转子动力学基础

1、第一章转子动力学基础本章主要内容：涡动分析临界转速2.重力影响弹性支承影响非轴对称转子影响、稳定性问题初始弯曲影响6等加速过临界的特点第一节转子的涡动旋转的转子是具有质量和弹性的振动系统，这与其他振动系统相同。区别：转子是旋转的涡动：既有自转，又有公转，是一种复合运动。用3工（+r二Q不平衡力引起的同步正进动分析2019/1/8#第二节Jeffcott转子涡动分析Jeffcott转子：垂直安装等截面对称转子、不计重力影响。、Jeffcott转子运动微分方程Jeffcott转子示意图薄盘：h/D0.1;偏心矩:定坐标系：oxyz；基点：0设自转00为常数，确定o的运动:X(t)vy(t)或r(t

2、)v6(t)图1-10Jeffcott转子的示意图轴的弯曲刚度为EJE：弹性模量山截面惯性矩假设：扭转刚度无限大(不计扭振)忽略轴向位移、刚性支承2019/1/89轴的弹性恢复力在坐标轴上投影为:FxkxF$=kyk轴的刚度系数对称简支梁中点刚度为:粘性外阻尼力在坐标轴上投影为:R尸-c*C粘性阻尼系数图1-11圆盘的瞬时位置及受力Ry=cym文g=+F严cxkx由牛顿定律可得：myc=Hy+Fy-cyky由几何关系可知：xc=x+ecos(pyc=y+fsin两边对时间求两次导数得：/xc=%e(pcos(pe2（1-笃）2+（2宀pp2gpco屮-arctan=arctanpco1160!

3、p低转速区共振区高转速区colp低转速区共振区高转速区CDpr?e%u90CD?pCD=pr=e%u0低转速区圆盘重边飞出共振区a180高转速区盘轻边飞出;自动定心或质心转向2019/1/815临界转速定义(ISO)：系统(位移)共振时主响应的特征转速。主响应：轴颈运动或转子挠曲对于Jeffcott转子，临界转速对应釜=0常以3“或3c表示，若以转/分或转/秒为单位，则有60将转子挠度表达式代入临界转速条件得clr_co2)p2d()2C(2解得5=pJX_T12j可见，阻尼总使临界转速大于横向振动固有频率，与机械振动中的阻尼使固有频率降低作用相反。当转子系统阻尼很小时，可近似认为：叭严P此时

4、有rI311EX2C?22019/1/8-“103=p时，（p=n/2,与阻尼系数g大小无关，利用这一特点可测取转子系统的P，在小阻尼情况下可近似为临界转速。当=0时，3p时，cp=0,0、0、c三点在一条直线上3P时，p=TT,O、0、c三点在一条直线上3=p时，cp=TT/2,不同转速下圆盘偏心位置见图114图1T4在不同转速吋的偏心位置3二Q，同步正涡动，或正协调进动；3=-Q,同步反涡动，或反协调进动；3HQ，同方向，正涡动，或非协调正进动;3HQ,反方向，反涡动，或非协调反进动。当转子盘不在中间时，即使是无阻尼系统，其临界转速主要是陀螺力矩影响。口转0ft)同步正进动轴的受力例：已知

5、：轴长l=57cm,直径d=l.5cm,轴材料弹性模量E=20.58xl06A/cm2,直径D=16cm,材料密度q=78x10一叹g/c席不计阻尼。求：1）临界转速32)e=0.lciu,3=0.63“；3=0.83“时的动挠度丫及支反力幅值F。解：弹性轴质量：ms.=(xl.52)/4x57x7.8xl03=0.7856g圆盘质量：=(x162)/4x2x7.8x10-3=3.137kg弹性轴中点刚度：Z:=48EJ/3=(48x20.58xl06xxL54)/(573x64)=1325553/V/cm不计轴质量时临界转速：%=色U=30i=196296r/n.nc271mD7tV3.13

