第三章能量法

1、第三章第三章 能量法能量法本章主要研究本章主要研究v杆件应变能的计算方法杆件应变能的计算方法 v卡氏第一定理及其在结构分析中的应用卡氏第一定理及其在结构分析中的应用v卡氏第二定理在静定结构位移计算中的应卡氏第二定理在静定结构位移计算中的应用用 v卡氏定理求解超静定问题的方法卡氏定理求解超静定问题的方法第三章第三章 能量法能量法3-1 3-1 概述概述3-2 3-2 应变能应变能余能余能3-3 3-3 卡式定理卡式定理3- -4 用能量法解超静定系统用能量法解超静定系统 能量的观点讨论能量的观点讨论问题，是各门学科的一个共性的问题，是各门学科的一个共性的内容，能量无处不在；在力学分析中，能量的概

2、念将内容，能量无处不在；在力学分析中，能量的概念将力和变形（位移）作为一体讨论；力和变形（位移）作为一体讨论；对于复杂结构的位移计算，采用从几何、物对于复杂结构的位移计算，采用从几何、物理关系和静力关系三个方面入手的思想，或者从理关系和静力关系三个方面入手的思想，或者从几何协调关系出发，显得非常麻烦几何协调关系出发，显得非常麻烦.31 概概 述述 例例 图中AB和AC杆的直径分别是d1=12 mm,d2=15 mm，弹性模量均为E = 210 GPa。试求A点在铅垂方向的位移。x45o30oyA( b )F1NF2NF 若用解析法求解时，必须利用图c列出变形的几何关系，计算比较麻烦。( a )

3、1A45o30o2D Dl1 1AD Dl2 2 D DAy( c )若利用外力功在数值上等于应变能，即若利用外力功在数值上等于应变能，即222N112N222121EAlFEAlFFAy 利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方利用功和能的概念求解变形固体的位移、变形和内力的方法统称为法统称为能量法能量法。就不需要用到变形几何关系，计算较为简便。就不需要用到变形几何关系，计算较为简便。优点：优点：v 1. 1. 不管中间过程，只算最终状态不管中间过程，只算最终状态v 2. 2. 能量是标量，容易计算能量是标量，容易计算( a ) 能量法的应用很广，也是有限元法求解固体力学问题的重要

4、基础。本章仅研究能量法中常用的一些原理和应用。32 应变能应变能 余能余能 一、条件一、条件 大前提：大前提：1 1、小变形；、小变形； 2 2、服从郑玄、服从郑玄胡克定律胡克定律 线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的线性函数线性函数 小前提：小前提：缓慢加载缓慢加载 变力做功，功只转成应变能（不转成动能、热能）变力做功，功只转成应变能（不转成动能、热能）二二.功和应变能功和应变能力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对物体力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该力对物体做了功。做了功。恒力功：恒力功：变力功：变力功：曲线与横轴围成的

5、面积曲线与横轴围成的面积11DpFWDD10dFW在线弹性范围内在线弹性范围内轴向拉伸时外力做功轴向拉伸时外力做功扭转时外力做功扭转时外力做功弯曲时外力做功弯曲时外力做功统一表示为统一表示为式中式中FF广义力（力或力偶）广义力（力或力偶）广义位移（线位移或角位移），在所有力共同作广义位移（线位移或角位移），在所有力共同作用下与广义力用下与广义力F F相对应的沿着力的方向的广义位移。相对应的沿着力的方向的广义位移。DFW211 1、应变能应变能: : 外力做功系统储存的能量，外力做功系统储存的能量，W=VW=V拉压杆、圆轴扭转及梁对称弯拉压杆、圆轴扭转及梁对称弯曲时在线弹性范围曲时在线弹性范围内

6、工作时的内工作时的应变能表达式应变能表达式弹性体的弹性体的应变能应变能决定于外力和位移的决定于外力和位移的最终值最终值，与，与加载的过程加载的过程无关。无关。2、构件上有一组广义力共同作用、构件上有一组广义力共同作用ACMFwWVe2121令令F=F1 ,wC=D D1 ,Me=F2 2 , A= D D2 ,则则22112121FFWVEIlMEIFlA316e2（ ）EIlMEIFlwC16482e3（ ）第三章第三章 能量方法能量方法例例CwCFEIABMel / 2l / 2 A,iininnFFFFWV1221121212121), 2 , 1(ni Fi 为广义力，Di 为Fi 的

