光学成像系统传递函数

1、文献阅读与课程论文的要求文献阅读与课程论文的要求结合第二章所学内容查阅文献结合第二章所学内容查阅文献5 5篇左右篇左右. .（利用校园网图书资源，期刊文（利用校园网图书资源，期刊文献，硕、博论文全文。）献，硕、博论文全文。）PPTPPT演示稿（重点介绍某一方面的内容）演示稿（重点介绍某一方面的内容）利用利用C, MatlabC, Matlab等语言结合本章内容撰写以下论文等语言结合本章内容撰写以下论文 光衍射现象的计算机仿真光衍射现象的计算机仿真1 1、衍射理论（基尔霍夫理论，菲涅尔衍射和夫琅和费衍射，平面波理、衍射理论（基尔霍夫理论，菲涅尔衍射和夫琅和费衍射，平面波理论，）论，）2 2、理论

2、应用、理论应用各种衍射屏的衍射现象仿真。（圆孔，矩形孔，光栅）各种衍射屏的衍射现象仿真。（圆孔，矩形孔，光栅）以上衍射屏应具有可调参数。如光栅要考虑光栅的大小对衍射条纹的影以上衍射屏应具有可调参数。如光栅要考虑光栅的大小对衍射条纹的影响，圆孔考虑孔径、波长对分辩率的影响。响，圆孔考虑孔径、波长对分辩率的影响。参考材料：参考材料：0404覃进武、覃进武、0505级李祥艳，王辉同学编写的程序。级李祥艳，王辉同学编写的程序。以课题组形式开展。以课题组形式开展。2022-5-812022-5-822022-5-832022-5-842022-5-852022-5-862022-5-872022-5-8

3、82022-5-892022-5-8102022-5-8112022-5-8122022-5-8132022-5-8142022-5-815传统的光学系统像质评价方法是传统的光学系统像质评价方法是星点法星点法和和分辨率法分辨率法。星点法指检验点光源经过光学系统所产生的像斑，由星点法指检验点光源经过光学系统所产生的像斑，由于像差、玻璃材料不均匀以及加工和装配缺陷等使像于像差、玻璃材料不均匀以及加工和装配缺陷等使像斑不规则斑不规则, ,很难对它作出定量计算和测量，检验者的很难对它作出定量计算和测量，检验者的主主观判断观判断将带入检验结果中。分辨率法虽能定量评价系将带入检验结果中。分辨率法虽能定量评

4、价系统统分辨景物细节分辨景物细节的能力，但并不能对可分辨范围内的的能力，但并不能对可分辨范围内的像质好坏给予全面评价。像质好坏给予全面评价。第三章第三章 光学成像系统的传递函数光学成像系统的传递函数2022-5-816 光学成像系统是光学成像系统是信息传递信息传递的系统。的系统。 在一定条件下，成像系统可以看做空间不变的在一定条件下，成像系统可以看做空间不变的线性系统线性系统，因而可以用线性系统理论来研究它的性能，把输入信息分因而可以用线性系统理论来研究它的性能，把输入信息分解为由本征函数构成的频率分量，研究这些空间频率分量解为由本征函数构成的频率分量，研究这些空间频率分量在系统传递过程中，丢

5、失、衰减、相移等等变化，即研究在系统传递过程中，丢失、衰减、相移等等变化，即研究这些空间频率特性或这些空间频率特性或传递函数传递函数。显然，这是一种。显然，这是一种全面评价全面评价光学系统像质的科学方法。光学系统像质的科学方法。 输出像的质量完全取决于光学系统的输出像的质量完全取决于光学系统的传递特性传递特性。2022-5-817传递函数传递函数可由光学系统的设计数据计算得出。虽然计算可由光学系统的设计数据计算得出。虽然计算传递函数的步骤比较麻烦，但是，大容量高速度电子计传递函数的步骤比较麻烦，但是，大容量高速度电子计算机的出现以及高精度光电测试技术的发展，使光学传算机的出现以及高精度光电测试

6、技术的发展，使光学传递函数的计算和测量日趋完善，并得到了实际的应用。递函数的计算和测量日趋完善，并得到了实际的应用。2022-5-8183.1 3.1 相干照明衍射受限系统的点扩散函数相干照明衍射受限系统的点扩散函数 任何平面物场分布都可以看做是无数小面元的组合，而每任何平面物场分布都可以看做是无数小面元的组合，而每个面元都可以看做一个个面元都可以看做一个加权的加权的 函数函数。对于一个透镜或一个。对于一个透镜或一个成像系统，如果能清楚地了解物平面上任一小面元的光振动成像系统，如果能清楚地了解物平面上任一小面元的光振动通过成像系统后在像平面上造成的光振动分布情况，通过通过成像系统后在像平面上造

7、成的光振动分布情况，通过线线性迭加性迭加，原则上便能求得任何物面光场分布通过系统后所形，原则上便能求得任何物面光场分布通过系统后所形成的像面光场分布，进而求得像面成的像面光场分布，进而求得像面强度分布强度分布。这就是相干照。这就是相干照明下的成像过程，关键是求出任意小面元的光振动所对应的明下的成像过程，关键是求出任意小面元的光振动所对应的像场分布。像场分布。2022-5-819当该面元的光振动为单位脉冲函数时，这个像场分布函数叫当该面元的光振动为单位脉冲函数时，这个像场分布函数叫做点扩散函数或脉冲响应，通常用做点扩散函数或脉冲响应，通常用它表示物平面上（它表示物平面上（ x x0 0,y,y0

