m就是正整数P时，我们一直用的记号是 ap.可见这不但不是暂时的记号，而且是只能使用这个记号关于具有一般实数指数的幂运算a(a 0),为任意实数如何用极限方法加以定义，并证明前面说的幂运算的 3条定律,一般书上都讲过.虽然不一定好懂，却不会引起误解，所以这里也不说了2.一个习题这一部分是关于一个数学分析习题，与中学教学无关.小平邦彦的这本书微积分入门I, 一元微积分 第224页有如下的题目:“举例说明，存在满足fn(x)dx 1,并且在区间0 ,)上一致收敛于0的连续

21、函数序0列.”题目本身并不难.书上也有答案，与下面所说相同:只需找一个在区间0,)上有界的连续函数f(x)使得f(x)dx 1，然后再令fn(x) -f -即可.n n在积分If x dx中作变量变换t -，就有n nn0fn X在区间0 ,)上一致收敛于0由f(X)的有界性是自明的.例如，取f(x) eX,f(x) 飞等等均可.1 X问题在于这个题目说明了什么？我们在数学分析中都学过:“若区间0 ,1上的连续函数序列fn(X)在此区间上一致收敛于0,则必可在积分号下取极限而得1fn(X)dX0. ” 为什0么不能仿照上面的例子来构造一个反例来推翻数学分析的这个有根本重要性的定理呢？至1/n1

22、少可以这样来看:如果作前面那样的变量变换t -,积分fn(x)dXf (t)dt .积分区间短了n0 01一大截，当n 时，积分区间趋为一点，当然就不再可能fn(x)dx 1.0小平邦彦为什么出这样一个题目 ？我想是因为我们对那个一致收敛序列可以在积分号下取极限的定理“太熟悉”所以觉得阴沟里翻不了船，也就不太细心了，以为在无穷区间上它也成立.我乍一看这个题目,心里一惊，才想到过去对此并未真懂.其实这样的情况，我们在学或者教数学分析课程时,并不少见.小平邦彦的书里就有不少我们自以为没有问题而其实应该细细想一想的材料.再分析一下我们的证法.既然在函数f前面加了因子1/n,就把一条曲线压低到原来高度

23、的1/ n,但是，这条曲线下面的面积就只会趋向0,而为什么表示面积的积分始终为 1呢？问题出在自变量也在变化:由X变成了 t x/n.所以t轴上的单位长度1相应于原来的X轴上的长度n.也就是说，曲线在高度被压低到原来的高度的1/ n的同时，其水平的长度却被拉伸了n倍,所以曲线下方的面积是不变的，所以自变量前多一个因子1/n和函数值前多一个因子1/n从几何上看作用恰好相反.这一点与“协变(covariant )”和“逆变(contravariant )”的相互关系有点类似.协变和逆变是现代数学中很基本的概念，其实在此已见端倪.我在前面讲了瞻前顾后的道理，不要以为现代的东西一定是最最抽象难懂的东西

24、.上面已经属于瞻前了，其实可以再往前面走一步，看一个中学教学中就已经有点忽悠人的小问题：函数y f(x)的图像与y f(x a)的图像的位置(不妨只看a 0的情况)关系，恰好是x a在x左方相距a处，而y f(X a)的图像是把y f (x)的图像向右移动一个a.又见协变和逆变的关系!不妨想得更宽阔一些：既然已经看见了丄f Z的几何意义，何妨再看一看 nf nx的几n n何意义(但是我们现在限于x).前一个因子n表示在y轴方向上把高度提升n倍,自变量上的因子n显然表示在X轴方向上向原点收缩到原有的1/n.所以，如果这个函数的图像是一个钟形，则当n时应该能够得到一个“函数”.因此我们应该可以证明

25、:当着(x)是一个紧支集连续函数时，应有nf(nx) (x)dx (0).所有这一切都不难证.当然可以考虑原来的f(x)就有紧支集的情况，或者X 0,)的情况等等.这样做，目的并不在于想得到某个新定理(有时也会得到很有意思的结果)，而在于加深自己的理解，使自己在一门非 常古老的课程(包括中学教材)里更加如鱼得水 .这里说的“水”就是广义函数.这就令人联想到朱熹的名诗读书有感曰：“半亩方塘一鉴幵，天光云影共徘徊.问渠哪得清如许,.其实，读书“不那么累”，为有源头活水来.”通篇没有一个“书”字，可是读书教书的道理算是讲透了 和教书与其说是方法问题，更是一个心态问题，是怎样使自己读书教书很愉快, 而且不断得到源头活水，如醍醐灌顶，天光云影，既在书中，又在心中，相印相通, 快哉!闲话打住，回到连续函数的一致收敛问题.我们都知道有限闭区间a,b上的连续函数构成一个巴拿赫空间，其中的收敛性就是一致收敛.可是就没有注意到，幵区间不行，无界区间不行.现代数学很明确地只讲“紧集合”，这使得不少学生糊涂，还有不少人觉得数学家 受了布尔巴基之害.他们很少去想，连续函数可以达到最大最小值、连续函数又是一致连续都要用到有界闭区间，似乎中间值定理也需要用到有界闭区间.其实，区间