第7节 matlab在自动控制原理1

1、第5章 matlab在自动控制中应用 在MATLAB的Control System Toolbox(控制系统工具箱)中提供了许多仿真函数与模块，用于控制系统的仿真和分析。本章着重介绍控制系统的模型、时域分析方法和频域分析方法等内容。对线性定常系统，式中对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在不等于零，这时系统在MATLAB中可以方便地中可以方便地由分由分子和分母多项式系数构成的两个向量唯一地确定，子和分母多项式系数构成的两个向量唯一地确定，这两个向量分别这两个向量分别用用num和和den表示。表示。num=b1,b2,bm,bm+1den=a1,a2,

2、an,an+111211121.)()()(nnnnmnmmasasasabsbsbsbsRsCsG连续系统的传递函数模型（连续系统的传递函数模型（tftf对象对象）单输入单输出（单输入单输出（SISO) LTI系统的系统的传递函数传递函数：注意：它们都是按注意：它们都是按s的的降幂降幂进行排列的！进行排列的！G(S)R(S)C(S)MATLAB中，用函数对象中，用函数对象tf()来建立系统的传递来建立系统的传递函数模型。函数的调用格式为：函数模型。函数的调用格式为：G=tf(num,den)例：系统传递函数为：例：系统传递函数为：22642202412)(23423sssssssG num=

3、12,24,0,20;den=2 4 6 2 2; G=tf(num,den) Transfer function: 12 s3 + 24 s2 + 20-2 s4 + 4 s3 + 6 s2 + 2 s + 2 零极点模型零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以解因式处理，以获得系统的零点和极点获得系统的零点和极点的表示形式。的表示形式。).()().()()()()(2121nmpspspszszszsKsDsNsG在在MATLAB中零极点

4、增益模型中零极点增益模型用用z,p,K矢量组表示：矢量组表示：z=z1,z2,zm；p=p1,p2,.,pn；KGain=k；零极点增益模型零极点增益模型（zpk对象）对象）D(s)为特征多项式，为特征多项式，D(s)=0为特征方程，为特征方程，K为系为系统增益，统增益，zi为零点，为零点，pj为极点为极点零极点决定了系统的零极点决定了系统的性能性能 （系统的阶次和多项（系统的阶次和多项式表达时的系数）。式表达时的系数）。MATLAB中，用函数对象中，用函数对象zpk()来建立系统的来建立系统的零零极点增益极点增益模型。函数的调用格式为：模型。函数的调用格式为：G1=zpk(z,p,k)例：系

5、统的零极点模型为：例：系统的零极点模型为：)6412. 00433. 0)(2272. 19567. 0()9287. 00353. 0)(9294. 1(6)( 1isisisssG则该模型可以由以下语句输入到则该模型可以由以下语句输入到MATLAB的工作空间中：的工作空间中： z=-1.9294;-0.0353+0.9287i;-0.0353-0.9287i; p=-0.9567+1.2272i;-0.9567-1.2272i; 0.0433+0.6412i;0.0433-0.6412i; kGain=6; G1=zpk(z,p,kGain) Zero/pole/gain: 6 (s+1.

6、929) (s2 + 0.0706s + 0.8637)-(s2 - 0.0866s + 0.413) (s2 + 1.913s + 2.421)可见，系统的零点和极点分别为分子、分母多可见，系统的零点和极点分别为分子、分母多项式的根，增益是传递函数分子和分母最高项系数项式的根，增益是传递函数分子和分母最高项系数的比值。的比值。LTI系统系统可以可以用一组一阶微分方程来描述，用一组一阶微分方程来描述，其其矩矩阵形式即为阵形式即为现代控制理论中常用的现代控制理论中常用的状态空间表示法。状态空间表示法。状态方程状态方程与与输出方程输出方程的组合称为的组合称为状态空间表达式状态空间表达式，又，又称为

7、称为动态方程动态方程，经典控制理论用传递函数将输入，经典控制理论用传递函数将输入输输出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入出方程来表达输入输出关系，揭示了输出关系，揭示了系统内部状态系统内部状态对系统性能的影响对系统性能的影响。DuCxyBuAxx在在MATLAB中，中，系统状态空间用（系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示矩阵组表示。x为状态向量；为状态向量；u为输入向量；为输入向量；y为输出向为输出向量量A为系统矩阵；为系统矩阵；B为输入矩阵；为输入矩阵；C为输出矩阵；为输出矩阵；D为前馈矩阵；为前馈矩阵；状态空间模

