第四章 第一讲 正态分布及其性质

1、第四章第四章 正态分布正态分布 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质 概率论与数理统计课程教学团队概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质 一、正态分布一、正态分布 二、标准正态分布二、标准正态分布 三、正态变量的线性组合三、正态变量的线性组合 四、小结四、小结概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质).,(,)0(,e21)(22)(22NXXxxfXx记为的正态分布或高斯分布服从参数为

2、则称为常数其中的概率密度为设连续型随机变量一、正态分布一、正态分布高斯资料高斯资料1 1、定义、定义概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质2、正态概率密度函数的几何特征、正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;21)(,)2(xfx取得最大值取得最大值时时当当 ; 0)(,)3(xfx时时当当;)4(处有拐点处有拐点曲线在曲线在x 概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，

3、决定了图形中决定了图形中峰的陡峭程度峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质3、正态分布的分布函数、正态分布的分布函数22()21( )ed2t xF xt正态分布分布函数图形正态分布分布函数图形演示演示概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质4、 正态分布的期望

4、与方差正态分布的期望与方差其概率密度为其概率密度为设设),(2NX则有则有xxxfXEd)()( .de21222)(xxx tx 令令, tx ., 0,e21)(222)( xxfx概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质. tttttde2de212222 xxXExde21)(222)( 所所以以tttde )(2122 概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质.de21)(222)(2xxx xxfxXDd)()()(2 得得令令,

5、tx ttXDtde2)(2222 ttttdee2222222202 .2 2概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质.2 和和分别为两个参数分别为两个参数正态分布的期望和方差正态分布的期望和方差概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:

6、直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.5、正态分布的应用与背景、正态分布的应用与背景 概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的的随机现象都是服从或近似服从正态分布的. 事实上如果一个随事实上如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近

7、似服从正态分布性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布. 正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布可以作为许多分布的近似分布. 正态分布有许多其它分布所不具备的良好的性质正态分布有许多其它分布所不具备的良好的性质. 各种测量的误差；人的生理特征指标；各种测量的误差；人的生理特征指标； 工厂产品的尺寸；农作物的收获量；工厂产品的尺寸；农作物的收获量； 海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度；学生们的考试成绩等等热噪声电流强度；学生们的考试成绩等等.X若随机变量若随机变量 受到众多相互独立的随机因素的影响，每受到众多相互独立的随机因素的影响，每

8、X则则 服从正态分布服从正态分布. 例如例如：一个别因素的影响都是微小的，而且这些影响具有加性特征，一个别因素的影响都是微小的，而且这些影响具有加性特征，正态分布所能刻画的随机现象：正态分布所能刻画的随机现象：正态分布是概率论中最重要的分布，体现在以下方面：正态分布是概率论中最重要的分布，体现在以下方面：概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质6、正态分布下的概率计算、正态分布下的概率计算txFxtde21)(222)( xXP ? 原函数不是原函数不是初等函数初等函数方法一方法一:利用利用MATLAB软件包计算软件包

9、计算(演示演示)方法二方法二:转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯一确定，唯一确定， 当当和和不同时，是不同的正态分布。不同时，是不同的正态分布。标准正态分布标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质).1, 0(,1, 0),(2NN记记为为态态分分布布的的正正态

10、态分分布布称称为为标标准准正正这这样样时时中中的的当当正正态态分分布布 标准正态分布的标准正态分布的概率密度概率密度表示为表示为,e21)(22 xxx 二、标准正态分布二、标准正态分布标准正态分布的标准正态分布的分布函数分布函数表示为表示为.,de21)(22 xtxxt1、定义、定义概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质标准正态分布的图形标准正态分布的图形概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质2、标准正态分布的概率计算、标准正态分布的概