6、72019/1/821计入弹性轴等效质量，按照振动理论，梁在中点的等效质量为原质量的17/35,则临界转速为：60k2乃VmD+ms.17/353012325.553xlO3Tv3.137+0.7856x17/35=1853.3r/min3=0.6GOCY时挠度为：_e(%/力)?一1(1/06)21_0.05625?加支反力幅为：F=kr=74.562N轴承力与重力之比为:F(ms+mD)g74.562(0.7856+3.137)=1.940CO=0.8C0cr时挠度为:r(%/Q)2-10.1(1/0.8)2-!=0.177支反力幅为：F二kr二235.68N轴承力与重力之比为:(叫+%)

7、g23568(0.7856+3.137)=6.131第二节刚体绕定点的转动力学模型：连续质量模型弹性体 集中质量模型盘轴系统本章以盘轴系统为分析模型刚体在空间有六个自由度：沿三个垂直轴方向的平移和绕这三个轴的转动。理论力学：刚体运动可分解成随基点的平动和绕基点的转动。平动运动规律与基点选择有关；转动运动规律与基点选择无关。1.2.1描述定点刚体位置的欧拉角刚体球钱定点约束：约束三个平动自由度； 只有三个转动自由度。定坐标系oxyz与动坐标系的关系oxyN见表11和图16xfAX沁3yPl%?3zY1丫2Ys表1-1定坐标轴与动坐标轴之间的方向余弦图6描述刚体绕定点转动的定、动坐标系2019/1

8、/8关系式为：（兀”z）U（x；y；z）x+%y+a詁xfa1x+3ij/+YjZ,y+02：/+%*N+Yy+YSy=4%+卩2歹+途為乞=%+仏Y挥。各方向余弦存在关系：（1tiJ+Y/Y；io,n25/=1,2?3o因此，九个方向余弦中只有三个是独立的（自由度数）。方向余弦求解复杂，采用夹角欧拉角表示，多种定义。1、第一种定义（图17）:1）动坐标与静坐标重合，先绕oz轴转动屮角进动角;到达oNN弘oN称为节线，右手法则 2）绕ON轴转e角一一方位或挠曲角； 到达oNNY 3）绕转cp角自转角； 到达oxyz图1-7按第-种方法定义的欧拉角及具阳应的坐标轴引入坐标轴矢量亍、了、匸、ikf

9、再引入oN、0N1及的单位矢量方、五1、斤，则有:2019/1/8叫二GFcosQo25由于:=nSlH1|j+孟iCOS叽7zkncos如十hzsin6令了/=nsin（j）+nCCS9Ofn-n4s/fn.，ncos6得到:a严i*f7-coscascpsiinosuicos9?a：.=。亍=cosi|）srnd）sini|jcoscos0?3=7*/czB?=了T=snnbcoscb+cosibsm（pcosO?仏=亍产=simpsin+coscoscosa=/fc/=一cos帖爲=sin）sin9?Y严兀=cos（isin09Q、0结合体现进动与方位角。令0X1、oyi、0Z1单位矢量

10、为图1-8按第二种方法定义的欧拉角及其相应的坐标轴2、第二种定义（图18）1）动坐标与静坐标重合，先绕oy轴转动a角，到达oxiyzi；右手法则2）绕ox】轴转0角，到达0兀3）绕02转p角一一自转角，到达oxyzf则有分无！=1,0,ni*爲=0昇2&3sinP2019/1/827由此可导出欧拉角的三角函数表示的方向余弦:ai匸补T=cosaccscb+sinasnu|)sinB1-fa=jqj=cosocsi.B$+sTnacos4slnpa严三用=sinacosp?3i=了sin4cos3?Be=/u/z=cos6cos3?氏=了订=SiTipJYi=芜订/=cosashisin3sin