7、作用点沿Fi 方向的广义位移，它是由所有广义力共同产生的。 4 4、组合变形（用内力形式表示的应变能）、组合变形（用内力形式表示的应变能）M(x) 只产生弯曲转角d第三章第三章 能量方法能量方法 小变形时不计FS 产生的应变能，dFN (x) 只产生轴向线位移dT(x) 只产生扭转角3 3、有、有 n n 个广义力同时作用时个广义力同时作用时对于dx 微段， FN(x) , T(x) , M(x) 均为外力。略去高阶微量后，dx段的应变能为d)(21d)(21d)(21ddNxMxTxFWVEIxxMGIxxTEAxxF2d)(2d)(2d)(2p22N杆的应变能为llllEIxxMGIxxT

8、EAxxFVV2d)(2d)(2d)(d2p22N第三章第三章 能量方法能量方法关于应变能计算的讨论：关于应变能计算的讨论：1.以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的变形以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的变形形能的计算。形能的计算。2.应变能可以通过应变能可以通过外力功外力功计算，也可以通过杆件微段上计算，也可以通过杆件微段上的的内力功内力功等于微段的变形能，然后积分求得整个杆件上等于微段的变形能，然后积分求得整个杆件上的应变能。的应变能。3.变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算中不能使用在变形能计算中不能使用。只有当

9、杆件上任一载荷在。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。4.变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。系结构中，各杆可独立选取坐标系。(a) 由于应变能是外力（内力）或位移的二次齐次式，所以产生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等于各力单独作用时产生的应变能之和。小变形时，产生不同变形形式的一组外力在杆内产生的应变能等于各力单独作用时产生的应变能之和。EAaFEAbaFV22)(2221EAaFFEAbFV2)(222121第三章第三

10、章 能量方法能量方法 4 4、应变能的特点、应变能的特点: :EAF2F1ab例例)()()(e21MVFVFVVF1F2Me(b) 应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒） F 和Me 同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值简单加载简单加载。 在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相同的比例，由零逐渐增加到最终值。第三章第三章 能量方法能量方法EIlMEIFlwC16482e3EIlMEIFlA316e2EIlFMEIlMEIlFMFwVAC1669621212e2e32e上图中CwCFEIABMel / 2l / 2A,(a)例例3-1 计算图示梁在集中力偶计算图示梁在集中

11、力偶mo作用下的变形能作用下的变形能BlAmoEIx(a)22( )00222ollxooamMdxM dxM lVVEIEIEI例例3-2 计算图示梁在集中力计算图示梁在集中力P作用下的变形能作用下的变形能222 3( )00()226llxbpM dxPx dxP lVVEIEIEIBlAPEIx(b)例例3-3 计算图示梁在集中力偶计算图示梁在集中力偶mo、集中力集中力P共同作用下的变形能。共同作用下的变形能。2( )222000222 3222 30()1(2)222111()()23226lllxocoolooooM dxmPx dxVMM PxP x dxEIEIEIM lM Pl

12、P lM lM PlP lEIEIBlAPEIx(c)m0分析与讨论分析与讨论(1) 从上述变形能计算结果可知：从上述变形能计算结果可知：cabVVV这是因为这是因为222)()(ooMPxMPx即即 变形能是力的二次函数变形能是力的二次函数,一般说来一般说来,变形能不可以简单的变形能不可以简单的叠加叠加 例如例如,一直杆同时承受弯曲与扭转作用时一直杆同时承受弯曲与扭转作用时,就可以把扭就可以把扭转变形能和弯曲变形能叠加起来进行计算转变形能和弯曲变形能叠加起来进行计算.因为扭转在弯曲因为扭转在弯曲引起的转角引起的转角 上不作功上不作功,弯矩在扭转引起的扭转角弯矩在扭转引起的扭转角 上也上也不作

