中考数学知识点梳理+试题分类汇编(21)圆的基本概念性质

1、中考数学试题分类汇编（21）圆的基本概念性质知识点：一、圆1、圆的有关性质在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。由圆的意义可知：圆上各点到定点（圆心0）的距离等于定长的点都在圆上。就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由

2、弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。能够重合的两个圆叫等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。二、过三点的圆I、过三点的圆过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。2、反证法反证法的三个步骤： 假设命题的结论不成立； 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； 由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。证明：设有两个以上是钝角则两个钝角之和180°与三角形内角和等于1

3、80°矛盾。不可能有二个以上是钝角。即最多只能有一个是钝角。三、垂直于弦的直径圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。推理2:圆两条平行弦所夹的弧相等。四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。定理：在

4、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。五、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推理2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦是直径。推理3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。六、圆的内接四边形多边形的所有顶点都在同一个圆上，这

5、个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。例如图61，连EF后，可得:/DEF=ZB/DEF+ZA=180°/A+/B=18ry图&一1BC/DA七、直线和圆的位置关系1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。2、若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d,则：直线和圆相交=dvr；直线和圆相切二d=r;直线和圆相离=d>r;直线和圆相交二dvr图6-2图6-3例

6、如：图62中，直线与圆0相割，有：,图63中，直线与圆0相切，r=d图64中，直线与圆0相离，rvd八、切线的判定和性质切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。例如图65中，0为圆心，AC是切线，D为切点。/B=90°则有BC是切线OD是半径OD丄AC九、三角形的内切圆要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切分角线上的点到角的两边距离相等。两条分角线的交点就是圆心。这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。

7、和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。十、切线长定理经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分I)图两条切线的夹角，如图6-6B、C为切点，0为圆心。AB=AC，/1=72十一、弦切角顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。推理如果两个弦切角所央的弧相等，那么这两个弦切角也相等。例如图67,AB为切线，则有：7C=7BAE,7BAE=7D十二、和圆有关的比例线段相交弦定理：圆内

8、的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等,如图68,若F为切点22则有：AF=AH-AC,AG-AB=AFEM-MD=BM-MGCN-NH=DN-NE相离（2010哈尔滨）1.如图,是（）.BAB是OO的弦，半径OA=2，/AOB=120°,(A)22(B)23(C)5(D)3.一5（2010珠海）2.如图，OO的半径等于1,弦AB和半径OC

9、互相平分于点则弦AB的长（第9題图）M.求扇形OACB勺面积（结果保留n）解：弦AB和半径OC互相平分OCLAB11OM=MCOCOA22在RtOAM中,sinA=-OA2/A=30°又OA=OBB=ZA=30°AOB=120120讥1兀S扇形=3603P是优弧BAC（2010珠海）3.如图，ABC内接于OO,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,的中点，连结PA、PBPCPD.（1）当BD的长度为多少时，PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；<5(2)若cos/PCB=，求PA的长.5解：(1)当BD=AC=4时，PAD是以AD为底边的等腰三角形/P是优弧BAC

10、的中点弧卩吐弧PC PB=PCBD=AC=4/PBD=/PCAPBDAPCA PA=PD即厶PAD是以AD为底边的等腰三角形(2)由(1)可知，当BD=4时，PD=PAAD=AB-BD=6-4=21过点P作PE丄AD于E,贝UAE=AD=12/PCB=zPADcos/PAD=cos/PCB=aEPAPA.5（2010红河自治州）如图2,已知AOD=60°,则/DBCA.30°B.40°C.50°D.60°1.BD是OO的直径，OO的弦AC丄BD的(CD于点E,若/A）（2010年镇江市）11.如图，AB是oO的直径，弦CD丄AB，垂足为E，若A

11、B=10,CD=8，则线段OE的长为3.第11凰田）2（2010年镇江市）26推理证明（本小题满分7分）如图，已知ABC中，AB=BC，以AB为直径的OO交AC于点D，过D作DE丄BC，垂足为E，连结OE，CD=-.3，/ACB=30°.（1）求证：DE是OO的切线；（2）分别求AB，OE的长；（3）填空：如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，则r的取值范围为.（1）TAB是直径，/ADB=90°（1分）又AB二BC,AD二CD.又AO二BO,OD/BC.（2分）DE_BC,OD丄DE，DE是OO的切线.（3分）（2）在RtCBD中,CD二3,A

12、CB=30，CD_3cos303=2,AB=2.（4分）¥（6分）在RtCDE中,CD二、3,ACB=30,DE冷CD冷3弓.（5分）在Rt.QDE中,OE=OD2OE2二12（：）2（3）丄-1丄1.（7分）22（2010遵义市）如图,ABC内接于OO,ZC=40,则/ABO=答案：50、（2010台州市）如图，OO的直径CD丄AB,ZAOC=50°，则/CDB大小为（）B.30°C.40°D.50°答案：A（玉溪市2010）11.如图6，在半径为10的OO中，OC垂直弦AB于点D,AB=16,则CD的长是4（2010年兰州）4.有下列四个命

13、题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有A.4个B.3个C.2个D答案B2010年兰州）7.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，B的读数分别为86°、30°A.15B.28个1C三角形D使点C在半圆J图6点A第7题图c答案B（2010年无锡）15.如图，AB，则/ACB的大小为C.29°.34是O的直径，点D在O上/AOD=130,BC/OD交O于C,则/A=C（2010年兰州）22.（本题满分6分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树AB、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在

