第8章 含耦合电感的电路

1、1第8章 具有耦合电感元件的电路分析l重点重点1.互感和互感电压互感和互感电压2.互感电路的计算互感电路的计算3.空心变压器和理想变压器空心变压器和理想变压器28.1 交流电路中的磁耦合1.磁耦合线圈磁耦合线圈 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件。等都是耦合电感元件。线圈线圈1 1通入电流通入电流i i1 1时，在线圈时，在线圈1 1中产生磁通中产生磁通( (magneticmagnetic fluxflux

2、) )，同时，有部分磁通穿过临近线圈同时，有部分磁通穿过临近线圈2 2，这部分磁通称为互感磁通，这部分磁通称为互感磁通, ,即两线圈间存在着磁的耦合作用。即两线圈间存在着磁的耦合作用。+u11+u21i1 11 21N1N23 当当一个一个线圈周围无铁磁物质时，其磁链线圈周围无铁磁物质时，其磁链 1 1与其与其i i1 1 成正比成正比, ,即有即有1111 11 (H)LiL称 为自感系数，单位亨。 当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：互磁链的代数和： 2121112111 iMiL 1212221222 iMiL 。为

3、互感系数，单位亨为互感系数，单位亨、称称H)( 2112MM注意注意M M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，只要磁场的媒质是静止的就有中的电流无关，只要磁场的媒质是静止的就有M M1212=M=M21212.磁链磁链 =N （1）一个线圈的情况一个线圈的情况（2）两个线圈的情况两个线圈的情况43. . 耦合系数耦合系数 k 用耦合系数用耦合系数k k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。它表示两个线圈磁耦合的紧密程度。它与线圈与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。121defLLMk当

4、当 k=1 称全耦合称全耦合: : 漏磁漏磁 s1 = s2=0即即有有 11= 21 ， 22 = 122211221 112 211221 12 212121M iM iMMkLiL iL LL L4. .互感现象的利与弊互感现象的利与弊5在一些电工设备，例如变压器中，为了更有效的传输信号或在一些电工设备，例如变压器中，为了更有效的传输信号或功率，总是采用极其紧密的耦合，使耦合系数功率，总是采用极其紧密的耦合，使耦合系数k尽可能接近尽可能接近于于1，因而一般都采用铁磁材料制成铁心，并且将输入线圈，因而一般都采用铁磁材料制成铁心，并且将输入线圈和输出线圈同心绕制。和输出线圈同心绕制。在工程上

5、有时要尽量减小互感，以避免线圈之间信号的相互干在工程上有时要尽量减小互感，以避免线圈之间信号的相互干扰，希望耦合系数扰，希望耦合系数k尽可能趋近于零，为此，可以采用增加屏尽可能趋近于零，为此，可以采用增加屏蔽的方法，还可以合理布置这些线圈的相互位置来减少互感作蔽的方法，还可以合理布置这些线圈的相互位置来减少互感作用。用。利利弊弊6当当i i1 1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。圈两端产生感应电压。 dddd111111tiLtu 当当i i1 1、u u1111、u u2121方向与方向与 符合右手螺旋时，根据电磁符合右手

6、螺旋时，根据电磁感应定律和楞次定律：感应定律和楞次定律： 当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。含自感电压和互感电压。tiMtudd dd 12121 自感电压自感电压：互感电压互感电压：5. 耦合电感的电压、电流关系耦合电感的电压、电流关系7111121211221221222dd dddd dddddiiuLMdtdtdtttdddiiuMLdtdtdttt111121 112 2 LiM i 2212221 12 2 M i L i当将上面（当将上面（a)图中任一个线圈上的电流反向，则有图中任一个线圈上的电流

7、反向，则有1221MM8 在以上式子中，两线圈的自感磁链和互感磁链在以上式子中，两线圈的自感磁链和互感磁链“相助相助”， 则互感电压取则互感电压取正，正，否则取负。这表明，否则取负。这表明，自感磁链和互感磁自感磁链和互感磁 链是链是”相助相助“还是还是”相消相消”或或 者说者说互感电压的正与负取决互感电压的正与负取决于于 （1 1）两个线圈电流的参考方向。）两个线圈电流的参考方向。 注注意意22122111 jjjjILIMUIMILU在正弦交流电路中，上面方程的相量形式可以合并写为在正弦交流电路中，上面方程的相量形式可以合并写为111121 112 2 LiM i 2212221 12 2

8、M i L i 111121211221221222dd dddd dddddiiuLMdtdtdtttdddiiuMLdtdtdttt 1221MM9存在的问题存在的问题（2）两个线圈的相对位置及绕向。两个线圈的相对位置及绕向。 在实际电路的情况下，耦合线圈往往是密封的，看不见在实际电路的情况下，耦合线圈往往是密封的，看不见线圈的相对位置和导线绕向，更何况在电路图中真实地绘出线线圈的相对位置和导线绕向，更何况在电路图中真实地绘出线圈的绕向也很不方便。圈的绕向也很不方便。解决方法解决方法 人们引入一种同名端标志，根据同名端与电流的参考方向人们引入一种同名端标志，根据同名端与电流的参考方向可以非