13、功。不作功。分析与讨论分析与讨论 (2)为什么有时两种荷载单独作用时的变形能可以进行为什么有时两种荷载单独作用时的变形能可以进行叠加叠加,是因为其中一种荷载在另一种荷载引起的位移上不作是因为其中一种荷载在另一种荷载引起的位移上不作功。功。 例例3-4 3-4 图示等截面悬臂梁，图示等截面悬臂梁，E,A,I E,A,I 已知。在自由端受已知。在自由端受集中力集中力F F 和集中力偶和集中力偶 M M作用。设材料是线弹性的，试作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两种不同的加载次序，略去剪计算梁的应变能。考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响力的影响. .三种方法三种方法利用应变能密度利用

14、应变能密度利用内力功利用内力功利用外力功利用外力功F F先加载先加载 M再加载再加载 M先加载先加载F再加载再加载blaP例题例题 图示变截面受拉杆，图示变截面受拉杆，E、A 为已知，求加力点为已知，求加力点C的水平位的水平位移移lc2AAcx解解：（1）变形能计算）变形能计算2202 (2 )4labP dxP lVEAEA整根杆的变形能整根杆的变形能234abbcP lVVEAEAlPEAdxPVlbc222202（2）位移计算）位移计算12cxVWPEAlPPcx43212即即得得EAlPcx23分析和讨论分析和讨论1 若需要位移处无外力作用若需要位移处无外力作用,如求如求b截面截面 ,

15、外力功表达式外力功表达式中无需求的位移项中无需求的位移项,因此无法求因此无法求 。2 若在该杆上作用的外力多于一个若在该杆上作用的外力多于一个,如在如在b截面上还作用一截面上还作用一个个P1力力,这时这时.外力表达式无两个或两个以上的位移外力表达式无两个或两个以上的位移,显然也不显然也不能求位移的大小。能求位移的大小。bxbx三三. .余功和余能余功和余能与余功相应的能称为余能与余功相应的能称为余能与外力功与外力功之和等于矩形面积之和等于矩形面积 F F1 11 1曲线与纵轴围成的面积曲线与纵轴围成的面积10WF dDD 例例 35 图a中两杆的长度均为l,横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的

16、 s 关系如图b 所示。求结构的余能。 解：解：该题为物理非线性问题，需用 求 Vc。 VvVVdcc由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为cos212NN1FFF应力为scos21N1AFAF余能密度为sssssd)(d1100cnkv1111)cos2() 1(1) 1(1nnnnAFnknks结构的余能为11ccc)cos() 1()2(2dnnnVFnkAlAlvVvVnk)(s得（n1）nk/1s由图示梁的材料为非线性弹性体fi 为瞬时荷载i为瞬时位移V为最后位移Di的函数. 卡氏第一定理卡氏第一定理iniiifWVd1033 卡氏定理卡氏定理由于位移Di有一微小位移增量dDiiiFWd

17、d第三章第三章 能量方法能量方法iiVVdd式中， 为应变能对位移 的变化率。 iViWVdd由于iiVF得 卡氏第一定理卡氏第一定理：应变能对于构件上某一位移之变化率，就应变能对于构件上某一位移之变化率，就等于与该位移相应的荷载。等于与该位移相应的荷载。第三章第三章 能量方法能量方法 例例 33 图a所示结构中，AB,BC 杆中的横截面面积均为A，弹性模量均为E。两杆处于线弹性范围内。试用卡氏第一定理，求 B点的水平位移D1和铅垂位移D2 。 解：解：卡氏第一定理要求把应变能写成位移D1和D2的函数，D1和D2是由AB,BC杆的变形量AB,BC所引起的。首先分析AB,BC和D1和D2的几何关

18、系。122AB=D1 ， BC=D1cos45 =设B点只发生铅垂位移D2（图 c），由图可见第三章第三章 能量方法能量方法 设B点只发生水平位移D1（图 b），由图可见 D1和D2同时发生时，则有0AB2022245sinBC,1AB)(2221DDBC （1）,由于是线弹性问题，结构的应变能为2212122)(22222222lEAlEAlEAlEAVBCAB)2121(22222212121lEAlEA（2）第三章第三章 能量方法能量方法0)22224(2211lEAV（3）FlEAV)(222212（4）联立求解（3）,（4），得可以验证（3）,（4）式相当于平衡方程。EAFl 1（）

