(整理)求极值与最值的方法

1、求极值与最值的方法1 引言在当前的数学教育中，求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置，由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。2 求函数极值的方法极值定义：设函数f(x)在x的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点0x(x丰x)，均有f(x)<f(x)，则称f(x)是函数f(x)的一个极大值；同样如果000对此邻域内任一点x(x丰x)，均有f(x)>f(x)，则称f(x)是函数f(x)的一个000极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取

2、得极值的点x，称0为极值点。2.1 求导法判别方法一：设f(x)在点x连续，在点x的某一空心邻域内可导。当x由小增大经过x000时，如果：(1) f'(x)由正变负，那么x是极大值点；0(2) f'(x)由负变正，那么x是极小值点；0(3) f'(x)不变号，那么x不是极值点。0判别方法二：设f(x)在点x处具有二阶导数，且f'(x)=0,f''(x)=0。0如果f''(x)<0，则f(x)在点x取得极大值；0(2)如果f''(x)>0，则f(x)在点x取得极小值。0判别方法三：设f(x)在点x有n阶导

3、数，且f'(x)二f(x)二二f(n-i)(x)二00000f(n)(x)丰0，贝V：0(1)当为偶数时，f(x)在x取极值，有f(n)(x)<0时，f(x)在x取000极大值，若f(n)(x)>0时，f(x)在x取极小值。00(2)当为奇数时，f(x)在x°不取极值。求极值方法：(1) 求一阶导数，找出导数值为0的点(驻点)，导数值不存在的点，及端点；八9(2) 判断上述各点是否极值点例1求函数f(x)二x3-6x2+9x的极值。解法一：因为f(x)=x3-6x2+9x的定义域为(一8,+8),且f'(x)二3x2-12x+9二3(x-1)(x-3),令

4、f'(x)=0，得驻点x=1,x=3；12在(-8,1)内，f'(x)>0，在(1,3)内，f'(x)<0,f(1)=4为函数f(x)的极大值。解法二：因为f(x)=x3-6x2+9x的定义域为(-8,+8)，且f'(x)=3x2一12x+9,f"(x)=6x-12。令f'(x)=0,得驻点x=1,x=3。又因为f''(1)=-6<0,所以，f=4为12f(x)极大值。f=6>0，所以f=0为f(x)极小值.2例2求函数f(x)二2-(x-1)3的极值.解因为f(x)二2-(x-1)：的定义域为(-込+Q

5、，且f(x)在(-©+8)上连续,所以21-2f'(x)=飞(x-1)-3=(x主1)，313(x-1)3当x=1时，f'(x)不存在，所以x=1为f(x)的可能极值点.在(-2,1)内,f'(x)>0；在(1,+8)内，f'(x)<0,f(x)在x=1处取得极大值f(1)=2。例3求函数f(x)二5x4的极值。解令f'(x)=0,得驻点x=0,且f'(0)=f(0)=f(0)=0,但f4(0)二120>0所以有极小值0.2.2 利用拉格朗日乘数法求条件极值“乘数法”所得到的点只是可能是极值点，到底是否是极值点要依据拉

6、格朗日函数F的二阶微分符号来判断。例4求函数u=xmynzp在条件x+y+z二a(m>0,n>0,a>0)下的极值。解先求v=Inu=mInx+nIny+pInz+X(x+y+z=a)F'=m+X=0xxmanapaF'=-+X=0得驻点为p(,)yym+n+pm+n+pm+n+p精品文档又由F"XX=-工,F”x2yy=-,F=-,F''=F''=F''=0,y2ZZz2xyxzyzd2F(x,y,z)|p=-一(d)2+一(d)2+一(d)X2xy2yz2z故p为v即u的极大值点，此时u|=mmWa

7、+"+pp(m+n+p)m+n+p2.3 不等式求极值应用n个正数的算术平均数大于等于n个正数的几何平均数这个基本不等式来处理，基本不等式是a2+b2>2ab，ab<例5当X为何值，函数y=；9x2+6+取得极值。X2分析：函数解析式中被开方数含自变量的两项与倒数相联系，尝试用算术平均数和几何平均数的关系来处理。1 44解(9x2+)>：9x2=62 X2习X249X2+>12X249X2+6+>18X2式子两边都是非负数，分别去算术平均根，得y二；9X2+6+.'18二3迈X2y=32此匕时X=±-min32.4 利用二次方程判别式的

8、符号来求初等函数的极值例6若X2+y2+z2=1，试求函数u=X-2y+2z的极值。解Ty=-(X+2z-u)，带入X2+y2+z2=1得X2+(X+2z-u)2+z2=14即5X2+(4z一2u)2X+(8z-+u2一4zu一4)=0这个关于x的二次方程要有实根，则要A=（4z一2u）2一20（8z2+u2一4zu一4）>0即u2-4zu+9z2-5<0（2）解关于u的二次不等式得：2z-p'5（lz2）<u<2z+5（1-z2）,-1<z<1显然，求函数u的极值，相当于求u<2z+J5（1-z2）,-1<z<1或u>2z-