11、acosb处二QJz=cocos(l)sinP+sinasincj),欧拉角表示的刚体绕定点转动的运动为=(才)，aa(t).60(0?)3=0(/)*1.2.2刚体绕定点运动的角速度及速暂布刚体的角速度为S=(j)z-b+Qn或宙=(用十好+B%方所在的位置称为刚体绕定点转动的瞬时转动轴，瞬时转动轴时刻不同，但总通过定点。第一种定义法得到矢量方向定坐标系投轡得乂=(03十6cg弓眞ay=6B3+6sw?2O19/i/8产必+叽31利用方向余弦关系得方向动坐标系投影得cox=（j）sinGccosP+0co3,5=4）sinO+?叫=（i）cosacosP一Bshia,=dsir4）C0sP十

12、BeOS札昇=&cogcosp_Bshi札,=一&巫诃+為3尢=（j）sini|）sin9+6cos认严（jcos*shie+sin叽=4）siT|）sin9+ecos（）?3/=ijcos4）sin9esrn9呦蕊占任一点瞬时速度矢量为矽=丫4drdt类似，由第二种定义可得方向定坐标系和动坐标系的投影将速度向定坐标系和动坐标系投影得=0庐一叫卩5=兀一CD乂為%=尤ya打色刚体上各点角加速度和加速度为1.2.3刚体作定点转动时的动量矩定理动量矩定理：刚体对定点。的动量矩圧对时间啲导数，等于外力系对该点的主矩4则有dHo亠对有集中质量的刚体，动量矩为百。=工升X/nQr刚体在绝对运动中对质心的

13、动量矩Hc,等于刚体随质心平菇视坐标系中运动的相对于质心的动量矩方廿。因为由速度合成定理：巧二兀+巧则刚体相对质心的绝对运动动量矩为ffffffHc=x(“”)=工呂xmz(vc+vz)=(m)xvc+X(myi)由于刚体对质心的质量矩等于零，即工册疗：=0因此Hc=r-xm=Hcr若将固定点取在质心o上，则有在相对随质心平移的动坐标系中，刚体对质心动量矩对时间的导数等于外力系对质心的主矩刚体相对质心的动量矩定理。因此，对质心动量矩的计算只鬧考虑相”寸转动。刚体作定点转动时，有v=Sr刚体动里矩为亓(二加I於x)=2mz.(ri/;.)矽丫加/(於)=方Ymf(x：2+汀)一丫叫斤(蚣心+o)

14、yy+企忆；)向动坐标系投影得Hs/丫加心尸+笊)-(Dj出必一3jErii%諾=IJJ5口式中：为刚体对ox轴的惯性矩人y=HmixiX为刚体对ox、oy轴的惯性积IJJ工加注为刚体对OA7、OZ轴的惯性积对一般具有圆截面的均质轴对称转子有对均质薄盘有式中：m圆盘质量R圆盘半径类似可得小一人/%/I/yf于是2019/1/833如果。兀/为刚体对点的主惯性轴，则各惯性积为零，即口a严0fif+1.jG).jjf17f(o7rkyyu?V，阮J第三节单盘偏置转子的涡动、回转效应转动惯量:反应刚体质量分布的力学参数。中心极转动惯量：Jp绕通过执行的对称轴的转动惯量。中心直径转动惯量:打绕通过质心

15、的任一直径的转动惯量1=均值等厚度Jd=其转动惯量为:丄2mr+412盘的回转效应：转动的刚体有力图保持转轴方向不变的特性。转动物体的惯性的体现。三个圆盘的动量矩：H=JpGH的方向沿轴线的切线方向。若转子以角速度血绕z轴转动，则动量矩的变化率：彩Hat2019/1/843此圆盘H方向有变化，伺回转效应图1弋圆盘的冋转效应图卜9动量矩矢量H及其变化率动量矩定理：LP=H圆盘在轴上的反力矩：Lp=-L,COJQcoa圆盘的回转力矩：Lp=Ha)sina图卜8圆盘的冋转效应图卜9动量矩矢量H及其变化率化的现象（见图1一15）。如图115,图1-15偏置圆盘在自转中的离心惯性力回转效应：由于咼速旋转

