数学课堂教学研究分析框架

1、数学课堂教学研究数学课堂教学研究的分析框架的分析框架华东师大数学系华东师大数学系 鲍建生鲍建生 前言：教师成为研究者前言：教师成为研究者 教师：通过研究改进自己的教学教师：通过研究改进自己的教学（算法（算法案例）案例） 教育研究：走进课堂，解决教与学中的教育研究：走进课堂，解决教与学中的实际问题实际问题 数学课程改革：教师事关重大数学课程改革：教师事关重大 教师专业发展：教师的真功夫在课堂上教师专业发展：教师的真功夫在课堂上教与学教与学：东西方的两个不同视角东西方的两个不同视角教教学学教材教法教材教法教学内容的理解教学内容的理解教学经验教学经验焦点：老师如何教？焦点：老师如何教？学习理论学习理

2、论学习过程的理解学习过程的理解理论模型理论模型焦点：学生如何学？焦点：学生如何学？课堂课堂理论与经验的互动理论与经验的互动经验经验理论理论z 支持预测支持预测z 为研究提供分析框架为研究提供分析框架z 具有解释的能力具有解释的能力z 能应用于广泛的现象能应用于广泛的现象z 有助于对复杂现象的思考有助于对复杂现象的思考z 作为资料分析的工具作为资料分析的工具z 提供一种深层次交流的语提供一种深层次交流的语言言z 实用实用z 个人化个人化z 嵌于特定的情境之中嵌于特定的情境之中z 通过视觉逐步积累通过视觉逐步积累z 比较模糊，不易表征、把比较模糊，不易表征、把握和传授握和传授z 难以跨领域的交流。

3、难以跨领域的交流。解释解释建构建构一条可行的研究思路一条可行的研究思路z青浦实验青浦实验（如变式教学如变式教学）zGX实验实验z基本图形分析法基本图形分析法z上海育才的上海育才的“读读、议议、练读读、议议、练练、讲讲练、讲讲 （段力佩（段力佩 ）z李庾南李庾南“自学、议论、引导自学、议论、引导”教学法教学法z孙维刚的孙维刚的 “结构教学法结构教学法”z邱学华的邱学华的“尝试教学法尝试教学法”z馬明、陳振宣、馬明、陳振宣、赵宪初赵宪初、吳正、吳正宪宪、杨杨象富等大批的名象富等大批的名师师和不和不知名的知名的优秀教师优秀教师挖掘和提炼优秀的教学经验挖掘和提炼优秀的教学经验梳理国内外的学习理梳理国内

4、外的学习理论论研究成果研究成果解释解释理论模型理论模型研究课题研究课题研究方法研究方法新的新的模型模型建构建构一、课堂教学研究的方法课堂教学研究的焦点：PCK学科教学知识学科教学知识内容知识内容知识学习者知识学习者知识背景知识背景知识一般教学法一般教学法课程知识课程知识教育目标教育目标教学推理教学推理理解理解转化转化教学教学评价评价反思反思新理解新理解PCK的核心成分PCK的成分指 标学科最核心、最有学科最核心、最有价值的知识价值的知识 学科本身最核心、最基本的知识学科本身最核心、最基本的知识学科的思想、方法、精神和态度学科的思想、方法、精神和态度对学生今后学习和发展最有价值的知识对学生今后学

5、习和发展最有价值的知识知识间的联系知识间的联系 某一知识在整个学科体系中的地位和作用某一知识在整个学科体系中的地位和作用上位知识与下位知识的联系上位知识与下位知识的联系新旧知识间的联系新旧知识间的联系所学知识与儿童生活、经验的联系所学知识与儿童生活、经验的联系学生在学习某一知学生在学习某一知识过程中容易误解识过程中容易误解和混淆的问题和混淆的问题 哪些知识学生易解，教师可以少讲、不讲或让哪些知识学生易解，教师可以少讲、不讲或让学生自学？学生自学？ 哪些问题是学生容易混淆或难以理解的？哪些问题是学生容易混淆或难以理解的？ 学生常见的错误是什么？如何辨析和纠正？学生常见的错误是什么？如何辨析和纠正