9、p5（1-z2）,-1<z<1（3）的极值。由（2）得u2-4zu+9z2-5=0（4）这个关于z的二次方程要有实数根，必须A=16u2一36（u2一5）>0,即9-u2>0解此关于u的二次不等式，得-3<u<3。所以u的极大值是3，极小值为-3。2.5 利用标准量代换法求函数极值求某些有多个变量的条件极值时，我们可以选取某个与这些变量有关的量做标准量，称其余为比较量，然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来，这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了。如果给定条件是几个变量之和的形式，一般设这几个量的算术平均数为标准量。例7设x+y+z=a，求u=x

10、2+y2+z2的极小值。解取x+y+z=a为标准量，令x=a-a，y=a-B，3 333=+2a2+2P2+2aP则z=3+a+卩（a、B为任意实数），从而有=G-a)2+(3一卩)2+(3+a+B)2=?+(a+B)2+a2+B2>T(等号当且仅当a=卩=0即x=y=z=3时成立所以u的极小值为f2.6配方法对于解析式中主体部分为二次三项式的函数，一般都可以用此方法，中学大部分求极值的问题都是采用这用方法。例8求函数y=1的极值。C0S2x-cosx+3分析：不难看出函数y的解析式中分母是以cosx为主元的二次三项式，则可以用配方法来解决这道题。解令u=cos2x-cosx+3，则u=

11、COS2x-cosx+3=COS2x-cosx+-44+3=（cosx-丄）2+1124y=1取极大值的条件是u取最小值,uy=1取极小值的条件是u取最大值;uuo（cosx-丄）2取最大值ncosx=-1max2uo（cosx-min则y的极小值为；J则y的极大值为1。2.7柯西不等式求初等函数的极值柯西不等式的一般形式为：对任意的实数a,a，,a及b,b，,b有12n12nlabVii'i=1或工abiii=1时成立。其中等号当且仅当aaa=2=.=«bbb例9已知a,b为正常数，且0<x<，求y=+的极小值。2sinxcosx解利用柯西不等式，得in2x+c

12、os2x)>sinx+3bcosx等号成立的当且仅当宾=叱时;3a3bax=arctg3-时，于是3a2+3b2>3asinx+3bcosx再由柯西不等式，/ab、+Vsinxcosx丿、(厂.広Vab'>7asinx+3bcosx彳+Vsinxcosx丿等号>6ayjsinxba+sinxcosx丿成立也是当且仅当x二arctg3兽时。从而y=乞+L-sinxcosx于是y=旦+丄sinxcosx3求初等函数最值的方法3.1 判别式法若函数y二f(x)可化成一个系数含有y的关于x的二次方程：a(y)x2+b(y)x+c(y)=0。在a(y)丰0时，由于x,y为

13、实数，则有=b2(y)-4a(y)c(y)>0,由此可以求出y所在的范围，确定函数的最值。例10实数x,y满足4x2-5xy+4y2二5,设s=x2+y2,则丄+丄的值为.ssmaxmin44解由题意知，xy=5s-1，故(xy)2=(5s-1)24又x2+y2=sx2,y2是方程12-st+(5s-1)2=0的两个实根.=s2-4(4s-1)2=-39s2+32s-4>05255解得巴<s<巴，即s=10s=10133min13,max3118+=ss5maxmin3.2 函数的单调性法当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值。若函数在整个区间上是单调

14、的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。若函数在整个区间上不是单调的，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值。例11求函数f(x)=卞'8x-x2-；'14x-x2-48的最小值和最大值。解先求定义域，由8x-x2>014x-x2-48>0得6<x<8又tf(x)=、'8-x(x-Jx-6)=$8工，x&【6,8x+x-6故当xw【6,8，且x增加时，赢+Jx-6增大，而J8-x减小于是f(x)是随着x的增大而减小，即f(x)在区间【6,8上是减函数，所以f(x

15、)=f=0,f(x)=f=minmax3.3 均值不等式法均值不等式：设a,aa是n个正数，则有珥+3>Jaaa,其中12n212n等号成立的条件是a=a=.=a。12n运用均值不等式求最值，必须具备三个必要条件，即一正二定三等，缺一不可。“正”是指各项均为正数,这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值“等”是等号成立的条件。例12设a=lgz+lgx(yz)-1+1,b=lgx-1+lg(xyz+1),c二lgy+lg(xyz)-1+1,记a,b,c中最大数为M,则M的最小值为多少？解由已知条件得a=lg(xy-1+z),b=lg(yz+x-1),c=lg(xz)-1+y设xy-1+