9、常方便地判定磁通是可以非常方便地判定磁通是“相助相助”还是还是“相消相消”。105.互感线圈的同名端互感线圈的同名端对自感电压，当对自感电压，当u u11 11 , , i i1 1 取关联参考方向，取关联参考方向， u11 , i1与与 1111符符合右螺旋定则，其表达式为合右螺旋定则，其表达式为 dddd dd 111111111tiLtNtu 上式说明，对于自感电压由于电压、电流为同一线圈上的，上式说明，对于自感电压由于电压、电流为同一线圈上的，只要电压、电流参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，只要电压、电流参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，无需考虑线圈绕向。无需考虑线圈绕

10、向。i1u11对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上，因此，对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。得很不方便。为解决这个问题引入同名端的概念。为解决这个问题引入同名端的概念。 5.1 自感电压的确定无需了解线圈绕向自感电压的确定无需了解线圈绕向 5.2 互感电压的确定必须了解线圈绕向互感电压的确定必须了解线圈绕向 11tiMutiMudd dd1313112121 当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出，若当两个电流分别从两个线圈的对应端子同

11、时流入或流出，若所产生的磁通方向相同而所产生的磁通方向相同而“相助相助”，即磁通相互加强时，则这两，即磁通相互加强时，则这两个对应端子称为该两互感线圈的同名端。个对应端子称为该两互感线圈的同名端。 * 5.3同名端同名端i1i2i3线圈的同名端是对于两个互感线圈中的线圈的同名端是对于两个互感线圈中的一对一对端子而言的，端子而言的，因此必须每两个线圈分别因此必须每两个线圈分别成对成对确定。确定。+u11+u21 11 0N1N2+u31N3 s注注意意125.4 确定同名端的两类方法确定同名端的两类方法(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入当两个线圈中电流同时由同名端流入( (或流出或流出)

12、)时，两时，两个电流产生的磁场相互增强。个电流产生的磁场相互增强。 i1122*112233* 例例(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈对应同名端的电位升高。会引起另一线圈对应同名端的电位升高。 （1)1)在线圈的绕向和相对位置已知的情况下，可以根据同名在线圈的绕向和相对位置已知的情况下，可以根据同名端的定义来判断端的定义来判断; ;（2)2)对于实际的耦合电感线圈产品，同名端一对于实际的耦合电感线圈产品，同名端一般已由厂家提供，也可以通过实验方法测定。般已由厂家提供，也可以通过实验方法测定。(1)根据定义判断耦合线

13、圈的同名端根据定义判断耦合线圈的同名端13i1*u21+MtiMudd121 i1*u21+MtiMudd121 例例14i11122*R SV+在如图所示的实验电路中，当在如图所示的实验电路中，当开关开关S迅速闭合时，就有一个随迅速闭合时，就有一个随时间增大的电流时间增大的电流i1从电源正极流从电源正极流入线圈端子入线圈端子1，即在线圈，即在线圈1上产上产生了自感电压。由于生了自感电压。由于di1/dt0故故1端线圈端线圈1的实际高电位。的实际高电位。（2）耦合线圈同名端）耦合线圈同名端 的实验测定方法的实验测定方法由于电压表内阻无穷大，由于电压表内阻无穷大，22开路，线圈开路，线圈2中的电

14、流为零，其上中的电流为零，其上的自感电压为零，所以电压表指示为的自感电压为零，所以电压表指示为i1在线圈在线圈2上产生的互感电压。上产生的互感电压。如果电压表指针正向偏转，则表明端钮如果电压表指针正向偏转，则表明端钮2为线圈为线圈2的实际高电位端的实际高电位端（端钮（端钮2和电压表和电压表“”端相连）；由此可以判断端子端相连）；由此可以判断端子1和和2是同是同名端，当然名端，当然1和和2也是同名端。这种结果用式子可以表达如下：也是同名端。这种结果用式子可以表达如下：151122 0, 0didiuMdtdt电压表正偏。电压表正偏。对于黑盒线圈的对于黑盒线圈的应用应用 当两组线圈装在黑盒里，只引

15、出四个端线组，要确定其当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。相反，如果电压表指针反向偏转，则说明端钮相反，如果电压表指针反向偏转，则说明端钮2为实际高电位端，为实际高电位端，则端钮则端钮1与与2为同名端。为同名端。i11122*R SV+16 有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再需要考有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再需要考虑它们的实际绕向了，而只要画出虑它们的实际绕向了，而只要画出同名端同名端以及以及电流电流的的参考方向参考方向即可确定互感电压的正负。即可确定互感电压的正负。5.5 自

16、感电压与自感电压与互感电压正负号的确定互感电压正负号的确定 当所设定线圈上的当所设定线圈上的电压、电流为关联参考方向电压、电流为关联参考方向时，自感电压时，自感电压取取正号正号，其参考方向与该元件电压参考方向相同，其参考方向与该元件电压参考方向相同，当所设定线圈当所设定线圈上的上的电压、电流为非关联参考方向电压、电流为非关联参考方向时，自感电压时，自感电压取取负号负号，其参考其参考方向与该元件电压参考方向相反。方向与该元件电压参考方向相反。（1）自感电压正负号的确定自感电压正负号的确定（2）自感电压正负号的确定自感电压正负号的确定 当所设定两线圈上电流的参考方向当所设定两线圈上电流的参考方向均

