理论力学(杨开云第一版)第14章

1、第十四章第十四章虚位移原理虚位移原理14-1 14-1 约束约束 虚位移虚位移虚功虚功1 1 约束及其分类约束及其分类限制质点或质点系运动的条件称为限制质点或质点系运动的条件称为约束约束. .限制条件的数学方程称为限制条件的数学方程称为约束方程约束方程. .限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束几何约束. .222lyx（1 1）几何约束和运动约束）几何约束和运动约束如如, ,0f x y z 限制质点系运动情况的运动学条件称限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束运动约束. .0rvA2220BABABxxyyly0rxA222ryxAA

2、2220 xylvt（2 2）定常约束和非定常约束）定常约束和非定常约束约束条件随时间变化的称约束条件随时间变化的称非定常非定常约束约束. .不随时间变化的约束称不随时间变化的约束称定常约束定常约束. .（3 3） 其它分类其它分类约束方程中包含坐标对时间的导数约束方程中包含坐标对时间的导数, ,且不可能积分成有且不可能积分成有限形式的约束称限形式的约束称非完整约束非完整约束. .约束方程是等式的，称约束方程是等式的，称双侧约束双侧约束（或称（或称固执约束固执约束）. .约束方程为不等式的，称约束方程为不等式的，称单侧约束单侧约束（或称（或称非固执单侧约束非固执单侧约束）111,01,2,in

3、nnfx y zxyzis n为质点数，为质点数，s 为约束方程数为约束方程数. . 约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程中的积分项可以积分为有限形式的约束为中的积分项可以积分为有限形式的约束为完整约束完整约束. .本章只讨论本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束定常的双侧、完整、几何约束. .导弹追踪敌机的可控系统导弹追踪敌机的可控系统2 2 虚位移虚位移 在某瞬时在某瞬时, ,质点系在约束允许的条件下质点系在约束允许的条件下, ,可能实现的任何可能实现的任何无限小的位移称为无限小的位移称为虚位移虚位移 . .只与约束条件有关只与约束条件

4、有关. .虚位移虚位移 , ,rx等等实位移实位移d ,d ,drx等等OABxyArBrM 实位移实位移是质点系真实实现的位移，它与约束条件、时间、是质点系真实实现的位移，它与约束条件、时间、主动力以及运动的初始条件有关主动力以及运动的初始条件有关 . . 思考：思考：实位移与虚位移的区别？实位移与虚位移的区别？ 虚位移是假想的，实位移是实际发生的。虚位移是假想的，实位移是实际发生的。 虚位移是瞬时的，实位移是有时间经历的。虚位移是瞬时的，实位移是有时间经历的。 虚位移可朝约束允许的任意方向运动，实位移只朝某一虚位移可朝约束允许的任意方向运动，实位移只朝某一 方向运动。方向运动。 质点系静止

5、时，可有虚位移，而无实位移。质点系静止时，可有虚位移，而无实位移。 虚位移与运动的初始条件无关，而虚位移与运动的初始条件无关，而实实位移与运动的初始位移与运动的初始 条件有关。条件有关。 定常约束中，实位移是所有虚位移中的一个，对于非定定常约束中，实位移是所有虚位移中的一个，对于非定 常约束，某瞬时的虚位移是指将时间固定，约束所允常约束，某瞬时的虚位移是指将时间固定，约束所允 许的无限小位移，而实位移是不能固定时间的，所以许的无限小位移，而实位移是不能固定时间的，所以 虚位移不是实位移中的一个。虚位移不是实位移中的一个。3 3 虚功虚功 WFr4 4 理想约束理想约束如果在质点系的任何虚位移中

6、如果在质点系的任何虚位移中, ,所有约束力所作虚功的和所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为等于零，称这种约束为理想约束理想约束. .NNN0iiiWWFr力在虚位移上作的功称虚功力在虚位移上作的功称虚功. .WM 光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长的柔索、光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长的柔索、固定端等约束为理想约束固定端等约束为理想约束. .即即0iiFr设质点系处于平衡设质点系处于平衡, ,有有0NiiFF或记为或记为0FiW此方程称此方程称虚功方程虚功方程, ,其表达的原理称其表达的原理称虚位移原理或虚功原理虚位移原理或虚功原理. .N0iiiiFrFrN0i

