东北大学材料力学3

1、第三章第三章 扭转扭转3 31 1 工程实际中的扭转问题工程实际中的扭转问题 3 32 2 扭转时的内力扭转时的内力3 33 3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转3 34 4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形3 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算3 36 6 非圆截面杆的扭转非圆截面杆的扭转第三章第三章 扭转扭转3 31 1 工程实际中的扭转问题工程实际中的扭转问题第三章第三章 扭转扭转3 31 1 工程实际中的扭转问题工程实际中的扭转问题轴轴 ：以扭转为主要变形的工程构件。 如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。实例：汽车转向轴、机械传动轴、丝锥等实例：

2、汽车转向轴、机械传动轴、丝锥等3 31 1 工程实际中的扭转问题工程实际中的扭转问题传动轴传动轴3 31 1 工程实际中的扭转问题工程实际中的扭转问题扭转角（扭转角（）：任意两截面绕轴线相对转动的角位移。剪应变（剪应变（）：直角的改变量。mmOBA扭转扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA3 31 1 工程实际中的扭转问题工程实际中的扭转问题3 31 1 工程实际中的扭转问题工程实际中的扭转问题箱式截面梁的扭转3 32 2 扭转时的内力扭转时的内力第三章第三章 扭转扭转3 32 2 扭转时的内力扭转时的内力一、传动轴的外力偶矩一、传

3、动轴的外力偶矩m)(kN559nP.mm)(kN0247nP.m其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（PS） n 转速，转/分（rpm）1PS=735.5Nm/s , 1HP=745.7Nm/s , 1kW=1.36PS3 3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： 二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1 1 扭矩扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T ”。 2 2 截面法求扭矩截面法求扭矩mmmTmTmTmx00 x右手螺旋法则：与外法线方向一直为正与外法线方向相反为负3 32 2 扭转时的内力扭转时的内力4 4 扭矩扭矩图图：扭矩沿杆件轴线变化规律的

4、图线。：扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT3 32 2 扭转时的内力扭转时的内力例例已知：一传动轴，n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从 动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解解：计算外力偶矩：计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 78. 43001509.5555. 9232nPmmm)(kN 3763002009.5555944.nP.m3 32 2 扭转时的内力扭转时的内

5、力112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）mkN784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmT3424 0 6.37kN mTmTmnA B C Dm2 m3 m1 m43 32 2 扭转时的内力扭转时的内力绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 569max .TBC BC 段为危险截面段为危险截面: :nA B C Dm2 m3 m1 m49.56xT4.786.373 32 2 扭转时的内力扭转时的内力2 9.56kN mT 1 4.78kN mT 3 6.37kN mT 第三章第三章 扭转扭转3 33 3 薄壁圆筒的扭

6、转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚0101rt （r0：为平均半径）一、实验：一、实验：1.1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m m。3 33 3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转2.2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未 改变，只是绕轴线作了相对转动。改变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形

7、。3.3.结论：结论：3 33 3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转无正应力横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。分析图示截面上的应力：分析图示截面上的应力：LR3 33 3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转单元体上的应力如图所示：单元体上的应力如图所示：acddxb dy tzxyLR3 33 3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转4. 4. 与与 的关系：的关系：LRRL LR3 33 3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转二、薄壁圆筒切应力二、薄壁圆筒切应力 大小：大小： tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0：

8、平均半径所作圆的面积。3 33 3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转三、切应力互等定理：三、切应力互等定理： 0zmt dxdyt dxdy 该定理表明：在单元体相互垂在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。同指向或共同背离该交线。acddxb dy tzxy3 33 3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 单元体的四个侧面上只有剪应单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态力而无正应力作用

9、，这种应力状态称为称为纯剪切应力状态纯剪切应力状态。acddxb dy tzxy3 33 3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 T=m)( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（极限时（ p p) )，剪应力与剪应变成正比关系。剪应力与剪应变成正比关系。3 33 3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转G 式中：G 是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：)1 ( 2EG3 33 3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆

10、筒的扭转第三章第三章 扭转扭转3 34 4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面3 34 4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形分析应力的方法：分析应力的方法： 1. 1. 横截面变形后仍为平面；横截面变形后仍为平面； 2. 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 3. 纵向线变形后仍为平行线。纵向线变形后仍为平行线。一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察：3 34 4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形1、在dx长度上，圆柱的两端面相对转过角度d2、若

11、将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱3、半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，半径 越小者剪应变越小。3 34 4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1. 1. 变形几何关系：变形几何关系：xxGGdddtg1xdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿轴线方向变化率。3 34 4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形2. 2. 物理关系：物理关系：虎克定律： GxGxGGddddxGdd 3 34 4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力