8、 0 ）点的单位脉冲通过成像系统后在像）点的单位脉冲通过成像系统后在像平面上（平面上（ x xi i,y,yi i ）点产生的光场分布。一般来说，它既是）点产生的光场分布。一般来说，它既是（ x x0 0,y,y0 0 ）的函数，又是的函数，又是(x(xi i,y,yi i）的函数。的函数。),;,(00iiyxyxh表示表示2022-5-820),(00yx一辐输入图像可看成是一个点物的集合，只要能确定所有点一辐输入图像可看成是一个点物的集合，只要能确定所有点物的像，就可以完备地描述这一成像系统的效应。但要注意物的像，就可以完备地描述这一成像系统的效应。但要注意的是，一定要把所有物点的像叠加

9、起来，才能得到输出图像。的是，一定要把所有物点的像叠加起来，才能得到输出图像。即完全确定一个线性系统的性质，需要知道系统对于输入平即完全确定一个线性系统的性质，需要知道系统对于输入平面上所有可能位置上的面上所有可能位置上的 函数输入的脉冲响应。函数输入的脉冲响应。),(iiyx2022-5-8213.1.1 3.1.1 透镜的成像性质透镜的成像性质1U1U iU),(00yx0did0U),(yx),(iiyx如图，在单色光照明下，一个薄如图，在单色光照明下，一个薄的无像差的正透镜对透射物成实的无像差的正透镜对透射物成实像的简单情况。下面研究四个面像的简单情况。下面研究四个面上的光场的复振幅分

10、布，进而求上的光场的复振幅分布，进而求出系统的输入和输出的关系。出系统的输入和输出的关系。菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式0000020200000)(2exp)(2exp),(dydxyyxxdjyxdkjyxU )(2exp1),(22001yxdkjjdyxU 2022-5-8221U1U iU),(00yx0did0U),(yx),(iiyx0000020200000)(2exp)(2exp),(dydxyyxxdjyxdkjyxU )(2exp1),(22001yxdkjjdyxU 透镜的复振幅透过率为透镜的复振幅透过率为（更一般的表达式）222exp),(),(yxfkjyxPyxtl

11、),(yxP为光瞳函数为光瞳函数2022-5-823透镜后的透射光场为透镜后的透射光场为),(),(),(11yxtyxUyxUl id光波传播距离光波传播距离，需要再次运用菲涅耳衍射公式计算，需要再次运用菲涅耳衍射公式计算iUdxdyyyxxdjyxdjyxUiiii )(2exp)(2exp),(221 )(2exp1),(22iiiiiiiyxdkjjdyxU 1U1U iU),(00yx0did0U),(yx),(iiyx将将),(1yxU 代入上式，并弃去常量相位因子得代入上式，并弃去常量相位因子得2022-5-824 )(2exp)(111(2exp20200220yxdkjyxf

12、ddkji),(),()(2exp1),(0002220yxPyxUyxdkjddyxUiiiiiii dxdydydxyyxxdjyyxxdjiii00000)(2exp)(2exp 这是一个复杂的这是一个复杂的四重积分四重积分，必须作进一步的简化。我们来看三个，必须作进一步的简化。我们来看三个含有二次相位因子的项：含有二次相位因子的项： )(2exp22iiiyxdkj不影响最终探测的强度分布，可以弃去。不影响最终探测的强度分布，可以弃去。积分号内的两个二次相位因子和积分变量（积分号内的两个二次相位因子和积分变量（x,yx,y）、（）、（x x0 0,y,y0 0）有有关，只有在一定的条件

13、下才能弃去。关，只有在一定的条件下才能弃去。2022-5-825 )(2exp)(111(2exp20200220yxdkjyxfddkji),(),()(2exp1),(0002220yxPyxUyxdkjddyxUiiiiiii dxdydydxyyxxdjyyxxdjiii00000)(2exp)(2exp 假定点物产生的影响是一个很小的像斑，那么能够对于像面假定点物产生的影响是一个很小的像斑，那么能够对于像面上（上（x xi i,y,yi i）点光场产生有意义的贡献的，必定只是物面上以几点光场产生有意义的贡献的，必定只是物面上以几何成像所对应的物点为中心的何成像所对应的物点为中心的微小

14、区域微小区域。如果在这个微小区。如果在这个微小区域内域内 )(2exp20200yxdkj的相位变化不大于几分之一弧度，则可作的相位变化不大于几分之一弧度，则可作以下近相似。以下近相似。 )(2exp20200yxdkj )(2exp2220Myxdkjii2022-5-826其中其中0ddMi 是系统的放大倍率。经过近似后的相位因子不再是系统的放大倍率。经过近似后的相位因子不再依赖于依赖于(x(x0 0,y,y0 0), ),它同样不会影响它同样不会影响x xi iy yi i平面强度探测，因此，可以平面强度探测，因此，可以弃去。弃去。另外，假定选择观察平面，使它与透镜距离另外，假定选择观察

15、平面，使它与透镜距离d di i满足：满足：01110 fddi则积分号内关于（则积分号内关于（x,y)x,y)的二次相位因子将消失，上式正是几的二次相位因子将消失，上式正是几何光学的透镜成像定律。何光学的透镜成像定律。这样上式已大简化。我们先对这样上式已大简化。我们先对(x(x0 0,y,y0 0) )积分积分2022-5-827 ),(1),(00020yxUddyxUiiii dxdyyyxxdjyxPiii )(2exp),( 00000)(2expdydxyyxxdj ),(1),(00020dydxGddyxUiiii dxdyyyxxdjyxPiii )(2exp),( ),(0