19、,EAFl)221 (2（）第三章第三章 能量方法能量方法由卡氏第一定理，得. 卡氏第二定理卡氏第二定理 图示为非线性弹性杆，Fi为广义力，Di为广义位移。各力按简单加载方式作用在梁上。设加载过程中各位移和相应力的瞬时值分别为i， fi。梁的余能为 iniFifWVid10cc 第三章第三章 能量方法能量方法),(21cniFFFFfV表明(1) 余能定理余能定理iiFW ddciiFFVVddcc由于ccddVW 余能定理余能定理：构件的余能对于构件上某一荷载的变化率就等于与该荷载相应的位移。iiFVc得第三章第三章 能量方法能量方法由于Fi改变了dF Fi，外力余功相应改变量为在线弹性范围

20、内在线弹性范围内cVViiVFD 卡氏第二定理：卡氏第二定理：线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一荷载的变化率，等于与该荷载相应的位移。卡氏第二定理的变形形式：例3-4 外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载F，求：（1 1）C端挠度, ,（2 2） C端转角解：解：（1）C端挠度支座反力分别为支座反力分别为 2AFF 32BFF AB段段BC段段BFAF内力为内力为总应变能为总应变能为卡氏第二定理可得卡氏第二定理可得（2 2）C C端转角端转角BFAFCM虚加力偶虚加力偶MC支反力支反力 2CAMFFl 32CBMFFl弯矩方程弯矩方程AB段段BC段段卡氏第二定理可得卡氏第二定理可得 例例3-

21、5 图示刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求 A截面的铅垂位移DAy。 解：解：由于刚架上 A,C 截面的外力均为F，求A截面的铅垂位移时，应将A处的力F和C处的力F区别开（图b），在应用卡氏第二定理后，令FA=F。第三章第三章 能量方法能量方法 (a)FABll / 2l / 2FCD(FA=F ) (b)xFAABCDFy1y2FFAAyAFV即 AB 段（0 x l） M (x)=FA x , xFxMA)(各段的弯矩方程及其对 FA 的偏导数分别为第三章第三章 能量方法能量方法lFyMA)(1 BC 段 （0y1 l / 2） M (y1)=FA

22、l ,(FA=F ) (b)xFAABCDFy1y2 CD 段 （0y2 l / 2） M (y2)=FA l F y2 , lFyMA)(2令以上各弯矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得d)(dd12/022202/0122lllAyylyFlFylFxFxEIEIFl24353（）第三章第三章 能量方法能量方法 AB 段（0 x l） M (x)=FA x , xFxMA)(lFyMA)(1 BC 段 （0y1 l / 2） M (y1)=FA l ,(FA=F ) (b)xFAABCDFy1y2例例3-6 3-6 试求图示刚架试求图示刚架ABCABC在均布荷载在均布荷载 q q 的作用下

23、的作用下A A点点的垂直位移和的垂直位移和C C点的转角。尺寸点的转角。尺寸l和和EIEI已知。刚架剪力已知。刚架剪力和轴力忽略不计。和轴力忽略不计。解：解：1、求刚架的支座反力、求刚架的支座反力：A AB BC CAFcyF2,2,AcxcyFqlFqlFqlcxF2 2、列出各段的弯矩方程：、列出各段的弯矩方程：AB段段：BC段：段：3、计算、计算A点的垂直位移，应在点的垂直位移，应在A点上点上虚加虚加一个垂直方向力一个垂直方向力F ,此时：此时：各段的弯矩方程为：各段的弯矩方程为：AB段：段：BC段：段：根据卡氏定理：根据卡氏定理：F（正，与（正，与 F 方向一致）方向一致）A AB B