6、？如何将特定的知识如何将特定的知识呈现给不同学生的呈现给不同学生的策略策略 如何做学情调查，了解不同学生的认知基础、如何做学情调查，了解不同学生的认知基础、认识方式与差异认识方式与差异呈现方式多样化策略的选择与应用呈现方式多样化策略的选择与应用对呈现效果的检测与反馈对呈现效果的检测与反馈面向教学的数学知识（MKT）课堂教学的分析框架 概念概念界定界定水平水平模型模型分类分类模型模型因素因素模型模型指标指标体系体系过程过程模型模型数学课堂教学的基本任务数学课堂教学的基本任务环境、先前知识、评价问题解决技能训练概念理解数数与与运运算算测测量量几几何何代代数数概概率率与与统统计计微微积积分分元认知、

7、情感与态度二、概念理解的分析框架当我理解了我就感到愉快；我就自信；我可以忘掉所有细节，而在需要的时候重新构造；我觉得它已经属于我；我可以把它解释给别人听。 (Duffin & Simpson, 1994)数学概念理解研究的理论假设 数学教学的根本目的是学生的理解；数学教学的根本目的是学生的理解；数学概念有自身的特点；数学概念有自身的特点；学生对数学概念的理解存在于他自己的头脑学生对数学概念的理解存在于他自己的头脑中；中；可以通过一些外部的行为特征去诊断学生头可以通过一些外部的行为特征去诊断学生头脑中的理解；脑中的理解；学生对数学概念的内部理解无论在质量上还学生对数学概念的内部理解无论在

8、质量上还是在数量上都超过其外部的行为特征；是在数量上都超过其外部的行为特征；学生的理解是按水平发展的，不同学生的理学生的理解是按水平发展的，不同学生的理解有不同的水平；解有不同的水平；适当的教学可以改进学生的理解水平。适当的教学可以改进学生的理解水平。概念表征的分析框架概念的意义建构概念形成的过程框架检验检验概括概括形式化形式化形成形成概念概念确认确认本质本质属性属性共同共同属性属性各种各种属性属性刺激刺激模式模式符号符号表示表示类化类化抽象抽象分化分化辨别辨别概念理解的类型 工具性理解工具性理解：是学生运用记住的规则解决问题的能力，但学生并不清楚这个规则为什么会发生作用，因此，这种的理解一般

9、只适用于解决那些特定类型的问题； 关系性理解关系性理解：是学生从更一般的数学关系中演绎出特殊规则或程序的能力； 形式性理解形式性理解：是指在数学术语符号和数学思想之间建立联系，并运用逻辑推理构建数学思想体系的能力。 （Skemp, 1987, p. 166）概念理解的评价模型初步初步了解了解产生产生表象表象形成形成表象表象关注关注性质性质形式形式化化观察观察评述评述组织组织结构结构发明发明创造创造概念理解的评价工具：概念图概念图相当于思考的过程概念图相当于思考的过程-不论是整个过程或是局不论是整个过程或是局部过程；部过程；概念图可以某种方式来加以计分，以便用来侦彻不概念图可以某种方式来加以计分

10、，以便用来侦彻不同学生间的学习成就差异，或以前后测方式（同学生间的学习成就差异，或以前后测方式（pre-test/post-test）侦测同一学生在不同学习时间内的）侦测同一学生在不同学习时间内的成就差异；成就差异；所使用的分数，彼此之间是独立的；所使用的分数，彼此之间是独立的；画出概念图有助于学习者的理解和回忆；画出概念图有助于学习者的理解和回忆；教师可以使用概念图来诊断学生在某个主题上的表教师可以使用概念图来诊断学生在某个主题上的表现好坏；现好坏；在这些假设前提之下，于是有各式各样的计分方式在这些假设前提之下，于是有各式各样的计分方式相继被提出。相继被提出。 概念图样例概念图计分示意图概误

