第2章_随机事件及其概率

1、 o 第一节：随机试验与随机事件第一节：随机试验与随机事件o 第二节：事件间的关系与运算第二节：事件间的关系与运算o 第三节：事件的概率与古典概型第三节：事件的概率与古典概型o 第四节：条件概率与事件的独立性第四节：条件概率与事件的独立性 1. 随机试验随机试验：对随机现象进行研究，人们通常进行大量的 观察试验，如果试验具有以下三个特点称为随机试验。 可以在相同的条件下重复进行。可以在相同的条件下重复进行。 试验结果不止一个，但可以预知一切可能的结果的取试验结果不止一个，但可以预知一切可能的结果的取 值范围。值范围。 试验前不能确定出现哪个结果。试验前不能确定出现哪个结果。下面给出几个随机试验

2、的例子： 例1 掷一枚骰子，记录其点数。 例2 记录某电话传呼台一小时内收到的呼叫数 例3 掷二枚硬币，记录正、反面出现的情况。 例4 一天中任取一时刻记录下当时的气温。第一节：随机试验与随机事件第一节：随机试验与随机事件2 样本空间及随机事件 样本空间：试验中每个可能的结果称为样本点用w表示，全体样本点构成的空间称为样本空间在例1中 样本空间为 1 ，2，3，4，5，6在例2中 样本空间为 0，1，2在例3中 样本空间为（+，-），（-，+），（-，-）， （+，+）在例4中 设当天最低气温为a最高气温为b 则样本空间为 xaxb在实验中人们常关心于满足某些条件的样本点在试验后是否会出现，例

3、如在汛期水文站关心的是江河水位时否达到或超过警戒水位H；抽查样品时检验人员关心的是产品某方面指标是否达到合格标准。：样本空间中满足某些条件的样本点构成的子集为 随机事件。通常用A、B、C表示。若实验后的结果 WA则称事件A发生了。o 基本事件：只含有一个样本点的事件叫基本事件。o 必然事件：样本空间也是它自己的子集。o 不可能事件：不包含任何样本点的事件称为不可能事件。o 第二节第二节 事件间的关系及运算事件间的关系及运算1. 事件的包含与相等：若事件A发生导致事件B发生，即A中 的每个样本点都属于B则称A包含于B或B包含A，若A包含 于B，B包含于A则称A与B相等。2. 事件的并（和）：设A

4、、B为两事件则事件A发生或B发生 记为AB称为A与B的和事件。它由A或B中一切样本点共 同组成的集合。SABSAB事件间的关系与运算3. 事件的交（积）：事件 A与事件B同时发生的事件记为 AB或AB它是由既属于A又属于B的样本点构成的集合。ABBA SABA1,A2,AnA1A2AnBA AAAABA,事件间的关系与运算互不相容（互斥）互不相容（互斥）SAAB BA对立事件对立事件 （逆事件）（逆事件）SBABA ;SBA请注意请注意互不相容互不相容与与对立事件对立事件的区别！的区别！事件间的关系与运算说明说明：1. 任意一个试验的基本事件是两两互斥的任意一个试验的基本事件是两两互斥的. 2

5、. 对立事件必为互斥事件对立事件必为互斥事件,反之未必。反之未必。 3. 结论结论 ;,AAAAASASAA BABABABA ,nnAAAAAA2121 nnAAAAAA2121 事件间的关系与运算 差事件差事件BA BA 发生当且仅当发生当且仅当 A 发生发生 B 不发生不发生.BAABA SABBABA ASAB 称事件称事件 为事件为事件A与与B的差事件的差事件.记为：记为：BA BxAxx 但但:事件间的关系与运算(例题分析)例例2.2.1: 在在S4 : t|t 0 中中事件事件 A=t|t 1000 表示表示 “产品是次品产品是次品” 事件事件 B=t|t 1000 表示表示 “