16、圆盘的偏摆运动而使临界转速变1.3.1单盘偏置转子运动微分方程假设：无阻尼、无偏心不计轴质量圆盘的轴线在空间画出的轨迹是个锥面。为分析方便，建立如下坐标系：（图116、图1-17）1）定坐标系：oxyz2）随o点平移坐标系：3）固联于o动坐标系：o訪匚图1-16分析单盘偏置转子运动的坐标系2019/1/8其中2=是轴挠度曲线的切线o*、o为两正交直径33泓EJMx-abb2)oa1薄盘运动可以用xoz、yoz平面投影x(t)、y(t)表示。采用第二种欧拉角定义有a(t故可以用x(t)、y(t)、(p(t)、a(t)、p(t)确定圆盘空间位置，描述运动状态。如图118,R点的挠度X和转角a为_F

17、册Mxab(a-6)3lEJ呼，一Fxaba-b)a_31EJ+ZlEJ解出盘对轴的作用力凡和力矩Mx为：F驚=3】EJa2ab+babaW十aV=耳1久十力2,图1T8弓单性轴受力后的变形M严3血（土詁x+-加J式中:a2abb235站严叱tiej（耳击3lEJ际一矿。=饨1乙上川C2019/1/837IdadH_一dtdtdHofxf_d一-dtdtdHJJ.一一;-d二CHHjJ=I血日厶/=/护|3+/川根据对质心的动量矩定理对圆盘有IdHo一3）-dt一d八dHjJ_=_d（片3a-/招）=一皿dT川I空a=詹（几诩+加）=-皿“由于R是质心，所以豊環:、;匚薦聲则由上式得:假设作用

18、圆盘上的所有外力对兀的矩力201/8U)=常数#2019/1/839在此条件下，可得盘的偏摆运动微分方程:1叶“1+怡21兀+冷曲a=0联立求解/招丿”32+免0=0与方程加壬+仏1兀+觥0=0皿少+仏1夕+储莎=01.3.2单盘转子涡动分析设联立方程的解为：x-sinQIy=BcosQr9a=CsinQp=Deos旅-代入联立方程，得到A、B、C、D的一次齐次方程组，根据非零解的条件，方程系数行列式的值应等于零，由此得到关于自然频率Q的高次方程，将解得的Q代回联立方程，图1-19转子的弹性轴变形后的几何关系可得相应的一组A、B、C、D之间的比值。转子运动稳定时，动挠度曲线在动坐标系中是不变的

19、；只是绕着0Z轴进动，进动角屮(t)一般从0X轴量起。令总的动挠度为r,挠曲角为8,由图119几何关系得久二心I)yrsinx|)(t)a=Ocosi|j(I)P=9siTii()(t)显然，r、e=常数，且讥疇常数将以上关系式代入联立方程得一徳2知+尿/+嘉曲=0,由此可见：弹性轴发生弯曲不仅有离心力(-mQ2)，还有回转力矩Clp-Id)Q20的影响；回转力矩改变了轴的弯曲刚度。展开后得:他1_朋Q2*12=0免1Q2l+22(尿wQ2)(/p3Q/?+免2)仏庞严0,上式是关于40的齐次方程，由非零解条件得:mIdQ4加仇3Q3(/朋口+曲22)Q2+/屆13Q+knk2tlkl2kll

20、00上式可求得Q得四个根，且随3而变，令：Q=3为同步正进动，则方程为加(厶一心兀心厂论-咙2f2019/1/8(11221221)=,O存在一个正根（负根舍去）.讨论：1）令（心諾-一o频率方程为：尿傀2息庐QJ他2鶴=0解得：也3QK旷逬H式中：觥1=aip为弹性轴o点的横向刚度此时得到的频率数值上等于转子不旋转时的横向固有频率，即不计回转效应时转子临界转速。一频率为：卜犒旷P7,2）令Q二一3为同步反涡动，频率方程为m（Ip+Zd）Q4（Ip+mkQa+（怡1傀2亿戏21）=0。2019/1/841有两个正根（仍然假设为薄盘，即Ip二2Id）为3）如果出现IpVld的情况（如地面串联式离