16、00dydxG 是是U U0 0的傅里叶变换。上式表明成像过程经历了两的傅里叶变换。上式表明成像过程经历了两次傅里叶变换，次傅里叶变换，物的频谱成分在传递过程中将受物的频谱成分在传递过程中将受到有限大小的光瞳的截取。到有限大小的光瞳的截取。2022-5-828 ),(1),(00020dydxGddyxUiiii dxdyyyxxdjyxPiii )(2exp),( ),(000dydxG 是是U U0 0的傅里叶变换。上式表明成像过程经历了两的傅里叶变换。上式表明成像过程经历了两次傅里叶变换，次傅里叶变换，物的频谱成分在传递过程中将受物的频谱成分在传递过程中将受到有限大小的光瞳的截取。到有限

17、大小的光瞳的截取。 ),(100020dydxGddi 而而dxdyyyxxdjiii )(2exp 0dx 0dy 上式等于上式等于 ),(1020 Gddi20200)(2expddddydxdjiii 2022-5-829),(1000iiiiddyddxUM ),(10MyMxUMii 设设为光瞳函数的傅里叶变换，即为光瞳函数的傅里叶变换，即上式等于上式等于 ),(1020 Gddi20200)(2expddddydxdjiii ),(00 Gddi ddddyddxjiiii )(2exp00 ),(00 Gddi ddddyddxjiiii )()(2exp00 ),(yxP),(

18、)(2expiiiiiyxhdxdyyyxxdj h横向放横向放大率大率2022-5-830利用卷积定理得利用卷积定理得 ),(10MyMxUMii ),(iiiyxU),(iiyxh0000000),(),(1),(ydxdyyxxhMyMxUMyxUiiiii 0000,MyyMxx 0000000),(),(),(dydxMyyMxxhMyxUyxUiiiii 由于光波传播的线性性质，由于光波传播的线性性质，U Ui i本来就本来就可以用下述迭加积分表示可以用下述迭加积分表示0000000),;,(),(),(dydxyxyxhyxUyxUiiiii 0000000),;,(),(dyd

19、xyxyxhMyxUii 2022-5-831hMh 因此因此h可看作系统的脉冲响应，即点扩散函数。可看作系统的脉冲响应，即点扩散函数。0000,MyyMxx 是几何光学理想像点的坐标。是几何光学理想像点的坐标。我们可以定义一个我们可以定义一个新函数新函数),(1),(0MyMxUMyxUiiiig 表示几何光学的理想像表示几何光学的理想像假如不考虑衍射效应（假如不考虑衍射效应（忽略透镜孔径忽略透镜孔径），即透镜的孔径为），即透镜的孔径为无限大无限大， 1),( yxP ),(10MyMxUMii ),(iiiyxU),(),(iiiiyxyxh),(iiyxh),(10MyMxUMii ),

20、(iigyxU 这时点物能产生严格的点像。这时物体能准确复现。这时点物能产生严格的点像。这时物体能准确复现。2022-5-832但是，实际上必须考虑透镜有限孔径的衍射效应（但是，实际上必须考虑透镜有限孔径的衍射效应（考虑透镜孔考虑透镜孔径径），），h是一个衍射斑是一个衍射斑dxdyyyyxxxdjyxPyyxxhiiiii )()(2exp),(),(0000 上式就等于透镜孔径的夫琅和费衍射图样上式就等于透镜孔径的夫琅和费衍射图样，其中心位于理想像点，其中心位于理想像点),(00yx注：物平面上一点注：物平面上一点(x(x0 0,y,y0 0) )经透镜成像后得到一个衍射斑经透镜成像后得到一

21、个衍射斑 ),(10MyMxUMii ),(iiiyxU),(iiyxh这时像的光场分布等于几何光学理想像与系统脉冲响应的卷积这时像的光场分布等于几何光学理想像与系统脉冲响应的卷积2022-5-833),(),(),(),(1),(0000000iiiigiiiiiyxhyxUydxdyyxxhMyMxUMyxU0000,MyyMxx 2022-5-834可见，像面上光场的复振幅分布等于透镜的点扩散函数可见，像面上光场的复振幅分布等于透镜的点扩散函数),(iiyxh与几何光学中理想与几何光学中理想 的卷积。的卷积。),(iigyxf2022-5-835上述结论表明，由透镜构成的成像系统可看作线

22、性空间不上述结论表明，由透镜构成的成像系统可看作线性空间不变系统。其输入物和输出像之间的关系由上式卷积积分确变系统。其输入物和输出像之间的关系由上式卷积积分确定。可以从叠加性质和不变性两方面理解卷积成像的物理定。可以从叠加性质和不变性两方面理解卷积成像的物理含义。把输入物看作点源的集合，它们在像平面上以几何含义。把输入物看作点源的集合，它们在像平面上以几何光学理想像点为中心光学理想像点为中心产生各自的衍射斑，这些衍射斑的函产生各自的衍射斑，这些衍射斑的函数形式相同，都是透镜孔径的夫琅和费衍射图样，但受到数形式相同，都是透镜孔径的夫琅和费衍射图样，但受到对应物点光场的适当加权。对应物点光场的适当

23、加权。2022-5-836由于卷积的由于卷积的展宽展宽作用，此时像就不再是物的作用，此时像就不再是物的准确准确重现了，而重现了，而是物图样的是物图样的展宽变形展宽变形。显然这是因为点脉冲响应。显然这是因为点脉冲响应 的的宽度不为零造成的。孔径越小，点扩散函数越宽，变形就越宽度不为零造成的。孔径越小，点扩散函数越宽，变形就越严重。另外，由于卷积的严重。另外，由于卷积的平滑平滑作用，还能使图像中作用，还能使图像中细微细微结构结构的空间频率信息受到强烈的的空间频率信息受到强烈的衰减衰减，从而使图像产生失真，尤，从而使图像产生失真，尤其是当这种细节变化周期小于脉冲响应的宽度。其是当这种细节变化周期小于