6、产品是合格品产品是合格品” 事件事件 C=t|t 1500 表示表示“产品是一级品产品是一级品”则则BA与与CA与与CB 表示表示 “产品是合格品但不是一级品产品是合格品但不是一级品”; BCCB 表示表示 “产品是是一级品产品是是一级品” ;表示表示 “产品是合格品产品是合格品”.是是互互为为对对立立事事件件；是互斥事件；第三节：事件的概率与古典概型第三节：事件的概率与古典概型一、事件的频率定义：在相同的条件下,重复进行N次试验,若随机事件A在N次试验中发生NA次,则称比值NA/N为事件A的频率,记为fN(A) , 既有 fN(A) = NA/N.)()()(BfAfBAfNNN 显然显然

7、1. 0 fN(A) 1； 2. fN(S)=1 ； 3. 若事件若事件A和和B互斥，则互斥，则说明： 频率只反映事件A发生的频繁程度,此频率值会依不同的试验而有所不同,故用频率表示事件发生的可能性是恰当的.频率的特点： 事件A的频率随着试验次数N的增加, 在某一确定的P值附近摆动, 频率越接近于一个确定的值P频率具有稳定性。二、事件的概率 定义:在相同的条件下,重复进行若干次(无穷次)试验E,若随机事件A的频率稳定地在某一确定的值P附近摆动,则称此确定的P值为事件A的概率, 记为：P(A).说明:1. 事件A的概率是一个介于0和1之间的一个值，用以度量试验完成时事件A发生的可能性大小， 记为

8、 P(A) 2. P(A)是事件A本身所固有的, 不依赖于试验的不同而不同. 在现实生活中, P(A)值的确定往往借用频率或频率的平均值来近似代替,即在相同条件下,重复进行n次试验, 事件A发生了m次,则事件A发生的概率可以写为 概率的性质和运算法则性质1 (非负性) 对于任何事件A，均有P(A)0性质2 (规范性） P(S)=1, 对任何事件A，有0P(A)1性质性质3 (完全可加性）完全可加性） A1,A2,An,为为E的两两的两两互斥事件，则互斥事件，则此公式称为此公式称为加法公式加法公式(无限可加性）无限可加性）P(A1A2An )=P(A1)+P(A2)+P(An) + 特别地 1.

9、 当事件A, B互斥时，P(AB)=P(A)+P(B) 2.设A1, A2, An为两两互斥事件组,则 P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An).概率的有限可加性概率的有限可加性性质性质4 4： ;0)( P)()(APBP SAB)(ABAB 性质性质5：).()()(APBPABPBA ，则有，则有若若;)(1)(APAP 性质性质6：逆事件概率逆事件概率SAABo 性质7： P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)SAB)(ABBABA ()( )( )( )P AB CP AP BP C )()()(ABPBPABP SBAABBAB )()()()(ABCPBCPA

10、CPABP 性质性质8：性质性质9：概率的加法公式(例题分析)例例2.3.1：书第：书第44页例页例2.8,例例2.9.4.古典概型试验与古典概率生活中有这样一类试验，它们的共同特点是： 样本空间的元素只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同 设有试验设有试验E的样本空间的样本空间S=e1,e2, ,en ,每一个基每一个基本事件本事件ei(i=1,2,n)的发生概率均相等。既有的发生概率均相等。既有:P(e1)= P(e2)= =P(en) ,则称此试验为古典概型试验则称此试验为古典概型试验, 又称等又称等可能概型试验可能概型试验, 所对应的数学模型称为古典概型。所对应的数学模型称为古典概

11、型。 古典概型概率的计算 设设 S =e1, e2, en , .21ne=PePeP而基本事件两两互斥；所以而基本事件两两互斥；所以,121nePePePSP .,2,1,1ninePi 由古典概型的等可能性，由古典概型的等可能性， 得得若事件若事件 A 包含包含 k 个基本事件，即个基本事件，即 A =e1, e2, ek , 则有则有 ： .)(中中基基本本事事件件总总数数包包含含的的基基本本事事件件数数SAnkAP 排列组合知识的补充 加法与乘法原理加法与乘法原理 加法原理加法原理：完成一件事，如果有k类办法：在第一类办法中有n1种不同的做法，在第二类办法中有n2种不同的做法，,在第k

