(完整版)等腰三角形典型例题

1、等腰三角形1 如图，已知点C 为线段 AB 上一点，和都是等边三角形，AN 、 BM 相交Q于点O， AN 、 CM 交于点P， BM、 CN 交于点1 ）求证：2）求的度数3）求证：（ 1 ）欲证的度数可用的外角来求，但要注意全等所得到这一条件的使用（ 3 ）要，则，应该为一个等边三角形，可证明，从而得到1 ） 证明 ：和都是等边三角形，在和中，2 ）由（1 ）知，（ 3 ）在和中，又，即，【 点拨 】（ 1 ）要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等（ 2）本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对绕公共点旋转变换的三角形全等2 如图，在中 ,，的平分

2、线AM 的长 15，求 BC的长【 分析 】 由 AM 平分， 可得，则， 所以 在中， 可得由，可求出BC 的长解 ：在中，AM 平分，在中，【 点拨 】含 30 度的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要方法3 如图， 求证：分析 】根据已知“， ”联想到等腰三角形“三线合一”，通过辅助线将证明转化为证明证明 ：延长CE、 BA 交于点 F，在和中，即，在和中，【 点拨】（ 1 ）利用等腰三角形“三线合一”不仅能得到线段相等、角相等，而且能得到线段的倍半关系（ 2）联系等腰三角形“三线合一”作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用

3、的 辅助线ABC 中，AB=AC，在AB 边上取点D，在AC 延长线上取点E，使BD= CE，连结DE 交 BC于 G求证：DG=GE分析 】由于 ABC 是等腰三角形，D 为 AB 上一点，E 为 AC 延长线上一点，故可考虑过 D 或 E 作腰AC 或 AB 的平行线，通过构造等腰三角形，可获得结论证法 1 ：过 D 作 DF AC，交BC于 F（如图） DFB= ACB又 AB= AC， B= ACB B= DFB DB=DF CE= BD（已知）， DF=CE又 DGF= CGE， GDF= E， DFG ECG（ AAS） DG= GE证法 2：过 E作 EM AB 交 BC延长线于

4、M B= M又 AB= AC， B= ACB又 ACB= ECM， M = ECM EC=EM CE= BD（已知）， EM=BD在 BDG 与 MEG 中， BDG MEG（ AAS） DG= GE【 点拨 】（ 1 ）本题的证明方法很多，其思路是通过利用等腰三角形ABC 的底角相等并借助BD= CE条件，构造新的等腰三角形来寻求结论（ 2）本题在推证含DG、 GE为对应边的两个三角形全等时，寻找等边是一个难点，也是本题最易出错的地方，主要表现为把BD= CE这一条件直接作为三角形全等时的对应边5 已知：如图，ABC 中，AB=AC，A=36 °，仿照图（ 1 ） ，请你再设计两种

5、1）不同的方法，将ABC 分割成 3 个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（如图（ 2）图（2）（ 3）供画图用，作图工具不限，不要求写画法，不要求证明；要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）【 分析 】由于所给三角形是一个含36 °的等腰三角形，因而将它分成三个等腰三角形时仍只需考虑以36 °， 72 °， 108 °等为内角的等腰三角形即可解 ：本题显然应有多种结果，现提供3 种，以供同学们参考，如图中（2 ） 、 （ 3 ） 、 （ 4 ） ；【 点拨 】像本例这种图形的分割问题的求解，一方面应把握原图形的特征，借助经验予以解决，另一方面还应大胆尝试，在操作中获得结果6 如图，在一个宽度为的小巷内，一个梯子的长度为b ，梯子的脚位于P 点 将梯子的顶端放于一堵墙上Q 点时， Q 点离地面的高度为c， 此时梯子与地面的夹角为 将梯子顶端放于对面一堵墙上R 点， 离开地面的高度为d ， 此时梯子