21、心压气机），可能使得（几嶋一一/在正同步涡动情况下为负值，此时陀螺力矩将降底临界转速。例：已知：轴长l=57cm,直径d=l.5cm,轴材料弹性模量E=20.58xl06A/cm2,直径D=16cin,材料密度/7=7.8xl03/cm3,a=l/4,b=l(3/4),不计阻尼。求：临界转速3解：Id二50.192kg.cm2a=l/4=14.25cinb=l-a=42.75cm31EJ二874.53xlO6Mcm3kn=5498.589N/cmki2=k2i=-67161.07Nk22=3-43556&Ncm1）考虑轮盘回转效应的临界转速为2019/1/842=1420208.1则wcr=3

22、0Q/tt=2663.02转/分不考虑轮盘回转效应的临界转速为:对悬臂转子有类似结论，频率特性曲线如图121所示/3=Qf%二寸黑曲7鯛专/分回转效应提高临界转速百分比为（-%）/%=175%2第四节重力对临界转速影响、副临界对水平安装的Jeffcott转子，重力影响：1）重力产生静挠曲；航空发动机一忽略、汽轮机一扬度2）质量偏心:交变力矩mgesincot,如图1222薄盘极转动惯量为：Ip=mr式中：P为回转半径轮盘角加速度为：（ge/”）sin血产生一个切向惯性力：加gdsin曲/垂直分量为：图1-22作用在水平转子上的重力sin2cotIp1-mge（1一coslcot）/p1式中的常

23、值部分产生静挠度；交变部分在垂直方向投影作简谐变化；当C0=C0cr/2时，此时，动挠度达到姚衣值副临界。#1.4.1水平Jeffcott转子运动微分方程水平安装的Jeffcott转子如图1一23无阻尼、盘在中间、无回转效应。、。、c三点总在一条直线上，如图124,弹性恢复力投影为F严念（血一ecc4）,Fy=一（3厶一esin）根据质心运动定理得mxQkxokeco3mgmycJrkyc=kesinQ绕质心轴线的动量矩为/亦二肌P勺图1-23水平Jeffcott转子的简图加（耳兀一乂孔）圆盘质量m对oz轴的动量矩为2019/1/845根据动量矩方程有:石-加卩2右+一丸）=Mz+mgycmg

24、m(xcAyc-ycxcA)=mgsin(cr/2)r=,COSocos联立方程的解为:即mP$+皿（xcyc九辺）=加+mgyfft为了化简方程，作坐标变换，令变换后联立运动微分方程为：mxG4+kxGA=屁cos札myG+kya=Aesiu+m（xycyjxaJ=Ms+msincj）1.5.2水平Jfffcott转子涡动分析.假设：Mz=0,0=現/2=常数，则0=0令cp的初值为零，则（P=（3/2）t,代入运动微分方程第三式:201/8#yc一5sing+兰sin空scr32式中:6s=mg/k为圆盘重力作用下弹性轴跨中静挠度。根据图124的几何关系,盘质心运动方程为:COX7a-ec

25、os2=_Q(l+COS%t)+rce(Dcry=y-esin1=-osinmt+sin1jjc2sc32进动由个分量组成：基频分量与偏心矩e有关；倍频分量与静挠度&S有关。例1.6：求第四节例子转子，重力作用下，副临界时两个运动分量幅值。解：基频分量为：e=3=0.1/3=0.0333cm倍频分量为：6s=ing/k=0.0232cm可见各幅值较小，只有&s较大情况下，才能观察到明显副临界现象，轴横截面非对称是一个更为主要原因，下节讨论。2019/1/847第五节弹性支承单盘转子涡动分析1.5.1弹性支承单盘转子的运动微分方程典型鼠笼式弹性支承结构见图125弹性支承单盘转子计算模型见图126

