第 2 章 角动量 角动量守恒定律

1、2-5 角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律1. 力矩与角动量，质点的角动量定理、角动量守恒力矩与角动量，质点的角动量定理、角动量守恒 定律的及其应用。定律的及其应用。掌握：掌握：能使质点绕固定点转动的力：能使质点绕固定点转动的力：rF0 考察质量为考察质量为m的质点绕固定点的质点绕固定点o转到。转到。问：问：什么力作用于质点什么力作用于质点能使它绕能使它绕o转动转动？M0 与与 共线不能转动！共线不能转动！FrFr一、力矩与角动量一、力矩与角动量对参考点对参考点o的力矩的力矩rF = M 回顾：回顾：而力矩使质点而力矩使质点转动状态改变转动状态改变dpF =dt力使质点的动量改变力使质点

2、的动量改变F什么物理量跟动量对应？什么物理量跟动量对应？力跟力矩有对应的关系力跟力矩有对应的关系morrdpF =dt 将将 两边同时乘两边同时乘 ：dpF =dtrdpM = rdt 转动定律转动定律能否变成能否变成 ？rp 即恒有：即恒有：rF = M drp = v p = 0dt dLM =dtrp = L 角动量角动量描述转动状态描述转动状态dr+pdt dpd()rdtdrtp d(rp)=dt dprdt 利用公式利用公式 ，有：，有：ddBdA(AB) = A+Bdtdtdt 卫星卫星地球地球+rF由由 确定，满足右手规则。确定，满足右手规则。 力矩的大小力矩的大小力矩的方向：

3、力矩的方向：M = rFsin力矩的单位：力矩的单位：N mrLMmFp角动量的方向：角动量的方向： 角动量的大小角动量的大小L = rpsin = rmvsin角动量的单位：角动量的单位：2kg m /s or J s. .同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。. 在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。 orL = rp M=r F 由由 确定确定rp 注意：注意：o2= mr - (acost i +bsint j ) 例：质量为例：质量为m的质点在平面上作曲线运动，其位矢表达式的质点在平面

4、上作曲线运动，其位矢表达式 为为 ，式中，式中a、b、 皆为常量皆为常量 ，求质点对原点的角动量，以及所受力对原点的力矩？，求质点对原点的角动量，以及所受力对原点的力矩？r = acost i +bsint j (m)解：利用力矩与角动量的定义，有：解：利用力矩与角动量的定义，有：L = rp = (acost i +bsint j )= m(acost i +bsint j ) (-asint i +bcost j ) 22= mabcos tk +mabsin tk = mabkM = rF dr= rmdt 22d r= rmdt = 0d(acost i +bsint j )mdt 2

5、= -m rr 解：由力矩与角动量的定义，有：解：由力矩与角动量的定义，有： r o0rL = rp (-asint i +bcost j ) M = rF 0drdr= mr+mrdtdt2002d (r +r )= (r +r ) mdt 00d(r +r )= (r +r ) mdt = abmk0mr k 0-mr (asintjbcosti) = abmk22022d rd r= mrmrdtdt 220= 0+mr k(-a cost i -b sint j ) 20= -mr k(acost ibsint j ) 20= -mr (acost j-bsint i )接上题：求质点

6、对接上题：求质点对o 的的 。LM、rLMmFpo比照冲量，定义比照冲量，定义冲量矩冲量矩：微分形式的角动量定理微分形式的角动量定理二、角动量定理与角动量守恒定律二、角动量定理与角动量守恒定律dLM =dt积分形式的角动量定理：积分形式的角动量定理：作用于物体上的力的冲量矩等于物体角动量的增量。作用于物体上的力的冲量矩等于物体角动量的增量。角动量的增量反映出力矩作用的累积效果！角动量的增量反映出力矩作用的累积效果！Mdt = dL21ttMdt2211tL21tLMdt =dL = LLM = 0当当L=r (mv)=const. 角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒条件角动量守恒条件: 与