17、从同名端流入或流出均从同名端流入或流出的的时，该元件的时，该元件的互感电压与本线圈的互感电压与本线圈的自感电压同符号自感电压同符号，即两者的参，即两者的参考方向相同；考方向相同；当所设定两电感电流的参考方向当所设定两电感电流的参考方向从异名端流入或流从异名端流入或流出出的时，该元件的的时，该元件的互感电压与本线圈的自感电压异号互感电压与本线圈的自感电压异号，即两者的，即两者的参考方向相反。参考方向相反。概概念念点点17tiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 i1*L1L2+_u1+_u2i2MtiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 i1*L1L2

18、+_u1+_u2i2M例例1对于下列电路，写出其电压、电流特性方程。对于下列电路，写出其电压、电流特性方程。 i1*L1L2+_u1+_u2i2M1211didiuLMdtdt1222ddddiiuMLtt 18i1*L1L2+_u1+_u2i2M1211didiuLMdtdt 1222ddddiiuMLtt 19例例2i1*L1L2+_u2MR1R2+_u21010i1/At/s，111121212 2含耦含耦合合电电感的感的电电路路如如图图所所示示，已知，已知 R = 10 R = 10,L = 5H,L = 5H,L = 2H,M = 1H,L = 2H,M = 1H,电电流i 的流i

19、的波形波形如如图图所所示示求求电电流源流源的的端端电电压压u(t)u(t)和和开开路路电电压压u (t).u (t). tstVstVtiMtu2 021 1010 10dd)(12解解11 11100 50 01d( )100 150 12d0 2tVtsiu tRiLtVtstt tsttstti2 021102010101根据电流波形得出其表示式为根据电流波形得出其表示式为根据电流根据电流i i1 1的参考方向和同名端位置可得的参考方向和同名端位置可得208.2 耦合电感的串联与并联耦合电感的串联与并联1. 耦合线圈的串联耦合线圈的串联（1）顺接串联顺接串联11221212ddddddd

20、dd ()(2)dd deqeqiiiiuRiLMLMR ittttiRR iLLMtiR iLt1212 2eqeqRRRLLLMiReqLequ+iM*u2+R1R2L1L2u1+u+去耦等效电路去耦等效电路等效等效两个耦合线圈的电流均从同名端流入的串联方式两个耦合线圈的电流均从同名端流入的串联方式称为顺接串联称为顺接串联, ,其中两个电感是异名端相连。其中两个电感是异名端相连。时域讨论时域讨论：21（2） 反接串联反接串联1212 2eqeqRRRLLLM11221212dddddddddd ()(2)ddeqeqiiiiuRiLMLMR ittttiiRR iLLMR iLtt)(21

21、21LLM 互感不大于两个自感的算术平均值。互感不大于两个自感的算术平均值。12 20eqLLLMiM*u2+R1R2L1L2u1+u+iReqLequ+两个耦合线圈的电流从异名端流入的串联方式称两个耦合线圈的电流从异名端流入的串联方式称为反接串联，为反接串联，其中两个电感是同名端相连。其中两个电感是同名端相连。等效等效表明表明因为依据磁场能量公式因为依据磁场能量公式:W=(1/2)Li:W=(1/2)Li2 2，电感中储存的能量只能是，电感中储存的能量只能是正值，所以等效电感不能为负，故有正值，所以等效电感不能为负，故有22结论结论（1）顺接时两电感通过同一电流，均从同名端流入，磁场方）顺接

22、时两电感通过同一电流，均从同名端流入，磁场方向相同而相互增强，等效电感增大，故取正号；向相同而相互增强，等效电感增大，故取正号；（2）反接时两电感通过同一电流，但从异名端流入，磁场方）反接时两电感通过同一电流，但从异名端流入，磁场方向相反而相互削弱，等效电感减小，故取负号；向相反而相互削弱，等效电感减小，故取负号；（3）互感量值的一种测量方法）互感量值的一种测量方法 耦合电感顺接和反接串联时，等效电感相差耦合电感顺接和反接串联时，等效电感相差4M,因此，如果能因此，如果能用仪器测量实际耦合线圈顺接串联和反接串联时两电感的等效电用仪器测量实际耦合线圈顺接串联和反接串联时两电感的等效电感值，则因为

23、感值，则因为12 2eqLLLM顺 和和12 2eqLLLM反 所以所以顺接一次，反接一次，就可以测出互感值，顺接一次，反接一次，就可以测出互感值，有有234LLM顺eq反eq当全耦合时当全耦合时 有有21LLM 12121221222()eqLLLMLLL LLL当当 L1=L2 时时 , 有有 M= L1=L2 ，又有又有4M 顺接顺接0 反接反接Leq=所以对于顺接和反接有所以对于顺接和反接有（4）同名端的一种判别方法）同名端的一种判别方法 如果能用仪器测量出实际耦合线圈顺接串联和反接串联时如果能用仪器测量出实际耦合线圈顺接串联和反接串联时两电感的等效电感值，则可以根据等效电感值较大或较