24、脉冲响应的宽度。),(iiyxh这些脉冲响应的相干叠加给出像面的复振幅分布。系统的作这些脉冲响应的相干叠加给出像面的复振幅分布。系统的作用正是把物平面上用正是把物平面上点的集合点的集合变换为像平面上重叠衍射变换为像平面上重叠衍射斑的集斑的集合合。下图是卷积成像的示意图下图是卷积成像的示意图gU0 x0 xh =iU0 x物函数物函数脉冲响应脉冲响应像函数像函数2022-5-837我们可以用下图所示的框图描述成像过程，输入物场我们可以用下图所示的框图描述成像过程，输入物场U U0 0首先通首先通过几何定标器产生一个或放大或缩小的几何像过几何定标器产生一个或放大或缩小的几何像gU这一过程中这一过程

25、中并不丢失信息。然后这个几何像再通过线性不变系统，由于衍射并不丢失信息。然后这个几何像再通过线性不变系统，由于衍射效应效应, ,几何像变为衍射斑的叠加，实际上得到的是经平滑变形的像几何像变为衍射斑的叠加，实际上得到的是经平滑变形的像iU在后一过程中损失了信息，我们把注意力放在这里，且直接称在后一过程中损失了信息，我们把注意力放在这里，且直接称gU为输入。为输入。定标器定标器0UgU线性不变系统线性不变系统hhUUgi 光学成像过程的框图光学成像过程的框图2022-5-838二、成像系统的一般分析二、成像系统的一般分析1 1、成像系统的普遍模型、成像系统的普遍模型 考虑一个一般的成像系统，它可能

26、由几个透镜（正透镜或负考虑一个一般的成像系统，它可能由几个透镜（正透镜或负透镜）组成，透镜也不必是薄的，系统最终给透镜）组成，透镜也不必是薄的，系统最终给 出一个实像。出一个实像。我们将为这样一个系统建立一个普遍适用的模型。我们将为这样一个系统建立一个普遍适用的模型。0y0 x),(00yxiyix),(00MyMx透镜组透镜组xy入瞳入瞳出瞳出瞳黑箱黑箱id2022-5-839由上图可知，任意成像系统都可以分为三个部分：由上图可知，任意成像系统都可以分为三个部分：物平面到入瞳；物平面到入瞳；入瞳到出瞳；出瞳到像平面。入瞳到出瞳；出瞳到像平面。0y0 x),(00yxiyix),(00MyMx

27、透镜组透镜组xy入瞳入瞳出瞳出瞳黑箱黑箱id2022-5-840入瞳和出瞳是指系统入瞳和出瞳是指系统限制光束限制光束的孔径光阑在物像空间的几何像。的孔径光阑在物像空间的几何像。入瞳入瞳出瞳出瞳),(yxP光阑光阑2022-5-841对整个光学系统而言，对整个光学系统而言，入瞳和出瞳保持物像其轭关系入瞳和出瞳保持物像其轭关系。由入瞳限制的。由入瞳限制的物方光束必能全部通过系统，成为被出射光瞳所限制的像方光束。物方光束必能全部通过系统，成为被出射光瞳所限制的像方光束。光波在一、三两个部分内的传播可按光波在一、三两个部分内的传播可按菲涅耳衍射菲涅耳衍射处理，而对于第二部分，处理，而对于第二部分，即透

28、镜系统，在等晕条件下，可把它看作一个即透镜系统，在等晕条件下，可把它看作一个“黑箱黑箱”。只要能够确定。只要能够确定它两端的边端性质，整个透镜组的性质就可以确定下来，而不必考虑其它两端的边端性质，整个透镜组的性质就可以确定下来，而不必考虑其内部结构。这里黑箱的两端是入瞳和出瞳。内部结构。这里黑箱的两端是入瞳和出瞳。所谓边端性质应是指所谓边端性质应是指成像光成像光波波在入瞳和出瞳平面的物理性质。在入瞳和出瞳平面的物理性质。0y0 x),(00yxiyix),(00MyMx透镜组透镜组xy入瞳入瞳出瞳出瞳黑箱黑箱id2022-5-842为了确定系统的为了确定系统的脉冲响应脉冲响应，需要知道这个黑箱

29、对于点光源发出的球面波的，需要知道这个黑箱对于点光源发出的球面波的变换变换作用，即当入瞳平面输入发散球面波时，在出瞳平面透射波前的性质。作用，即当入瞳平面输入发散球面波时，在出瞳平面透射波前的性质。对于实际的透镜组，这一边端性质千差万别，但总可以分为两类：对于实际的透镜组，这一边端性质千差万别，但总可以分为两类：衍射受衍射受限系统和有像差系统。限系统和有像差系统。衍射受限系统是指系统可以衍射受限系统是指系统可以不考虑像差不考虑像差的影响，仅仅考虑光瞳产生的衍射的影响，仅仅考虑光瞳产生的衍射限制。当像差很小，或者系统的孔径和视场都不大，实际光学系统就可以限制。当像差很小，或者系统的孔径和视场都不

30、大，实际光学系统就可以近似看作是衍射受限的系统。近似看作是衍射受限的系统。0y0 x),(00yxiyix),(00MyMx透镜组透镜组xy入瞳入瞳出瞳出瞳黑箱黑箱id2022-5-843它的边端性质是：物面上任一点光源发出的它的边端性质是：物面上任一点光源发出的发散球面波发散球面波投射到投射到入瞳上，被透镜组变换为出瞳上的入瞳上，被透镜组变换为出瞳上的会聚球面波会聚球面波。有像差有像差系统的边端性质是：点光源发出的发散球面波投射到入系统的边端性质是：点光源发出的发散球面波投射到入瞳上，出瞳处的波前瞳上，出瞳处的波前明显偏离理想球面波明显偏离理想球面波。偏离的程度可由波。偏离的程度可由波像差描

