1.2常数数级数的审敛法ppt课件

1、正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛第二节第二节 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法1. 定义定义 1nnu正项级数正项级数 nsss212. 充要条件充要条件单调增加数列单调增加数列这时这时,部分和数列只可能有两种情形部分和数列只可能有两种情形:.nsssnn lim,)1(时时当当 n.1必发散必发散级数级数 nnu,)2(有上界有上界若若ns0 nu一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法.1必必收收敛敛 nnu正项级数的部分和数列正项级数的部分和数列定理定理1(1(基本定理基本定理) )说明说明一般的级数，部

2、分和数列存在极限，才可一般的级数，部分和数列存在极限，才可以保证级数的收敛性以保证级数的收敛性.对于正项级数，只要部分和数列有界，就对于正项级数，只要部分和数列有界，就可以保证级数收敛可以保证级数收敛正项级数收敛正项级数收敛部分和所成的数列部分和所成的数列ns有界有界.上述充要条件，仅仅对正项级数成立！上述充要条件，仅仅对正项级数成立！发散的级数，部分和数列没有极限发散的级数，部分和数列没有极限发散的正项级数，部分和数列一定趋于无穷大发散的正项级数，部分和数列一定趋于无穷大 例例 断定断定 的敛散性的敛散性. 1121nn解解121 n1211211212 nnSn2121212 n211 由

3、定理由定理1 1知知, ,故级数的部分和故级数的部分和可与另一个已知敛散性的正项级数比较来确定可与另一个已知敛散性的正项级数比较来确定.,21n 1 该正项级数收敛该正项级数收敛. .启示启示:判定一个正项级数的敛散性判定一个正项级数的敛散性,由于由于正项级数收敛正项级数收敛部分和所成的数列部分和所成的数列ns有界有界.3. 比较审敛法比较审敛法证证定理定理2 2nnuuus 21且且 1nnv 设设nnvu 即部分和数列有界即部分和数列有界. 1nnunvvv 21,nnvu 若若那那么么 1nnv收敛收敛 1nnu收敛收敛 1nnu发散发散 1nnv发散发散收敛收敛 0nns 则则)( n

4、sn设设nnvu 且且 不是有界数列不是有界数列 1nnv 1nnu发散发散 1nnv发散发散发散发散证证,0nnvu 若若比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数. 推论推论 1nnv(发散发散)收敛收敛)0,( kNnkvunn且且)0,( kkvunn 1nnu则则收敛收敛(发散发散) 11,nnnnvu若若均为正项级数，那么均为正项级数，那么因为级数的每一项乘以非零的数，或者去掉有因为级数的每一项乘以非零的数，或者去掉有限项不会影响到级数的敛散性，则有：限项不会影响到级数的敛散性，则有：解解, 1 p设设级级数数则则 p, 1 p设设 pn1(1)(2) 11nn调和

5、级数调和级数发散发散nnp11 nnpxx1d用比较审敛法用比较审敛法发散发散. . 11npnppxnnxn11,1 有有时时当当 nnpnx1d例例 讨论讨论 级数级数 p pppn131211的收敛性的收敛性. )0( p npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即nsns级级数数则则 p收敛收敛. . 11npn)1( p 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,1pp pppn131211级数级数 p pn1pppnns131211 nnppxxxx121dd1 nnpxx1d nnpnx1d常用！常用！(1) 几何级数几何级数使用正项级数的比较判定法时使用正项级数

6、的比较判定法时,常用的比较级数：常用的比较级数：一些级数的敛散性一些级数的敛散性,作为比较的标准作为比较的标准.需要知道需要知道(2) p-级数级数(3) 调和级数调和级数 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10qqaqnn 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,1pp 11npn nnn13121111发散发散例例 讨论下列正项级数的敛散性讨论下列正项级数的敛散性.nnn3sin2)1(1 13)1(1)2(nnn解解 (1) nnnu3sin20 而等比级数而等比级数 收敛收敛.nn 132 原级数收敛原级数收敛.n 32 nn32 由比较审敛法由比较审敛法,解解 因为因为3)1(1

7、nnun 3211 n 132)1(1nn是发散的是发散的p-级数级数.原级数原级数.1.3121323232 n 13)1(1)2(nnn 发发散散时时当当收收敛敛时时当当级级数数,1,1ppp,11 npn发散发散.由比较审敛法由比较审敛法,11都是正项级数都是正项级数与与设设 nnnnvu如果如果,limlvunnn 则则,0)1(时时当当 l,0)2(时时当当 l,)3(时时当当 l4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式定理定理3 3,1发发散散若若 nnv;1收收敛敛若若 nnv,1发散发散若若 nnv.1发散发散 nnu发散发散 1nnu收敛收敛 1nnu证证lvunnn