7、与 共线共线FrF = 0注意注意：尽管：尽管 ，但，但 的某一分量为零时，则该方向的某一分量为零时，则该方向 M0M的角动量分量守恒。的角动量分量守恒。力矩力矩 仅有仅有z轴分量！轴分量！M=r F 转动定理的分量形式转动定理的分量形式直角坐标系中：直角坐标系中：dLM =dtxxdLM =dtxyzxyzd(L i +L j+L k)(M i +M j+M k) =dtyydLM =dtzzdLM =dt 质点绕固定轴线的转动质点绕固定轴线的转动角动量角动量 仅有仅有z分量！分量！L = rp 角动量大小：角动量大小：zL = rmvsin力矩力矩的大小：的大小：zM = rFsin转动定

8、理转动定理:zzdLM =dtrLMpozmFLMpozmF 质点作圆周运动，有：质点作圆周运动，有：转动定理转动定理为：为：zzdLM =dtzzM = J v = R转动定理转动定理:转动惯量转动惯量Rz= J 0Rmvsin90d()=dtd =dt2= mRddt 角动量守恒定律：角动量守恒定律：zL = const. 积分形式的积分形式的角动量定理角动量定理:zzM dt = dL2211tLzzz2z1tLM dt =dL = L-L 将将 变形得变形得微分形式的微分形式的角动量定理：角动量定理：zzdLM =dtvr开普勒第二定律开普勒第二定律1r2=dr s2mtinddrmv

9、rsin = mrsindtdS= 2mdtdS= cdt 即：即：mvrsin = c行星绕恒星的转动：行星绕恒星的转动： 轨道在一平面内！轨道在一平面内！因为因为 与与 共线：共线：Frrdr L = cmdrLF例：如图，光滑的水平面上一绳子长例：如图，光滑的水平面上一绳子长L=2m，一端固定于，一端固定于O 点，另一端系一质量点，另一端系一质量m=0.5kg的物体。初始物体位于的物体。初始物体位于A 点，点，OA间距间距d=0.5m，绳处于松驰状态。现使物体以，绳处于松驰状态。现使物体以 初速初速vA=4m/s垂直于垂直于OA向右滑动，随后物体到达向右滑动，随后物体到达B点，点， 此时

10、其速度方向与绳垂直，求此时物体速度的大小此时其速度方向与绳垂直，求此时物体速度的大小vB。 例：物体运动过程角动量守恒，有：例：物体运动过程角动量守恒，有： ABOAmv= OBmv 即：即：ABd mv= L mvABd v0.5 4v =1m sL2 O解：设地球、卫星质量分别为解：设地球、卫星质量分别为M、m。卫星受向心力作用，角动量守恒：。卫星受向心力作用，角动量守恒：例：人造地球卫星近地点离地心例：人造地球卫星近地点离地心r1=2R，远地点离地心，远地点离地心r2= 4R，R为地球半径。求：卫星在近地点及远地点处的为地球半径。求：卫星在近地点及远地点处的 速率速率v1和和v2。112

11、2L = rmv = r mv12v = 2v22121Mm1Mmmv -G=mv -G22R24R2MmG= mgR12Rgv =32Rgv =6又卫星的机械能守恒：又卫星的机械能守恒： 1v2v1r2r122Rmv = 4Rmv因为在地球表面：因为在地球表面：联立上联立上3方程得：方程得：例：例：如图，如图，火箭以第二宇宙速度火箭以第二宇宙速度 沿地球表面切沿地球表面切 向飞出。在飞离地球过程中，火箭发动机停止工作，向飞出。在飞离地球过程中，火箭发动机停止工作， 不计空气阻力，求火箭在距地心不计空气阻力，求火箭在距地心4R的的A处的速度。处的速度。2v =2Rg解：设地球、火箭质量分别为解

12、：设地球、火箭质量分别为M、m。火箭仅受向心力作用，角动量守恒：火箭仅受向心力作用，角动量守恒：又机械能守恒，而火箭以第二宇宙速度到达处的又机械能守恒，而火箭以第二宇宙速度到达处的 E=0 2Amv R = mv 4Rsin2A1Mm0 =mv -G24RAv2vAM1v=G=gR2R2o1sin = = 302Asin =2Rg 4v2MmG= mgR地球表面：地球表面：z例：如图，将质点沿半径为例：如图，将质点沿半径为 r 的光滑半球形碗的内面水平的光滑半球形碗的内面水平 地投射地投射, 碗保持静止，设碗保持静止，设 v0 是质点恰好能达到碗口所是质点恰好能达到碗口所 需的初速率。求需的初速率。求 v0 与与 0 的关系。（的关系。（ 0 是质点的初始是质