11、解的三种类型 直接的实际经验或日常生活经验和观察得来；直接的实际经验或日常生活经验和观察得来；由通常的用语或隐喻的使用得来；由通常的用语或隐喻的使用得来；由正式或非正式的教学而来；由正式或非正式的教学而来；同伴的观点；同伴的观点；来自教科书的内容或教师教学的过程；来自教科书的内容或教师教学的过程；字义的联想、混淆、冲突或缺乏知识。字义的联想、混淆、冲突或缺乏知识。概念教学的工具：脚手架通过搭建脚手架降低任务的难度；是在没有完成低层次任务的情况下也可以从事高层次的任务。功能类型引发学生参与；指出所欲学习事物的关键特征；提供课程相关范例供学生观摩学习；减轻学习时的负担；进行学习活动方向管理；掌控学

12、习过程的疑难障碍。三、技能训练的分析框架 虽然练习不一定会达成技能的精通，但虽然练习不一定会达成技能的精通，但练习是技能精通的必要条件。成为优秀的游练习是技能精通的必要条件。成为优秀的游泳选手、音乐家，没有在明确的指导及教学泳选手、音乐家，没有在明确的指导及教学之下投入大量时间的练习是不可能的。令人之下投入大量时间的练习是不可能的。令人诧异的是，在运动中基本技能的广泛练习是诧异的是，在运动中基本技能的广泛练习是公认的事，但却在数学教育中很少被接纳。公认的事，但却在数学教育中很少被接纳。 我不断地练习，直到困难的变成简单，我不断地练习，直到困难的变成简单，简单的变成习惯，习惯变成一种美。简单的变

13、成习惯，习惯变成一种美。高层次数学思维技能深刻性v对数学概念理解透彻，有合理的概念图，对数学定理有较好的掌握，知道其条件及适用范围；v可以自如地将其他语言等价地翻译为数学语言；v能运用分析、比较、概括等思维操作，发现形式不同而本质相同的数学对象之间的内在联系；v即使解决问题的条件不是明确给定的，也能不受表面现象的困扰，从表象中挖掘出隐含条件，为解决题目寻找适当的条件；v 在解决具体的问题后，能主动自觉地去寻找具有普遍意义的方法、模式，将思想、方法、结论等概括、迁移、推广到一般的情境中灵活性v思维的起点灵活，能从与题目相关的各种角度和方向去考虑问题；v心理转向比较容易，从正向思维转为反向思维，特

14、别是对概念的正反关系的认识，公式的正反运用，定理与逆定理的灵活使用，解题时分析法与综合法的交替使用时表现自如；v思维转换较为迅速，可以不受先前解题方法的影响，克服思维定势的消极作用及自我心理限制，能根据变化及时调整思路，从而可以有的放矢地解决问题；v思维的过程中善于转化，可以很容易地化生为熟，把几个部分看成一个整体，把一个整体分成几个部分，也就是化零为整，化整为零高层次数学思维技能独创性v能对数学对象进行自己独立的思考、分析；v能从与众不同的“新”角度观察问题，能在貌似平常的信息中发现不寻常之所在，从而发现隐含的特殊联系，产生与他人不同的解题方法和结果；v不受常规的限制与束缚，富于联想，在解题

15、时主动联系数学的不同分支、其他学科以及生活实际，以至思维跳跃，经常产生有别于常规正统的、创造性的想法批判性v不会不经思考地附和他人的意见，能坚持自己的合理看法；v能够比较不同对象之间的差异和相似性，辨析一些容易混淆的概念、形式，从而对数学对象进行分类；v能评估信息资源的可靠性，判断从一个结论导出另一个结论的充分性，因而可以发现其他人的解题过程或结论中的错误；v能在有多种合情思路的情况下，对各种解题思路、方法、策略进行比较，选择更为合理的方案，从而找出最佳的方法或结论；v在解题时能对全过程进行监控，时不时地回头审视自己的解题过程，进行有意识的自我调节，在自我检查中修正论证的过程和结论敏捷性v能够