31、述，它决定于透镜组本身的物理结构。像差描述，它决定于透镜组本身的物理结构。0y0 x),(00yxiyix),(00MyMx透镜组透镜组xy入瞳入瞳出瞳出瞳黑箱黑箱id2022-5-844二、二、阿贝（阿贝（Abbe)Abbe)成像理论成像理论阿贝基于对显微镜成阿贝基于对显微镜成像的研究，像的研究，18731873年提年提出了其衍射成像理论。出了其衍射成像理论。他认为成像过程包含他认为成像过程包含了两次衍射过程。了两次衍射过程。焦平面焦平面物体物体-2-2级级+2+2级级-1-1级级+1+1级级0 0级级采用相干光波照明物采用相干光波照明物体，可以把物体看作体，可以把物体看作一个复杂的衍射光栅

32、，一个复杂的衍射光栅，衍射光波在透镜后焦衍射光波在透镜后焦平面形成物体的夫琅平面形成物体的夫琅和费衍射图样。和费衍射图样。像像2022-5-845把后焦面上的点看作相干把后焦面上的点看作相干的的次级波源次级波源，发出子波，发出子波，在像面上相干叠加产生物在像面上相干叠加产生物体的像。体的像。两次衍射过程也就是两次两次衍射过程也就是两次傅里叶变换的过程：由物傅里叶变换的过程：由物面到后焦面，物体衍射光面到后焦面，物体衍射光波分解为各种频率的角谱波分解为各种频率的角谱分量，即不同方向传播的分量，即不同方向传播的平面波分量，在后焦面上平面波分量，在后焦面上得到物体的频谱。得到物体的频谱。这是一次傅里

33、叶变换过程。由后焦面到像面，各角谱分量又合这是一次傅里叶变换过程。由后焦面到像面，各角谱分量又合成为像，这是一次傅里叶逆变换过程。成为像，这是一次傅里叶逆变换过程。焦平面焦平面物体物体-2-2级级+2+2级级-1 -1级级+1+1级级0 0级级像像2022-5-846当当不考虑不考虑有限光瞳的限制时，物体所有频率分量都参与成像，有限光瞳的限制时，物体所有频率分量都参与成像，所得的像应逼真于物。但实际上，由于物镜有限大小光瞳的所得的像应逼真于物。但实际上，由于物镜有限大小光瞳的限制，物体限制，物体 的频率分量的频率分量只有一部分只有一部分能参与变换。一些高频率能参与变换。一些高频率成分被丢失，因

34、而产生像的失真，即影响像的清晰度或分辨成分被丢失，因而产生像的失真，即影响像的清晰度或分辨率。率。焦平面焦平面物体物体-2-2级级+2+2级级-1-1级级+1+1级级0 0级级像像2022-5-847当高频分量具有的能量很弱，当高频分量具有的能量很弱，或者物镜足够大，丢失的高或者物镜足够大，丢失的高频分量的影响就小，像也就频分量的影响就小，像也就更近似于物。因此，光学系更近似于物。因此，光学系统的作用类相似于统的作用类相似于一个低通一个低通滤波器滤波器，它滤掉了物体的高，它滤掉了物体的高频成分，而只允许一定范围频成分，而只允许一定范围内的低频成分通过系统，这内的低频成分通过系统，这正是任何光学

35、系统不能正是任何光学系统不能传递传递物面全部细节的根本原因。物面全部细节的根本原因。AbbeAbbe认为衍射效应是由于有限的入瞳引起的，认为衍射效应是由于有限的入瞳引起的，18961896年瑞利提年瑞利提出衍射效应来自有限的出瞳。由于一个光瞳只不过是另一个光出衍射效应来自有限的出瞳。由于一个光瞳只不过是另一个光瞳的的几何像，这两种看法是等价的。瞳的的几何像，这两种看法是等价的。衍射效应可以归结为有衍射效应可以归结为有限大小的入瞳（或出瞳）对于成像光波的限制。限大小的入瞳（或出瞳）对于成像光波的限制。焦平面焦平面物体物体-2-2级级+2+2级级-1-1级级+1+1级级0 0级级像像2022-5-

36、848三、单色光照明的衍射受限系统三、单色光照明的衍射受限系统单色光照明时，由于光传播的线性性质，像面复振幅分布可以用叠加积单色光照明时，由于光传播的线性性质，像面复振幅分布可以用叠加积分表示：分表示：0000000),;,(),(),(dydxyxyxhyxUyxUiiii 0y0 x),(00yxiyix),(00MyMx透镜组透镜组xy入瞳入瞳出瞳出瞳黑箱黑箱id对衍射受限系统来说，对衍射受限系统来说，h h是由从是由从出瞳出瞳向理想像点（向理想像点（MxMx0 0,My,My0 0) )会聚的球面波会聚的球面波产生的。这里产生的。这里MM是放大倍率。由于受有限大小光瞳的是放大倍率。由于

37、受有限大小光瞳的限制限制，该透射波传播，该透射波传播到像平面产生一个衍射斑。到像平面产生一个衍射斑。2022-5-849由系统的边端性质，出瞳面上受到出瞳大小限制的会聚波在由系统的边端性质，出瞳面上受到出瞳大小限制的会聚波在傍轴近似是傍轴近似是 ),()()(2exp),(2020yxPMyyMxxdkjCyxUi 0y0 x),(00yxiyix),(00MyMx透镜组透镜组xy入瞳入瞳出瞳出瞳黑箱黑箱idC 是常数是常数 。光波传播距离。光波传播距离d di i，在像面上产生的光场分布可由，在像面上产生的光场分布可由菲涅耳衍射公式写出菲涅耳衍射公式写出2022-5-850 ),()()(2