8、 lim)1(由由1 对对于于,N ,时时当当Nn 1 lvunn)()1(Nnvlunn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论, 得证得证.,limlvunnn ,0)1(时时当当 l;1收收敛敛若若 nnv收敛收敛 1nnu(2)和和(3)的证明作为课下练习的证明作为课下练习比较判别法的实质是比较判别法的实质是时时当当,0, 0nnvu.比较通项的阶比较通项的阶.,)1(11敛敛散散性性相相同同和和是是同同阶阶无无穷穷小小若若 nnnnnnvuvu,)2(的的高高阶阶无无穷穷小小是是若若nnvu.11收收敛敛收收敛敛则则 nnnnuv.11发发散散发发散散 nnnnvu问题问题？两两级

9、级数数敛敛散散性性有有何何关关系系的的低低阶阶无无穷穷小小是是若若,nnvu.11收收敛敛收收敛敛 nnnnvu.11发发散散发发散散 nnnnuv如果通项趋于零较慢的级数收敛，则较快的也收敛；如果通项趋于零较慢的级数收敛，则较快的也收敛；如果通项趋于零较快的级数发散，则较慢的也发散；如果通项趋于零较快的级数发散，则较慢的也发散；如果通项趋于零的速度一样，则级数敛散性相同。如果通项趋于零的速度一样，则级数敛散性相同。解解nn1sinlim 1 发散发散例例 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性 11sinnn表明两级数表明两级数n1,1sin1 nn 11nn敛散性相同，敛散性相同， 11

10、sinnn定理定理6 6 5. 极限审敛法极限审敛法 ,1 nnu设设)0( nu)(0lim)1( 或或者者如如果果lnunn)0(lim, 1)2( llunpnpn且且如如果果收收敛敛则则 1nnu发发散散则则 1nnu证证(1)(1)在上述结论在上述结论(2)(3)(2)(3)中令中令nvn1 (2)(2)在上述结论在上述结论(1)(1)中令中令pnnv1 极限审敛极限审敛 法实质是以法实质是以p级数为比较级数的比较审级数为比较级数的比较审敛法。在使用比较审敛法时，只要记住比较审敛法敛法。在使用比较审敛法时，只要记住比较审敛法比较的通项趋于零的速度。比较的通项趋于零的速度。如果通项趋于

11、零较慢的级数收敛，则较快的也收敛；如果通项趋于零较慢的级数收敛，则较快的也收敛；如果通项趋于零较快的级数发散，则较慢的也发散；如果通项趋于零较快的级数发散，则较慢的也发散；如果通项趋于零的速度一样，则级数敛散性相同。如果通项趋于零的速度一样，则级数敛散性相同。解解221)11ln(limnnn 例例 判定敛散性判定敛散性 12)11ln(nn原级数收敛原级数收敛1 )11ln(lim22nnn )0(lim, 1)2( llunpnpn且且如如果果收收敛敛则则 1nnu)cos1(1 limnnn 解解)0(21cos12 xxx23n例例 判定敛散性判定敛散性 1)cos1(1nnn )()

12、(21cos12 nnn 22211lim nnnnn 221 )0(lim, 1)2( llunpnpn且且如如果果收收敛敛则则 1nnu原级数收敛原级数收敛证明请参阅教材。证明请参阅教材。定理定理4 4,1 nnu设设 nnnuu1lim6.6.比值审敛法比值审敛法( (达朗贝尔达朗贝尔 判定法判定法) ) AlembertD,收敛收敛发散发散)0( nu 方法失效方法失效 1nnu 1nnu1 1 1 2. 若用比值判别法判定级数发散若用比值判别法判定级数发散注注3. 一旦出现一旦出现=1 要用其它方法判定要用其它方法判定.级数的通项级数的通项un不趋于零不趋于零.nnnuu1lim 或

13、或 不存在时不存在时,1. 适用于适用于中中nunn 或关于或关于含有含有 !的连乘形式的连乘形式.,)1(时时 发散发散级数级数 11nn收敛收敛级数级数 121nn如如 nnnuu1lim1 4. 比值判别法的优点：不用找参考级数。比值判别法的优点：不用找参考级数。解解)( n)1( nnuu1101 n.10!1发发散散故故级级数数 nnn例例 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性 110!)1(nnn 12)12(1)2(nnn!1010)!1(1nnnn nnnuu1lim 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, )12(21lim nnn收收敛敛级级数数 121nn收收敛敛故故级级