24、小时线两电感的等效电感值，则可以根据等效电感值较大或较小时线圈的连接情况来判断其同名端。圈的连接情况来判断其同名端。24*1 U+R1R2j L1+j L22 Uj M U I ) (j)(2121IMLLIRRU+正弦激励情况正弦激励情况频域讨论频域讨论：(1)(1)顺接串联与反接串联的顺接串联与反接串联的VCRVCR(2)(2)顺接串联与反接串联的相量图顺接串联与反接串联的相量图25*1 U+R1R2j L1+j L22 Uj M U I I 1IR 1jIL jIM 2IR 2jIL jIM1 U2 U U I 1IR 1jIL jIM 2IR 2jIL jIM1 U2 U U相量图：相

25、量图：(a(a) ) 顺接顺接(b) (b) 反接反接26（1） 同名端并联同名端并联tiMtiLudddd211 在以上两式中均利用在以上两式中均利用i2 = i i1 将两个将两个方程化为以方程化为以di1/dt和和di/dt为变量的方程：为变量的方程：2. 耦合线圈的并联耦合线圈的并联*Mi2i1L1L2ui+tiMtiLudddd122 12111111dddddddddddd ddiiiiiuLMLMMtttttiiLMMtt2111222122dddddddddddd =ddiiiiiuLMLLMtttttiiMLLtt27在全耦合在全耦合：L1L2=M2的情况下：的情况下：（1）

26、当）当 L1 L2 ，Leq=0 ( (物理意义不明确物理意义不明确) )（2）当）当 L1=L2 =L ， Leq=L ( (相当于导线加粗，电感不变相当于导线加粗，电感不变) ) 由所得电压电流关系由所得电压电流关系可得等效电感可得等效电感：0 2)(21221 MLLMLLLeqLequi+去耦等效电路去耦等效电路在上面二元一次方程中在上面二元一次方程中求出求出di/dtdi/dt便可得出便可得出tiMLLMLLudd2)(21221 28（2） 异名端并联异名端并联*Mi2i1L1L2ui+tiMtiLudddd211 i = i1 +i2 tiMtiLudddd122 tiMLLML

27、Ludd2)(21221 采用与同名端并联的同样的推导方法解得采用与同名端并联的同样的推导方法解得u u, , i i 的关系的关系为为等效电感：等效电感：0 2)(21221 MLLMLLLeq291. .耦合电感的耦合电感的T T形去耦等效电路形去耦等效电路（1）同名端相联的同名端相联的T T形去耦等效电路形去耦等效电路*j L1 I1 I2 I123j L2j M 12131111211121jj jjjj =jjUL IM IL IM IM IM ILM IMII21 IIIj (L1-M) I1 I2 I123j Mj (L2-M)等效等效8.3 耦合电感的耦合电感的去耦等效电路去耦

28、等效电路30*j L1 I1 I2 I123j L2j Mj (L1-M) I1 I2 I123j Mj (L2-M)等效等效21232222122212-Uj L Ij M Ij L Ij M Ij M Ij M IjLM Ij MII 21 III31（2）异名端相联的异名端相联的T T形去耦等效电路形去耦等效电路*j L1 I1 I2 I123j L2j Mj (L1M) I1 I2 I123j Mj (L2M)21113 jj IMILU 12223 jj IMILU 21 III j)(j11IMIML j)(j22IMIML 等效等效32结论结论（1）去耦等效电路与两去耦等效电路与

29、两耦合电感上耦合电感上电流、电压的函数形式也即电流、电压的函数形式也即 与它们的波形无关；与它们的波形无关；（2）作出作出去耦等效电路要求两个被去耦的去耦等效电路要求两个被去耦的耦合耦合电感至少有一端电感至少有一端 相连接，另一端连接与否则没有要求；相连接，另一端连接与否则没有要求；（3）去耦等效电路与两个耦合电感上电流、电压的参考方向无去耦等效电路与两个耦合电感上电流、电压的参考方向无 关，仅取决于两个关，仅取决于两个耦合耦合电感是同名端相连还是异名端相电感是同名端相连还是异名端相 连，分别得出它们相应的去耦等效电路。连，分别得出它们相应的去耦等效电路。33*Mi2i1L1L2ui+*Mi2

30、i1L1L2u+u+j (L1M) I1 I2 Ij Mj (L2M)j (L1M)1 I2 Ij Mj (L2M)例例等效等效等效等效342111 IMjILjU 1222 IMjILjU *Mi2i1L1L2u1+u2+j L11 I2 Ij L2+2 IMj 1 IMj +2 U+1 U2. .耦合电感的耦合电感的受控源（受控源（CCVS)去耦等效电路去耦等效电路等效等效举举例例 对于其它各种电流、电压参考方向以及同名端标示的情况，对于其它各种电流、电压参考方向以及同名端标示的情况，也一样先根据原始电路列出其对应的电压、电流关系方程，再按也一样先根据原始电路列出其对应的电压、电流关系方程