26、图25鼠笼式转子支承系统的示意图图卜26弹性支承的单盘转子如图126,假设支承的质量、冈I度、阻尼参数分别为： mb、kx、ky、CxCy,支承转子的作用力为：Fx=-cxxb-kxxb应用非保守系统的拉格朗日方程:忆+卡Fy=-CyYb-kyYb由于阻尼存在，ndfbLdi丸jJj=1,式中：L二T-V拉格朗日函数T系统的动能函数V系统的势能函数 cp系统阻尼的耗散函数Qj作用在系统上的广义力qj系统广义坐标n系统自由度数2019/1/849用也（戈EdsinCO/）2+（少+03COS血）T产2你讥xg+九）人=-弓伉（久一衍）？+（火）2乙=-2（也吟+第处）c（士一匕）2十（夕j九严:

27、b=-+cyyj）沪凹茫2=3二常数支承动能:支承势能:假设支承对称，自由度减为二个：Xb（t）yb（t）；圆盘位于中间,自由度减为二个：Xc（t）、yc（t）cp（t）,系统共五自由度设圆盘角速度为常数：则系统缩减为四个自由度数。12支承粘性阻尼耗散函数：因假设3=常数，合力矩为零，若忽略重力影响，则系统广义力为零。2019/1/8#将以上各式代入拉格朗日方程得加我+C（左一处&）+怡（咒一）=朋能2sin,m&%5+cxx&+kxxb0:mbyb+cyb-Vkyybkyyb）=01.5.2弹性支承单盘转子涡动分析为简化分析，不计阻尼，可设将其代入运动微分方程得一ma?XJrk（.X天）=眈

28、能co,-mY+k（Y一儿）=叫沁mgXb+hhX&一h（XX）02Kh+k（YY0x=Xcos打2019/1/851由第三式解得代入第一式得于是-mdx+k(x-养/蔦=k2y_kX4=-/k+kxme分母为零，X=Rb+觥一盹2则X达到无限大，即X另向的临界转速3cr,令_一壬瓦氓谑厂=0松他农Qk(md+kxmd)co?x+kkx=0Tmd叫+丄.)+.bj忆+”亠0mdmb由求根公式可得讨论：1)kxk,支承几乎不动，支承质量可视为零，nib二0,频率方程简化为：Jk一mdco3务=1用+_)+-mdmbJrrg、+厶一丫址咗一/)mbJmambJXr,则为正涡动；如果Xpky,则:3

29、cx3cy。a）当33cy时，Xc0,YsXcM：9/XpXr,为正涡动，a二|Ys|,b二Xc,a=90,=0ob）当3=3cy时，Xc0,Ys=则：a=,b=Xc,a=90,必=90。c）当%少0,Ys0则：XP0则：XpXr,为反涡动，a二Xc=Ys,b二一a,a=45,=27CPe）当硝）/2s0,Ys0,且XcYs则：XP0则：a=,b二土Xc,&=0,亦=90g）当3Wcx时，Xc0,且|Xc|Ys则：XpXr,为正涡动，a=|Xc|,b二Ys,d=O,0a=18CPh）当3=8时,Xc二一e,Yc二e则：XpXr,为正涡动,a=b二e,（f）a=180P2019/1/856盘心运

30、动轨迹和方向如图129。通常轴的两个方向刚度差异不大，两个临界转速靠得很近,一般不允许在临界转速附近停留，故一般只能看到正进动。X2019/1/857图1-29在不同转速时盘心进动的轨迹和方向第六节非轴对称单盘转子的涡动分析实际转子非对称典型结构见图1302019/1/8F产一尿T图卜30典型双刚度轴（转子）的戳面假设支承刚度远大于轴的弯曲刚度，由于轴刚度不对称，重力激励频率为转速二倍。当转速到达临界转速一半时，会使动挠度达到极值副临界。是引起副临界的重要原因（图1-31）o2019/1/81-6.1非对称轴的单盘转子运动微分方程如图1-31,建立与定坐标系平行的坐标系okyz；再建一动坐标系