8、型（状态空间模型（ssss对象）对象）* *然后使用函数对象然后使用函数对象ss()来建立系统的来建立系统的状态空间状态空间模型。函数的调用格式为：模型。函数的调用格式为：G3=ss(A,B,C,D)MATLAB中只需将各个系数矩阵按常规矩阵的中只需将各个系数矩阵按常规矩阵的方式输入到工作空间中即可方式输入到工作空间中即可:;,;,;,;,;,2121212222111211dDcccCbbbBaaaaaaaaaAnnnnnnnn例例：两输入两输出系统：两输入两输出系统：xyuxx22081200012242641413125119748612310961 A=1 6 9 10; 3 12 6

9、 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14;B=4 6; 2 4; 2 2; 1 0;C=0 0 2 1; 8 0 2 2; D=zeros(2,2); G3=ss(A,B,C,D) c = x1 x2 x3 x4 y1 0 0 2 1 y2 8 0 2 2 d = u1 u2 y1 0 0 y2 0 0 Continuous-time model. a = x1 x2 x3 x4 x1 1 6 9 10 x2 3 12 6 8 x3 4 7 9 11 x4 5 12 13 14 b = u1 u2 x1 4 6 x2 2 4 x3 2 2 x4 1 0 1.4 线性离散时间系统的数学模

10、型 在MATLAB中，离散系统的数学模型和连续系统的数学模型表达函数相同，只是需要输入系统的采样周期T, 具体格式如下。 状态空间模型：sys=ss(A, B, C, D，Ts) 零极点模型：sys=zpk(z, p, k, Ts) 传递函数模型：sys=tf(num, den，Ts) 其中Ts为采样周期。 连续系统状态空间转换为离散系统状态空间形式采用函数c2d，其调用格式为 sysd=c2d(sys, Ts) 或 Ad, Bd, Cd, Dd=c2dm(A, B, C, D, Ts, method)%将带选项的连续系统 %转换到离散系统 Ad, Bd, Cd, Dd=c2dt(A, B,

11、C, T, lambda) %带有输入纯延迟的连续形式转换到离散形式 在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能需要另外的模型，这就场合下可能需要另外的模型，这就需要进行模型需要进行模型的转换的转换。模型转换函数模型转换函数包括：包括：tf2zp： 传递函数模型转换为零极点增益模型；传递函数模型转换为零极点增益模型；tf2ss： 传递函数模型转换为状态空间模型；传递函数模型转换为状态空间模型；zp2tf： 零极点增益模型转换为传递函数模型；零极点增益模型转换为传递函数模型；zp2ss： 零极点增益模型转换为状态空间模型；零极点增益模型转换为状

12、态空间模型；1.5 模型的转换函数函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。可以用来求传递函数的零极点和增益。ss2tf： 状态空间模型转换为传递函数模状态空间模型转换为传递函数模型型ss2zp： 状态空间模型转换为零极点增益状态空间模型转换为零极点增益模型模型例：已知某系统的传递函数零：例：已知某系统的传递函数零：50874593011)(23423ssssssssG求：同一系统所对应的极点增益模型。求：同一系统所对应的极点增益模型。num=1,11,30,0;den=1,9,45,87,50; z,p,k=tf2zp(num,den)43)(43)(2)(1() 5)(6()(j

13、sjsssssssGz= 0 -6 -5p= -3.0000+4.0000i -3.0000-4.0000i -2.0000 -1.0000k= 1即，结果即，结果表达式为：表达式为：已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：num=0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0;den=1 6 11 6;A,B,C,D=tf2ss(num,den)A= -6 -11 -6 B= 1 C= 0 0 -2 D= 0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1 2 0 0 61162)(61165)(61162)()()(23231232123111

14、ssssssGsssssGssssusysG系统的零极点增益模型：系统的零极点增益模型：) 5)(2)(1() 3( 6)(sssssG注意注意：零极点的输入可以写成行向量零极点的输入可以写成行向量，也可以写成列向也可以写成列向量量。 z=-3;p=-1,-2,-5;k=6;num,den=zp2tf(z,p,k)num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10a,b,c,d=zp2ss(z,p,k)a= -1.0000 0 0 b=1 2.0000 -7.0000 -3.1623 1 0 3.1623 0 0 c= 0 0 1.8974 d=0 控制系统常用到并联系统，这时就要控制系

