(完整版)导数的概念及导数的几何意义.docx

1、§ 57导数的概念及导数的几何意义【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的 几何意义。【基础知识】1 . 一般地，函数 f(x)在区间xi,X2上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢)，或说在某个区间上曲线陡峭的程度；2 .不妨设P Cxi , f (xi ), Q (xo , f (xo )，则割线PQ的斜率为，设XIxo=Zx,则X I=x+xo, kpQ ,当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的f & )斜率就会无限逼近点 Q处切线斜率，即当无限趋近于 0时，kpQ Tfec由a无X限趋近点

2、Q处切线。f & )3 .曲线上任一点&o, f。)切线斜率的求法：k 上Mx)2 ，当 x无限趋近于0时，k值即为&o，f&0)处切线的，记为.称为；当无限趋近于0时,t) s(%)4.瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率：必ts (tn )bto时的；速度的平均变化率:tv(t )v(tc t) 。，当无限趋近于0时,S僚 t)无限趋近于一个常数，这个常数称为v(tv (t n )。 t) °无限趋近于一个常数，这个常数tt称为t=to时的.【基础练习】1 .已知函数f (x) ax2在区间1,2上的平均变化率为，则f(x)在区间因1上的平均变化

3、率为.2 . A、B两船从同一码头同时出发，A船向北,B船向东，若A船的速度为30km/h,B 船的速度为40km后，设时间为t则在区间Et bt 2上,A,B两船间距离变化的平均速度为 【典型例题讲练】例1.已知函数例)=2x+l,分别计算在区间F3 , -1, K), 5上函数f&)的平均变化率；.探求一次函数y=kx+b在区间Un, n上的平均变化率的特点；练习：已知函数f(x)=x 2+2x ,分别计算f&)在下列区间上的平均变化率；(1)1 , 2；(2) 3, 4 ；(3) - 1, 1；3 3【课堂检测】1 .求函数y f (x) 声在区间1,1+对内的平均变化率

4、2 .试比较正弦函数y二siix在区间0, _ 和上的平均变化率，并比较大小。63 2§ 58导数的概念及导数的几何意义【典型例题讲练】1 ?例2.自由落体运动的物体的位移s (单位：s)与时间t (单位：s)之间的关系是：s(t)=_giT(g2是重力加速度),求该物体在时间段Eti,句内的平均速度；1 9练习：自由落体运动的位移S任)与时间t(s)的关系为s=_gt22(1)求btos时的瞬时速度；(2)求t=3s时的瞬时速度；(3)求行3s时的瞬时加速度；例3.已知f(x)=x 2 ,求曲线在x=2处的切线的斜率。练习:1.曲线y=x 3在点P处切线斜率为k,当k=3时,P点的

5、坐标为.2 .若曲线y X的一条切线与直线 x 4 y 8 0垂直，则的方程为.3 .曲线y 2 4 x?与yx32在交点处切线的夹角是 .244 .已知函数f (x)2X31 x2 m (为常数)图象上处的切线与x y 30的夹角为，则点的2横坐标为.5 .曲线y=x3在点(1, 1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为 .6 .过曲线y x3 x 1上一点P的切线与直线 y 4x 7平行，则P点的坐标为.1例4.求f (x)下过点(1,1)的切线方程 X练习：过点P( 1,2)且与曲线y 3x24x2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是_【课堂小结】【课堂检测】1.求曲线

6、yx3 3x21在点(1, 1)处的切线方程2.已知函数f (x) x 3 bx2 ax d的图象过点P ( 0, 2),且在点M ( 1, f ( 1)处的切线方程为6x y 70 .求函数yf (x)的解析式;3.已知曲线f (x)«上的一点P (0,0)的切线斜率是否存在 ？说明理由【课堂作业】1 .与直线y 4x 1平行的曲线y x3 x 2的切线方程是_.1 12 .设曲线y二一和曲线y= 在它们交点处的两切线的夹角为，贝Itan的值为 .x2x3 .若直线y二是曲线y x3 3x2 ax的切线，则a二.4 .求曲线y x& l)(x 2)在原点处的切线方程