16、较快而且正确地完成对题目的文字理解；v能够迅速地判别出题目的模式，从而缩短解题时间；v能对最近做过的题目有清晰的记忆，能迅速反应出解题过程及结果；v能够迅速判断，在时间紧迫的情况下做出是否放弃解决此题的决策程序性知识获得的三个阶段程序性知识获得的三个阶段陈述性阶段。学习者获得有关步骤或程序的陈述性知识。比如陈述陈述性阶段。学习者获得有关步骤或程序的陈述性知识。比如陈述分数加法的规则或者能够描述在驾驶汽车时该如何换档。在此阶段，分数加法的规则或者能够描述在驾驶汽车时该如何换档。在此阶段，学习者对活动的完成是非常艰辛的，需要逐条记忆每一项规则，并学习者对活动的完成是非常艰辛的，需要逐条记忆每一项规

17、则，并缓慢地操作每一步骤。缓慢地操作每一步骤。联合阶段。在这一阶段，学习者仍需思考各个步骤的规则，但经过联合阶段。在这一阶段，学习者仍需思考各个步骤的规则，但经过练习和接收到的反馈，学习者已能将各个步骤联合起来，流畅地完练习和接收到的反馈，学习者已能将各个步骤联合起来，流畅地完成有关的活动成有关的活动自动化阶段。随着进一步的练习，学习者最终进入自动化阶段。在自动化阶段。随着进一步的练习，学习者最终进入自动化阶段。在此阶段，学习者常常无需意识的控制或努力就能够自动完成有关的此阶段，学习者常常无需意识的控制或努力就能够自动完成有关的活动步骤。例如，一个人在开车时可以一边说话，一边流利地换挡，活动步

18、骤。例如，一个人在开车时可以一边说话，一边流利地换挡，在交通拥挤的路面上连续地改变方向；或者一个学生不用想着分数在交通拥挤的路面上连续地改变方向；或者一个学生不用想着分数加法的各项规则就能快速准确地计算分数加法题，表明他们已达到加法的各项规则就能快速准确地计算分数加法题，表明他们已达到自动化阶段，即获得了有关的程序性知识或技能。自动化阶段，即获得了有关的程序性知识或技能。 安德森（安德森（J.Anderson,1990)和加涅和加涅(E.Gagne et al.,1993)技能训练的注意事项（1）训练初期将技能活动过程展开训练初期将技能活动过程展开。当学生已熟练掌握某项数学技能后，其完成该项技

19、能的活动过程则大大简化，组成活动的单个的操作步骤只在头脑中迅速进行而不记录下来。但在技能训练初期，学习该技能及其过程时则必须充分展开其操作过程，对组成该技能的所有基本的操作步骤一一进行训练。否则、技能的掌握便不可能达到自动化熟练水平。技能训练的时间分配要适当技能训练的时间分配要适当。练习按时间的分配可分为两类: 一类是分散练习，指将练习的时间分为若干段，一步步进行; 另一类是集中练习，指将所学技能包含的各动作在一次时间内完成，中间没有休息。这两种练习形式的效果存在差异。一般认为分散练习效果优于集中练习。这是因为，如果在一段长时间内练习同一技能容易使人疲劳，容易产生消极态度，兴趣减退，从而导致练

20、习的效果下降，而适当的分散练习，则可使每次练习的效果都比较好。盖伊(I.R.Gay)曾经实验证明:代数规则的分散练习比集中练习效果好。 技能训练的注意事项（2）练习的形式要多样化练习的形式要多样化。适当地使练习方式多样化不仅可以引起学生的学习兴趣，保持学生的注意，而且还可以培养学生灵活地运用技能以实现技能的有效迁移。其中一种重要方式就是在技能练习中编人一些训练学生掌握新技能的练习。充分利用练习中的及时反馈的强化与矫正功能充分利用练习中的及时反馈的强化与矫正功能。反馈对训练有重要影响。学生获得反馈信息的渠道有两个。其一是练习活动本身所显示的结果，这一结果往往易为学生所知晓和察觉。其二是教师把练习