31、o弄;令础轴截面两个主惯性轴，转子以3绕ok轴转动，设截面两个主惯性矩为女、相应弯曲刚度为：r48EJt/一48EJ轨3?伽_J3圆盘偏心为6,相对动坐标系的相位角为Cpe%=幺COS札已严&sin札0玮=畑段(+qoos札)S列=加0)2(耳+幺sin札).S联=2加讯则有:动坐标系中牵连惯性力为盯在g、n轴上的分量为：哥氏惯性力的分量为：S=2皿儷轴的弹性反力分量为:Fg=b缶耳=c（|com）从=一C（T|+CD）.R；=c/i圆盘粘性外阻尼力瓦分量为：式中：C圆盘粘性外阻尼系数。弹性轴内阻尼力艮分量为：式中：C.弹性轴内阻尼系数（分析见后面章节）。转子受到的重力W分量为：=阮gcosc

32、oFF=mgsin根据质心运动定理，参考图132,得也（总一3迭_2。打）+C（言一COH）+c港+鼠2mecos4）e+mpcosgtn（打一co?可十2。言）+c（打十cotJ+c+hj=mco2sinmgsin血。图-32圆盘的瞬时位置及其所受的力令:2019/1/8蠶际m-（+烧可分别讨论重力和偏心的作用。利用线性叠加原理+促2=如2COS也+9cos打c.一2打+2睦+一市（+cog）+p=2sin氛一9sin血。162重力作用下非对称单盘转子的涡动重力单独作用时运动微牛方程为：2tsp9CQZ签一2。渤+（L一比）+詈-乩和一ft?耳+23基+-*（讯+爲）+一.務一讯+q汕gsi

33、na）tt运动方程右端采用复数表示，并规定取其实部，有0cos3#=Re（ggE），9sin严）。2019/1/861设运动方程解为：g弋代入运动微分方程得：pt2/+i(c+cJ竺g-(上$1mJ&mpj-22+i(c+Ci)rj+a)+la)1=igm6m7亠欣一6tlge、g=ge求解上式，得g(圧一2曲+i泯一23?十i(C+c；)-i(cCO+22cd2)!rs*m*.23?+j(CH-C/)、7mJCDc+cF+(rn3十辽町-CD+?22)!弋心m3、m“g屮一20护十i(c十s)删-j+i(.r.*W.*-*旅2?+j(c+Q暑p；2?+i(c+d)若忽略阻尼，即令c二Ci二0

34、,処，,二g(p=4/)e二8(p；_2)(p；_2t2)_4y2p2p2_2/+仏coscot可得固定坐标系下进动方程：冷=辔（上严畀話気沁陀2由此可见：重力使双刚度转子-门一4心以两倍自转角速度作正进动；(3乞一432)COS(2护_32十边1何0厂p2rA/(护一3爭十(2)2tg=瓷口2019/1/8轴弯曲为：P/122偏心盘为:2)动挠度极值频率:无阻尼时两者相等。3)同时存在轴初弯曲匚和盘偏心6并假设相位差位&,由线性叠加原理得:ld/*一p2cd2+z，2CPS./?一0?+辽(0第八节转子在越过临界转速时的行为临界转速附近挠度最大，主要讨论越过临界转速时的行为。假设：转子等加速

35、（或等减速）越过临界转速1.8.1变转速时转子运动微分方程如图1-34,以水平Jeffcott转子为例考虑重力影响（x、y坐标轴对调）。质心c与盘心R坐标关系有：图1-34圆盘的瞬时位置及其受力孔=左一殆sin込=X一础Sin殆0札%=%+acos札夕0=夕+餌5札J求一、二阶导数得2019/1/8九二少+昭cos&sin札71轴的弹性反力为:F工=一kx9Fy=-ky盘粘性阻尼力:R=一氷9Ry=c:y式中:盘横向运动阻尼系数粘性阻尼力矩：Mk=。2爲式中：c2盘旋转运动阻尼系数重力和重力矩为:W=mg，Mgg（尤+fcos）设外力矩为M由质心运动定理得搐込=凡+R”TTiV=F+RI-14代入质心运动微分方程得：yymx十c（士一殆sin）+怡咒=mecosd）+用少十6（少+坯co詞）+Aymeteor：mg2019/1/871由质心动量矩定理得：-不-/）+（兀