14、花坛的边上.A（1）（本小题满分4分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.（2（本小题满分2分）若厶ABC中AB=8米，AC=6米，/BAC=90，试求小明家圆形（第15题）花坛的面积.22题图答案（本题满分6分（1）（本小题满分4分）用尺规作出两边的垂直平分线作出圆OO即为所求做的花园的位置（图略）（2）（本小题满分2分解：/BAC=90,AB=8米,AC=6米,ABC外接圆的半径为5米小明家圆形花坛的面积为25二平方米2分3分4分BC=10米5分.6分（2010年连云港）16.如图，点A、B、C在OO上,AB/CD，/B=22°，则/A=答案44BA

15、（2010宁波市）24.如图，AB是OO的直径，弦DE垂直平分半径OA,与半径OB相交于点P,连结EF、EO,若DE=23，/DPA=45°（1）求0O的半径；（2）求图中阴影部分的面积.I第八岱）24、解；（1）丁直径ABIDES2TDE平分AO11:.CO-AO-OE22又'/Z（X*£=90°/-ZC£0=30°在Rt&OE中，OE-CE_cos30°73二OO的半径为2。卍（2）连结OF在RtADCP中，=4沪d-ZD=90o-45o=45°AZ£<?F=2ZD=9090、丁召便仙f二

16、麺*押冥2十6.（2010年金华）如图，AABC内接于OO,/A=40°则/BOC的度数为（）DA.20°B.40°C.60°C（第6题图）1）求证：CF=BF;1.（2010年金华）（本题8分）,AB是OO的直径，C是的中点，CE丄AB于E,BD交CE于点F.（2）若CD=6,AC=8，则OO的半径为,CE的长是厶C2BE（第21题图）解：（1）证明：TAB是OO的直径，/ACB=90°又CE丄AB,/CEB=90°/2=90°-/A=/1又C是弧BD的中点，/1=/A/1=/2,CF=BFOO的半径为5,CE的长是空-5

17、4分（各2分）AC二BCC.6分则下列结论中不成立的是&（2010年长沙）如图，在OO中，OA=AB,OC丄AB，则下列结论错误的是D弦AB的长等于圆内接正六边形的边长弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长又AB丄BC四边形FBED为矩形二DE丄BC/BD为RtAABC斜边上的中线BD=DCBE=EC=DE/C=45°sin/C二2（2010年湖南郴州市）7.如图，AB是LO的直径，CD为弦，CD丄AB于E,B.CE=DEC.ACB=90答案DD.CE二BD（2010湖北省荆门市）16.在OO中直径为4，弦AB=23，点C是圆上不同于A、B的点,那么/ACB度数为_答案60&#

18、176;或120°（2010年毕节）20.如图，AB为OO的弦，OO的半径为5,OC丄AB于点D，交OO于点C,且CD=I，则弦AB的长是.20.64.（10重庆潼南县）如图，已知AB为OO的直径，点C在OO上，/C=15°则/BOC的度数为（）BA为切点,D.60°OB交OO于点C,点D（2010陕西省）9.如图，点A、B、P在OO上,ABP为等腰三角形,则所有符合条件的点P有(D)（2010陕西省）14、如图是一条水铺设的直径为的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时最深为0.4米(2010年天津市)(7)如图，OO中，弦AB、则.B等于(C)(A

19、) 30(B) 35(C) 40(D) 50CD相交于点P,若.A=30,APD=70,B第(7)题)DA.17°B.34°C.56°D.681.（2010宁德）如图，在OO中，/ACB=34°，则/AOB的度数是（2.（2010黄冈）如图，OO中，MAN的度数为320°，则圆周角/MAN=.20°1.（2010山东济南）如图所示，ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1,3）、B（-2,-2）、C（4,2）,则ABC外接圆半径的长度为.（2010年常州）16.如图,/ADC=50°，则/ABD=AB是OO的直径，弦，/CEB=

20、DC与AB相交于点E,若/ACD=60.16.60°,100°（2010株洲市）21.（本题满分8分）如图，AB是eO的直径,ABC=30,eO过点B的切线与CO的延长线交于点D.求证：（1）CAB=/BOD;（2）ABC也ODB.C为圆周上一点,21.（1）AB是LO的直径，ACB=90，由ABC=30,CAB=60又OB=OC，二OCB二/OBC=30BOD=60，二CAB"BOD4分11(2)在RtABC中，/ABC=30，得ACAB，又OBAB,AC=OB22由BD切LO于点B，得OBD=90在ABC和ODB中,CAB"BOD*NACB=/OBD

21、也ABC也也ODB8分AC=OBA7BCpQRM'（2010河北省）6.过A,B,C三点，A.点P点M如图3，在5X5正方形网格中，一条圆弧经那么这条圆弧所在圆的圆心是C.点R图3B.点Q（2010年安徽）13.如图，ABC/ACB=50°，点D是BAC上一点，内接于OO,AC是OO的直径,则/D=40°1、（2010山东烟台）如图，ABC内接于OO,D为线段AB的中点，延长OD交OO于卫£=丄4.EE点E,连接AE,BE，则下列五个结论AB丄DE,AE=BEOD=DEg）/AEONC,'正确结论的个数是A、2B、3C、4D、5答案：B2.（2010山东青岛市）如图，点ABC在OO上，若/BAC=则/BOC=°.答案：48（2010浙江温州）20.（本题8分）如图，在正方形ABCD中,0为对角线BD的中点，分别以OBOD为直径作OO,O02.求001的