31、，再按照所列出的方程画出它相应的照所列出的方程画出它相应的CCVSCCVS去耦等效电路。去耦等效电路。35 在正弦稳态情况下，含有耦合电感的电路的计算仍应用前面在正弦稳态情况下，含有耦合电感的电路的计算仍应用前面 介绍的相量分析方法，具体说，仍是一般电路的两种分析方法。介绍的相量分析方法，具体说，仍是一般电路的两种分析方法。8.4 具有耦合电感具有耦合电感电路电路的的计算计算 由于耦合电感上的电压除包含自感电压外，还包括互感电压，由于耦合电感上的电压除包含自感电压外，还包括互感电压，所以含耦合电感电路的分析具有一定的特殊性。所以含耦合电感电路的分析具有一定的特殊性。一般采用支路法一般采用支路法

32、和回路法和回路法计算，计算，有时也采用节点分析法有时也采用节点分析法，但是由于所列的节点方，但是由于所列的节点方程实质上是节点电流方程，不便考虑节点电压，所以，程实质上是节点电流方程，不便考虑节点电压，所以，含耦合电含耦合电感的电路，如果不作去耦等效，多不采用节点电压法。感的电路，如果不作去耦等效，多不采用节点电压法。1. 计算方法计算方法方法方法1 1：方程分析法：方程分析法 方法方法2 2：等效电路分析法：等效电路分析法直接对去耦等效电路再用方程法，包括戴维南等效电路分析。直接对去耦等效电路再用方程法，包括戴维南等效电路分析。36列写下图电路的回路电流方程。列写下图电路的回路电流方程。例例

33、1MuS+CL1L2R1R2*+ki1i1SUIIMjILjILjR )()(3231111 213MuS+CL1L2R1R2*+ki1i113132222)()(IkIIMjILjILjR 0)()()1(23132211321 IIMjIIMjILjILjICjLjLj 解解37例例2 2求图示电路的开路电压求图示电路的开路电压。1I)2(313111 MLLjRUIS M12+_+_SUocU* M23M31L1L2L3R1)2()( 313113123123131311231120MLLjRUMMMLjILjIMjIMjIMjUSc 解法解法1 1 )2(131311 SUIMLLjR

34、对于左边回路列对于左边回路列写写KVLKVL方程。其中方程。其中由于右端开路，由于右端开路，只有左边回路中只有左边回路中有电流，所以有电流，所以L L1 1和和 L L3 3等效于反接等效于反接串联，于是有串联，于是有解出解出38对于对于具有公共端接具有公共端接的的多个耦合电感多个耦合电感构成的线性电路，可以构成的线性电路，可以按照两耦合线圈的去耦原则，采用按照两耦合线圈的去耦原则，采用两两分别去耦等效两两分别去耦等效的方的方法法画出其去耦等效电路。画出其去耦等效电路。M12* M23M13L1L2L3* M23M13L1M12L2M12L3+M12L1M12 +M23 M13 L2M12M2

35、3 +M13 L3+M12M23 M13 解解法法2 2L1M12 +M23L2M12 M23L3+M12 M23 M13等效等效先去耦先去耦M M1212等效等效再去耦再去耦M M2323最后去耦最后去耦M13等效等效39L1M12 +M23 M13 L2M12M23 +M13 L3+M12M23 M13 R1 + +_SUocU1I)2(133111 MLLjRUIS将最终去耦等效电路连接上外部电路，可得出完整等效电路为将最终去耦等效电路连接上外部电路，可得出完整等效电路为在等效电路中求出电流在等效电路中求出电流I1为为再求出开路电压再求出开路电压Uoc为为ScUMLLjRMMMLjIMM

36、MLjU)2()( )(133111323123113231230408.5 空芯变压器空芯变压器*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jX 变压器一般是由两个或两个以上有磁场耦合的线圈构成的。其变压器一般是由两个或两个以上有磁场耦合的线圈构成的。其中的线圈可以分为中的线圈可以分为两类两类，端接电源的线圈称为原边线圈或初级线圈，端接电源的线圈称为原边线圈或初级线圈，接向负载的线圈则称为副边线圈或次级线圈。变压器就是利用磁场接向负载的线圈则称为副边线圈或次级线圈。变压器就是利用磁场耦合实现从电源或一个电路向另一个负载电路传输能量或信号。耦合实现从电源或一个电路向另一个负载电

37、路传输能量或信号。就就有有无铁芯而言无铁芯而言，变压器可以分为，变压器可以分为铁芯变压器铁芯变压器和和空芯变压器空芯变压器两种。所两种。所谓铁芯变压器是指以铁磁性物质作为芯子的变压器，一般说来，这谓铁芯变压器是指以铁磁性物质作为芯子的变压器，一般说来，这种变压器的电磁特性是非线性的，而所谓空芯变压器则是指以空气种变压器的电磁特性是非线性的，而所谓空芯变压器则是指以空气或其他任何非或其他任何非铁磁性物质作为芯子的变压器，这种变压器的电磁特铁磁性物质作为芯子的变压器，这种变压器的电磁特性是线性的，故也称为线性变压器性是线性的，故也称为线性变压器。1.空芯变压器的电路模型空芯变压器的电路模型原边回路