15、统常用到并联系统，这时就要对系统对系统函数进行分解，函数进行分解，使其表现为一些基本控制单元使其表现为一些基本控制单元（子传递函数）的和的形式。同时部分分式展开（子传递函数）的和的形式。同时部分分式展开也可以用来也可以用来对系统求解对系统求解。1.6 部分分式展开部分分式展开 MATLAB中，中，Residue()函数可以实现传递函函数可以实现传递函数模型与部分分式模型的数模型与部分分式模型的互换。互换。 函数函数r,p,k=residue(num,den)对两个多项式的对两个多项式的比进行部分分式展开，即比进行部分分式展开，即把传函分解为微分单把传函分解为微分单元的形式元的形式。 b,a=r

16、esidue(r,p,k)可以将部分分式转化为多可以将部分分式转化为多项式比项式比p(s)/q(s)。其中，向量其中，向量num和和den是按是按s的降幂排列的多的降幂排列的多项式系数向量（即传递函数的分子和分母）。项式系数向量（即传递函数的分子和分母）。R、P分别为各个子传递函数的增益和极点，分别为各个子传递函数的增益和极点，K为部分为部分分式展开后的余项（常数项）。分式展开后的余项（常数项）。部分分式展开：部分分式展开：num=2,0,9,1;den=1,1,4,4; r,p,k=residue(num,den)44192)(233ssssssG12225. 0225. 02)(sisii

17、sisGp= 0.0000+2.0000i 0.0000-2.0000i -1.0000k= 2r= 0.0000-0.2500i 0.0000+0.2500i -2.0000结果表达式：结果表达式：tititeeettY225. 025. 02)(22其解可其解可以表示以表示为：为：例：对传递函数模型的串联：例：对传递函数模型的串联：num,den=series(num1,den1,num2,den2) 将串联连接的传递函数进行相乘。将串联连接的传递函数进行相乘。可以可以使用使用series()函数直接对串联环节进行化简函数直接对串联环节进行化简：G=series(sys1,sys2)格式：

18、格式：例：对状态空间模型的串联：例：对状态空间模型的串联：a,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) 串联连接两个状态空间系统。串联连接两个状态空间系统。1.7 模型的连接例：对传递函数模型的并联：例：对传递函数模型的并联： num,den=parallel(num1,den1,num2,den2) 可以可以使用使用parallel()函数直接对并联环节进行化简函数直接对并联环节进行化简：G=parallel(G1,G2)格式：格式：例：并联连接两个状态空间：例：并联连接两个状态空间：a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2

19、,d2)更简单地：更简单地：G=G1G2 MATLAB中使用Gfeedback(G1, G2, sign)直接对反馈系统进行化简，sign用来指示系统2输出到系统1输入的连接符号(反馈极性)，sign省略时，默认为负，即sign=-1，sign=1表示正反馈。1、传递函数的形式表示的反馈系统：、传递函数的形式表示的反馈系统：num,den=feedback(num1,den1,num2,den2,sign) 2、两个状态函数表示的系统按反馈方式连接：、两个状态函数表示的系统按反馈方式连接：a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) a,b,c,d=fee

20、dback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign)系统系统1的所有输出连接到系统的所有输出连接到系统2的输入，系统的输入，系统2的所有的所有输出连接到系统输出连接到系统1的输入总系统的输入的输入总系统的输入/输出数等同输出数等同于系统于系统1。a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1) 部分反馈连接，将系统部分反馈连接，将系统1的指定输出的指定输出out1连接到系统连接到系统2的输入，系统的输入，系统2的输出连接到系统的输出连接到系统1的指定输入的指定输入inp1，以此构成以此构成 闭环系统。闭环系统。 MATLA

21、B中使用Gccloop(G, sign)直接对单位反馈系统进行化简，sign用来指示系统的反馈极性，sign省略时，默认为负，即sign=-1。1、由传递函数表示的开环系统构成闭环系统：、由传递函数表示的开环系统构成闭环系统：numc,denc=cloop(num,den,sign) 当当sign=1时采用正反馈；当时采用正反馈；当sign= -1时采用负反馈；时采用负反馈；sign缺省时，默认为负反馈。缺省时，默认为负反馈。2、闭环系统的状态空间模型、闭环系统的状态空间模型ac,bc,cc,dc=cloop(a,b,c,d,sign) 通过将所有的输出反馈到输入，从而产生闭环系统通过将所有的

