Part3-第12章-大跨度桥梁的稳定理论

1、1 1 概概 述述2 2 第一类弹性及弹塑性稳定分析第一类弹性及弹塑性稳定分析3 3 拱桥稳定分析和非保向力效应拱桥稳定分析和非保向力效应4 4 材料非线性问题材料非线性问题5 5 第二类稳定问题和极限承载力全过程分析第二类稳定问题和极限承载力全过程分析6 6 小小 结结第十二章第十二章 大跨度桥梁的稳定理论大跨度桥梁的稳定理论本章主要内容1. 1. 概述概述1.11.1 稳定理论的发展稳定理论的发展什么是什么是结构失稳结构失稳？结构在外力增加到某一量值时，稳定性平衡状态开始丧失，稍有扰动，结构结构在外力增加到某一量值时，稳定性平衡状态开始丧失，稍有扰动，结构变形迅速增大，使结构失去正常工作能

2、力的现象变形迅速增大，使结构失去正常工作能力的现象稳定问题稳定问题的重要性的重要性随着桥梁跨径的不断增大，桥塔高耸化、箱梁薄壁化以及高强材料的应用，随着桥梁跨径的不断增大，桥塔高耸化、箱梁薄壁化以及高强材料的应用，结构整体和局部的刚度下降，使得稳定问题显得比以往更为重要结构整体和局部的刚度下降，使得稳定问题显得比以往更为重要 桥梁结构的失稳形态桥梁结构的失稳形态桥梁结构的失稳现象表现为结构的整体失稳或局部失稳桥梁结构的失稳现象表现为结构的整体失稳或局部失稳局部失稳局部失稳是指部分子结构的失稳或个别构件的失稳，局部失稳常常导致整个是指部分子结构的失稳或个别构件的失稳，局部失稳常常导致整个结构体系

3、的失稳结构体系的失稳桥梁失稳事故的发生促进了桥梁失稳事故的发生促进了桥梁稳定理论的发展桥梁稳定理论的发展17441744年，欧拉年，欧拉(L.Eular(L.Eular) )就提出了就提出了压杆稳定压杆稳定的著名公式的著名公式彭加瑞彭加瑞(A.Poincare,1885)(A.Poincare,1885)明确了稳定概念，并推广到流体力学明确了稳定概念，并推广到流体力学的层流稳定问题中，即的层流稳定问题中，即稳定分支点稳定分支点的概念的概念恩格塞恩格塞(Engesser(Engesser) )和卡门和卡门(Karman(Karman) )等根据大量中长压杆在压曲等根据大量中长压杆在压曲前已超出弹

4、性极限的事实，分别提出了前已超出弹性极限的事实，分别提出了切线模量理论切线模量理论和和折算模量折算模量理论理论普兰特尔和米歇尔几乎同时发表了关于普兰特尔和米歇尔几乎同时发表了关于梁侧倾问题梁侧倾问题的研究成果的研究成果 1.11.1 稳定理论的发展稳定理论的发展( (续续) )薄壁轻型结构的使用，提出了稳定新课题薄壁轻型结构的使用，提出了稳定新课题瓦格纳瓦格纳(H.Wagner,1929)(H.Wagner,1929)及符拉索夫及符拉索夫(1940)(1940)等建立关于等建立关于薄壁杆件的薄壁杆件的弯扭失稳理论弯扭失稳理论u证明其临界荷载值大大低于欧拉理论值，且不能用分支点的概念来解释证明其

5、临界荷载值大大低于欧拉理论值，且不能用分支点的概念来解释u引入了极值点失稳的观点以及跳跃现象的稳定理论引入了极值点失稳的观点以及跳跃现象的稳定理论 稳定理论与非线性理论的联系密不可分稳定理论与非线性理论的联系密不可分只有通过对结构只有通过对结构几何非线性关系几何非线性关系以及以及材料非线性本构关系材料非线性本构关系的研究，的研究，才能深入揭示复杂稳定问题的实质才能深入揭示复杂稳定问题的实质1.11.1 稳定理论的发展稳定理论的发展( (续续) )研究结构稳定问题的两种形式研究结构稳定问题的两种形式1)1)第一类稳定：第一类稳定：分支点失稳分支点失稳 从小范围内观察，以小位移理论为基础从小范围内