21、结果。告诉学生，这主要是在练习那些从表面上不易觉察正误的技能项目时所采用的方法。通过这两种反馈形式及时获悉练习的结果并对结果进行分析就能对自己掌握技能的水平做出正确评价，也就能使正确掌握技能的动作成份得到巩固，错误之处得到纠正。 熟能生巧熟能生巧？技能技能错误的错误的技能技能正确的正确的技能技能错误的错误的方法方法正确的正确的方法方法熟能生巧熟能生巧熟能生笨熟能生笨熟能生厌熟能生厌熟练熟练熟练熟练熟练熟练-ACT-R对对“熟能生巧熟能生巧”的解释的解释-四、问题解决的分析框架波利亚的话 一个重大的发现可以解决一个重大的问题，但一个重大的发现可以解决一个重大的问题，但在求解任何问题的过程中，也都

22、会有点滴的发现。在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现。你要求解的问题可能不大，但如果它能引起你的好你要求解的问题可能不大，但如果它能引起你的好奇心，如果它能使你的创造才能得以展现，而且，奇心，如果它能使你的创造才能得以展现，而且，如果你是用自己的方法去解决它们的，那么，你就如果你是用自己的方法去解决它们的，那么，你就会体验到这种紧张心情，并享受到发现的喜悦。在会体验到这种紧张心情，并享受到发现的喜悦。在易塑的青少年时期，这样的体验会使你养成善于思易塑的青少年时期，这样的体验会使你养成善于思维的习惯，并在你的心中留下深刻的印象，甚至会维的习惯，并在你的心中留下深刻的印象，甚至会影响到你一生

23、的性格。影响到你一生的性格。调查：您认为目前我国数学解题教学存在的主要问题是什么 ？ 给学生一条教师认为是捷径的思路，让学生去模仿给学生一条教师认为是捷径的思路，让学生去模仿缺少缺少“直觉直觉”“”“顿悟顿悟”式的熏陶式的熏陶答案与方法往往只有一个标准答案与方法往往只有一个标准解题思路单一，缺乏创新、个性解题思路单一，缺乏创新、个性题目缺少开放性题目缺少开放性与实践活动脱节，不能密切与生活相联系与实践活动脱节，不能密切与生活相联系强调机械化的分析推理过程的表述，简单问题复杂化强调机械化的分析推理过程的表述，简单问题复杂化教材中的习题，把数学镶嵌在具体问题背景中出现的较教材中的习题，把数学镶嵌在

24、具体问题背景中出现的较灌输的教学方法越来越烈灌输的教学方法越来越烈知识缺乏内在的联系知识缺乏内在的联系调查：您认为目前我国数学解题教学存在的主要问题是什么 ？ 纯粹为解题而解题纯粹为解题而解题太注重格式和形式太注重格式和形式教科书的例题偏容易，练习题偏难，学生在练习中困难较多，教科书的例题偏容易，练习题偏难，学生在练习中困难较多，教师经常要将某些练习题做为例题来讲（中高年级尤为突出）教师经常要将某些练习题做为例题来讲（中高年级尤为突出）学生只会机械解题，对为什么要这样解题很少提出自己的意学生只会机械解题，对为什么要这样解题很少提出自己的意见和见解，直至有时学生能提出自己独特的思路也被老师粗见和

25、见解，直至有时学生能提出自己独特的思路也被老师粗暴地否定暴地否定还停留在领会、记忆阶段，教师扶得过多，让学生自己探究还停留在领会、记忆阶段，教师扶得过多，让学生自己探究的机会少的机会少个别学生有些对数学不感兴趣，没有掌握基本解题方法个别学生有些对数学不感兴趣，没有掌握基本解题方法主要问题是解题公式化，方法单一主要问题是解题公式化，方法单一缺少学生自由发挥的空间，老师总是牵着学生走，抑制了学缺少学生自由发挥的空间，老师总是牵着学生走，抑制了学生的想象力生的想象力调查：您认为目前我国数学解题教学存在的主要问题是什么 ？ 教师只注重解题结果的教学，而忽视解题过程的展现，对学教师只注重解题结果的教学，