38、原边回路副边回路副边回路空芯变压空芯变压器的相量器的相量模型模型以耦合电以耦合电感作为线感作为线性变压器性变压器的电路模的电路模型：型：412. 分析方法分析方法（1）方程分析法方程分析法*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jXS2111 j-) j( UIMILR 0)j(j2221 IZLRIM令令 Z11=R1+j L1， Z22=(R2+R)+j( L2+X)= R22+jX22以图中两个电流以图中两个电流I1 和和I2作为作为回路电流列写方程回路电流列写方程：S2111 j- UIMIZ 0j2221 IZIM 解以上两个方程得到解以上两个方程得到42 SS1

39、21122 = ()inUUIMZZZ222111Sin)( ZMZIUZ 1122211S2222211S2)(1j)(j ZMZZUMZZMZUMI 其中输入阻抗其中输入阻抗Z Zinin：2212j ZIMI 或者在上式中引入原边电流或者在上式中引入原边电流I1，将副边电流将副边电流I2表示为表示为43（2）等效电路分析法等效电路分析法1 I+S UZ11222)(ZM原边等效电路原边等效电路2 I+oc UZ22112)(ZM副边等效电路副边等效电路22212222222222222211222222222222()j jjrefrefrefM MZZRX M MRXRXRXRX副边等

40、效电源为副边等效电源为11Soc jZUMU111Soc jIMjZUMU根据上面推导出的电路方程可以作出根据上面推导出的电路方程可以作出空心变压器的原副边等效电路如下空心变压器的原副边等效电路如下引入副边对于原边的反射阻抗引入副边对于原边的反射阻抗Z Zref1ref1：4422221222222ref M RRRX22122222222ref MXXRX 222222in11in11当当I = 0, Z =I = 0, Z =, , 即即当当副副边边开开路路, , 有有 Z= ZZ= Z反射电阻：反射电阻：其中负号反映了反射电抗与副边电抗的性质相反。其中负号反映了反射电抗与副边电抗的性质相

41、反。反射电阻恒为正反射电阻恒为正 ,表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的。表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的。反射电抗反射电抗：原边对副边的反射阻抗原边对副边的反射阻抗Zref2 ：2211()refMZZ111Soc jIMjZUMU从副边等效电路图可知，从副边等效电路图可知，副边开路时，原边电流在副边产生的副边开路时，原边电流在副边产生的互感电压互感电压U UOCOC为为2 I+oc UZ22112)(ZM副边等效电路副边等效电路45反射阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。从物理意反射阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的义讲，虽

42、然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边的电流、电压。副边产生电流，反过来这个电流又影响原边的电流、电压。从能量角度来说从能量角度来说 : :电源发出有功功率电源发出有功功率 P= I12(R1+Rref1)I12R1 消耗在原边消耗在原边；I12Rref1 消耗在副边，由互感传输消耗在副边，由互感传输。121222222222222122222122222)(refRIRXRRMIRZMIIRP副边消耗的功率可以说明如下：副边消耗的功率可以说明如下：由此证明，次级回路消耗的功率与反射电阻由此证明，次级回路消耗的功率与反射电阻Rref1在初级等效电路在

43、初级等效电路中消耗的功率是相同的。中消耗的功率是相同的。46另外，利用戴维南定理可以求得空心变压器副边的等效电路另外，利用戴维南定理可以求得空心变压器副边的等效电路 。（3） 去耦等效法分析去耦等效法分析 对于空心变压器这种用对于空心变压器这种用互感元件来表示的电路，可以采用去互感元件来表示的电路，可以采用去耦等效电路，变为无互感的电路，再进行分析。耦等效电路，变为无互感的电路，再进行分析。47已知已知 US=20 V , 原边反射阻抗原边反射阻抗 Zref1=10j10 。求求: ZX 并求负载获得的有功功率并求负载获得的有功功率.101010j422221jZZMZXref 8 . 9 j

44、2 . 010200)1010(41010104 jjjjZX此时负载获得的功率此时负载获得的功率： W10101010202121）（refRIP W104 , *2S111RUPZZref实际是最佳匹配实际是最佳匹配：解：解：* *j10 2 Ij10 j2+S U10 ZX例例1解解+S U10+j10 Zref1=10j10 原边原边等效电路等效电路48L1=3.6H , L2=0.06H , M=0.465H , R1=20 , R2=0.08 , RL=42 , 314 314rad/s,V 0115o sU。求 , :21II应用原边等效电路应用原边等效电路.jj41130201

45、111 LRZ .j851808422222jLRRZL 8188422)1 .24(3 .4621 .2411.46146o22221.-jZXZMref1 I+S UZ11222)(ZM 例例2*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2RL解法解法149A)9 .64(111. 08 .1884224 .1130200115o111S1jjZZUIref应用副边等效电路：应用副边等效电路：VjjLjRUMjIMjUSOC085.144 .1130200115146 111 85.18906 .1130213164 .113020146)(2112jjZM解法解法22 I+oc U