6、观察，以小位移理论为基础2)2)第二类稳定：第二类稳定：极值点失稳极值点失稳 从大范围内研究从大范围内研究，以，以大位移非线性理论为基础大位移非线性理论为基础由于第一类稳定问题是特征值问题，求解方便，在许多情由于第一类稳定问题是特征值问题，求解方便，在许多情况下两类问题的临界值又相差不大，因此况下两类问题的临界值又相差不大，因此研究第一类稳定研究第一类稳定问题仍有着重要的工程意义问题仍有着重要的工程意义1.21.2 两类稳定问题两类稳定问题静力平衡法静力平衡法从平衡状态来研究压杆屈曲特征，即研究载荷达到多大时，弹从平衡状态来研究压杆屈曲特征，即研究载荷达到多大时，弹性系统可以发生不同的平衡状态

7、性系统可以发生不同的平衡状态实质是求解弹性系统的平衡路径实质是求解弹性系统的平衡路径( (曲线曲线) )的分支点所对应的载荷的分支点所对应的载荷值值( (临界载荷临界载荷) )能量法能量法求弹性系统的总势能不再是正定时的载荷值求弹性系统的总势能不再是正定时的载荷值1.3 1.3 稳定问题的求解方法简介稳定问题的求解方法简介振动法振动法当压杆在给定的压力下，受到一定的初始扰动之后，必将产当压杆在给定的压力下，受到一定的初始扰动之后，必将产生自由振动生自由振动如果振动随时间的增加是收敛的，则压杆是稳定的如果振动随时间的增加是收敛的，则压杆是稳定的缺陷法缺陷法由于缺陷的影响，杆件开始受力时即产生弯曲

8、变形由于缺陷的影响，杆件开始受力时即产生弯曲变形在一般条件下缺陷总是很小的，弯曲变形并不显著在一般条件下缺陷总是很小的，弯曲变形并不显著当荷载接近临界值时，变形才迅速增大，由此确定失稳条件当荷载接近临界值时，变形才迅速增大，由此确定失稳条件1.3 1.3 稳定问题的求解方法简介稳定问题的求解方法简介对对于欧拉压杆而言，所得到的临界荷载值是相同的于欧拉压杆而言，所得到的临界荷载值是相同的但但它们的结论并不完全一样，表现在以下几个方面它们的结论并不完全一样，表现在以下几个方面(1)(1)静力平衡法静力平衡法当当P=PP=P1 1、P P2 2.P.Pn n时压杆可能发生屈曲现象，无法判断何种情时压

9、杆可能发生屈曲现象，无法判断何种情况最可能失稳况最可能失稳在在P P P P1 1、P P2 2.P.Pn n时，屈曲的变形形式不能平衡，无法回答直时，屈曲的变形形式不能平衡，无法回答直线形式的平衡是否稳定的问题线形式的平衡是否稳定的问题1.3 1.3 稳定问题的求解方法简介稳定问题的求解方法简介( (续续) )(2)(2)缺陷法缺陷法当当P=PP=P1 1、P P2 2.P.Pn n，杆件将发生无限变形，杆件将发生无限变形但对于但对于P P在在P P1 1、P P2 2.P.Pn n各值之间时压杆是否稳定的问题也各值之间时压杆是否稳定的问题也不能解释不能解释(3)(3)能量法和振动法能量法和

10、振动法PPPP1 1之后不论之后不论P P值多大，压杆直线形式的平衡都是不稳定的值多大，压杆直线形式的平衡都是不稳定的和事实完全一致和事实完全一致 1.3 1.3 稳定问题的求解方法简介稳定问题的求解方法简介( (续续) )由于桥梁结构的复杂性，不可能单靠上述方法来解决由于桥梁结构的复杂性，不可能单靠上述方法来解决其稳定问题其稳定问题大量使用的是大量使用的是近似求解方法近似求解方法：从微分方程出发，通过数学上的各种近似方法求解从微分方程出发，通过数学上的各种近似方法求解 如逐次渐近法如逐次渐近法基于能量变分原理的近似法基于能量变分原理的近似法 如如RitzRitz法，有限元方法可以看成是法，有