26、而忽视解题过程的展现，对学生解题中存在的问题缺少分析研究生解题中存在的问题缺少分析研究局限于教本，知识面不广局限于教本，知识面不广考试（测验）体制有问题考试（测验）体制有问题还没有一个系统的、行之有效的数学解题教学模式还没有一个系统的、行之有效的数学解题教学模式喜欢去规定一种问题是一种什么样的解题模式。比如：喜欢喜欢去规定一种问题是一种什么样的解题模式。比如：喜欢把应用题分为几种类型解题，这样对优生很有帮助，但是对把应用题分为几种类型解题，这样对优生很有帮助，但是对差生只能造成一种机械记忆，不能达到举一反三、触类旁通差生只能造成一种机械记忆，不能达到举一反三、触类旁通的作用的作用只教给学生特殊

27、的解题方法，学生缺乏一般的解题策略只教给学生特殊的解题方法，学生缺乏一般的解题策略把解题方法分类，套用公式的现象严重，停留在模仿上把解题方法分类，套用公式的现象严重，停留在模仿上调查：您认为目前我国数学解题教学存在的主要问题是什么 ？ 教师带有教师带有“强制性强制性”，学生不能生动活泼主动地来学习，学生不能生动活泼主动地来学习题目过难题目过难框框太多；各种考试制度对学生、教师的压力太大框框太多；各种考试制度对学生、教师的压力太大教学的过程只展示教师已经做熟的问题，不能与学生同步思教学的过程只展示教师已经做熟的问题，不能与学生同步思考一个新的数学问题考一个新的数学问题四化四化: 把问题解决模式化

28、；把问题解决程序化；把问题解决把问题解决模式化；把问题解决程序化；把问题解决的过程过分的规范化；套路化。的过程过分的规范化；套路化。太多的数学题，重复的数学题，模式化的数学题。这种题海太多的数学题，重复的数学题，模式化的数学题。这种题海会影响教学的灵活性、随意性和思想性，很难培养学生的独会影响教学的灵活性、随意性和思想性，很难培养学生的独立作业能力，学生自主思考解题的机会少，联想、总结、回立作业能力，学生自主思考解题的机会少，联想、总结、回顾差顾差习题的分析框架记忆记忆理解理解探究探究数学习题难度因素分析框架数学习题难度因素分析框架因素因素层次层次探究探究识记识记理解理解探究探究背景背景无无个

29、人生活个人生活公共常识公共常识科学情境科学情境运算运算无无数值计算数值计算简单符号运算简单符号运算复杂符号运算复杂符号运算推理推理无无简单推理简单推理复杂推理复杂推理知识含量知识含量单个知识点单个知识点两个知识点两个知识点三个以上三个以上认知水平的分类记忆型任务记忆型任务包括对已学过的事实、法则、公式以及定义的记忆重现或者把事实、法包括对已学过的事实、法则、公式以及定义的记忆重现或者把事实、法则、公式和定义纳入记忆系统。则、公式和定义纳入记忆系统。使用程序不能解决，因为不存在某种现成的程序或因为完成任务的限定使用程序不能解决，因为不存在某种现成的程序或因为完成任务的限定时间太短而无法使用程序。

30、时间太短而无法使用程序。模糊模糊这种任务包括对先前见过的材料的准确再现以及再现的内容可这种任务包括对先前见过的材料的准确再现以及再现的内容可以明白而直接地陈述。以明白而直接地陈述。1.与隐含于已学过的或再现的事实、法则、公式和定义之中的意义或概念与隐含于已学过的或再现的事实、法则、公式和定义之中的意义或概念无任何联系无任何联系无联系的程序型无联系的程序型算法化。程序的使用要么是特别需要，要么明显基于先前的教学、经验算法化。程序的使用要么是特别需要，要么明显基于先前的教学、经验或对任务的安排或对任务的安排成功完成任务需要的认知要求有限。对于应做些什么和如何做几乎是一成功完成任务需要的认知要求有限

