位移法和力矩分配法

1、All Rights Reserved重庆大学土木工程学院6.1 概述概述 对于线弹性结构，体系中杆件的对于线弹性结构，体系中杆件的内力分布与其变形之间内力分布与其变形之间存在着一一对应的关系存在着一一对应的关系。在结构分析时，可以根据位移。在结构分析时，可以根据位移变变形形内力之间对应的函数关系，利用某些结点位移表达出杆内力之间对应的函数关系，利用某些结点位移表达出杆件变形，据此以寻求内力分布。件变形，据此以寻求内力分布。 位移法计算中重要的一环内容位移法计算中重要的一环内容在于杆件变形分布的描述在于杆件变形分布的描述。线弹性体系杆件的变形可以由杆端位移和其上作用的荷载分线弹性体系杆件的变形

2、可以由杆端位移和其上作用的荷载分布惟一确定布惟一确定。由于荷载分布对内力和变形的影响比较容易确。由于荷载分布对内力和变形的影响比较容易确定，因此，关注的焦点在于杆件的杆端位移值对变形分布的定，因此，关注的焦点在于杆件的杆端位移值对变形分布的影响。体系中各杆件的杆端位移可以通过结点和支座的位移影响。体系中各杆件的杆端位移可以通过结点和支座的位移表达，因而，当支座位移和结点位移确定后，体系中所有的表达，因而，当支座位移和结点位移确定后，体系中所有的杆件都将具有一个明确的杆端位移值。杆件都将具有一个明确的杆端位移值。第第6章位移法章位移法All Rights Reserved重庆大学土木工程学院AA

3、AqBDCABAAAAACAADqA 对整个结构来说，求解的关键就是如何确定基本未知量对整个结构来说，求解的关键就是如何确定基本未知量A的值。的值。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院BAABABBMABFNABABQFAP3FBFP2P3FP1FABAMBANFFQBAABAFP3BBBABAlAB2BB1A1AA11BB2A11BB2从刚架中取出杆件从刚架中取出杆件AB进行分析进行分析All Rights Reserved重庆大学土木工程学院在位移法分析中，需要解决的三个问题：在位移法分析中，需要解决的三个问题： 选取结构上哪些结点位移作为基本未知量。选取结构上哪些

4、结点位移作为基本未知量。确定杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间的函确定杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间的函数关系（单元分析）。数关系（单元分析）。建立求解这些基本未知量的位移法方程（整体分析）。建立求解这些基本未知量的位移法方程（整体分析）。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院6.2等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程应用位移法需要解决的一个关键问题是：确定杆件的杆端内力与杆端位应用位移法需要解决的一个关键问题是：确定杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间的函数关系，即杆件的转角位移方程，也就是位移法移及杆上荷载之间的函数关系，即杆件的转角位移方程，

5、也就是位移法计算中单元分析的过程。计算中单元分析的过程。6.2.1 杆端内力及杆端位移的正负号规定杆端内力及杆端位移的正负号规定1）杆端内力的正负号规定）杆端内力的正负号规定杆端弯矩对杆端而言，以杆端弯矩对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负顺时针方向为正，反之为负。对结点。对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。杆端剪力和杆或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。ABABMMBAABEI, l弦转角BABAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院2）杆端位移的正负号规定）杆端位移

6、的正负号规定ABABMMBAABEI, l弦转角BAB角位移以顺时针为正，反之为负。角位移以顺时针为正，反之为负。 线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动的线位移为正，反之为负。例如，图中，的线位移为正，反之为负。例如，图中，AB为正。为正。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院6.2.2 一般等截面直杆杆单元的转角位移方程一般等截面直杆杆单元的转角位移方程2BB11A2BB11AAABBBBP3FAABBAQFFNBAMBAFP3AFQABABNFABM 位移法中，内力分布与变形对应，而变形则会受到杆端位位移法中，内

7、力分布与变形对应，而变形则会受到杆端位移的影响，为了描述上的方便，在计算中一般利用一个两端固移的影响，为了描述上的方便，在计算中一般利用一个两端固定的杆单元来描述体系中的一般杆件，杆端位移即可以根据该定的杆单元来描述体系中的一般杆件，杆端位移即可以根据该杆单元的支座位移来表达杆单元的支座位移来表达 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院由荷载或温度变化引起的杆端内力称为由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数载常数。其中的。其中的杆端弯矩也常称为固端弯矩，用杆端弯矩也常称为固端弯矩，用 和和 表示；杆端表示；杆端剪力也常称为固端剪力，用剪力也常称为固端剪力，用 和和 表示。