11、限元方法可以看成是RitzRitz法的特殊形式法的特殊形式1.3 1.3 稳定问题的求解方法简介稳定问题的求解方法简介( (续续) )在发生第一类失稳前，结构在发生第一类失稳前，结构在在初始构形线性平衡，大位移初始构形线性平衡，大位移矩阵矩阵0 0KKL L为零为零不论不论T.LT.L还是还是U.LU.L列式，表达形式是统一的列式，表达形式是统一的 ()KKuR 在结构处在临界状态下，即使在结构处在临界状态下，即使R0R0，uu也有非零解也有非零解按线性代数理论，必有：按线性代数理论，必有：KK0(12-4)(12-4) (12-3)(12-3) 2.2.第一类弹性及弹塑性稳定分析第一类弹性及

12、弹塑性稳定分析2.12.1第一类稳定问题的线弹性有限元分析第一类稳定问题的线弹性有限元分析2.12.1第一类稳定问题的线弹性有限元分析第一类稳定问题的线弹性有限元分析( (续续) )发生第一类失稳前满足线性假设，应力与外荷载发生第一类失稳前满足线性假设，应力与外荷载以及以及几何刚度为线性关系几何刚度为线性关系若某种参考荷载若某种参考荷载 对应的结构几何刚度阵为对应的结构几何刚度阵为 式式(12(124)4)可写成可写成 KK KK0稳定问题转化为求方程的稳定问题转化为求方程的最小特征值问题最小特征值问题 P K(12-6)(12-6) (12-5)(12-5) 2.12.1第一类稳定问题的线弹

13、性有限元分析第一类稳定问题的线弹性有限元分析( (续续) )KK可以分成一期恒载的初内力刚度阵可以分成一期恒载的初内力刚度阵 和后期荷载（和后期荷载（二期、活载等）的初内力刚度阵二期、活载等）的初内力刚度阵 两部分两部分计算一期恒载稳定问题，计算一期恒载稳定问题， ， 为为恒载稳定安全系数恒载稳定安全系数计算后期荷载稳定问题，则恒载计算后期荷载稳定问题，则恒载 可近似为一常量，式可近似为一常量，式(12(126)6)改写成：改写成： KKK120K12KK20K1(12-7)(12-7) 为为后期恒载稳定安全系数，相应的特征向量就是失稳模态后期恒载稳定安全系数，相应的特征向量就是失稳模态 3.

14、 3. 拱桥稳定分析和非保向力效应拱桥稳定分析和非保向力效应本节以本节以解析法解析法来阐述拱桥的第一类稳定计算来阐述拱桥的第一类稳定计算可分为以下两类问题：可分为以下两类问题：面内稳定面内稳定侧向稳定侧向稳定 3.13.1圆弧拱平面屈曲微分方程圆弧拱平面屈曲微分方程 3.13.1圆弧拱平面屈曲微分方程圆弧拱平面屈曲微分方程( (续续) ) 当荷载达到临界值时，拱发生微小的弯曲变形当荷载达到临界值时，拱发生微小的弯曲变形 v v，且在截，且在截面上存在弯矩面上存在弯矩 M M，在这一变形状态下可以导出它的屈曲微分方，在这一变形状态下可以导出它的屈曲微分方程为：程为： xEIMRvdsvd222

15、(12 (129 9) )或：或： xEIMRvdvd222 (1210)3.23.2等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载 边界条件边界条件: : 00,v 得得 c20 20,v 得得 ck120sinc c1 1不能为零，则必须有不能为零，则必须有 sin20k (12 (121515) ) 由此得到由此得到 21 2 3knn,(, , ,.) 由于拱的两端不能移动，圆弧拱轴也假定不发生伸缩。因此由于拱的两端不能移动，圆弧拱轴也假定不发生伸缩。因此n=1n=1 相应的失稳模态是没有意义的。要求最小特征值时相应的失稳模态是没有意义的。

16、要求最小特征值时 n=2n=2，拱，拱的屈曲模态为的屈曲模态为: : sin)(1cv (12 (121616) )3.23.2等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载( (续续) ) 临临界界荷荷载载值值为为： qEIRKEIRcrXx322131() ( (1 12 21 17 7) ) 式式中中 K1221 ( (1 12 21 18 8) ) K K1 1称称为为拱拱的的临临界界荷荷载载系系数数( (或或稳稳定定系系数数) )，与与夹夹角角有有关关。 式式( (1 12 21 17 7) )也也可可写写成成中中心心受受压压直直杆杆的的