7、iiiFrFr 14-2 14-2 虚位移原理虚位移原理对于具有理想约束的质点系对于具有理想约束的质点系, ,其平衡的充分必要条件是其平衡的充分必要条件是: :作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零等于零. .解析式为解析式为0 xiiyiiziiFxFyFz0 0已知：如图所示已知：如图所示, ,在螺旋压榨机的手柄在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平上作用一在水平 面内的力偶面内的力偶( ( ),),其力矩其力矩 , ,螺杆螺杆 的导程为的导程为. .FF,FlM2h求：机构平衡时加在被压物体上的力求：机构平衡时加在被压

8、物体上的力. .例例1 14 4-1-1解解: :N20FWFsFl 2shN202FF hWFlN4lFFhs给虚位移给虚位移 与与 以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象受力如图受力如图. .N202F hFl 因因 是任意的是任意的已知：已知：图中所示结构图中所示结构, ,各杆自重不计各杆自重不计, ,在在点作用一铅直向上的点作用一铅直向上的 力力, , .lGEDGCBCDCEAC求：支座求：支座的水平约束力的水平约束力. .例例1 14 4-2 -2 解除解除B端水平约束端水平约束, ,以力代替以力代替. . 02 cos ,3 sin2 sin

9、 , 3 cos FBxBGBGBGWFxF yxlylxlyl 2 sin 3 cos 0BxFlFl cot23FFBx代入虚功方程代入虚功方程 问题：问题：如图在如图在CG 间加一弹簧间加一弹簧, ,刚度刚度k , ,且已有伸长量且已有伸长量 , ,仍求仍求 . .0BxF解解:0cos3cos3cos)sin2(00lFlklklFBxcotcot230kFFBx00FBxBCCGGGWFxFyFyFy2 cos ,sin ,3 sin2 sin ,cos ,3 cosBCGBCGxlylylxlylyl 在弹簧处也代之以力在弹簧处也代之以力, ,如图如图. .0CGFFk解析法解析法

10、已知：如图所示椭圆规机构中已知：如图所示椭圆规机构中, ,连杆连杆AB长为长为l, ,滑块滑块A , ,B与杆与杆 重均不计重均不计, ,忽略各处摩擦忽略各处摩擦, ,机构在图示位置平衡机构在图示位置平衡. .BAFF求：主动力求：主动力 与与 之间的关系。之间的关系。 例例1 14 4-3 -3 解解: : (1) (1) 给虚位移给虚位移 ,ABrr0iiFr代入虚功方程代入虚功方程, ,有有tanBAFF 由由cossinBArr( ( 在在 A , ,B 连线上投影相等连线上投影相等) ) ,ABrr0AABBFrFrcotABBBFrFr直接法（几何法）直接法（几何法）(2) (2)

11、 解析法解析法 建立坐标系如图建立坐标系如图. .0 xiiyiiziiFxFyFz0BBAAFxFysin,coslylxABtanBAFF sinBxl cosAyl (3) (3) 虚速度法虚速度法定义定义: : ,ddABABrrvvtt为虚速度为虚速度 代入到代入到0,iiFr中 得0AABBvFvF由速度投影定理由速度投影定理, ,有有cossinBAvvtanBAFF 已知：已知：如图所示机构如图所示机构, ,不计各构件自重与各处摩擦不计各构件自重与各处摩擦. . 求：机构在图示位置平衡时求：机构在图示位置平衡时, ,主动力偶矩主动力偶矩 与主动力与主动力 之间的关系之间的关系. .例例1 14 4-4-40cFrFMWeasinrrea2 ,sinsinChhrOBrr2sinFhM 给虚位移给虚位移Cr ,虚速度法虚速度法: :ea2,sinsinChhvOBvv2sin0FhMFvMC解析法：解析法：20cotsinCC