8、常见荷表示。常见荷载和温度作用下的载常数列入表载和温度作用下的载常数列入表6.1中。中。 FABMFBAMFABFQFBAFQ由杆端单位位移引起的杆端内力称为由杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数形常数，列入表，列入表6.1中。表中引入记号中。表中引入记号i=EI/l，称为杆件的，称为杆件的线刚度线刚度。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院BAQFABQFABMMBABABqABPFEI= /lAlMB1利用表利用表6.1中的形常数与载常数，可得中的形常数与载常数，可得FBABABAFABBAABFBABABAFABBAABFlililiFFlililiFMliiiMM

9、liiiMQ2QQ2Q12661266642624All Rights Reserved重庆大学土木工程学院6.2.3 特殊等截面直杆杆单元的转角位移方程特殊等截面直杆杆单元的转角位移方程 若在结构中存在非刚性结点和非固定支座时，即体系若在结构中存在非刚性结点和非固定支座时，即体系出现了铰结点和定向结点（对应于支座位置，则为可动铰出现了铰结点和定向结点（对应于支座位置，则为可动铰支座、固定铰支座或定向支座），在杆端力的几个分量中支座、固定铰支座或定向支座），在杆端力的几个分量中则会出现某杆端力分量为已知的现象。则会出现某杆端力分量为已知的现象。ABCD 即在这样的单元中，式（即在这样的单元中，

10、式（6.1）的三个函数关系将不再）的三个函数关系将不再完全独立，由于其中一个方程左端项（杆端力）为已知，完全独立，由于其中一个方程左端项（杆端力）为已知，那么在杆端位移中，将只能存在两个独立的未知杆端位移那么在杆端位移中，将只能存在两个独立的未知杆端位移分量，而剩余的另一个杆端位移一定可以由这两个独立杆分量，而剩余的另一个杆端位移一定可以由这两个独立杆端位移来线性描述。端位移来线性描述。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院ABCD 由于位移法计算过程的计算量在很大程度上取决于基由于位移法计算过程的计算量在很大程度上取决于基本未知量的数目，上述情形的存在，使得在计算中可以

11、根本未知量的数目，上述情形的存在，使得在计算中可以根据单元杆端的约束模式，在计算前对基本未知量进行筛选，据单元杆端的约束模式，在计算前对基本未知量进行筛选，去除非独立的杆端位移分量，以减少计算线性方程组的工去除非独立的杆端位移分量，以减少计算线性方程组的工作量。由此即在一般杆元的基础上衍生出了两种特殊杆单作量。由此即在一般杆元的基础上衍生出了两种特殊杆单元模型。元模型。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院1) 一端固定另一端铰支杆单元一端固定另一端铰支杆单元AMAqFPBAMABFQABlFQBAEIB(非独立角位移)1BFBAABAFABAABBAFABAABFlili

12、FFliliFMMliiMQ2QQ2Q3333033All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2) 2) 一端固定另一端定向支承杆单元一端固定另一端定向支承杆单元ABMlAAMqPFAEIABQFB(非独立线位移)BB10QQQBAFABABFBABABAFABBAABFFFMiiMMiiMAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院在在3种杆单元模型中，第一种即种杆单元模型中，第一种即两端固定支承梁的模两端固定支承梁的模型在不考虑轴向变形时具有三个未知杆端位移型在不考虑轴向变形时具有三个未知杆端位移，它完全可，它完全可以取代后两种衍生模型。若全部用第一种单元模型

13、进行计以取代后两种衍生模型。若全部用第一种单元模型进行计算，在位移法分析时所有单元的杆端位移描述和转角位移算，在位移法分析时所有单元的杆端位移描述和转角位移方程将具有一致的形式，对应的计算方法可以较为容易地方程将具有一致的形式，对应的计算方法可以较为容易地移植到计算机化的程序分析中；但用于手算时，却会导致移植到计算机化的程序分析中；但用于手算时，却会导致因未知量数目较多，而计算量偏大的情况。因未知量数目较多，而计算量偏大的情况。一端固定一端铰支、一端固定一端定向支承模型的引一端固定一端铰支、一端固定一端定向支承模型的引入，则可以简化分析计算量，所以手算时一般都会使用这入，则可以简化分析计算量，

14、所以手算时一般都会使用这两种衍生模型来进行计算。但应该注意形常数与载常数的两种衍生模型来进行计算。但应该注意形常数与载常数的选用必须与所选择的杆件单元模型相对应。选用必须与所选择的杆件单元模型相对应。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院杆端剪力，根据平衡条件导出为杆端剪力，根据平衡条件导出为0QQ0QQ)()(BABAABBAABBAABABFlMMFFlMMFAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院6.3 位移法的基本概念位移法的基本概念 6.3.1 位移法的基本未知量位移法的基本未知量 如果结构中每根杆件两端的杆端角位移和杆端相对如果结构中每根杆件两