17、欧欧拉拉公公式式的的标标准准形形式式 20 x22222X2crcrsEI)1 (REIRqN ( (1 12 21 19 9) )3.23.2等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载等截面圆弧拱在均布径向荷载作用下的屈曲临界荷载( (续续) )3.3 3.3 圆拱的面外稳定圆拱的面外稳定平面拱轴侧倾后是一条空间曲线，其位移与几何关系用曲线坐标来描述。平面拱轴侧倾后是一条空间曲线，其位移与几何关系用曲线坐标来描述。 图图 12 12.4.4 侧倾变形后的拱侧倾变形后的拱 拱侧倾变形后拱侧倾变形后( (图图 12.412.4) )，任意截面，任意截面 s s 在垂直于拱平面在垂直于拱平面

18、x x 轴，指向拱轴法向的轴，指向拱轴法向的y y 轴和同拱轴切线重合的轴和同拱轴切线重合的 z z 轴三个方向分别发生了线位移轴三个方向分别发生了线位移 u u、v v、w,w,并绕这三个轴并绕这三个轴发生了转角位移、。截面主轴发生了转角位移、。截面主轴 x x、y y、z z 也随着拱的侧倾产生了变位。研也随着拱的侧倾产生了变位。研究相距究相距 dsds 截面的变形，可得拱绕截面的变形，可得拱绕 y y、z z 轴转动的曲率关系：轴转动的曲率关系：3.3 3.3 圆拱的面外稳定圆拱的面外稳定( (续续) ) dSduR1dSddSudRz22y (12 (122121) ) 下面用能量法研

19、究两端固结拱轴线长度为下面用能量法研究两端固结拱轴线长度为 L L 的园拱的侧向稳定问题。的园拱的侧向稳定问题。 圆拱侧倾时，拱肋侧向弯曲变形能为：圆拱侧倾时，拱肋侧向弯曲变形能为： 2/L2/L2yyBds2EIV (12(122222) ) 拱肋扭转变形能为：拱肋扭转变形能为： 2/L2/L2ZTds2GJV (12(122323) ) 拱肋轴力在侧倾时所作外力功为：拱肋轴力在侧倾时所作外力功为： 2/L2/L2Dds)dsdu(qRV (12 (122424) )3.3 3.3 圆拱的面外稳定圆拱的面外稳定( (续续) ) 结结构构势势能能为为： DTBVVV ( (1 12 22 25

20、 5) ) 设设失失稳稳模模态态为为： )2cos1 ()2cos1 (LSBLSAuaa ( (1 12 22 26 6) )将将式式( (1 12 22 21 1) ) ( (1 12 22 24 4) )、( (1 12 22 26 6) )代代入入式式( (1 12 22 25 5) )，由由 AB00 ( (1 12 22 27 7) ) 易易得得：qEIRcry322222244() ( (1 12 22 28 8) )3.3 3.3 圆拱的面外稳定圆拱的面外稳定( (续续) )3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳

21、定与非保向力效应( (续续) )3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应( (续续) )3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应( (续续) )3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应( (续续) )3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应( (续续) ) 当系杆拱发生侧倾时，其总势能除了前面式当系杆拱发生侧倾时，其总势能除了前面式(12(122222) ) (12(122424) )列出的三项列出的三项外，还增加了考虑非保向力效应的虚拟弹簧支承变形能外，还增加了考虑非保向力效应的虚拟弹簧支承变形能 V Vk k：

22、 222)(21LLakdsuaxkV (12 (123535) ) 将式将式(12(123535) )增添到式增添到式(12(122 25)5)中，由能量驻值原理可得系杆拱侧倾临界中，由能量驻值原理可得系杆拱侧倾临界荷载：荷载： crcrcraqCqq11 (12 (123636) ) 式中：式中： 非保向力效应系数非保向力效应系数, ,crq由式由式(12-28)(12-28)给出。给出。 CVVkD (12 (123 37 7) ) 对圆弧拱，偏安全地取对圆弧拱，偏安全地取 y(x)=fy(x)=f，则，则 C C 的下限为：的下限为： CRf342() (12 (123838) )3.