38、exp),(2020yxPMyyMxxdkjCyxUi dxdyyyxxdjyxdkjyxUiiii )(2exp)(2exp),(22 )(2expexp1) ;,;,(2200iiiiiiiyxdkjjkdjdyxyxh 0y0 x),(00yxiyix),(00MyMx透镜组透镜组xy入瞳入瞳出瞳出瞳黑箱黑箱id2022-5-851U U（x,yx,y）代入上式得代入上式得 dxdyyMyyxMxxdjyxPiii )()(2exp),(00 )(2exp)(2expexp) ;,;,(202022200yxMdkjyxdkjjkdjdCyxyxhiiiiiiii 把常量相位因子和把常量

39、相位因子和 )(2exp,)(2exp2020222yxMdkjyxdkjiiii弃去，并把系数合并为弃去，并把系数合并为C CCyxyxhii ) ;,;,(00 dxdyyMyyxMxxdjyxPiii )()(2exp),(00 00Mxx 00Myy Cyxyxhii ) ;,;,(00dxdyyyyxxxdjyxPiii )()(2exp),(00 2022-5-852结果表明，单色光照明时，衍射受限系统的脉冲响应是光学系结果表明，单色光照明时，衍射受限系统的脉冲响应是光学系统统出瞳出瞳的夫琅和费衍射图样，其中心在几何光学的理想像点的夫琅和费衍射图样，其中心在几何光学的理想像点),(

40、00yx略去积分号前的系数，略去积分号前的系数，脉冲响应就是脉冲响应就是光瞳函数光瞳函数的傅里叶的傅里叶变换变换, , ),(iiyxhF F iiiidydxyxP ,),(例如，对于矩形或圆形孔径的光瞳，成像系统的脉冲响应分别例如，对于矩形或圆形孔径的光瞳，成像系统的脉冲响应分别是是sincsinc函数和爱里斑。函数和爱里斑。脉冲响应具有空不变性质，即物点发生变化时，像平面上的脉脉冲响应具有空不变性质，即物点发生变化时，像平面上的脉冲响应仅改变位置，函数形式不变。冲响应仅改变位置，函数形式不变。) ;,;,(00yxyxhii代入下式代入下式0000000),;,(),(),(dydxyx

41、yxhyxUyxUiiiii 00000002),(),(1),(ydxdyyxxhMyMxUMyxUiiiii 2022-5-85300000002),(),(1),(ydxdyyxxhMyMxUMyxUiiiii 定义定义Mhh ),(1),(0MyMxUMyxUiiiig 则则000000),(),(),(ydxdyyxxhyxUyxUiigiii ),(),(),(iiiigiiiyxhyxUyxU 这一卷积积分表明，不仅对薄的单透镜系统，而且对更普遍这一卷积积分表明，不仅对薄的单透镜系统，而且对更普遍的情形，衍射受限的成像系统仍可以看作是线性空间不变系的情形，衍射受限的成像系统仍可以

42、看作是线性空间不变系统。统。像的复振幅分布是几何光学理想像和系统出瞳所确定的像的复振幅分布是几何光学理想像和系统出瞳所确定的脉冲响应的卷积。脉冲响应的卷积。2022-5-8542022-5-855 在相干照明条件下，光学成像系统对光场的在相干照明条件下，光学成像系统对光场的复振幅复振幅的变的变换而言，是换而言，是线性不变系统线性不变系统；而对；而对光强度光强度的变换则的变换则不是线性不是线性的。的。四、非单色照明四、非单色照明 实际的照明光源绝不会是理想单色的。事实上，照明光实际的照明光源绝不会是理想单色的。事实上，照明光束的振幅和相位随时间变化的束的振幅和相位随时间变化的统计统计性质，将会对

43、成像系统性质，将会对成像系统的性能产生重要的影响。的性能产生重要的影响。 非单色光照明物体时，每一物点的振幅和相位随时间作非单色光照明物体时，每一物点的振幅和相位随时间作无规则变化，都是无规则变化，都是统计无关统计无关的。在像平面，与每一物点相应的。在像平面，与每一物点相应的脉冲响应也将随时间作无规则变化。最终像的强度分布将的脉冲响应也将随时间作无规则变化。最终像的强度分布将取决于这些脉冲响应之间的统计关系，也正是取决于物面上取决于这些脉冲响应之间的统计关系，也正是取决于物面上被照明被照明各点振幅和相位的统计关系。各点振幅和相位的统计关系。考虑两种类型的照明方式：考虑两种类型的照明方式：空间相

44、干和空间非相干照明。空间相干和空间非相干照明。2022-5-856 相干照明下物面上每一点光振动的振幅和相位尽管都相干照明下物面上每一点光振动的振幅和相位尽管都随时间作无规则随时间作无规则变化变化，但所有点随时间变化的，但所有点随时间变化的方式方式是相同的，各点之间相对相位差并不是相同的，各点之间相对相位差并不随时间变化随时间变化 。因而，各物点在像平面上脉冲响应也以同一方式作无规。因而，各物点在像平面上脉冲响应也以同一方式作无规则变化则变化 ，相对相位关系恒定。总的光场应按复振幅叠加。，相对相位关系恒定。总的光场应按复振幅叠加。 所以相干成像系统对复振幅是线性的，可直接利用单色光照明的分析所

45、以相干成像系统对复振幅是线性的，可直接利用单色光照明的分析结果结果。按照相干理论，单一点光源发出的光是空间相干的。通常采用激。按照相干理论，单一点光源发出的光是空间相干的。通常采用激光器或普通光源配上光器或普通光源配上针孔针孔来得到相干照明。来得到相干照明。P P321hhhUP 231332123121332211hhhhhhhhhhhhhhhhhhUUIPP干涉项 321IIIhhh2022-5-857非相干照明下，物面上所有点的振幅和相位随时间变化非相干照明下，物面上所有点的振幅和相位随时间变化 的方式是统计无关的方式是统计无关的，或的，或无关联无关联的。因此像平面上各个脉冲响应的变化也