7、7;59导数的运算(1)【考点及要求】理解导数的运算，能根据导数的定义，求函数 y c, y x, y x 2 , y )的 x 导数；能利用导数数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数。【基础知识】1 .基本初等函数的求导公式：C ) , ； (x ) , (a 为常数)；&X), 3 o,a 1)(bg a x) 二，3 0, a 1)；注：当 a=e 时，(ex ), (hx ),(shx )， fcosx)2.法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的，即u (x) v(x).法则2 常数与函数的积的导数，等于常数与函数的 法则3两个函数的积的导数，等于第一

8、个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二 个函数的导数，即(L1(X)V(X)法则4两个函数的商的导数，等于，即U(v(x)0) I基0础练习】1.求下列函数导数.(4) y bg 3 x(5)y(6) y=sh (一+x) 2【典型例题讲练】G) y=sin - 3(8 ) y=cos(2 n x)1)(9)尸 f (1)例1 求下列函数的导数(2) y (2 x23)(3 x 2)；辆种方法)(3) y 5x10 sin x 3yx cos x 9 ； ( 4) y二一.sin x31练习：(1)求y二/在点x=3处的导数。 Q)求丫二 cosx的导数.x2 34x(3) .求尸

9、j的导数. (4) .求y 3X xhx的导数.X COSX【课堂检测】1 .设函数 f (x) x& k)(x 2k)(x 3k),且 f (0)6 ,则;2 .求下列函数的导数：(l)y= xX(2)y=23x2(4) y=(3)y= (4 x3 hx)60sx sh x)cos x§ 60导数的运算(2)例2.求满足下列条件的函数 f (x)(1) f (x)是三次函数，且 f(0)3, f0)3,f'(2) 0(2) f'(x)是一次函数，x2 f'(x)(2 x 1) f (x)1练习：已知函数f&)=x3+bx2+cx+d的图象过点

10、 P (0,2),且在点M处H , fH)处的切线方程为6xp+7=0 ,求函数的解析式例3.已知点P在函数 尸cosx的图象上(0< x< 2兀)，在点P处的切线斜率大于 0,求点P的横坐标的 取值范围.练习：已知函数 f (x) 屋-包屋 (a 3) x a2 ，且对x R, f (x)0 ,求证： 3 a 6例4.若直线y x b为函数y -图象的切线，求b的值和切点坐标. x练习：1.求曲线y二x 2在点(1,1)处的切线方程；2 .求曲线y二x2过点(0,-1)处的切线方程；3 .已知直线y x 1,点P为y=x2上任意一点，求P在什么位置时到直线距离最短;【课堂小结】【

11、课堂检测】1 .已知函数 f(x) ax3 3x 2 2 ,(-1)=4 ,则n112 .过抛物线y x上的点M Jj)的切线的倾斜角是.3 .对正整数n,设曲线y xn (1 x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为， 则数列一的 前n项和的公式是,4 曲线y 4和y x2在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是5 .已知曲线y二和这条曲线上的一点P。),求曲线y二在点P处的切线方程.【课堂作业】L若曲线y=x 1与y一x3在x=x°处的切线互相垂直，则xo等于.2 .求下列函数的导数：(1) y=g(l + cos2 x) (2) y=exhx3 .设函数 f(x)=ax3

12、+3x2+2,若 f (一 1)=4,试求 a 的值.4 .已知抛物线 产ax2+bx+c通过点(1,1),且在点一 1)处与直线y二x 3相切，求a、b、c的值.§ 61 导数在研究函数性质中的应用【考点及要求】熟练掌握导数在研究函数性质中的应用；通过数形结合的方法直观了解函数的单调性、极值、最值与导数的关系，会求不超过三次的多项式函数的单调区间，能在指定区间上确定不超过三 次的多项式函数的极值、最值。【基础知识】1 .用导数的符号判别函数增减性的方法：若 f(X)0 ,则函数f&)为，若f(X)0 ,则函数f (x)为;2 .求可导函数单调区间的一般步骤和方法：确定函数f

13、&)的；(2)求f(x),令f&)0 ,解此方程，求出它在定义域外区间内的一切；把上面的各实根按由的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x)的定义区间分成若干个小区间；确定f&)在各个小区间内的符号，根据 f(x)的判断函数f(x)在每个相应小区间内的增减性；3 .函数极值的定义：设函数 f6)在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有f&)f(xo)(或f(x) f(xo),就说f(xo)是函数f&)的一个极值；和统称为极值；4 .求可导函数 f(x)在a,b上的最大或最小值的一般步骤和方法：求函数f&)在g,b)上的值；将极值与区间端点的函数