23、4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应( (续续) )3.4 3.4 拱桥稳定与非保向力效应拱桥稳定与非保向力效应( (续续) )例例 12121 1 某下承式无风某下承式无风架钢筋砼双肋拱桥，基本参数如下：架钢筋砼双肋拱桥，基本参数如下： 4274270111. 1/104 . 14798. 0/102 . 3765.51522. 11035. 179.785128.144 .71mJmkNGmImkNERlLLlfmfmly由式由式(12(1254)54)易得：易得： )4(42222223REIqycro=1571=1571. .2 2 k kN/mN/m CRf342

24、()=0.638=0.638 qqcqcrcrocro11=2=2. .767615711571. .2=4332=4336 6. .5 5KN/mKN/m 与有限元数值解与有限元数值解 q qcrcr=4276.0KN/m=4276.0KN/m 十分接近。十分接近。材料非线性问题材料非线性问题概概 述述当构件应力超过弹性极限后，材料弹性模量当构件应力超过弹性极限后，材料弹性模量E E成为成为应力的函数，导致基本控制方程的非线性，即材料应力的函数，导致基本控制方程的非线性，即材料非线性问题非线性问题凡是在本构关系中放弃材料线性关系假定的理论凡是在本构关系中放弃材料线性关系假定的理论，均属材料非

25、线性范畴，均属材料非线性范畴桥梁结构以钢和砼作为主要建材，因此涉及的材桥梁结构以钢和砼作为主要建材，因此涉及的材料非线性主要是非线性弹塑性问题和砼徐变问题料非线性主要是非线性弹塑性问题和砼徐变问题弹塑性应力、应变关系与屈服准则弹塑性应力、应变关系与屈服准则 根据实验结果，单轴应力下材料的应力、应变关系如根据实验结果，单轴应力下材料的应力、应变关系如图图12.712.7所示，可归结为如下几点：所示，可归结为如下几点： 1)1)应力在达到比例应力在达到比例极限前，材料为线弹极限前，材料为线弹性；应力在比例极限性；应力在比例极限和弹性极限之间，材和弹性极限之间，材料为非线性弹性。料为非线性弹性。 图

26、图12-7 12-7 单轴应力下材料的应力、应变关系单轴应力下材料的应力、应变关系 弹塑性应力、应变关系与弹塑性应力、应变关系与屈屈服准则服准则( (续续) ) 2)2)应力超过屈服点，材料应变中出现不可恢复的塑性应力超过屈服点，材料应变中出现不可恢复的塑性应变应变: : pe应力和应变间为非线性关系：应力和应变间为非线性关系： ( ) 3)3)应力在某一应力下卸载，则应力增量与应变增量之应力在某一应力下卸载，则应力增量与应变增量之间存在线性关系，即：间存在线性关系，即： dEd为了判断是加载还是卸载，用如下加载准则：为了判断是加载还是卸载，用如下加载准则： 当当 时为加载，满足时为加载，满足

27、 (12-40)(12-40) 当当 时为卸载，满足时为卸载，满足 (12-41) (12-41) (12-39)(12-39) (12-40)(12-40) (12-41)(12-41) 0d0d弹塑性应力、应变关系与弹塑性应力、应变关系与屈屈服准则服准则( (续续) ) 4)4)在卸载后某应力在卸载后某应力 下重新加载，则：下重新加载，则： 时，时， 0 0为卸载前材料曾经受到过的最大应力值，称后屈服应为卸载前材料曾经受到过的最大应力值，称后屈服应力，若：力，若： 0=0= s s 材料称为理想塑性的；材料称为理想塑性的； 0 0 s s 称材料为硬化的。称材料为硬化的。 0dEd 5)5

28、)从卸载转入反向力加载，应力、应变关系继续依式从卸载转入反向力加载，应力、应变关系继续依式(12-41)(12-41)或或(12-42)(12-42)，一直到反向屈服。在复杂应力状态，一直到反向屈服。在复杂应力状态下，判断材料是否屈服，可以用应力的某种函数表示：下，判断材料是否屈服，可以用应力的某种函数表示： (12-42)(12-42) 弹塑性应力、应变关系与弹塑性应力、应变关系与屈屈服准则服准则( (续续) ) 若以若以 ijij为坐标轴建立一坐标空间，则式为坐标轴建立一坐标空间，则式(12-43)(12-43)的几的几何意义为空间超曲面。任一应力状态在此空间中代表一何意义为空间超曲面。任