14、数数 1)12(21nnn解解)22()12(2)12(lim nnnnn21n41 改用比较极限审敛法改用比较极限审敛法 12)12(1)2(nnn,limlvunnn ,0时时当当 l两级数有相同的敛散性两级数有相同的敛散性 nnuu1)(0 n.收收敛敛故故级级数数例例 证明级数证明级数 )1(32113211211111n并估计以级数的部分和并估计以级数的部分和sn近似代替和近似代替和s解解以级数的部分和以级数的部分和sn近似代替和近似代替和s是收敛的是收敛的,所产生的误差所产生的误差.nnn1)!1(1!1 nr所产生的误差为所产生的误差为: nss 21nnuu 21nnnnuus

15、sr 2111!1nnn )!2(1)!1(1!1nnn )2)(1(1111!1nnnn)!1)(1(1111!1 nnnn )1(32113211211111n定理定理5 57. 根值审敛法根值审敛法 (柯西判别法柯西判别法),1 nnu设设收敛收敛发散发散)0( nu 方法失效方法失效 1nnu 1nnu1 1 1 nnulimn注注 2. 时，此判别法失效只能改用其它方法时，此判别法失效只能改用其它方法.1 ,1 ,1 nnn设级数设级数如如n1 )(0 n级数收敛级数收敛.1. 适用于通项以适用于通项以n为指数幂的级数。为指数幂的级数。nn1n nun断定断定 的敛散性的敛散性. 1

16、2)1(2nnn解解根据根值审敛法，级数收敛根据根值审敛法，级数收敛.因为因为例例nnnn2)1(2lim nnn)1(221lim .21 正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为nnnu 11)1()0( nu其其中中:如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件, 0lim)2( nnu);, 3 , 2 , 1()1(1 nuunn则则.|1 nnur,1us 且且和和的绝对值的绝对值其余项其余项nr定义定义 )1(1nnnu 或或,级级数数收收敛敛交错级数交错级数. .定理定理6 6( (莱布尼茨定理莱布尼茨定理) )二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法证证nnnnuuuuu

17、us212223212)()( 又又1u , 01 nnuussnn 2lim.2是是单单调调增增加加的的数数列列ns.2是有界的是有界的数列数列ns由条件由条件(1):分析分析ssnn limnns2lim 12lim nns), 3 , 2 , 1()1(1 nuunns nnnuuuuuus21243212 ()()()1u 12lim nnss , s级级数数收收敛敛于于和和nr余项余项 21nnnuur满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件, nr证毕证毕.也是一个交错级数也是一个交错级数.)(lim122 nnnus0lim12 nnu由条件由条件(2):12212 nnnuss0l

18、im)2( nnussnn 12lim证证.1us 且且)(21 nnuu1 nu例例 判别级数判别级数 11)1(nnn的收敛性的收敛性.解解 此级数为此级数为交错级数，交错级数， 而且而且 nun111 n1 nu01lim nunn所以原级数收敛，所以原级数收敛， 且其和且其和11 us若用其前若用其前n项来近似项来近似s，误差为，误差为11|1 nurnn注意注意 11nn和和 11)1(nnn的不同的不同.解解)1( xx)2(0 x,1单单调调递递减减故故函函数数 xx1 nnuu1limlim nnunnn又又0 原级数收敛原级数收敛.此级数为此级数为2)1(2)1( xxx例例

19、 判别级数判别级数 21)1(nnnn的收敛性的收敛性.交错级数交错级数.任意项级数任意项级数定义定义,|1收收敛敛若若 nnu为为则称则称 1nnu为为则则称称 1nnu,|1发散发散若若 nnu,1收敛收敛而而 nnu定义定义,1 nnunu可正可正, ,可负可负, ,可可0.0.绝对收敛绝对收敛. .条件收敛条件收敛. .三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛明显，明显，|1 nnu对任意项级数对任意项级数,1 nnu必为正项级数必为正项级数比如比如 1211) 1(nnn绝对收敛绝对收敛. . 111) 1(nnn条件收敛条件收敛. .证证), 2 , 1(|)|(21 nuuv