22、输出反馈到输入，从而产生闭环系统的状态空间模型。的状态空间模型。ac,bc,cc,dc=cloop(a,b,c,d,outputs,inputs) 表示将指定的输出表示将指定的输出outputs反馈到指定的输入反馈到指定的输入inputs，以此构成闭环系统。，以此构成闭环系统。 应用举例应用举例：1） 系统系统1为：为： 系统系统2为：为： 求按串联、并联、正反馈、负反馈连接时的系统状态求按串联、并联、正反馈、负反馈连接时的系统状态方程及系统方程及系统1按单位负反馈连接时的状态方程。按单位负反馈连接时的状态方程。11111131102110uxyuxx2222241103110 xyuxx2）

23、系统系统1、系统、系统2方程如下所示。方程如下所示。1312111312111211131211131211131211101010110100100001010263122441uuuxxxyyuuuxxxxxx2322212322212221232221232221232221101011101010100010001161123011uuuxxxyyuuuxxxxxx求求 部 分部 分并联后的状并联后的状态空间，要态空间，要求求u11与与u22连接，连接，u13与与u23连接，连接，y11与与y21连连接。接。 ctrb和和obsv函数可以求出状态空间系统的可控性函数可以求出状态空间系统

24、的可控性和可观性矩阵。和可观性矩阵。 格式：格式：co=ctrb(a,b) ob=obsv(a,c) 对于对于nn矩阵矩阵a，nm矩阵矩阵b和和pn矩阵矩阵c ctrb(a,b)可以得到可以得到nnm的可控性矩阵的可控性矩阵 co=b ab a2b an-1b obsv(a,c)可以得到可以得到nmn的可观性矩阵的可观性矩阵 ob=c ca ca2 can-1 当当co的秩为的秩为n时，系统可控；当时，系统可控；当ob的秩为的秩为n时，系时，系统可观。统可观。1.8 模型的属性模型的属性例例12 已知某系统的闭环传递函数为：已知某系统的闭环传递函数为：要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系

25、要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统。统。7 s4 - 32 s3 - 684 s2 + 2689 s + 10365- s4 - 5 s3 - 86 s2 + 345 s + 1236%exp4_1.mclear; clc; close all; %系统描述系统描述n =7,-32,-684,2689,10365;d =1,-5,-86,345,1236;%求系统的零极点求系统的零极点z,p,k=tf2zp(n,d)%检验零点的实部；求取零点实部检验零点的实部；求取零点实部大于零的个数大于零的个数ii=find(real(z)0)n1=length(ii);%检验极点的实部；求取极点

26、实部检验极点的实部；求取极点实部大于零的个数大于零的个数jj=find(real(p)0)n2=length(jj);%判断系统是否稳定判断系统是否稳定if(n20) disp(the system is unstable) disp(the unstable pole are:) disp(p(jj) %显示不稳定极点显示不稳定极点p(jj) else disp(the system is stable)end%判断系统是否为最小相位系统判断系统是否为最小相位系统if(n10) disp(the system is a nonminimal phase one)else disp(the s

27、yetem is a minimal phase one)end%绘制零极点图绘制零极点图pzmap(p,z)源程序源程序ii=find(条件式条件式)：用来求取满足条件的向量的下标向：用来求取满足条件的向量的下标向量，以列向量表示。量，以列向量表示。例如：例如：条件式为条件式为real(p0)real(p0)，其含义就是，其含义就是找出极找出极点向量点向量p p中满足实部的值大于中满足实部的值大于0 0的所有元素下标，的所有元素下标，并将结果返回到并将结果返回到iiii向量中去向量中去。这样如果找到了实。这样如果找到了实部大于部大于0 0的极点，则会将该极点的序号返回到的极点，则会将该极点的

28、序号返回到iiii下。如果最终的结果里下。如果最终的结果里iiii的元素个数大于的元素个数大于0 0，则，则认为找到了不稳定极点，因而给出系统不稳定的认为找到了不稳定极点，因而给出系统不稳定的提示，反之得出系统稳定的结论。提示，反之得出系统稳定的结论。pzmap(p,z)：根据系统已知的零极点：根据系统已知的零极点p和和z绘制出系绘制出系统的零极点分布图统的零极点分布图说明：说明： z = -8.9995 -2.5260 8.0485 + 0.5487i 8.0485 - 0.5487ip = -8.2656 -2.4242 7.8449 + 0.3756i 7.8449 - 0.3756ik = 7ii = 3 4jj = 3 4the system is unstablethe unstable pole are: 7.844