15、端的杆端角位移和杆端相对线位移都已求得，则全部杆件的内力即可确定。在位移线位移都已求得，则全部杆件的内力即可确定。在位移法中，基本未知量应是各结构的角位移和线位移法中，基本未知量应是各结构的角位移和线位移 lynnnAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院1) 结点角位移的确定结点角位移的确定 未知独立的结点角位移在通常情况下对应于体系中的刚未知独立的结点角位移在通常情况下对应于体系中的刚结点，但须注意，当有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹结点，但须注意，当有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹性支座的转角时，应一并计入在内。性支座的转角时，应一并计入在内。 结构固定支座处，因其

16、转角等于零或为已知的支座移动结构固定支座处，因其转角等于零或为已知的支座移动值，不应计入；值，不应计入； 铰结点或铰支座处，因其转角不是独立的，引入特殊杆铰结点或铰支座处，因其转角不是独立的，引入特殊杆端约束模式下杆单元模型（一端固定、一端铰支单元）后，端约束模式下杆单元模型（一端固定、一端铰支单元）后，其杆端转角也不再作为位移法的基本未知量。其杆端转角也不再作为位移法的基本未知量。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院C C C CFGC4ZZ32ZBZ1EDABCCGGFBB11D12EDAPFAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院2) 结点线位移的

17、确定结点线位移的确定 确定位移法中线位移未知量的方法：确定位移法中线位移未知量的方法：由观察确定由观察确定。即。即设定体系中设定体系中每一个结点在平面坐标系的两个主轴方向上最每一个结点在平面坐标系的两个主轴方向上最多可能具有两个线位移多可能具有两个线位移，然后，然后筛选出其中的未知、独立分筛选出其中的未知、独立分量量。主要考虑以下的筛选原则：。主要考虑以下的筛选原则： 因刚性支座的存在，线位移为零或为已知值（对应于因刚性支座的存在，线位移为零或为已知值（对应于支座移动）的不计入未知量；支座移动）的不计入未知量； 因轴向变形忽略不计而多个结点线位移相同的，则因轴向变形忽略不计而多个结点线位移相同

18、的，则只计其中一个；只计其中一个； 定向支承杆端力已知，对应的线位移非独立，不计定向支承杆端力已知，对应的线位移非独立，不计入独立的线位移内。入独立的线位移内。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院Z4EA6ZZ812ZZ102ZZ13ZZ57ZZ119Z5ZZ3EAAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院6.3.2 位移法的基本结构和基本体系位移法的基本结构和基本体系 为了为了在分析过程有效在分析过程有效控制控制结构中结构中每一结点位移每一结点位移，通过，通过在体系中在体系中增设附加约束来增设附加约束来控制结点位移的发生。控制结点位移的发生。 增设了附加

19、约束的结构模型，即为位移法计算中的基增设了附加约束的结构模型，即为位移法计算中的基本结构本结构。 附加约束：角位移处的附加刚臂和线位移处的附加支附加约束：角位移处的附加刚臂和线位移处的附加支杆。杆。 附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结点附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结点和组合结点上，人为地加上的一个能控制其角位移和组合结点上，人为地加上的一个能控制其角位移( (但并但并不阻止其线位移不阻止其线位移) )的附加约束的附加约束 附加支杆，就是在每个可能发生独立线位移的结点上附加支杆，就是在每个可能发生独立线位移的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能控制其线位移大小沿线位移

20、的方向，人为地加上的一个能控制其线位移大小的附加支座链杆。的附加支座链杆。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院a)原结构及其基本未知量原结构及其基本未知量b)基本结构基本结构2ZZ41Z5Z6ZZ3ACFGDHEBFCADGHEBAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院 通过控制基本结构上的附加约束，令其发生与原结构相通过控制基本结构上的附加约束，令其发生与原结构相同的结点位移，从而形成一个在荷载与结点位移共同作用下同的结点位移，从而形成一个在荷载与结点位移共同作用下的，与原结构变形完全相同的受力模型。该受力模型即为位的，与原结构变形完全相同的受力模型。

21、该受力模型即为位移法计算中的基本体系，移法计算中的基本体系，基本体系与原结构完全静力等效基本体系与原结构完全静力等效。6.3.3 位移法的基本方程与基本原理位移法的基本方程与基本原理基本体系的变形与原结构完全一致，其受力也完全相同。基本体系的变形与原结构完全一致，其受力也完全相同。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院1) 只有一个结点角位移的情况只有一个结点角位移的情况 图示图示(a)结构，具有一个独立的未知结点角位移，不存结构，具有一个独立的未知结点角位移，不存在结点线位移。根据基本结构的概念，在角位移处增设刚在结点线位移。根据基本结构的概念，在角位移处增设刚臂，得基本

22、结构臂，得基本结构 APFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAAPFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAAPFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F =0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAa)原结构原结构c)基本体系基本体系b)基本结构基本结构 荷载作用下，原结构变形图如图荷载作用下，原结构变形图如图(a)所示，则其基本体系所示，则其基本体系应如图应如图 (c)所示。当刚臂转角与原结构所示。当刚臂转角与原