31、。对于应做些什么和如何做几乎是一目了然目了然与隐含于程序之中的意义或概念无任何联系。与隐含于程序之中的意义或概念无任何联系。更强调得出正确答案而不是发展数学的理解。更强调得出正确答案而不是发展数学的理解。1.不需要解释或需要的解释仅仅是对解题程序的描述。不需要解释或需要的解释仅仅是对解题程序的描述。有联系的程序型有联系的程序型为了发展对数学概念和思想的更深层次理解，学生的注意力应集中在程为了发展对数学概念和思想的更深层次理解，学生的注意力应集中在程序的使用上。序的使用上。暗示有一条路径可以遵循（显性地或隐性地），这种路径即是与隐含的暗示有一条路径可以遵循（显性地或隐性地），这种路径即是与隐含的

32、观念有密切联系的、明晰的、一般性程序。观念有密切联系的、明晰的、一般性程序。常用的呈现方式有多种（如可视图表、学具、符号、问题情景）。在多常用的呈现方式有多种（如可视图表、学具、符号、问题情景）。在多种表现形式之间建立起有助于发展意义理解的联系。种表现形式之间建立起有助于发展意义理解的联系。1.1. 需要某种程度的认知努力。尽管有一般的程序可资遵循，但却不能不加需要某种程度的认知努力。尽管有一般的程序可资遵循，但却不能不加考虑地应用。为了成功完成任务和发展数学的理解，学生需要参与存在考虑地应用。为了成功完成任务和发展数学的理解，学生需要参与存在于这些程序中的观念。于这些程序中的观念。 做数学做

33、数学需要复杂的、非算法化的思维。（即任务，任务讲解、或已完成的例子需要复杂的、非算法化的思维。（即任务，任务讲解、或已完成的例子没有明显建议一个可预料的、预演好的方法或路径借鉴。没有明显建议一个可预料的、预演好的方法或路径借鉴。要求学生探索和理解数学观念、过程和关系的本质。要求学生探索和理解数学观念、过程和关系的本质。要求对自己的认知过程自我调控。要求对自己的认知过程自我调控。要求学生启用相关知识和经验，并在任务完成过程中恰当使用。要求学生启用相关知识和经验，并在任务完成过程中恰当使用。要求学生分析任务并积极检查对可能的问题解决策略和解法起限制作用要求学生分析任务并积极检查对可能的问题解决策略

34、和解法起限制作用的因素。的因素。1.需要相当大的认知努力，也许由于解决策略不可预期的性质，学生还会需要相当大的认知努力，也许由于解决策略不可预期的性质，学生还会有某种程度的焦虑。有某种程度的焦虑。认知水平的分类什么是“好的”数学题一个好问题必须：一个好问题必须： 是容易接受的（不需要大量的技巧）是容易接受的（不需要大量的技巧） 有多种解题方法（或者至少有多种思路有多种解题方法（或者至少有多种思路） 蕴涵了重要的数学思想（好的数学）蕴涵了重要的数学思想（好的数学） 不故设陷阱不故设陷阱(通性通法通性通法) 可以进一步开展和一般化（导致丰富的可以进一步开展和一般化（导致丰富的数数学探索活动）学探索

35、活动） 匈菲尔德，匈菲尔德，1994 有些数学是具有开创性的，有发展的，这就有些数学是具有开创性的，有发展的，这就是好的数学。还有一些数学也蛮有意思，但渐渐是好的数学。还有一些数学也蛮有意思，但渐渐变成一种游戏了。变成一种游戏了。 陈省身，陈省身，2004问题解决过程模型结论结论检验检验尝试解题尝试解题实施实施解题方案解题方案探究探究计划计划原理与系统原理与系统相关问题或新信息相关问题或新信息分析分析给定问题给定问题小困难小困难主要困难主要困难匈菲尔德，匈菲尔德，1985问题解决的专家-新手比较研究问题解决的专家-新手比较研究问题解决的专家-新手比较研究问题解决的专家-新手比较研究问题解决的因