12、类办法中有nk种不同的做法，那么完成这件事有n=n1+n2+种不同的方法.（一步到位）乘法原理乘法原理：完成一件事需要k个步骤：第一步有n1种不同的方法，第二步有n2种不同的方法，,在第k步 有 n k 种 不 同 的 方 法 ， 那 么 完 成 这 件 事 共 有n1*n2*n3种不同的方法。（分步进行） 排列组合知识的补充(例题分析)例2.3.2 一天中从甲地到乙地有3班火车，4班汽车，2班轮船，1班飞机，问：一天中从甲地到乙地有多少种走法？解：3+4+2+1=10。例2.3.3 书第47页例2.13排列组合知识的补充 排列排列 ：从从n 个不同的元素中任意取个不同的元素中任意取m个个元素

13、，按一个个元素，按一定顺序排成一排定顺序排成一排,称此排为从称此排为从n 个不同的元素中任意个不同的元素中任意取取m个元素的一个排列个元素的一个排列.排列数：排列数：从从n 个不同的元素中任意取个不同的元素中任意取m个元素的所有个元素的所有排列的个数叫做从排列的个数叫做从n 个不同的元素中任意取个不同的元素中任意取m个元素个元素的排列数。用的排列数。用 表示。其中表示。其中 mnP 121 mnnnnPmn特别是特别是m=n时，则有全排列，既有时，则有全排列，既有 121 nnnPnnmnC !121mnmnmmnnnnCmn 组合数 从n个不同的元素中任意取m个元素的所有组合的个数,叫做从n

14、个不同的元素中任意取m个元素的组合数。用 表示。其中组合组合 从从n 个不同的元素中个不同的元素中,任意取任意取m个元素组成组个元素组成组,称此为从称此为从n 个不同的元素中任意取个不同的元素中任意取m个元素的个组合。个元素的个组合。例2.3.5 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9任取两个不同的数字作乘积，有多少个积？361289222929 PPC解：o 例2.3.4 书第48页例2.14例2.3.7 把一套4卷本的书随机地摆放在书架上，问：恰好排成序（从左至右或从右至左）的概率是多少？解：解：将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一个基本事件，

15、共有放法个基本事件，共有放法4！种。！种。把书恰好排成序有两种放法。把书恰好排成序有两种放法。所以，所求概率为所以，所求概率为0833. 0! 42 p古典概型概率(例题分析) ） 例2.3.7 设有10件产品, 7件正品, 3件次品.求：(1)不放回式, 每次从中取一个, 共取3次, 3件均为次品的概率.(2)有放回式, 每次从中取一个, 共取3次, 3件均为次品的概率。解：解：设设A表示表示“取取3次，次，3件均为次品件均为次品”的事件。的事件。（1） 不放回抽去产品不放回抽去产品, 由于产品的型号相同由于产品的型号相同, 则每个产品则每个产品被取到的可能性相同被取到的可能性相同, 故此属

16、于古典概型问题。故此属于古典概型问题。120172068910123)( AP 样本空间样本空间S中的基本事件数为中的基本事件数为9*8*7。事件。事件A所含基本所含基本事件数为事件数为 3*2*1.古典概型概率(例题分析)（2） 有放回抽去产品, 由于产品的型号相同, 则每个产品被取到的可能性相同, 故此属于古典概型问题33103)( AP 样本空间S中的基本事件数为10*10*10，事件A所含基本事件数为3*3*3。古典概型概率(例题分析)例2.3.10 一批灯泡40只,其中有3只坏的,从中任取3只检查,求至少有一只是坏灯泡的概率。解：解：由于每个灯泡被取到的可能性相同，故此属于古由于每个