23、结构A点转角相同时，图点转角相同时，图(a)与图与图(c)变形、内力均完全相同。变形、内力均完全相同。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院0P1111FFFCBAFPF1P1Z1ZCBA11FZ11Z=0F1PFCABZ1Z1 根据叠加原理，基本体系的变形可以由荷载和角位移根据叠加原理，基本体系的变形可以由荷载和角位移Z1分别作用在基本结构这两个独立受力状态下的变形结果的叠分别作用在基本结构这两个独立受力状态下的变形结果的叠加加 由于基本体系与原结构由于基本体系与原结构完全静力等效，基本体系中完全静力等效，基本体系中角位移位置处的附加刚臂不角位移位置处的附加刚臂不可能存在

24、外力，必然有可能存在外力，必然有 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院1ZF11ABCZ1Z1CBA11k11Z11形常数，将形常数，将Z1角位移作用下的变形图利用单位角位移作用下的变形图来表示角位移作用下的变形图利用单位角位移作用下的变形图来表示 11111ZkF 从而得到从而得到0P1111 FZk 这就是求解基本未知量这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其实质的位移法基本方程，其实质是表达了基本体系在结点位移处的平衡条件是表达了基本体系在结点位移处的平衡条件 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院i 24i2ii 4=11ZCBAAF1PP

25、F l88lFPPF l88lFP1PFPFCBAk11k11Ai 44i8PP1lFFiiik84411ilFkFZ64P111P1All Rights Reserved重庆大学土木工程学院11kABCFPF1PPF l88lFPPF l88lFP1PFAABCZ1=14ii 2i 42ik11Ai 44i16lFPPF l64PF l1616lFP32lFP9BCAMP图图 1M图图M图图结构的最后弯矩可由叠加公式计算结构的最后弯矩可由叠加公式计算 P11MZMMAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院 图示刚架的基本未知量为结点图示刚架的基本未知量为结点C、D的水平线位

26、移的水平线位移Z1。在结点。在结点D加一附加支座链杆，就得到基本结构。其相应的基本体系如图加一附加支座链杆，就得到基本结构。其相应的基本体系如图所示，它的变形和受力情况与原结构完全相同。所示，它的变形和受力情况与原结构完全相同。 01P111FZk位移法方程位移法方程 1ZCADBEIEI=EA20kN/m6mZ11ZABDCABCD20kN/mF1=0All Rights Reserved重庆大学土木工程学院1ZEI1212EI1PF90(90)CABDBADC4572EI11kDCEI72F1PQFFDB=0=CAFFQDCk11=1kN1PQQ45kN045 kNFFCADBFFF 36

27、727211EIEIEIkAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院将将k11和和F1P的值代入位移法方程式，解得的值代入位移法方程式，解得EIZ16201P11MZMM135CABD225(90)M (kN.m)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院6. 4 位移法的典型方程位移法的典型方程 =02FZ22ZqZ11ZF1=0qlCDBAll/2/2l1ZqlZ2CDBAq(a) 原结构原结构 (b) 基本结构基本结构 (c) 基本体系基本体系基本体系上附加刚臂的反力矩基本体系上附加刚臂的反力矩F1及附加支杆的反力及附加支杆的反力F2都应等于零都应等于零

28、即即F1=0和和F2=0 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 设基本结构由于设基本结构由于Z1、Z2及荷载单独作用，引起相应于及荷载单独作用，引起相应于Z1的附加刚臂的反力矩分别为的附加刚臂的反力矩分别为F11、F12及及F1P，引起相应，引起相应于于Z2的附加支座链杆的反力分别为的附加支座链杆的反力分别为F21、F22及及F2P。根据。根据叠加原理，可得叠加原理，可得002P222121P12111FFFFFFFFqABDC2ZqlZ1l/2/2llABDCql=01FZ11ZqZ22ZZ22ZqF111Zql1PFABDCF2P1ZZ1BADC21FBCAD12FA

29、ll Rights Reserved重庆大学土木工程学院 又设单位位移又设单位位移Z1=1及及Z2=1单独作用时，在基本结构附加刚臂上单独作用时，在基本结构附加刚臂上产生的反力矩分别为产生的反力矩分别为k11及及k21，在附加支座链杆中产生的反力分别，在附加支座链杆中产生的反力分别为为k12及及k22，则有，则有 将式（将式（b）代入式（）代入式（a），得），得002P222121P12111FFFFFFFF(a)22222121212121211111,ZkFZkFZkFZkF(b)002P2221211P212111FZkZkFZkZk上式称为位移法典型方程上式称为位移法典型方程 All

30、Rights Reserved重庆大学土木工程学院 其物理意义是：基本体系每个附加约束中的反其物理意义是：基本体系每个附加约束中的反力矩和反力都应等于零。因此，力矩和反力都应等于零。因此，它实质上反映了原它实质上反映了原结构的静力平衡条件结构的静力平衡条件。002P2221211P212111FZkZkFZkZk位移法典型方程位移法典型方程 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院F1P=0ql8228ql28qlqlBACDq=11Z=711kii 43i2ik12=l6ii 6lli 6BADCBADC3ilq2ql0=2PFql26ilBC0k21=li 6BCCBli