29、一应力状态在此空间中代表一个点，当此点落在屈服面之内时：个点，当此点落在屈服面之内时： ，材料呈弹，材料呈弹性状态；性状态； 时，材料开始进入塑性时，材料开始进入塑性。 各向同性材料的屈服条件与坐标轴选取无关，屈服函各向同性材料的屈服条件与坐标轴选取无关，屈服函数常以主应力函数形式表示：数常以主应力函数形式表示： Fij() 0F (,)1230Fij() 0Fij() 0(12-43)(12-43) (12-44)(12-44) 弹塑性应力、应变关系与弹塑性应力、应变关系与屈屈服准则服准则( (续续) )常用的屈服条件有常用的屈服条件有： 屈雷斯卡屈雷斯卡(Tresca(Tresca) )屈

30、服条件：假定最大剪应力达屈服条件：假定最大剪应力达到某一极限值时，材料开始屈服，相当于材料力学到某一极限值时，材料开始屈服，相当于材料力学中的第三强度理论中的第三强度理论 密赛斯密赛斯(Von Mises(Von Mises) )屈服条件：假定偏应力张量屈服条件：假定偏应力张量的第二不变量达到某一极限时，材料开始屈服的第二不变量达到某一极限时，材料开始屈服, , 相相当于材料力学中的第四强度理论当于材料力学中的第四强度理论 此外还有此外还有Drucker-PragerDrucker-Prager屈服准则屈服准则 Zienkiewicz-PandeZienkiewicz-Pande屈服准则等屈服

31、准则等弹塑性本构矩阵的增量表达式弹塑性本构矩阵的增量表达式设屈服函数用下式表示：设屈服函数用下式表示：FKij(,) 0式中：式中： 应力状态；应力状态；K K硬化函数。硬化函数。 ij 在增量理论中，把材料达到屈服以后的应变增量在增量理论中，把材料达到屈服以后的应变增量分为弹性增量和塑性增量两部分，即：分为弹性增量和塑性增量两部分，即： dddep(12-45)(12-45) (12-46)(12-46) 弹塑性本构矩阵的增量表达式弹塑性本构矩阵的增量表达式( (续续) ) 其中弹性应变增量部分与应力增量之间仍服从虎其中弹性应变增量部分与应力增量之间仍服从虎克定律，即克定律，即：其中：其中：

32、DDe e 为弹性矩阵。为弹性矩阵。 塑性变形不是唯一确定的，对应于同一应力增量塑性变形不是唯一确定的，对应于同一应力增量，可以有不同的塑性变形增量。若采用相关联的流，可以有不同的塑性变形增量。若采用相关联的流动法则，塑性变形大小虽然不能断定，但其流动方动法则，塑性变形大小虽然不能断定，但其流动方向与屈服面正交。用数学公式表示这一假定，即可向与屈服面正交。用数学公式表示这一假定，即可得得：dDdeedFp(12-47)(12-47) (12-48)(12-48) 弹塑性本构矩阵的增量表达式弹塑性本构矩阵的增量表达式( (续续) )将将(12-47)(12-47)、(12-48 )(12-48

33、)式代入式代入(12-46 )(12-46 )式，则可得式，则可得： 对式对式(12-45)(12-45)全微分得：全微分得： dDdFe102211 dKKFdFdFdF或或0AdFT其中：其中：1dKKFA(12-49)(12-49) (12-50)(12-50) (12-51)(12-51) (12-52)(12-52) 弹塑性本构矩阵的增量表达式弹塑性本构矩阵的增量表达式( (续续) )将将 前乘前乘(12-49)(12-49)式，并利用式，并利用(12-51)(12-51)式消去式消去 可得：可得： 由此可得由此可得：用用DDe e 前乘前乘(12-49)(12-49)式，移项后得式

34、，移项后得 FDFAdDFeTeTdFDFADFeTeTFDdDdeeeTDFd(12-53)(12-53) (12-54)(12-54) (12-55)(12-55) 弹塑性本构矩阵的增量表达式弹塑性本构矩阵的增量表达式( (续续) )将将(12-54)(12-54)式代入式代入(12-55)(12-55)式，即可得式，即可得：其中其中: : 此即为此即为增量理论的弹塑性矩阵通式增量理论的弹塑性矩阵通式。其具体的数。其具体的数学表达式将由曲服函数确定。学表达式将由曲服函数确定。 )(dDdDDdFDFADFFDDdepPeeTeTeeFDFADFFDDDeTeTeeep(12-56)(12-