20、nnn, 0 nv|,|nnuv 且且收敛收敛 1nnv 1nnu又又 绝对收敛与收敛绝对收敛与收敛因为级数因为级数|nnnuuu |,|2|0nnnuuu |2|nnnuuu 正正,1绝绝对对收收敛敛若若级级数数 nnu定理定理8 8.1必必定定收收敛敛则则级级数数 nnu), |2(1 nnnuv|1 nnu收敛收敛.收敛收敛 1nnu显然显然, 0 比较审敛法比较审敛法有以下重要关系有以下重要关系nv注注1 1 |2111nnnnnuuv 证明过程中引进了如下级数证明过程中引进了如下级数由于由于 0 , 00,|21nnnnnuuuuu这个级数就是原级数中的全体正项形成的级数，这个级数就

21、是原级数中的全体正项形成的级数，定理的证明过程表明定理的证明过程表明 1nnv是收敛的是收敛的同样可以引进以下级数同样可以引进以下级数 nnnnnuuw |2111请分析此级数和原级数的关系！请分析此级数和原级数的关系！由于由于 0 ,0 , 0|21nnnnnuuuuu原级数中的全体负项的绝对值形成的级数！原级数中的全体负项的绝对值形成的级数！同样由于同样由于 1nnu是绝对收敛的，且是绝对收敛的，且所以所以 nnnnnuuw |2111也是收敛的正项级数也是收敛的正项级数|0nnuw 1nnw用绝对收敛级数的全部正项或者全部的负项的相反数形成的新级数一定是收敛的正项级数.问题：如果用条件收

22、敛的级数构造如上的级数呢？问题：如果用条件收敛的级数构造如上的级数呢？ |2111nnnnnuuv nnnnnuuw |2111 1nnu条件收敛，即条件收敛，即 11|nnnnuu收敛收敛发散，发散，敛散性如何？敛散性如何？用条件收敛级数的全部正项或者全部的负项的相反数形成的新级数一定是发散的正项级数.注2定理定理8的逆命题不成立的逆命题不成立. 一般一般 1|nnu收敛收敛 1nnu 收敛收敛或者说或者说 1nnu 发散发散 1|nnu发散发散但是，若由比值或者根值审敛法断定但是，若由比值或者根值审敛法断定则可以保证则可以保证 1nnu 发散发散 1|nnu发散发散 1|nnu发散发散证明

23、：证明：比值或者根值审敛法断定比值或者根值审敛法断定若由比值或者根值审敛法断定若由比值或者根值审敛法断定那么那么 1nnu 发散发散 1|nnu发散发散是因为是因为0|lim nnu明显，假设明显，假设0|lim nnu0lim nnu必有必有所以，必有所以，必有 1nnu 发散发散注3因为绝对收敛必收敛，所以很多任意项级数的收因为绝对收敛必收敛，所以很多任意项级数的收敛性问题，就转化为正项级数的收敛性问题敛性问题，就转化为正项级数的收敛性问题.即：对某一个任意项级数，如果对通项取绝对值即：对某一个任意项级数，如果对通项取绝对值得到的新级数收敛正项级数），则原级数必收得到的新级数收敛正项级数）

24、，则原级数必收敛，而且是绝对收敛。敛，而且是绝对收敛。解解收敛收敛而而 121nn 12sinnnn故原级数故原级数例例 12sinnnn判别级数判别级数的敛散性的敛散性.任意项级数任意项级数21n 收敛收敛绝对收敛绝对收敛.2sinnn解解故故例例21)11(21)1(nnnnn 判别级数判别级数的敛散性的敛散性.根据根值审敛法根据根值审敛法所以所以2)11(21)1(nnnn 2)11(21nnn nnnn2)11(21 nn)11(21 )(21 ne1 0|nu0nu所以原级数发散所以原级数发散例例nnnn21)1()1(12)1( 1!)()2(nnnn解解 (1) 121nn又又所以原级数所以原级数 121nn收敛收敛.绝对收敛绝对收敛.是条件收敛还是绝对收敛是条件收敛还是绝对收敛.是等比级数是等比级数,判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性,对收敛级数要指明对收敛级数要指明nnnn21)1(2)1(1 解解因为因为又又!)!1()1(lim1nnnnnnn e nnnn 1lim(2)由正项级数的比值判别法知由正项级数的比值判别法知, 1!nnnn从而级数从而级数(2)由于使用的是比值判别法而判定的级数由于使用的是比值判别法而判定的级数(2)因而因而nn