46、Z22112)(ZMAjjUZMZUIOCOC0353. 008.42085.14 85.1808.4285.18112222AZIMI0353. 0j 2212 AMIZI9 .64111. 0j2221而50例例3全耦合互感电路如图，求电路初级端全耦合互感电路如图，求电路初级端abab间的等效阻抗。间的等效阻抗。* *L1aM+S UbL2解法解法1111 jLZ 222 jLZ 222221)(LMjZMZref)1 ()1 ( 212121221111kLjLLMLjLMjLjZZZrefab解法解法2画出去耦等效电路画出去耦等效电路L1M L2M+ SUMab)1( )1( )( )

47、/()(212121222122121kLLLMLLMLLLMLMMLMLMMLLab 51例例4L1=L2=0.1mH , M=0.02mH , R1=10 , C1=C2=0.01 F , 问：问：R R2 2= =？它能吸收最大？它能吸收最大功率功率, , 并求最大功率。并求最大功率。V 010o sU解解1 10)1 j(11111CLRZ 222222)1 j(RCLRZ 22221400)(RZMZref 10 106 6rad/s,* *j L1j L2j M+S UR1C2R2C1 100 21LL 1001121CC 20 M 应用原边等效电路应用原边等效电路+S U10 2

48、400R当当211140010RZZref即即R2=40 时吸收最大功率时吸收最大功率WP5 . 2)104(102max 52解解2应用副边等效电路应用副边等效电路4010400)(1122ZMZref+oc UR240)(112 ZM VjjZUMjUSOC2010102011 当当4022RZref时吸收最大功率时吸收最大功率WP5 . 2)404(202max 53解解例例5*uS(t)Z100 CL1L2MttuCMLScos2100)(,201120 2，已知问问Z Z为何值时其上获得最大为何值时其上获得最大功率，求出最大功率。功率，求出最大功率。（1 1）判定互感线圈的）判定互感

49、线圈的同名端。同名端。j L1 R + SUIMZ*j L2 1/j C 54（2 2）作去耦等效电路）作去耦等效电路j100 j20 j20 100 j( L1-20) 00100 j100 100 j( L1-20) 00100 j L1 R + SUIMZ*j L2 1/j C 等效等效等效等效55j100 100 j( L1-20) 00100 uocj100 100 j( L1-20) ZeqVjjjUjUSoc045250100100100100100100100 5050100100jjZeq/ 5050*jZZeqWRUPeqoc25504)250(42max 对图示电路应用等

50、效原理，将感抗对图示电路应用等效原理，将感抗j(wLj(wL1 1-20)-20)用与其并联的用与其并联的电压源代替，再用分压公式可得电压源代替，再用分压公式可得568.6 理想变压器理想变压器 121LLMk 1.理想变压器的条件理想变压器的条件 理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想化科学抽象，可以视为是极限情况下的耦合电感。理想化科学抽象，可以视为是极限情况下的耦合电感。（2 2）全耦合全耦合（1 1）无损耗无损耗绕制线圈的金属导线无任何电阻，或者说，绕制线圈的金属导线无任何电阻，或者说，绕制线圈的金属导线的导电率绕制线圈

51、的金属导线的导电率 。（3 3）参数无穷大参数无穷大1,2,1 21212,1, N NLLkMLLL Ln由于故但为常数 以上三个条件在工程实际中永远不可能满足，但在实际制造以上三个条件在工程实际中永远不可能满足，但在实际制造变压器时，可以通过合理选材和改进工艺，尽可能地接近或者近变压器时，可以通过合理选材和改进工艺，尽可能地接近或者近似满足上述条件，从而在误差允许的范围内，把实际变压器当作似满足上述条件，从而在误差允许的范围内，把实际变压器当作理想变压器处理，可使计算过程简化。理想变压器处理，可使计算过程简化。 制造芯子的铁磁材料具有超导磁性即其导磁率 。57 i1122N1N211222

52、. .理想变压器的特性理想变压器的特性（1）变压关系变压关系*n:1+_u1+_u2理想变压器电路模型理想变压器电路模型11 111 1211112NNN222222122221NNN12221 k2111由于全耦合：由于全耦合： 所以有所以有 1111221NN2222112NN上式中上式中 称为主磁通，即穿越初级线圈，同称为主磁通，即穿越初级线圈，同时也时也穿越次级线圈。显而易见，如穿越次级线圈。显而易见，如果两个电流，从异名端流入，则，果两个电流，从异名端流入，则，主磁通将变为主磁通将变为58dtdNdtdu 111 dtdNdtdu 222 nNNuu 2121nNNuu 2121*n

53、:1+_u1+_u2理想变压器电路模型理想变压器电路模型11222211 或主磁通通过初、次级线圈分别产生感应电压主磁通通过初、次级线圈分别产生感应电压*n:1+_u1+_u2理想变压器电路模型理想变压器电路模型若理想变压器模型中的电压若理想变压器模型中的电压u u1 1、u u2 2一个相对同名端为一个相对同名端为“，另，另一个相对同名端为一个相对同名端为“”，则有：，则有：59（2）变流关系变流关系dtdiMdtdiLu2111 112201111( )( )( )( )tMMi tudi ti tLLL考虑到考虑到MM21和和L1的定义以及理想化条件的定义以及理想化条件k=1( 02 2