14、值f (a), f (b)比较，确定最值。【基础练习】1 .若函数f(x)在区间(a,b)内是一个可导函数，则 f (x) > 0是f (x)在区间(a, b)内递增的条件.2 .如果函数fG)二X,- 8x?+c在1, 3上的最小值是一14,那么二.3 .已知a 0 ,函数f6) x3 ax在1,)是单调递增函数，则的最大 值是4 .函数f&) x3 ax2 bx a 2在x 1时，有极值io,那么a, b的值为5 .已知f&)=ax36ax?+b在1, 2上的最大值为3,最小值为一29,贝lj a二.【典型例题讲练】例1.已知函数f(x) x3 bx2 ax d的图象

15、过点P©,2), 且在点M ( l,f ( 1)处的切线方程为6x y 70 .(1)求函数y f &)的解析式；(2)求函数y f (x)的单调区间.练习：1.已知函数f (x) x5 ax3 bx 1,仅当x= -1及x=l时取得极值，且极大值比极 小值大4,求a、b的值。2.设f(x) x3 £ 2x 5 (1)求函数f&)的单调递增、递减区间; 2(2)当x£ 1, 2时，f(x) < m恒成立，求实数m的取值范围。 【课堂检测】1.函数f (x)x3 3x2 1是减函数的区间为2.函数f (x) x3 ax2 3x 9 ,已知f (

16、x )在x 3时取得极值,则3.函数y4x3 gx2 6x的单调递减区间为，极大值为，极小值为.4 .已知：f &)2x3 6x2 &(&为常数)在2,2上有最大值是3,那么2,2在上的最小值是5 . (1)函数yf&)的图象过原点且它的导函数 v f&)的图象是如图所示的一条直线，则yf(x)的图象的顶点在第象限9)如果函数f &)x3 bx的常数)在区间(0, 1)内单调递增，并且f&)0的根都在区间2, 2内，那么的范围是.6 .已知函数f&) x3 3x 2 9x a, (1)求f(x)的单调递减区间； C)若f&

17、)在区间2, 2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值§62导数在研究函数性质中的应用(2)【典型例题讲练】例2.已知函数f(x) 2x3 ax与g(x) bx2 c的图象都过点P0)且在点P处有相同 的切线.(1)求实数a, b,c的值；C)设函数F(x) f & ) g (x),求F & )的单调区间，并指出F & )在该区间上的单调性.练习：已知f&)是三次函数，g6)是一次函数，且 -1 g(x)= - x3+2x2+3x+7 , f&)在x=l处2有极值2,求f&)的解析式和单调区间。例3.设a为实数，函数f&) x

18、3 x2 x a.(1)求f6)的极值.9)当a在什么范围内取值时练习：已知向量at的取值范围.【课堂小结】【课堂检测】x2,曲线y f & )与x轴仅有一个交点.(1 X, t),若函数f & ) a b在区间(1,1)上是增函数，求1.函数f 6)x3ax 2已知f(X)在X3时取得极值，则2 .函数f &)x3 3x21是减函数的区间为.3 .函数 f &) ax31有极值的充要条件是.4.已知函数y xf &)的图象如右图所示(其中 f'(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中 y f&)的图象大致是()5.若函敷1 0-2

19、1 2【课外作皿16:1 一时，33- 2x 2+ m x,21»3x汽1.2.-2已知 lf&)=x(x+l)(x+2)&+3) &+口)&+5)，AB函数f & ) = x 4 2x 25在区间2,函数取得极大值，则m的值302-2则 f (。/-口3上的最大值与最小值分别是.3.已知函数2 2x + 3在区间a,4.5.设函数y=f(x)是一次函数，已知 &)二.已知函数y=3x3+2x2- 1在区间2上的最大值为3。则/等于.4,、' .f(0)=1 , f(l)= 一 3,则该函数的导数任，0)上是减函数，则m的取值范围是6.已知x 1(1)求m与n(3)当 x 范围.是函数f & ) 0,的关系式；1,1时，函数ym x 3 3 (m l)x