16、z,yz+x-1,(xz)-1+y中的最小数为A,则M=lgA由已知条件知，x,y,zgR+，于是A2>(xy-1+z)(xz)-1+y=(yz)-1+yz+(x+x-1)>2+2=4所以，A>2，且当x=y=z=1时，A=2，故A的最小值为2，从而M的最小值为lg2注:在用均值不等式求函数的最值时，往往需要配合一定的变形技巧，才可以把问题转化成求不等式的问题。3.4 换元法用换元法求函数最值，就是根据函数表达式的特点，把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替，达到化繁难为简易，化陌生为熟悉，从而使原问题得解。换元法通常有三角代换和代数代换两种。例13正数x,y满足a+-=

17、1，其中a,b为不相等的正常数，求x+y的最小xy值。a_ub=9xu+vy贝Ux+y="("+V)+b(u+v>0u+v=a+b+aV+>a+b+2Jab=('a+、b)uvuv当且仅当=如，即*av='''bu时上式取等号.故(x+y)=(：a+Jb)uVmin3.5 几何法某些二元函数最值问题具有图形背景，这时我们可以将所给函数表达式化为具有一定几何意义的代数表达式,再利用几何图形，对函数最值作出直观的说明和解释。根据函数所表示的几何意义，我们可以将函数分为以下几种：3.5.1可视为直线斜率的函数的最值例14求函数f(x)=

18、土壬也的最小值。x+2解令<1-X2二y，则f(x)=g(x,y)=1(y>0)，于是问题转x+2化为：当点P(x,y)在上半个单位圆x2+y2=1(y>0)上运动时，求A(-2,-1)与P(x,y)的连线AP的斜率的最值(如图)显然，当点P与点B(1,0)重合时，直线AP的斜率最小，此时K=1当直线AP与AB3上半个单位圆x2+y2=1(y>0)相切时，直线AP的斜率最大.设Kap=K,则直线AP的方程为y+1=K(x+2)，-直线AP与上半个单位圆x2+y2=1(y>0)相切.d=|2K-1=1解得k=0(舍去)或K=4OPy'K2+(-1)23综上可

19、得，直线AP的斜率的最值为：K=K=1,K=K=-minAB3maxAP3f(x)=1，f(x)=4Lmin3Lmax33.5.2可视为距离的函数的最值例15函数f(x)=Jx43x2-6x+13Jx4x2+1的最大值是解将函数式变形，得可知函数y=f(x)的几何意义是：在抛物线y=x2上的点PC,x2)分别到点A(3,2)和点B(0,1)的距离之差，现求其最大值.由|PA|-|PB|<|AB|知，当P在AB的延长线上P'处时，f(x)取得最大值|AB.f(x)=AB=J(30匕+(21匕=max353可视为曲线截距的函数的最值例16求函数v=sinucosu+sinu+cosu

20、的最大值。解令cosu=x,sinu=y,则v=xy+x+y,且x2+y2=1.则问题转化为：当点(x,y)在单位圆x2+y2=1上运动时，求双曲线族xy+x+yv=0(视v为常iy数)在y轴上的截距v的最大值.当vH-1时，由方程xy+x+yv=0得-y+vx+vx=,y=y+1x+1由此可知：当yT1时，xT8;当xT1时，y:.此双曲线族有公共的渐进线x=1和y=1，有公共的中心O'(-1,-1)T(二由此不难得出，当双曲线族xy+x+yv=0与单位圆x2+y2=1切于点时'纵截距v取得极大值2启，而2+迈>1，故所求纵截距v的极大值就是最大值.因此，所求函数v的最

21、大值为1+迈23.6构造方差法设n个数据X,X，,X的平均数为X，则其方差为12ns2=1r(xx+(xx+.+(xXnL12n=1n(X2+X2+.+X2)1(X+X+.+X)212nn12n显然s2>0(当且仅当X=X=.=X=X时取等号)。应用这一公式，可12n简捷、巧妙地解决一些试题的最值问题。这种方法适用的范围很广，可以用来求函数的最值，也可以用来求某一字母的最值以及求某一代数式的最值。例17确定最大的实数z，使得实数x,y满足:x+y+z=5,xy+yz+zx=3解由已知得,x+y=5-z,xy=3-z(x+y)=3-z(5-z)=z2-5z+3(x2+y2)-丄(x+y匕=1(x+y匕-2xy2_2_2_-5z+3)丄2(5一z)2一2(z23z210z13W0解得1WzW罟故z的最大值为#解法二：不妨设p+q=k,则由已知p3+q3=2,即(p+q)(p2+q2pq)=2得k(k23pq)=2又:p,q的方差是-(p+q)2-2pq=-2222(p+q)2-2pq8即3k2>4k2-,由此判定k>0,解得0<k3<8,即0Vk<2,亦即0<