24、C CAFcyFcxF011MxxF 022MxxF 0lM xMxdxEIF4、计算、计算C截面转角，应在截面转角，应在C截面上截面上虚加虚加一个力偶一个力偶 M ，此时：，此时：A AB BC CAFcyFcxFM各段的弯矩方程为：各段的弯矩方程为：ABAB段：段：BCBC段：段：根据卡式定理：根据卡式定理：（负负，与，与 M方向相反）方向相反）010MxM0221MxxlM 例例 3-7 图示各杆的直径均为d，材料的弹性常数G=0.4E。试用卡氏第二定理求 A 端的铅垂位移（不计剪力对位移的影响）。 解：解：AB段的弯矩方程及其对F 的偏导数分别为ylCBAFlxxzyO第三章第三章 能

25、量方法能量方法FxxM)(xFxM)(（0 x l），（0y l） A 端的铅垂位移为lllAyyFlGIyFyxFxEI02p0022d1dd1EIFlEIFlGIFlEIFl8 . 0323233p33EIFl12233第三章第三章 能量方法能量方法FyyM)(yFyM)(，FlyT)(lFyT)(，433368dEFl（） BC段的弯矩和扭矩方程及其对F 的偏导数分别为ylCBAFlx34 用能量法解超静定系统用能量法解超静定系统I. .基本概念：基本概念：未未知力个数等于独立的平衡方程数目知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方则仅由平衡方程即可解出全部未知力程即可解出全部未知力,

26、这类问题称为这类问题称为静定问题静定问题,相应相应的结构称为的结构称为静定结构静定结构.未知力个数多于独立的平衡方程数目未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方则仅由平衡方程无法确定全部未知力程无法确定全部未知力,这类问题称为这类问题称为超静定问题或静超静定问题或静不定问题不定问题,相应的结构称为相应的结构称为超静定结构或静不定结构超静定结构或静不定结构.超静定次数超静定次数=未知力的数目未知力的数目-独立平衡方程数独立平衡方程数所有超静定结构所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个都是在静定结构上再加一个或几个约束约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的这些约束对于特定的工程要求

27、是必要的,但对于保但对于保证结构平衡却是多余的证结构平衡却是多余的,故称为故称为多余约束多余约束.求解超静定问题求解超静定问题,需要综合考察结构的需要综合考察结构的平衡平衡,变形协变形协调和物理调和物理三个方面三个方面.II.求解超静定问题的解法求解超静定问题的解法1、确定静不定次数。、确定静不定次数。2、选择基本静定梁。、选择基本静定梁。3、列出变形协调条件。、列出变形协调条件。4、用、用能量法能量法或叠加法计算梁或叠加法计算梁的弯曲变形。的弯曲变形。1.建立静定基建立静定基2. 变形协调方程变形协调方程3.梁的弯矩方程式：梁的弯矩方程式：4.卡式第二定理卡式第二定理叠加法叠加法仅有仅有q作

28、用，作用，B点挠度为：点挠度为：仅有仅有 R B 作用，作用，B点挠度为：点挠度为：因此因此例例3-8 试计算图示结构在荷载试计算图示结构在荷载F作用下的余能，结构中两作用下的余能，结构中两斜杆的长度斜杆的长度均为均为l，横截面面积均为，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的材料在单轴拉伸时的应力应力应变曲线如图所示。求各杆内力。应变曲线如图所示。求各杆内力。解：由结点C的平衡方程，得两斜杆轴力为于是两杆横截面上的应力为于是两杆横截面上的应力为由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得余能密度为余能密度为由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷由于轴向拉

29、伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为载作用下的余能为122cosNFFXAAssnFFX/123N)(coscos21nFFF/122N1N)(coscos20cXV由 ，得第三章第三章 能量方法能量方法 以力为基本未知量解超静定问题的方法，称为力法。以力为基本未知量解超静定问题的方法，称为力法。 例例3-9 刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求支反力。第三章第三章 能量方法能量方法CABql l(a) 解：解：该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力X 为多余未知力，基本静定系如图b 所示。由于 ,但是在 中，出现 (Ve 也将出现 )，必须把),(XqVV 221)(qyyFyMAxAxFAxF第三章第三章 能量方法能量方法CABql l(a) l