12、和变形代入上式得：3. 3. 静力学关系：静力学关系：d ATA AIApd2令pGITx dd 代入物理关系式得： xGdd pITOdA3 34 4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形dA22dddd ddAATGAxGAx 4. 4. 公式讨论：公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等 圆截面直杆。圆截面直杆。 式中：式中： T T 横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 I Ip p 极惯性矩，与截面形状和尺寸有关的量。极惯性矩，与截面

13、形状和尺寸有关的量。3 34 4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是I Ip p值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDAp对于实心圆截面：DdO3 34 4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形对于空心圆截面：)1 (10)1 (32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddOd3 34 4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形D 应力分布应力分布实心截面空心截面3 34 4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时

14、的应力和变形由公式pGITx dd 已知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为0d ( lppTdxGITlTGI 若值不变）三. 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形3 34 4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形四、单位扭转角四、单位扭转角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或GIGIp p 反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面截面的抗扭刚度的抗扭刚度。3 34 4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形第三章第三章 扭转扭转3 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算pIT由知：当max , 2dR)2

15、 ( 22 maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmax一一. .强度条件强度条件：3 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算tWTmax对于实心圆截面：332016D.DRIWpt对于空心圆截面：)-(12016)1 (4343D.DRIWpt3 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxtWT强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：maxmaxtWTmaxTWtmax tTW）（空：实：433116 16 DDWt3 35 5 圆轴扭转时的强

16、度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算二、刚度条件二、刚度条件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或 称为许用单位扭转角。3 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算例例1 1某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500马力，输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G = 80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ； 若全轴选同一直径，应为多少； 主动轮与从动轮如何安排合理？解：扭矩如图 500400N1N3N2ACBTx7.0

17、24 4.21(kNm)m)(kN0247nN.m3 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算由强度条件得：16 31TdWt mm4671070143421016163632.Td mm801070143702416163631.Td3 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算 pTGI由刚度条件得：500400N1N3N2ACBT7.0244.21(kNm)3 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算 32 4 GTdIp mm47411080143180421032 3249242.GTd mm84110801431807

18、02432 3249241 .GTd mm75 mm8521 d,d综上：全轴选同一直径时 mm851 dd3 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。Tx 4.21(kNm)2.8143 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算已知：P7.5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。例题例题2 2 求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之

19、比。3 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算解：首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴7 595499549716 2N m100.xPMTnmax13111640MPaxxPMMWd31616 716 20 045m=45mm40 10.d3 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算d20.5D2=23 mmmax234221640MPa1xxPMMWD324616 716 20 046m=46mm 1-40 10.D3 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算解：确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴D246 mmd

20、223 mm 实心轴d1=45 mm长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：28. 15 . 01110461045122332222121DdAA3 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算33 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kWn1=n2= 120r/min360r/minr/min12361203113zznn3解：计算各轴的功率与转速3 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算Mx1=T1=1114 N.mMx2=T2=557 N.mMx3=T3=18

21、5.7 N.m33 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算 16.54MPaPa1070111416E9-31P1maxWMx .69MPa22Pa105055716H9-32P2maxWMx .98MPa12Pa1053718516C9-33P3max.WMx33 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算例例4 4 某传动轴M1=1kNm，M2=0.7kNm，M3=0.3kNm，l1= l2=1.5m，d =50mm， G=80GPa，试求C截面相对A截面的扭转角？解：扭矩图 Tx0.70.3(kNm)0.7kN mABM 3 35 5 圆轴扭转

22、时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算0.3kN mBCM l1M1M3M2ACBl2例例4 4 某传动轴M1=1kNm，M2=0.7kNm，M3=0.3kNm，l1= l2=1.5m，d =50mm， G=80GPa，试求C截面相对A截面的扭转角？解：相对扭转角 Tx0.70.3(kNm)pTlGI3 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算 l1M1M3M2ACBl2ACABBC21BCABACppT lT lGIGI例例4 4 某传动轴M1=1kNm，M2=0.7kNm，M3=0.3kNm，l1= l2=1.5m，d =50mm， G=80GPa，试求C截面相对A截面的扭转角？解：相对扭转角0.70.3 Tx(kNm)3 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算 l1M1M3M2ACBl221BCABACppT lT lGIGI139432 1.50.70.3100.012280 100.05ACABBCplTTGIrad ACAC 相对扭转角3 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算AB3 35 5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算例题例