31、12223il215ilk22=Z2=121kF2P22k02156006722121qlZliZliZliiZ联立解以上两个方程求联立解以上两个方程求出出Z1和和Z2后，即可按叠后，即可按叠加原理作出弯矩图加原理作出弯矩图 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 对于具有对于具有n个独立结点位移的结构，相应地在基本结构中需加入个独立结点位移的结构，相应地在基本结构中需加入n个附加个附加约束，根据每个附加约束的附加反力矩或附加反力都应为零的平衡条件，同样约束，根据每个附加约束的附加反力矩或附加反力都应为零的平衡条件，同样可建立可建立n个方程如下：个方程如下： 上式即为典型方

32、程的一般形式。式中，主斜线上的系数上式即为典型方程的一般形式。式中，主斜线上的系数kii称为主称为主系数或主反力；其他系数系数或主反力；其他系数kij称为副系数或副反力；称为副系数或副反力；FiP称为自由项。称为自由项。 000P2211P22222121P11212111nnnnnnnnnnFZkZkZkFZkZkZkFZkZkZkAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院 系数和自由项的符号规定是：以与该附加约束所设系数和自由项的符号规定是：以与该附加约束所设位移方向一致者为正。主反力位移方向一致者为正。主反力kii的方向总是与所设位移的方向总是与所设位移Zi的方向一致，故

33、恒为正，且不会为零。副系数和自由的方向一致，故恒为正，且不会为零。副系数和自由项则可能为正、负或零。此外，根据反力互等定理可知，项则可能为正、负或零。此外，根据反力互等定理可知，kij=kji。 000P2211P22222121P11212111nnnnnnnnnnFZkZkZkFZkZkZkFZkZkZkAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院 选择基本体系选择基本体系。加附加约束，锁住相关结点，使之不发。加附加约束，锁住相关结点，使之不发生转动或移动，而得到一个由若干基本的单跨超静定梁组成的生转动或移动，而得到一个由若干基本的单跨超静定梁组成的组合体作为基本结构（可不单

34、独画出）；使基本结构承受原来组合体作为基本结构（可不单独画出）；使基本结构承受原来的荷载，并令附加约束发生与原结构相同的位移，即可得到所的荷载，并令附加约束发生与原结构相同的位移，即可得到所选择的基本体系。选择的基本体系。 建立位移法的典型方程建立位移法的典型方程。根据附加约束上反力矩或反力。根据附加约束上反力矩或反力等于零的平衡条件建立典型方程。等于零的平衡条件建立典型方程。 求系数和自由项求系数和自由项。在基本结构上分别作出各附加约束。在基本结构上分别作出各附加约束发生单位位移时的单位弯矩图图和荷载作用下的荷载弯矩图发生单位位移时的单位弯矩图图和荷载作用下的荷载弯矩图MP图，由结点平衡和截

35、面平衡即可求得。图，由结点平衡和截面平衡即可求得。 解方程解方程，求基本未知量（，求基本未知量（Zi）。）。 6.5.1 典型方程法的计算步骤典型方程法的计算步骤6.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力 确定基本未知量数目确定基本未知量数目：n=ny+nl。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院作最后内力图作最后内力图。按照。按照叠加得出最后弯矩图；根据弯矩图作出剪力图；利用剪力图叠加得出最后弯矩图；根据弯矩图作出剪力图；利用剪力图根据结点平衡条件作出轴力图。根据结点平衡条件作出轴力图。 P2211MZMZMZMMnn校

36、核校核。由于位移法在确定基本未知量时已满足了变形协调。由于位移法在确定基本未知量时已满足了变形协调条件，而位移法典型方程是静力平衡条件，故通常只需按平条件，而位移法典型方程是静力平衡条件，故通常只需按平衡条件进行校核。衡条件进行校核。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院6.5.2举例举例【例【例6.16.1】试用典型方程法计算图所示连续梁，并作弯矩图，各杆】试用典型方程法计算图所示连续梁，并作弯矩图，各杆EIEI为常数。为常数。ABC8m15kN/m8m【解解】(1) 确定基本未知量数目该连续梁的基本未知量为结点B的转角Z1，即n=1。All Rights Reserve

37、d重庆大学土木工程学院(2) 确定基本体系。确定基本体系。基本体系如图所示。基本体系如图所示。由于由于超静定结构在荷载作用下的内力分布与杆件的相对刚度相关超静定结构在荷载作用下的内力分布与杆件的相对刚度相关，因此，分析，因此，分析时可令时可令i=1，根据杆件的相对刚度进行计算，如图所示。但需要注意，在相对刚，根据杆件的相对刚度进行计算，如图所示。但需要注意，在相对刚度设定后，计算得到的未知量将不再直接对应于结点的真实位移数值，而是一个度设定后，计算得到的未知量将不再直接对应于结点的真实位移数值，而是一个与所设定的相对刚度对应的数值。与所设定的相对刚度对应的数值。ABC15kN/m1Z=i EI