54、12 11211121 111 11111111 NNMiiNMNNLLNnii)(1)(21tinti i1*L1L2+_u1+_u2i2Mn:1理想变压器的电路模型理想变压器的电路模型1L 1200,00,ii设则于是得到于是得到2111）,可得可得60)(1)(21tinti 若在理想变压器模型中，设定电流若在理想变压器模型中，设定电流i1、i2一个从同名端流入，一个一个从同名端流入，一个从异名端流入，则有：从异名端流入，则有：结论结论（1 1）在进行变压关系计算时，选用以上两个）在进行变压关系计算时，选用以上两个变压变压关系式中的哪关系式中的哪一个只取决于两电压的参考方向的正负极性与同

55、名端的相对位一个只取决于两电压的参考方向的正负极性与同名端的相对位置，而与初、次级线圈上电流的参考方向置，而与初、次级线圈上电流的参考方向如何设定如何设定无关；无关；(2)(2)在进行变流关系计算时，选用以上两个变流关系式中的哪一在进行变流关系计算时，选用以上两个变流关系式中的哪一个只取决于两电流的参考方向的流向与同名端的相对位置，而个只取决于两电流的参考方向的流向与同名端的相对位置，而与初、次级线圈上电压的参考方向如何设定无关；与初、次级线圈上电压的参考方向如何设定无关；i1*L1L2+_u1+_u2i2Mn:1理想变压器的电路模型理想变压器的电路模型61（3）变阻抗关系变阻抗关系22122

56、122 ()1/inUnUUZnn ZIn II*1 I2 I+2 U+1 Un : 1Z1 I+1 Un2Z（1 1）理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大小，不改变理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大小，不改变 阻抗的性质。阻抗的性质。（2 2）理想变压器的阻抗等效变换性质与电流、电压的参考方理想变压器的阻抗等效变换性质与电流、电压的参考方 向以及同名端的位置无关。向以及同名端的位置无关。注注意意62（2 2）理想变压器的电气特性方程为代数关系，因此它是无记忆）理想变压器的电气特性方程为代数关系，因此它是无记忆 的四端元件。的四端元件。 21nuu 211ini *+n : 1u1i1i

57、2+u2121 12 21 1111()0pppu iu iu iunin （1 1）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起着传递信号）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起着传递信号 和能量的作用。和能量的作用。（4）功率性质功率性质结论结论理想变压器吸收的功率为其两个端口吸收的功率和：理想变压器吸收的功率为其两个端口吸收的功率和：即有即有12pp 吸收能量发出能量63例例1 1在下图的电路中，已知电源内阻在下图的电路中，已知电源内阻R RS S=1k=1k ，负载电阻，负载电阻R RL L=10=10 。为使。为使R RL L上获得最大功率，求理想变压器的变比上获得最大功率，求理想

58、变压器的变比n n。n2RL+uSRS当当 n2RL=RS时匹配，时匹配，即即 10n2=1000 n2=100， n=10 .* *n : 1RL+uSRS应用变阻应用变阻抗性质抗性质解解首先利用理想变压器的阻抗变换性质，首先利用理想变压器的阻抗变换性质，将副边阻抗变换到原边，从而成为一个将副边阻抗变换到原边，从而成为一个戴维南等效电路问题：戴维南等效电路问题：64例例2 21 I2 I*+2 U+1 U1 : 1050 +V010o 1 2.U 在在图图示示电电路路中中求求 10121UU 2110II o110101 UI2250 IU对以上四个方程求解可得对以上四个方程求解可得V033

59、.33o2 U技巧：技巧：（1 1）若列写）若列写KVLKVL方程，方程，先将理想变压器视为独立电压先将理想变压器视为独立电压源列出方程，其电压大小即为源列出方程，其电压大小即为理想变压器的两个端电压变量，理想变压器的两个端电压变量，再补充理想变压器的再补充理想变压器的两两个特性个特性方程方程；（；（2 2）若列写若列写KCLKCL方程，方程，则先将理想变压器视为独立电则先将理想变压器视为独立电流源列出方程，其电流大小即流源列出方程，其电流大小即为理想变压器的两个端电流变为理想变压器的两个端电流变量，再补充理想变压器的量，再补充理想变压器的两两个个特性方程特性方程；对电路中左右两个回路对电路中

60、左右两个回路列写列写KVL方程可得方程可得补充理想变压器的两个补充理想变压器的两个特性方程又得：特性方程又得：解解方法方法1：方程法：方程法65方法方法2：利用阻抗变换等效电路：利用阻抗变换等效电路oc21So1010 100 0 VUUUU211S0, 0 IIUU1 I2150)101(2 +1 U+V010o 1 V 0310212/11010oo1 UV033.33 101o112 UUnU方法方法3：采用戴维南等效电路：采用戴维南等效电路1 I2 I* *+oc U+1 U1 : 10+V010o 1 oc:U（1） 求66（2）求）求Req：Req=102 1=100 （3）在戴维