11、率计算1( ) x( )( )ba2005. 0)84. 0(1)84. 0(RxdtexXPxxt2221)(分布函数分布函数 利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值，从而解决概利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值，从而解决概率计算问题。率计算问题。) 1 , 0( NX64. 084. 0XP 例例1 设随机变量设随机变量,试求试求(0.64) 解解 查表知查表知所以有所以有5384. 02005. 07389. 0)84. 0()64. 0(64. 084. 0XP0.7389() x P aXb概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正

12、态分布及其性质正态分布及其性质 例例 设设XN(0, 1)，求，求P(1X2)，P(X2.5).= 0.9772(10.8413) = 0.8185. P X 2.5 = 1( 2.5 )解解 P( 1X2 )= ( 2 )( 1 ) = ( 2 )1( 1 ) = 10.9938 = 0.0062.概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质(3)正态分布的标准化：正态分布的标准化：2( ,)，XN 若，XY令(0,1)YN则2(3,2 )2X5-4X10|X|53XXNPPPP若，求，23532X5()2211(1)(

13、)(1)()1=0.53322822PPP UP UX 标准化-3393-3X9()22(3)(3)2 (3) 1=0.99 4273PPP UP UX 标准化，|X|2= (25)- (05)=0.30233X= .PP.，05概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质3、一般正态分布的概率计算、一般正态分布的概率计算()x()()ba1.6 10 10.30942221 分布函数分布函数22()21( )2txF xP Xxedt 在求解一般正态分布的概率计算问题时，先将其转化为标准正在求解一般正态分布的概率计算问题

14、时，先将其转化为标准正态分布问题，然后利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值，态分布问题，然后利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值，从而解决概率计算问题。从而解决概率计算问题。)2 , 1 (2NX6 . 10 XP 例例2 设随机变量设随机变量，试求，试求2212xyedytyP aXb(01.6)PX解概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质4、标准正态分布的分位数、标准正态分布的分位数) 1 , 0( NX) 10 (2u2PXu2u双侧分位数：双侧分位数：，对于给定的，对于给定的，如果，如果为标准正态分布

15、关于为标准正态分布关于实数实数满足满足，则称，则称的双侧分位数的双侧分位数.标准正态分布双侧分位数的意义如图标准正态分布双侧分位数的意义如图1所示所示 . 双侧分位数的计算方法：双侧分位数的计算方法：122u查标准正态分布函数值表便可得查标准正态分布函数值表便可得也可直接查依据上式编制的标准正态分布双侧分位数表。也可直接查依据上式编制的标准正态分布双侧分位数表。/22.576u)(xx2u2u图图122 由定义知由定义知2()u0.100.050.01/21.645u/21.96u概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性

16、质12.326u) 1 , 0( NX) 10 (uP Xuu上侧分位数：上侧分位数：，对于给定的，对于给定的, 如果如果为标准正态分布关于为标准正态分布关于实数实数满足满足，则称，则称的上侧分位数的上侧分位数.标准正态分布上侧分位数的意义如图标准正态分布上侧分位数的意义如图2所示所示.上侧分位数的计算方法：上侧分位数的计算方法： 由定义知由定义知u查标准正态分布函数值表便可得查标准正态分布函数值表便可得也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系,借助于标借助于标准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查

17、的双侧分位数的双侧分位数.)(xxu图图21.645u0.050.01()u概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质例例3 3., 1 . 03;2005002;560160500 xxXPXPXPX求）（）求（）求（的正态分布。，（以小时计）服从某种器件的寿命2(500,60 )XN已知解：5601XP）（5601XP500560500 16060XP 605005601 11 8413. 01 1587. 0概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布

18、及其性质2500200P X 解（ ）：50060.1560; 2500200; 330.1,.XP XP XP Xxx某种器件的寿命 （以小时计）服从，的正态分布（）求（ ）求例（ ）求0008. 09996. 0122005001XP6020060500602001XP 6020060200113102131012概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质50060.1560; 2500200; 330.1,.XP XP XP Xxx某种器件的寿命 （以小时计）服从，的正态分布（）求（ ）求例（ ）求282. 160

