因式分解的9种方法

1、1 .提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。常用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：2x2 3x 0解：x(2x-3)=0 , x1=0,x2=3/2 这是一类利用因式分解的方程。总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式，这对我们后面的学习有帮助。2 .公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。例二：x2 4分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2,适用平方差公式 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3 .十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了

2、这个也会很轻松。注意：它不难。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1?a2,把常数项 c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2,并使 a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果2例二：把2x 7 x 3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数分解二次项系数 (只取正因数):2=1X2=2X1;分解常数项：3=1X3=3X 1=( -3)X( -1)=(- 1)X( -3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：经过观察，第四种情况是正确的，

3、这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7.解原式二(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式axA2+bx+c(a 0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即 a=a1a2 ,常数项c可以分解成两个因数之积，即 c=c1c2，把a1 , a2 , c1, c2 ,排列如下：a1 c1Xa2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2+a2c1 ,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b ,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实

4、验，多做，多练。它可以包括前两者方法。4 .分组分解法也是比较常规的方法。一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来，需要可持续性！例四：x2 4x 4 y2可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式解：原式=(x+2) A2-yA2=(x+2+y)(x+2-y)总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。5 .换元法整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上例五：(x y)2 2(x y) 1分解因式考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用 a代替x+y那么原式=aA2-2a+1 =(a-1)A2 ,回代原式=(x+y-1 ) A26 .

5、主元法这种方法要难一些，多练即可。即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数例六：因式分解 16y 2x2(y 1)2 8x2y x4(y 1)2分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以式的难度就大大降低了。原式=x4(y 1)2 2x2(y 1)2 8x2y 16y 主元法x为主元的话，原=仅人2yA2-2xA2y+xA2+8y)(xA2+2)可见，十字相乘十分重要。x2(y 1)2 8y2x8x2y2T222x2(y 1)2【十字相乘法】7.双十字相乘法难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如ax2 bxy cy2 dx ey f的二次六项式在草稿纸上

6、，a mn, c pq, f jk 如果 mq+ np=b, pk+qj=e, mk+ nj=d,即第 1,2足十字相乘规则。则原式=(mx+ py +j ) ( nx+ qy+ k)列和第2,3列都满要诀：把缺少的一项当作系数为0, 0乘任何数得 0,例七：ab+ b2 + a b 2分解因式解：原式=0X1XaA2+ ab+bA2 + a-b-2=(0Xa+ b+1) (a+b 2)=(b+1) ( a+b2)8.待定系数法将式子看成方程，将方程的解代入，这时就要用到“1”中提到的知识点了当一个方程有一个解 x=a时，该式分解后必有一个 (x-a)因式2例八：x x 2该题可以用十字相乘来

7、做，这里介绍一种待定系数法我们可以把它当方程做，xA2+x-2=0一眼看出，该方程有一根为x=1,那么必有一因式为（x-1）结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2 （因为乘-1要为-2）一次项系数必为1 （因为与1相乘要为1）,所以另一因式为（x+2）,分解为（x-1）（x+2）9. 列竖式让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。要建立在待定系数法的方程法上，不足的项要用 除的时候，一定要让第一项抵消例九：3x3 5x2 2分解因式提示：x=-1可以使该式=0,有因式（x+1） 那么该式分解为（x+1） （3xA2+2x-2）因式分解有9种方法，这么多？其实是不止的，还有很多很多。不过了解这些，初中的因式分解是不会有问题了。(ab b)2 (a b)2考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。(a2 x2)2 4ax(x a)2O 3, 22, 2 23a b c 6a b c9ab2c3xy+ 6 2x - 3y(3a2-b) 4(3ab)( a 3b)4(a3b)2(x+ 2)(x 3) + (x + 2)(x + 4)12x2-29x+ 15x(y+ 2) -x-y- 1,2,24x 4xy y 4x 2y 32x43213x20x11x 2_2_2_ _2x 7xy 2