38、/8=1=1i(3) 建立典型方程建立典型方程01P111FZkAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院(4) 求系数和自由项求系数和自由项Z1CBA=0120(120)342=1ABC1Z711k120P1F(5) (5) 解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量将以上各系数及自由项之值代入典型方程，解得将以上各系数及自由项之值代入典型方程，解得143.171ZAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院(6) 作最后弯矩图作最后弯矩图34.29(120)68.57ABCM图（图（kN m）在本例的求解中，在本例的求解中，BC杆采用了一端固定一端铰支的单元，减

39、少了杆采用了一端固定一端铰支的单元，减少了位移法分析的计算量，在计算中也可以直接使用一般杆单元（即两位移法分析的计算量，在计算中也可以直接使用一般杆单元（即两端固定端杆元）进行分析，只是计算量会增加，但不会改变计算结端固定端杆元）进行分析，只是计算量会增加，但不会改变计算结果。果。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例6.2】试对上例所有杆元使用统一的一般杆单元模型进行位移法分析。】试对上例所有杆元使用统一的一般杆单元模型进行位移法分析。【解【解】(1) (1) 确定基本未知量数目确定基本未知量数目在本例分析中基本未知量将确定为所有的未知结点位移，而非未知独在本例分

40、析中基本未知量将确定为所有的未知结点位移，而非未知独立结点位移，因此，该连续梁的基本未知量为体系中所有可能发生的结点立结点位移，因此，该连续梁的基本未知量为体系中所有可能发生的结点位移，即结点位移，即结点B B的转角的转角Z Z1 1和结点和结点C C的转角的转角Z Z2 2。因此，。因此，n n=2=2(2) (2) 确定基本体系确定基本体系基本体系如图所示。基本体系如图所示。ABC15kN/mZ21ZABC8m15kN/m8mAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3) (3) 建立典型方程建立典型方程根据结点根据结点B B和结点和结点C C附加刚臂上反力偶均为零的平衡

41、条件，有附加刚臂上反力偶均为零的平衡条件，有002P2221211P212111FZkZkFZkZk(4) 求系数和自由项求系数和自由项2Z=080C2Z=0=024Z242=1AB1ZZ1CBA=124(120)80=0ABC1Z811k212k80P1F221k422k80P2FAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院(5) (5) 解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量Z Z1 1和和Z Z2 2将以上各系数及自由项之值代入典型方程，解得将以上各系数及自由项之值代入典型方程，解得143.171Z572.282Z (6) 作最后弯矩图作最后弯矩图CBA68.57(120

42、)34.29All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例6.3】试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图。设】试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图。设EI=常数。常数。 解：解： (1)确定基本未知量数目确定基本未知量数目可以利用对称性取结构的可以利用对称性取结构的1/4部分进行计算，其基本未知量只有部分进行计算，其基本未知量只有结点结点A的转角的转角Z1。 llqABCDEFEI=常数=常数EIlql/2G2BAiiql1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql

43、2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql()(ql82)(ql8228ql()llqABCDEFEI=常数=常数EIlql/2G2BAiiql1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql()(ql82)(ql8228ql()All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)选择基本体系选择基本体系 llqABCDEFEI=常数=常数EIlql/2G2BAiiq

44、l1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql()(ql82)(ql8228ql()c)基本体系基本体系llqABCDEFEI=常数=常数EIlql/2G2BAiiql1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2ADBEFC29ql28ql()(ql82)

45、(ql8228ql()d)M1图图e)MP图图(kNm)(3)建立典型方程建立典型方程 01P111FZk(4)求系数和自由项求系数和自由项 iiik6241121P121qlF(5)解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量 iqlZ7221All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(6)作最后弯矩图作最后弯矩图llqABCDEFEI=常数=常数EIlql/2G2BAiiql1Zqi 2iBAGk11Z1=1i 4i 2i 22iGABql122F1PGAB212qlql24236ql22ql362ql36ql92236ql2ql362ql1818ql22ql1818ql2AD

46、BEFC29ql28ql()(ql82)(ql8228ql()All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例6.4】试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图，】试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图，EI为常数。为常数。EIEIEI22EIEDCBA4m5m2m2m120kN16kN/m【解【解】(1) (1) 确定基本未知量数目确定基本未知量数目 此刚架的基本未知量为结点此刚架的基本未知量为结点B B和和C C的角位移的角位移Z Z1 1和和Z Z2 2，即，即n n=2=2。 (2) (2) 确定基本体系，如图所示。确定基本体系，如图所示。EDCBA120kN16kN/m