17、灯泡被取到的可能性相同，故此属于古典概型问题。典概型问题。设设Ai (i=1,2,3),表示表示“所取的所取的3只灯泡有只灯泡有i只是坏的只是坏的”的的事事件件,设设B表示表示“所取的所取的3只灯泡中至少有只灯泡中至少有1只是坏的只是坏的”的的事事件。由题意知：件。由题意知：B=A1 A2 A3, ,且且A1 A2 A3, ,两两互两两互斥斥 , ,则则古典概型概率(例题分析)P(B)=P(A1 A A2 2 A A3 3)= )= P(A1A A2 2A A3 3) ) 3 , 2 , 1)(3403373 iCCCAPiii于是于是 )()()()(321APAPAPBP 214. 098

18、8211313403373 iiiCCC古典概型概率(例题分析) 或解：或解： 表示表示“所取的所取的3只灯泡中都是好的只灯泡中都是好的”的事件。的事件。由题意知：由题意知：B于是于是 214. 01)(1)(340337 CCBPBPBSB 第四节：条件概率与事件的独立性第四节：条件概率与事件的独立性o 条件概率: 设事件A和B,且P(B)0,在事件B发生的条件下,称事件A发生的概率为事件A在给定事件B下的条件概率,简称A对B的条件概率，记为P(A|B) 计算条件概率的公式： 计算条件概率的方法计算条件概率的方法：1）直接利用定义中的公式直接利用定义中的公式 ；2）在缩减样本空间的情况下，即

19、在事件）在缩减样本空间的情况下，即在事件A所包含基所包含基本事件数的基础上讨论本事件数的基础上讨论B所包含的基本事件数。所包含的基本事件数。 所所包包含含的的基基本本事事件件数数所所包包含含的的基基本本事事件件数数BABBAP )|(条件概率(例题分析)解：设 A =顾客购买食品, B =顾客购买其他商品o 依题意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35 例例2.4.1 一家超市所作的一项调查表明一家超市所作的一项调查表明,有有80%的顾客到超市是的顾客到超市是来购买食品来购买食品,60%的人是来购买其他商品的人是来购买其他商品,35%的人既购买食品的人既购买食品也购买

20、其他商品也购买其他商品.求：求： (1)已知某顾客购买食品的条件下已知某顾客购买食品的条件下,也购买其他商品的概率也购买其他商品的概率 (2)已知某顾客购买其他的条件下已知某顾客购买其他的条件下,也购买食品的概率也购买食品的概率乘法公式用来计算两事件交的概率以条件概率的定义为基础设A，B为两个事件，若P(B)0，则 P(AB)=P(B)P(A|B) 或 P(AB)=P(A)P(B|A)乘法公式的推广设事件A、B、C，且P(AB)0，则 P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)设有n个事件A1,A2,An,且P(A1A2An-1) 0，则 P(A1A2An) = P(A1) P(A2|A

21、1) P(A3|A1A2) P(An|A1A2An-1)一般情况下一般情况下P(AB)P(A)P(B)，即，即:P(A|B)P(A)乘法公式(例题分析)例例2.4.3 一家报纸的发行部已知在某社区有一家报纸的发行部已知在某社区有75%的的住户订阅了该报纸的日报住户订阅了该报纸的日报,而且还知道某个订阅日报而且还知道某个订阅日报的住户订阅其晚报的概率为的住户订阅其晚报的概率为50%.求某住户既订阅日求某住户既订阅日报又订阅晚报的概率报又订阅晚报的概率. 解：解：设设 A = 某住户订阅了日报某住户订阅了日报 B = 某个订阅了日报的住户订阅了晚报某个订阅了日报的住户订阅了晚报 依题意有：依题意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50 P(AB)=P(A) P(B|A)=0.750.5=0.375乘法公式(例题分析)例例2.4.5 从一个装有从一个装有3个红球个红球2个白球的盒子里摸球个白球的盒子里摸球(摸出后球不放回摸出后球不放回),求连续两次摸中红球的概率求连续两次摸中红球的概率 . 解解 设设 A = 第第2次摸到红球次摸到红球 B = 第第1次摸到红球次摸到红球 依题意有：依题意有： P(B)=3/5；P(B|A)=2/4 P(AB)=P(A) P(B|A)=3/52/4=0.3事件的独立性1.若P(A|B)=P(A)或P(B|