19、500 x为单调不减函数，故需因30.1,P Xx求解（ ）要：，即要求1 . 01xXP1 . 0605001 x即需282. 19 . 060500 x92.576x。时，才能使即当1 . 092.576xXPx概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质(1) 所求概率为所求概率为89XP)2(5 . 09089) 2(1 9772. 01.0228. 0解例例4?,99. 080)2(.89,90) 1 ().5 . 0,(,)(,.o2oo至少为多少问低于的概率不至少为若要求保持液体的温度的概率小于求若且是一个随

20、机变量计以液体的温度调节器整定在容器内贮存着某种液体的将一温度调节器放置在dCXddNXCXCd概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质(2)800.99P X 1800.99P X 1(80)0.99F 8010.990.5d 801 0.990.01,0.5d 80-2.3270.5d 即81.1635.d概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质 正态随机变量的重要性质：两个或多个相互独立的正态随机变量的重要性质：两个或多个相互独立的正态随

21、机变量的线性组合仍是正态随机变量。正态随机变量的线性组合仍是正态随机变量。三、正态随机变量的线性组合三、正态随机变量的线性组合22. (0,), (0,1),(0,1)Y NX NX YXY N 引引理理设设且且相相互互独独立立 则则 概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质22XN( , ) (,() ) YaXb N ab a 1221222 ()+XYXY 证证: :211122222 (0,)XXN 22(0,1)YN 221212222 *0, (1)XY N 221212(,)N 221122112222

22、(,), (,),1.(,)XY NX NY NX Y 定定设且相互独立设且相互独立 则则理理 21212222 (0, 1)XYN 概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质22XN( , ) (,() ) YaXb N ab a 222211112121211 ,., (,)(1,2,., ),0,.2. . (.,.,.),niiinnnnnnnXXXXNinCUC XC XN CCCCCC 设设相相互互独独立立 且且对对于于任任意意不不全全为为 的的常常数数定定有有理理121 .nCCCn取取2121212 ,.

23、,( ,)1(1,2,., ),. (0, 1) ( , , .)/. , nniniXXXNinXXXNXXXnX Nnn 设设相相互互独独立立 且且服服从从同同一一分分布布是是的的推推算算则则或或术术平平均均论论概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质例例5 随机变量随机变量X和和Y相互独立且相互独立且XN(1,2), YN(0,1). 试试求求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度.故故X和和Y的任意线性组合是正态分布的任意线性组合是正态分布.解解: XN(1,2), YN(0,1)，且，且X与与Y独立独立D(Z)

24、=4D(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即即 ZN(E(Z), D(Z)ZN(5, 32)2(5)181: ( ), (ZR)3 2zZZfze 的的概概率率密密度度为为概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质22 (22.4, 0.03 ),(22.5, 0.04 ),6.X NY NX Y活活塞塞的的直直径径( (以以c cm m计计) )气气缸缸的的直直径径设设相相互互独独立立 任任取取一一活活塞塞, ,任任取取一一只只气气缸缸, ,求求活活塞塞能能装装入入例例气气缸缸的

25、的概概率率. .222 (,), , (,)iiiiiiiiiXNC XNCC i ii ii i定定理理2 2 则则 活活塞塞能能装装入入气气缸缸 = = X X Y Y = = X X- -解解: : Y Y 0 0 , ( ( ), ( ) )Z N E Z DZX YZ令令则则( )()( )0.1E ZE XE Y 2( )0( )5).0D XDZYD2 ( 0.1,0.05 )Z N即即 0P XYP Z( 0.1)0( 0.1)0.050.05ZP 0( 0.1)0.05(2)0.9772 概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质正态分布及其性质四、小结四、小结1、正态分布正态分布2、标准正态分布、标准正态分布3、正态随机变量的线性组合、正态随机变量的线性组合相互独立正态随机变量线性组合的分布相互独立正态随机变量线性组合的分布概率论与数理统计概率论与数理统计课程教学团队课程教学团队第四章第四章 第一讲第一讲 正态分布及其性质