47、Z12Zi=1.6=2ii=1=1iAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院 (3) 建立典型方程建立典型方程 根据基本体系每个附加刚臂的总反力矩为零的条件，可列出位移法方程如下：根据基本体系每个附加刚臂的总反力矩为零的条件，可列出位移法方程如下：00P2222121P1212111FZkZkFZkZk(50)Z1=02Z=0602ZZ1ABCDE=1=04.848244284=0=1EDCBA(120)50DCBA601Z2ZE (4) 求系数和自由项求系数和自由项k11 = 4.848 = 16.8 k k2121 = = 4 4k12 = 4 k22 =8+4 = 12

48、 F1P=5060=10kNm F2P = 60 kNm All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(5) 解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得 Z Z1 1 = = 1.941.94，Z Z2 2 = =5.655.65(6) 作最后弯矩图作最后弯矩图11.3E3.97.867.1ABCD59.3(120)22.6(50)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例6.5】试用典型方程法计算图示等高排架。】试用典型方程法计算图示等高排架。 解：解： (1)确定基本未知

49、量数目确定基本未知量数目ABDCEFh1PF1EIEI2EA=EA2hh3FPFPFPACBDEFACBDEFACBDEFZ1F1P=1Z111kh21EI1332EI22hh23EI33EI3k110001PF31EI13hh32EI23h33EI33b)基本体系基本体系a)原结构原结构只有一个独立的结点线位移未知量，即只有一个独立的结点线位移未知量，即A、C、E的水平位移的水平位移Z1。 (2)确定基本体系，如图确定基本体系，如图b所示所示 (3)建立典型方程建立典型方程01P111FZkAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院(4)求系数和自由项求系数和自由项ABDCE

50、Fh1PF1EIEI2EA=EA2hh3FPFPFPACBDEFACBDEFACBDEFZ1F1P=1Z111kh21EI1332EI22hh23EI33EI3k110001PF31EI13hh32EI23h33EI33331211333311233333iiiEIEIEIEIkhhhhp1PFF(5)解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量Z1313P111P13iihEIFkFZ(6)按叠加原理即可作出弯矩图。按叠加原理即可作出弯矩图。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院令令 33iiihEI式中，式中，ri为当排架柱顶发生单位侧移时，各柱柱顶产为当排架柱顶发生单位

51、侧移时，各柱柱顶产生的的剪力，它反映了各柱抵抗水平位移的能力，生的的剪力，它反映了各柱抵抗水平位移的能力，称为排架柱的称为排架柱的侧移刚度系数。侧移刚度系数。 于是，各柱顶的剪力为于是，各柱顶的剪力为P1QFZFiiiiAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院再令再令iii称为第称为第i根柱的剪力分配系数，则各柱所分配得的柱顶剪力为根柱的剪力分配系数，则各柱所分配得的柱顶剪力为 PQFFii（i=1，2，3） 以上分析表明，当等高排架仅在柱顶受水平集中力作用时，可首以上分析表明，当等高排架仅在柱顶受水平集中力作用时，可首先求出各柱的剪力分配系数；然后由算出各柱顶剪力先求出各柱

52、的剪力分配系数；然后由算出各柱顶剪力FQi；最后把；最后把每根柱视为悬臂梁绘出其弯矩图。这样就可不必建立典型方程而每根柱视为悬臂梁绘出其弯矩图。这样就可不必建立典型方程而直接得到解答。这一方法称为直接得到解答。这一方法称为剪力分配法剪力分配法.All Rights Reserved重庆大学土木工程学院6.6直接利用平衡条件建立位移法方程直接利用平衡条件建立位移法方程 在位移法典型方程法中，通过增设附加约束、借助基在位移法典型方程法中，通过增设附加约束、借助基本结构这一计算工具，利用基本体系表达出原结构变形模本结构这一计算工具，利用基本体系表达出原结构变形模式，从而建立的位移法方程，实质上就是反

53、映原结构的平式，从而建立的位移法方程，实质上就是反映原结构的平衡条件，即有结点角位移处，是结点的力矩平衡条件；有衡条件，即有结点角位移处，是结点的力矩平衡条件；有结点线位移处，是截面的投影平衡条件。结点线位移处，是截面的投影平衡条件。 因此，根据位移法的基本原理，也可以不通过基本结因此，根据位移法的基本原理，也可以不通过基本结构，而借助于杆件的转角位移方程，利用结点位移与杆端构，而借助于杆件的转角位移方程，利用结点位移与杆端位移之间的协调关系，根据先位移之间的协调关系，根据先“拆散拆散”、后、后“组装组装”结构结构的思路，直接由原结构的结点和截面平衡条件来建立位移的思路，直接由原结构的结点和截