35、56) (12-57)(12-57) 弹塑性本构矩阵的增量表达式弹塑性本构矩阵的增量表达式( (续续) )例例12.2 12.2 导出等向强化米赛斯材料增量理论的弹塑导出等向强化米赛斯材料增量理论的弹塑性矩阵表达式。性矩阵表达式。解：对解：对MisesMises屈服准则、等向硬化材料，其屈服函数屈服准则、等向硬化材料，其屈服函数可写成：可写成： 其中其中: :设硬化法则与塑性功有关，即作功硬化，则：设硬化法则与塑性功有关，即作功硬化，则： 0 K2132322212)()()(213JKdwdpijijp()()弹塑性本构矩阵的增量表达式弹塑性本构矩阵的增量表达式( (续续) )由由: :FS

36、SSSSSxyzxyyzzxTxyzxyyzzxT32222 DFEvvvvvvvvvvvSSSSSSGSxyzxyyzzx32 1121000100010001220012201222223()()得得: :弹塑性本构矩阵的增量表达式弹塑性本构矩阵的增量表达式( (续续) )再由再由: :GEv2 1() SSSSSSSxyzxyyzzxT DFFDGSGSGSSTTT3332() FDFGSFGTT33其中其中: : 剪切弹性模量剪切弹性模量； 其中其中: : 应力偏量向量。应力偏量向量。 而而: :弹塑性本构矩阵的增量表达式弹塑性本构矩阵的增量表达式( (续续) ) 2222222121

37、2121121121211212111zxzxyzzxxyzxzzxyzxxyzyzxyyzzyzyyzxxyxyzxyyxyxzzyyxyyxxepSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSvvSSvvSSvvSvvSSvvSvvvED9232GAG() 以上结果代入以上结果代入(12-83)(12-83)，可得等向强化的米赛斯材，可得等向强化的米赛斯材料的弹塑性矩阵表达式为：料的弹塑性矩阵表达式为： 式中式中: :弹塑性问题的有限元法弹塑性问题的有限元法 在弹塑性增量理论中，讨论仍限于小变形情况。在弹塑性增量理论中，讨论仍限于小变形情况。其应变位移几何运动方程和平衡方程相同于

38、线性其应变位移几何运动方程和平衡方程相同于线性问题，不需要作任何变动。问题，不需要作任何变动。需要改变的只是在塑性需要改变的只是在塑性区范围内用塑性材料的本构关系矩阵区范围内用塑性材料的本构关系矩阵DDepep 代替原来代替原来的弹性系数矩阵的弹性系数矩阵DDe e 。因此，可直接得到弹塑性分析因此，可直接得到弹塑性分析有限元平衡方程：有限元平衡方程： 式中式中: :RuKttTtvepTTtdvBDBKItcttttFFTFR(12-58)(12-58) (12-59)(12-59) (12-60)(12-60) 弹塑性问题的有限元法弹塑性问题的有限元法( (续续) )其中其中, , 和和

39、分别表示与结构面荷载分别表示与结构面荷载t t及体荷载及体荷载f f对对应的等效节点力增量；应的等效节点力增量； 为节点集中外荷载增量为节点集中外荷载增量； 为初应力或初应变增量引起的外荷载增量，它为初应力或初应变增量引起的外荷载增量，它们在们在t- t- 至至t t时间的增量为：时间的增量为：对于初应力问题：对于初应力问题： tTtvFNfdv tTtvTNt ds tITIvFBdv tITeIvFBDdv对于初应变问题对于初应变问题：tFtTtcFtIFt(12-61)(12-61) (12-62)(12-62) (12-63)(12-63) (12-64)(12-64) 第二类稳定和极

40、限承载力全过程分析第二类稳定和极限承载力全过程分析传统的传统的“强度设计强度设计”以构件最大工作应力乘以安全系数等于材以构件最大工作应力乘以安全系数等于材料的屈服应力为依据；料的屈服应力为依据；一般情况下，构件某截面开始屈服并不能代表结构完全破坏，一般情况下，构件某截面开始屈服并不能代表结构完全破坏，结构所能承受的荷载通常较构件开始屈服时的荷载为大；结构所能承受的荷载通常较构件开始屈服时的荷载为大；桥梁结构的极限承载力是指桥梁承受外荷载的最大能力；桥梁结构的极限承载力是指桥梁承受外荷载的最大能力；可以准确地知道桥梁结构在给定荷载下的安全贮备或超载能力可以准确地知道桥梁结构在给定荷载下的安全贮备