46、是统计无关的，它的。因此像平面上各个脉冲响应的变化也是统计无关的，它们必须按们必须按强度相叠加强度相叠加。这就是说，非相干成像系统对。这就是说，非相干成像系统对强度强度这一物理量是线这一物理量是线性的。而且强度变换的脉冲响应正比于点源在像平面产生的光强分布，即性的。而且强度变换的脉冲响应正比于点源在像平面产生的光强分布，即正比于相干系统脉冲响应的模的平方。从正比于相干系统脉冲响应的模的平方。从扩展光源扩展光源（独立的点光源的集合）（独立的点光源的集合）发出的光束可看出作是空间非相干的发出的光束可看出作是空间非相干的。这一问题的更严格要求的讨论涉及。这一问题的更严格要求的讨论涉及到部分相干理论。

47、我们不作进一步的讨论。到部分相干理论。我们不作进一步的讨论。P P扩展面光源扩展面光源321IIIhhhI 2022-5-8582022-5-859 在非相干照明条件下，光学成像系统对在非相干照明条件下，光学成像系统对光场强度光场强度的变换的变换是是线性不变线性不变的；而对的；而对复振幅复振幅的变换则的变换则不是线性不是线性的。的。3.3 3.3 衍射受限相干成像系统的频率响应衍射受限相干成像系统的频率响应衍射受限的相干成像系统对于复振幅的传递是线性空间不变系统。这衍射受限的相干成像系统对于复振幅的传递是线性空间不变系统。这同时意味着系统对于同时意味着系统对于强度强度变换是变换是非线性非线性的

48、。原因是此时光场是相干叠的。原因是此时光场是相干叠加。所以，本节的讨论仅适用于线性的复振幅变换。加。所以，本节的讨论仅适用于线性的复振幅变换。3.3.13.3.1相干传递函数相干传递函数相干成像系统的物像关系由卷积积分描述。相干成像系统的物像关系由卷积积分描述。000000),(),(),(ydxdyyxxhyxUyxUiigiii ),(),(),(iiiigiiiyxhyxUyxU ),(1),(0MyMxUMyxUiiiig 表示几何光学的理想像表示几何光学的理想像h是系统的脉冲响应，即点扩散函数。是系统的脉冲响应，即点扩散函数。2022-5-860卷积成像是把点物看作基元物，像是点物产

49、生的衍射图样的相干叠加。卷积成像是把点物看作基元物，像是点物产生的衍射图样的相干叠加。系统的特性完全由点物所成的像斑的复振幅分布所决定。系统的特性完全由点物所成的像斑的复振幅分布所决定。我们也可以从我们也可以从频域频域分析成像过程。选择分析成像过程。选择复指数函数复指数函数为基元函数，考虑为基元函数，考虑系统对各种频率成分的传递特性。系统对各种频率成分的传递特性。F F定义系统的输入频谱和输出频谱分别为定义系统的输入频谱和输出频谱分别为 ),(iigyxU ),( gcG ),( icG ),(iiiyxUF F相干传递函数相干传递函数（CTFCTF）为为 ),( CH ),(iiyxhF F

50、由卷积定理由卷积定理),( gcG ),( icG),( cH2022-5-861由上式可以看出，由上式可以看出，),( cH表征了衍射受限系统在频域中的作用表征了衍射受限系统在频域中的作用它使输入频谱它使输入频谱),( gcG转化为输出频谱转化为输出频谱),( icG),( cH决定于系统本身的物理结构。决定于系统本身的物理结构。Cyxyxhii ) ;,;,(00dxdyyyyxxxdjyxPiii )()(2exp),(00 Cyxhii ),( dxdyyyxxdjyxPiii 2exp),( ),( cH iiiiiidydxyxjyxh)(2exp),( 2022-5-862 ),

51、( cH )(2exp),(iiiyyxxdjyxPC dxdydydxyxjiiii)(2exp dxdyyxPC ),(iiiiiidydxdyydxxj 2exp ),(yxPCdxdydydxii),( 利用利用 函数的比例性质和筛选性质，并略去常系数函数的比例性质和筛选性质，并略去常系数 ),(yxPdxdydydxdiii ),(1 ),( cH2022-5-863),( iiddP ),( cH上式指出，相干传递函数（上式指出，相干传递函数（CTFCTF）等于光瞳函数，仅在空域坐标）等于光瞳函数，仅在空域坐标x,yx,y和频域和频域坐标坐标 ),( 之间存在着一定的坐标缩放关系。

52、之间存在着一定的坐标缩放关系。如果在一个反演的坐标中来定义如果在一个反演的坐标中来定义P P，则可以去掉负号的累赘。，则可以去掉负号的累赘。),( cH),( iiddP 实际光瞳函数总是取实际光瞳函数总是取1 1和和0 0两个值，所以相干传递函数也是如此，只有两个值，所以相干传递函数也是如此，只有0 0和和1 1 两个值，这表明，在频域中存在一个有限通频带，此通带内全部频率分量两个值，这表明，在频域中存在一个有限通频带，此通带内全部频率分量可以通过系统而没有振幅和相位畸变。而通带以外的频率分量完全被衰减可以通过系统而没有振幅和相位畸变。而通带以外的频率分量完全被衰减掉。因此，衍射受限系统是掉