54、面平衡条件来建立位移法方程，这就是直接平衡法。法方程，这就是直接平衡法。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例6.9】试用直接平衡法计算图所示刚架，并作弯矩图。已知】试用直接平衡法计算图所示刚架，并作弯矩图。已知EI=常量常量 ADCBlEI=常数qll/2/2l【解】【解】(1) 确定基本未知量，并绘出示意图确定基本未知量，并绘出示意图 qBCFQBACDQFBMBCBAMDABCZ21Z(a) 基本未知量基本未知量 (b) 结点位移处的平衡条件结点位移处的平衡条件All Rights Reserved重庆大学土木工程学院ADCBqlEI=常数qll/2/2lqB

55、CFQBACDQFBMBCBAMDABCZ2BCDA24(23.5)15(31)1163281Z(2) “拆散拆散”，利用结点位移表示出各对应杆件的杆端位移，进行杆件分析，利用结点位移表示出各对应杆件的杆端位移，进行杆件分析，即根据转角位移方程，逐杆写出杆端内力：即根据转角位移方程，逐杆写出杆端内力：对于左柱对于左柱BA（视为两端固定梁）（视为两端固定梁）862221qllZiiZMAB864221qllZiiZMBA2126222QqlliZliZFBAAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院对于横梁对于横梁BC（视为（视为B端固定，端固定，C端铰支）端铰支） 8321ql

56、iZMBC0CBMADCBqlEI=常数qll/2/2lqBCFQBACDQFBMBCBAMDABCZ2BCDA24(23.5)15(31)1163281Z对于右柱对于右柱CD（视为（视为D端固定，端固定，C端铰支）端铰支） 0CDMlZiMDC2322Q3lZiFCBAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)“组装组装”，进行整体分析，即根据结点平衡条件和截面平衡条，进行整体分析，即根据结点平衡条件和截面平衡条件建立位移法方程件建立位移法方程 ADCBqlEI=常数qll/2/2lqBCFQBACDQFBMBCBAMDABCZ2BCDA24(23.5)15(31)116

57、3281Z0BM取横梁取横梁BC为隔离体，由截面平件为隔离体，由截面平件0 xF06721ZliiZ0BABCMM(a)0QQCDBAFF02156221qlZliZli(b)以上式（以上式（a）和式（）和式（b）即为用直接平衡法建立的位移法方程，与）即为用直接平衡法建立的位移法方程，与6.4节中节中用典型方程法解同一例题所建立的位移法方程（典型方程）式（用典型方程法解同一例题所建立的位移法方程（典型方程）式（d）完全）完全相同。也就是说，两种本质上相同的解法在此殊途同归。相同。也就是说，两种本质上相同的解法在此殊途同归。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(4)联立求解

58、方程（联立求解方程（a）和（）和（b），求基本未知量：），求基本未知量：211386qliZ 321387qliZ(5)计算杆端内力计算杆端内力 将将Z1和和Z2代回第（代回第（2）步所列出的各杆的杆）步所列出的各杆的杆端弯矩表达式，即可求得端弯矩表达式，即可求得 218463qlMAB21841qlMBA21841qlMBC218428qlMDC(6)作最后弯矩图作最后弯矩图 ADCBqlEI=常数qll/2/2lqBCFQBACDQFBMBCBAMDABCZ2BCDA24(23.5)15(31)1163281Zd)M图图(ql2/184)All Rights Reserved重庆大学土木工

59、程学院力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念转动刚度转动刚度 结构或体系抵抗转动变形的能力，即为结构或体系抵抗转动变形的能力，即为转动刚度转动刚度 . 对于杆件来说，令某一杆端截面发生单位转角（另一杆端位移在特对于杆件来说，令某一杆端截面发生单位转角（另一杆端位移在特定约束模式下），此时在该杆端需施加的杆端力矩，称为定约束模式下），此时在该杆端需施加的杆端力矩，称为杆端转动刚度杆端转动刚度。 杆端转动刚度的大小主要取决于两个方面的因素：一是与杆件自身杆端转动刚度的大小主要取决于两个方面的因素：一是与杆件自身的线刚度，即与截面抗弯刚度和杆件长度相关；二是与杆件的杆端约束的线刚度，即与截面抗弯刚

60、度和杆件长度相关；二是与杆件的杆端约束模式相关。模式相关。=0SABABSi=3SABi=4iSAB1111BABABAlEIBAAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院 若多根杆件汇交于某一结点（通常为刚性若多根杆件汇交于某一结点（通常为刚性结点），令该结点发生单位转角时，需要在该结点），令该结点发生单位转角时，需要在该结点施加的结点力矩，称为结点施加的结点力矩，称为结点转动刚度结点转动刚度。根。根据位移法中结点位移与杆端位移之间的协调关据位移法中结点位移与杆端位移之间的协调关系可知，结点的转动刚度与杆端转动刚度之间系可知，结点的转动刚度与杆端转动刚度之间有以下关系：有以下