41、或超载能力，为其安全施工和营运管理提供依据和保障；，为其安全施工和营运管理提供依据和保障；第二类稳定和极限承载力全过程分析第二类稳定和极限承载力全过程分析( (续续) )全过程分析是用于桥梁结构极限承载力分析的一种计算方全过程分析是用于桥梁结构极限承载力分析的一种计算方法，它通过逐级增加工作荷载集度来考察结构的变形和受力法，它通过逐级增加工作荷载集度来考察结构的变形和受力特征，一直计算至结构发生破坏；特征，一直计算至结构发生破坏；桥梁结构在不断增加的外载作用下，结构刚度发生不断变桥梁结构在不断增加的外载作用下，结构刚度发生不断变化，当外载产生的应力使得结构切线刚度阵趋于奇异时，结化，当外载产生

42、的应力使得结构切线刚度阵趋于奇异时，结构承载能力就到达了极限，此时的外荷载即为极限荷载。构承载能力就到达了极限，此时的外荷载即为极限荷载。非线性方程的求解问题非线性方程的求解问题一般结构的结构刚度阵在一般结构的结构刚度阵在p-p- 曲线上升段是正定的，在下曲线上升段是正定的，在下降段为负定的；降段为负定的；进行进行“全过程全过程”分析过程中，当荷载接近极限值时，很小分析过程中，当荷载接近极限值时，很小的荷载增量都会引起很大的位移，可能还未找到极限荷载的荷载增量都会引起很大的位移，可能还未找到极限荷载就出现了求解失效现象；就出现了求解失效现象；为了找到真实的极限荷载，克服下降段的不稳定现象，各为

43、了找到真实的极限荷载，克服下降段的不稳定现象，各国学者提出了许多算法，下面就常用的两种方法作一介绍国学者提出了许多算法，下面就常用的两种方法作一介绍非线性方程的求解问题非线性方程的求解问题( (续续) )1)1)逐步搜索法逐步搜索法 对于只要求出极值荷载，而对对于只要求出极值荷载，而对P-P- 下降段不感趣的情况，下降段不感趣的情况，可采用逐步搜索顶点的算法，其基本思想是：可采用逐步搜索顶点的算法，其基本思想是： 加一荷载增量加一荷载增量 P P，计算发散后，退回上级荷载状态并改，计算发散后，退回上级荷载状态并改用荷载步长用荷载步长 P/2P/2； 若计算收敛，则再加一级荷载为若计算收敛，则再

44、加一级荷载为 P/4P/4； 若加若加 P/4P/4后计算发散，则再改用荷载步后计算发散，则再改用荷载步 长为长为 P/8P/8 如此搜索，若原步长如此搜索，若原步长 P P预计为预计为5%5%的破坏荷载，则的破坏荷载，则 P/4P/4已已接近接近1%1%的极限荷载，对桥梁结构来说，已可满足精度要求。的极限荷载，对桥梁结构来说，已可满足精度要求。当然还可向前再搜索一步到当然还可向前再搜索一步到 P/8P/8。2)2)位移控制法位移控制法 如果在分析过程中不是控制荷载增量而是控制位移增量，则P-曲线的下降段部分便不难求得。 对于一般结构，我们可将刚度矩阵重新排列，使得要控制的位移(例如=u2)排

45、到最后一项，同时将原刚度矩阵分块，其有限元方程变为： 非线性方程的求解问题非线性方程的求解问题( (续续) )KKKKuuPPRR11122122121212式中：式中：PP1 1P P2 2 T T 参考荷载向量；参考荷载向量； 控制荷载的步长系数；控制荷载的步长系数； RR1 1R R2 2 T T 求解迭代过程中的不平衡力向量求解迭代过程中的不平衡力向量。 (12-88)(12-88) 改写方程(12-88)为：非线性方程的求解问题非线性方程的求解问题( (续续) )(12-89)(12-89) KPKPuRRKKu11121211212222 这样，求解方程时可控制指定的值，求出相应的位移u1及荷载增量比例因子。由于Kij与位移有关，求解时需要迭代，使得R1R2T值趋于零，以满足精度要求。 需要指出，方程(12-89)中的系数矩阵 是不对称，也不呈带状，求解时需要的存储单元较多，