53、。因此，衍射受限系统是一个低通滤波器一个低通滤波器，低于某一频率的分量按原样，低于某一频率的分量按原样通过，高于该频率的分量将被截止。这个频率称为截止频率通过，高于该频率的分量将被截止。这个频率称为截止频率. .c 2022-5-864相干传递函数计算和运用的例子。相干传递函数计算和运用的例子。例例1 1、正方形出瞳的衍射受限系统的相、正方形出瞳的衍射受限系统的相干传递函数干传递函数x xy yl lyrectlxrectyxP),(光瞳函数为光瞳函数为相干传递函数为相干传递函数为),( cH),( iiddP )()(ldrectldrectii icdl 2 设设),( cH)2()2(c

54、crectrect ),( cHidl 2idl 2 2022-5-865icdl 2 是是 轴和轴和 轴轴方向的截止频率。方向的截止频率。这里这里icdl 2 是是高斯像面的截止频率高斯像面的截止频率。实际物面的截止频。实际物面的截止频率还应乘以放大倍数率还应乘以放大倍数MM。因为物被放大以后，空间频率变小。因为物被放大以后，空间频率变小。例例2 2、圆形出瞳的衍射受限系统的相干传递函数、圆形出瞳的衍射受限系统的相干传递函数 2/),(22lyxcircyxP2022-5-866xy),( cH 0idl 2),( cH),( iiddP 2/)()(22lddcircii ccirc 22

55、icdl 2 为各个方向的截止频率。为各个方向的截止频率。2022-5-867例例3 3、如图所示为衍射受限系统的相干成像系统，矩形光阑、如图所示为衍射受限系统的相干成像系统，矩形光阑缝宽缝宽l l =3cm,=3cm,透镜焦距透镜焦距 f f =5cm=5cm，照明光波长，照明光波长cm410 成像倍率成像倍率M=1,M=1,如果物体是振幅透过率如果物体是振幅透过率 nndxxt)()(000 的理想光栅，周期的理想光栅，周期d=0.01mm,d=0.01mm,求像的强度分布。求像的强度分布。l0 xixid解：解： 首先确定系统的相干传递函数首先确定系统的相干传递函数1 Mcmf5 fdd

56、i1110 cmfdi102 2022-5-8681502 icdl 周周/mm/mm)( cH )2(crect 1, 1,c 0,0,c 采用单位振幅平面波垂直照射，几何光学理想像的场分布采用单位振幅平面波垂直照射，几何光学理想像的场分布UgUg就等于物体的透过率，就等于物体的透过率， niigndxxU)()( 输入频谱输入频谱 ngdndG)(1)( 输出频谱输出频谱)()()( gciGHG 1001 d周周/mm/mm )1()1()(1ddd 2022-5-869略去常系数，像光场分布为略去常系数，像光场分布为 dxjdxjxUiiii 2exp2exp1)( dxi 2cos2

57、1成像系统在空域和频域的作用成像系统在空域和频域的作用如下图所示如下图所示，从像面强度分布，从像面强度分布，还可以看出光栅仍能分辨。像与还可以看出光栅仍能分辨。像与 物具有相同的周期，但在两物具有相同的周期，但在两个主极大之间出现次极大，光栅条纹已经变形。系统通频带个主极大之间出现次极大，光栅条纹已经变形。系统通频带愈宽，像与物愈相似。假如愈宽，像与物愈相似。假如1001 dc 周周/mm/mm物的基频成分也不能传递到像面，将看不到光栅的像。物的基频成分也不能传递到像面，将看不到光栅的像。光栅成像的强度分布光栅成像的强度分布2022-5-870gUixdd hix iUixgG d1 d1 )

58、( cHiG d1 d1 空域和频域的运算结果空域和频域的运算结果光栅成像的强度分布光栅成像的强度分布2022-5-871例例4 4 用一直径为用一直径为D D，焦距为，焦距为f f 的理想单透镜对相干照明物体成的理想单透镜对相干照明物体成像。若物方空间截止频率为像。若物方空间截止频率为 ococ, ,试问当系统的放大率试问当系统的放大率MM为何值为何值时，时， ococ 有最大值？有最大值？解：设物距为解：设物距为d d0 0, ,像距为像距为d di i, ,放大率为放大率为MM。则。则0ddMi fddi1110 )1 (Mfdi icdD 2 系统的截止频率系统的截止频率MdDoci

59、2iocdMD 2 )1(2MfMD )11(2 MfD 2022-5-872此时，物置于透镜前焦面，像在像方无穷远处，在物空间的此时，物置于透镜前焦面，像在像方无穷远处，在物空间的通频带为通频带为fDfD 22 由上式可知，只有当由上式可知，只有当MM为无穷大时，系统才有最大的空间截为无穷大时，系统才有最大的空间截止频率止频率fDoc 2max 2022-5-873例例5 5 如图表示两个相干成像系统，所用透镜的焦距都相同。单如图表示两个相干成像系统，所用透镜的焦距都相同。单透镜系统中光阑的直径为透镜系统中光阑的直径为D D，双透镜系统为了获得相同的截止，双透镜系统为了获得相同的截止频率，光

60、阑直径频率，光阑直径a a应等于多大（相对应等于多大（相对D D写出关系式）。写出关系式）。解：这两个系统都有是横向放大率为解：这两个系统都有是横向放大率为1 1的系统，故不必区分物的系统，故不必区分物方截止频率和像方截止频率方截止频率和像方截止频率 。对于单透镜系统的截止频率为。对于单透镜系统的截止频率为fDdDic 42 f2f2Daffff2022-5-874对于双透镜系统，其孔径光阑置于频谱面上，故对于双透镜系统，其孔径光阑置于频谱面上，故入瞳和出瞳入瞳和出瞳分别在物方和分别在物方和像方无穷远处。入瞳与孔径光阑保持物像其轭关系，出瞳与孔径光阑也保像方无穷远处。入瞳与孔径光阑保持物像其轭