华中师范大学2013年随机过程试题A卷附答案(word文档良心出品)

1、华中师范大学2012 -2013学年第1学期期末考试试卷（A卷答案）课程名称应用随机过程课程编号83610101任课教师 李波得分评阅人判断题:（共5题，每题2分）题型 四五总分分值1026302410100得分1 .随机过程X （f,。）固定。时可以看成是一个f的函数，称为过程的一个轨道。（T ）2 .泊松过程是连续时间马氏链，是纯生过程的一个特例。（T ）3 .有限状态的马氏链状态的一个状态i如果正常返就是遍历。（F ）4 .零均值独立随机变量序列的部分和是鞅。（T ）5 .设片是标准布朗运动，则Yt =也是标准布朗运动。（F ）得分评阅人二、证明题：（共3题，6、7题8分8题10分,）6

2、. 14.设X4）和X?（/）是分别具有参数4和4的相互独立的泊松过程，证明（1）Y（t） = X（t） + X2（t）是具有参数4 +区的泊松过程；（2）证明Z（f） =不是泊松过程。证明 显然丫。）是独立增量过程，且Py（rT）y（f）= =PX (t+r)+X2(r + r)-Xt)-X2(t) = =PX(r + z) - X(7)+ X2(t + r) X2(0 = =W PX2(t + r)-X2(t) = n-i.pX + r)- Xt) = / z=o=y e- (卬) u(石尸h，！(一，)！(十.)乃”故丫服从参数(4 +人)的泊松过程。5分n(2) EZ(t) = EXi

3、(t) X2(01 = EX(Z) EX式f) = (4 )f,Z(/) = DX1(/)-X2(/)=ox1(/)+DX2(t)=(4 + A2)/由于EZ(f)wOZ(f),故Z(f)不是泊松过程。8分7 .设X()= sin。/ e N ,这里U为(0,2乃)上的均匀分布。证明X()= smUn是宽平稳过程。Q笊IEX ()= sill tn dt = 0J。2兀EX(n)X(/? + r) = f- siii(/n)sm(77 += I cos(2n + r)t + cosrfcltJo2万 Jo24户才1= COSTtdt只与T有关。所以是宽平稳过程。8分J。27t8 .设Z,.,i

4、 = 1,2,为一串独立同分布的离散随机变量,Pj=k)=Pk，女= 0,1,2,记状态空间0,1,2,Xn = y zf. , X。= 0试证X为马氏链，写出X”的状态空间和转移矩阵。 1=1|Po Pl P2 P3 Po Pl P2 转移矩阵。=00 I% Pi 000Po Pi k7证明：独立增量所以马氏第1页供3页)得分 评阅人三、计算题：（共3题，每题10分）9 .某网站以顾客的接入时长收费，每单位时间一元钱。假设顾客以强度2的Poisson过程N（f）进入该网站，进入即开始计算使用时长，试计算该网站（0J收益的期望。解:由题意设顾客的到达时间为3.，则使用时长为t-Ti总收费为 h

5、lE（S） = EZ Q-rj= EE （，F ） I NQ） A-lIN0石Z（/ 一 ）I N=nt- E（Z“ I N（t） = n A-lJt-1由定理在N（t）=n条件下个q的联合分布等价与O.t上个相互独立服从均匀分布的随机变量的联合分布。所以可计算EIX rk N（f） = n=反之Uk = n1x-dx =-ii-i, ，28,t xt/L七（S（。）=力。，一?N（“ = = ：*2NQ） = 二n-l 22 ；|.1211.设河流每年的BOD （生物耗氧量）浓度为齐次Maikov链，状态空间1=1, 2, 3,是按BOD浓 度为低，中，高分别表示的，BOD浓度高时河流视为被污染，其一步转移概率矩阵（以一年为单位）为-0.9 0.05 0.05一P= 0.1 0.80.10.2 0.10.71）求该Maikov链的平稳分布2）求河流再次达到污染的平均时间（即状态3的平均返回时间）。解：1）易知此Markov链式遍历的，则平稳分