(完整版)一元二次方程配方法,公式法,因式分解法

1、一元二次方程的根一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.例1：下面哪些数是方程2P+10x+12=0的根？4、一3、一2、一1、0、1、2、3、4分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可.例2：解方程：x'+6x+9=2解：由已知，得：(x+3)2=2直接开平方，得：x+3=±V2即x+3=V2,x+3=-V2所以，方程的两根“=3+JI,=-3-V23妒一5x=252解：方程两边同时除以3,得宀产亍配方，得宀产3(5丫49x=I6丿36=HI5 7x

2、-=±-,6 65 7所以，方程的两根a;=-+-=2,6 6复习(a+b)1=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2cib+b2根据公式完成卞面的练习：(l)x2-Sx+T(x-)2(2)9x2+12x+t(3x+)2(3)x2+px+/x2+6x+T(X+)2(5)x2-5x+f(x-)'(6)x"9.x+>(x)2努力就能成功，坚持确保胜利。4进步热线：3177117像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。练一练：(2)x2+12x-15=0(l)x2+Sx=9(6)(x+2)'=8x(4)3x2+Sx-3=0(5)2x2-9.r+8=0练

3、一练一. 选择题1. 方程x（x-l）=2的两根为（）.CXy=1,=2AX=0,Xr=1EX=0,=1).2. 方程ax(x-b)+(b-x)=0的根是(A. b=b,x2=aB.兀=応=+3.已知兀=一1是方程ax2+bx+c=0的根，则-0hO)=(bb).A1B一1C0D2Dp=-4、q=-2).4.若-4x+=（x+g）S那么p、q的值分别是（Ap=4、q=2Ep=4、q=25.方程3亍+9=0的根为（).B一3C±326.用配方法解方程x2-x+l=0正确的解法是（3A3D.无实数根).A.2土空933B.1X-3Q原方程无解92、X3丿二、填空题C.52V52-V5节人

4、=亍1兀=P"D.2、x3丿=i,為=1，旺=_£1.如果妒一81=0,那么x2-81=0的两个根分别是“=2. 已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为.3. 方程（x+1尸+1）=0,那么方程的根耳=:x2=4. 若8x2-16=0,则x的值是.5. 如果方程2（x-3）'=72,那么，这个一元二次方程的两根是.6. 如果b为实数，满足她+4+夕-12/?+36=0,那么ab的值是.三、综合提高题如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证:-1必是该方程的一个根.一元二次方程公式法一元二次方

5、程做'+加+。=0工0）的根由方程的系数b、C而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0（a0）,当b2-4ac>0时，将b、c代入式子士2-4（«就得到方程的根。（公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六种运算,2a力减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。）（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式。（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。例1.用公式法解下列方程.2x2-x-1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可。解：g

6、=2、b=1>c=1b2-4ac=（-1）2-4x2x（-1）=1+8=9_-（-l）±V9_1±3X =2x24_1XI =1，兀2=2练一练：用公式法解下列方程)o(4)4x2-3x+2=0（1）（x-2）（3x-5）=0（2）x2+l5=_3x一. 选择题1.用公式法解方程4亍-12x=3,得到（AX=-3±V62CxD2.方程耘+4羽x+6近=0的根是（)oAX=2*,X->=yfiBX=6,天=CX=2*/2",DX=X、=3. (nf-n2iir-n2-2)-8=0,则m2-n2的值是()。A4B-2C4或2D-4或2锲而不舍，胆

7、大心细让我们陪伴着你的成长!二、填空题1. 一元二次方程ax2+bx+c=O（aO）的求根公式是,条件是.2. 当兀=时，代数式x2-8x+12的值是4.3. 若关于X的一元二次方程（HI-l）x2+X+HJ2+2/11-3=0有一根为0,则加的值是三、拓展题某数学兴趣小组对关于x的方程（/n+l>H,=+2+（/w-2）Lr-l=0提出了下列问题。若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出加并解此方程.根据求根公式判别一元二次方程根的情况方程b-4ac的值b2-4ac的符号呂,"的关系（填相等、不等或不存在）2亍-3x=03宀2届+1=04x2+x+l=0七申八*-b&

8、#177;y/b2-4ac求根公式：x=o2a（1）当4心>0时，根据平方根的意义，ylb，-4ac等于一个具体数,所以一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的小=一"十"庆一九。工心=一"一"庆一纵匕,即有两个不相等的实根，即2a2a-b+yjb2一4ac一b-yjb2一4acX.=,兀>=o12a-2a（2）当b2-4ac=0时，根据平方根的意义J，一4皿=0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的b.bX=9即有两个相等的实根，即耳=o2d2a（3）当4gcy0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以一元二次方程ax2+bx

9、+c=0（a0）没有实数解。例1.不解方程，判定方程根的情况(1)16x2+8x=-3(2)9x'+6x+l=0(3)2x2-9x+8=0(4)x2-7x-18=0分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可巩固练习一、不解方程判定下列方程根的情况：3(1)x2+10x+26=0(2)x2-x-=04(3)3宀65=0(4)(5)X2-yf3x-丄=0(6)4x2-6x=04(7)心4)=58x(8)(x2)(3x5)=0二、选择题1. 以下是方程3x2-2x=一1的解的情况，其中正确的有().A.，一4。0=-8,方程有解B.V/?2-

10、4«c=-8,方程无解C.VZ?2-4«c=8,方程有解D.Vb-4ac=8,方程无解2. 一元二次方程x2-ax+l=0的两实数根相等，则d的值为().A.a=0B.。=2助=一2C.a=2D.。=2或。=03. 已知RhI,元二次方程U-l)x2+kx+l=0有根，则k的取值范围是().A.Rh2B.Ra2C.Ry2皿HlD.£为一切实数三、填空题1. 已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则与q的关系是2. 不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是(填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”).3. 已知几0,不解方程，试判定关于x的一元二次方程

11、x2-(2a+b)x+(ci+ab-2b2)=0的根的情况是四、综合提高题1.不解方程，判别关于x的方程疋2也+(21)=0的根的情况.2、若关于x的一元二次方程(a-2>)x2-2a.x+a+l=0没有实数解，求ot+3a0的解集(用含d的式子表示).一元二次方程因式分解法解下列方程。2x2+x=0方程中没有常数项；左边都可以因式分解:可以写成：x(2x+l)=0两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于0,也就是x=0或2x+l=o所以x1=0,A=-丄亠2因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个

12、一次式分别等于0,从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.用因式分解法解方程(l)10x-4.9x2=0(2)x(x-2)+x-2=0(3)(x-1)2=(3-2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？(方程一边为0,另一边可分解为两个一次因式乘积。)1下面一元二次方程解法中，正确的是().A. (x-3X-5)=10x2,Ax-3=10,x-5=2,A=13,x2=7B. (2_5x)+(5x_2)，=0,(5x_2)(5x_3)=0,召=彳,兀=彳C. (x+2)2+4x=0,AxL=2,x2=-2D. x2=X两边同除以X,得X=1一、填空题1. x2-5x因式分解结果为:2x(%-3)-5(%-3)因式分解的结果是.2. 方程(2x-1)2=2x-1的根是.3. 二次三项式F+20/+96分解因式的结果为_：如果令亍+20x+96=0,那么它的两个根是.二、综合提高题1.用因式分解法解下列方程.(l)3y2-6y=0(2)25y2-16=0(3)x2-12x-28=0(4)x2一12x+35=02.已知(x+yXx+yl)=0,