36、素模型知识与知识与经验经验表征与表征与探索探索监控与监控与调节调节情感与情感与信念信念范希尔范希尔 几何思维水平几何思维水平层次层次0视觉视觉 ( visuality) 层次层次1分析分析(analysis) 层次层次2非形式化的演绎非形式化的演绎 (informal deduction) 层次层次3形式的演绎形式的演绎 (formal deduction) 层次层次4严密性严密性( rigior ) 中小学生数学能力结构 1. 获得数学信息获得数学信息 A. 对于数学材料形式化感知的能力；对问题形式结构的掌握能力。对于数学材料形式化感知的能力；对问题形式结构的掌握能力。2. 数学信息加工数学

37、信息加工在数量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能力；对在数量和空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能力；对数学符号进行思维的能力。数学符号进行思维的能力。B. 迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力。迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力。C. 缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的结构进行缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的结构进行思维的能力。思维的能力。D. 在数学活动中心理过程的灵活性。在数学活动中心理过程的灵活性。E. 力求解答的清晰、简明、经济与合理。力求解答的清晰、简明、经济与合理。F. 迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另一个相

38、反迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另一个相反思路的能力（数学推理中心理过程的可逆性）。思路的能力（数学推理中心理过程的可逆性）。3. 数学信息保持数学信息保持A. 数学的记忆（关于数学关系，类型特征，论据和证明的图式，解数学的记忆（关于数学关系，类型特征，论据和证明的图式，解题方法及探讨原则的概括性记忆）。题方法及探讨原则的概括性记忆）。4. 一般综合性组成成分一般综合性组成成分 A. 数学气质。数学气质。五、几点建议五、几点建议选择一个适合自己的研究方向选择一个适合自己的研究方向 数学教育涉及的研究领域和方向很多，教师的数学教育涉及的研究领域和方向很多，教师的工作又比较繁忙，不

39、可能关注数学教育研究的方方面工作又比较繁忙，不可能关注数学教育研究的方方面面，因此，首先要选择一个适合自己的研究方向，作面，因此，首先要选择一个适合自己的研究方向，作为自己的立足之地，然后安营扎寨，踏踏实实地做一为自己的立足之地，然后安营扎寨，踏踏实实地做一点自己的东西。现在学术界的新观点、新口号很多，点自己的东西。现在学术界的新观点、新口号很多，但笔者以为，做研究不能赶潮流，因为引领潮流的毕但笔者以为，做研究不能赶潮流，因为引领潮流的毕竟只有极少数的人，大多数只能随波逐流，容易迷失竟只有极少数的人，大多数只能随波逐流，容易迷失方向。大约在方向。大约在7年前，笔者因为出国访学的事，罗列年前，笔

40、者因为出国访学的事，罗列了自己的一些研究成果去拜访张奠宙先生。先生的评了自己的一些研究成果去拜访张奠宙先生。先生的评价是：你的研究只是东一榔头、西一榔头，看不出自价是：你的研究只是东一榔头、西一榔头，看不出自己的研究特长。这让我很是振动。从此，我就在努力己的研究特长。这让我很是振动。从此，我就在努力寻找适合自己的研究领域。寻找适合自己的研究领域。从从“小小”做起做起 喜欢做大做空，是我国传统教育研究的一个通喜欢做大做空，是我国传统教育研究的一个通病，为此，张奠宙先生曾多次呼吁要改一改我们的文病，为此，张奠宙先生曾多次呼吁要改一改我们的文风。从研究角度来看，大体上有两种：一种是风。从研究角度来看，大体上有两种：一种是“望远望远镜镜”式的，高瞻远瞩，整体把握；另一种是式的，高瞻远瞩，整体把握；另一种是“显微镜显微镜”式的，选一个小的切入点，逐步深入。从目前的国式的，选一个小的切入点，逐步深入。从目前的国际趋势来看，更喜欢后一种方式；而从我们教师的实际趋势来看，更喜欢后一种方式；而从我们教师的实际情况看，比较合适的也是后一种。际情况看，比较合适的也是后一种。注意相关文献的积累注意相关文献的积累 做研究不能靠拍脑袋。虽然论点的选择可以来自