不定积分复习及举例

1、不定积分复习与举例一、不定积分主要内容第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法分部分部积分法积分法几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分基本积分公式基本积分公式1 1、原函数、原函数 如如果果在在区区间间I内内，可可导导函函数数)(xF的的导导函函数数为为)(xf， 即即Ix ， 都都 有有)()(xfxF 或或xxfxFd)()(d ，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf或或xxfd)(在在区区间间I内内原原函函数数. 定义定义原函数存在定理原函数存在定理 如如果果函函数数)(xf在在区区间间I内内连连续续，那那么么在在区区间间I内内存存在在可可导导函函数数)(xF，使使Ix

2、 ，都都有有)()(xfxF .即：即：2 2、不定积分、不定积分(1) 定义定义 在区间在区间I内，函数内，函数)(xf的全体原函数称为的全体原函数称为)(xf在区间在区间I内的内的不定积分不定积分，记为，记为 xxfd)( CxFxxf )(d)( xxgxfd)()(10 xxgxxfd)(d)(2) 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的. xxkfd)(20 xxfkd)(（k是是常常数数，)0 k(3) 不定积分的性质不定积分的性质xxfxxfd)(d)( d CxFxxF)(d)( CxFxF)()(dd( )d( )df xxf xx3 3、基本积分表、基

3、本积分表 kCkxkdx()1(是常数是常数)1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3( dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8( xdx2secCx tan xdx2sin)9( xdx2cscCx cot dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)16( Cxxdxsinlncot)17( Cxxxdxtanseclnsec)18( Cxxx

4、dxcotcsclncsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22Cxaxaadxxa ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxxdxax )ln(1)24(2222Caxaxadxax ln211)21(22Cx sh)14( xdxch xdxCx ch)15(sh5 5、第一类换元法、第一类换元法4 4、直接积分法、直接积分法定理定理 1 设设)(uf具有原函数，具有原函数，)(xu 可导，可导，则有换元公式则有换元公式 dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式（第一类换元公式（）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不由定义直

5、接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的方法.;d)(. 11xxxfnn ;d)(. 2xxxf;d)(ln. 3xxxf;d)1(. 42xxxf;dcos)(sin. 5xxxf;d)(. 6xaafxx常见类型常见类型:;dsec)(tan. 72xxxf;d1)(arctan. 82xxxf 6 6、第二类换元法、第二类换元法定定理理 设设)(tx 是是单单调调的的、可可导导的的函函数数，并并且且0)( t ，又又设设)()(ttf 具具有有原原函函数数，则则有有换换元元公公式式 )()()()(xtdtttfdxxf 其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数.第二

6、类换元公式第二类换元公式常用代换常用代换:.,)(. 1Rbatx .sec,)(.tan,)(.sin,)(. 2222222taxaxxftaxxaxftaxxaxf 令令令令令令如如三角函数代换三角函数代换13.xt倒置代换令7 7、分部积分法、分部积分法分部积分公式分部积分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 9 9、几种特殊类型函数的积分、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有理函数的积分定义定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分

7、式之和的待定系数法待定系数法四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分;ln. 1CaxAaxAdx ;)(1()(. 21CaxnAaxAdxnn ;arctanln2. 342422222CqxqNqpxxMdxqpxxNMxpppMp dxqpxxNqpxxdxpxMdxqpxxNMxnMpnn)()()2(2)(. 42222此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式（2） 简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型：讨论类型：),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解决方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号;necxbaxt 令令;nbaxt 令令令令

8、2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 （3） 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxR二、典型例题例例1 1 dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdt dttt)1111(23ln21Ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln

9、3(ln21Cxxxx tx )23(令令例例2 2解解.15)1ln(22 dxxxx求求5)1ln(2 xx,112x 5)1ln(5)1ln(22 xxdxx原式原式.5)1ln(32232Cxx )1221(1122xxxx 例例3 3解解.cos1)sin1( dxxxex求求 dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式原式 dxxexexx)2tan2cos21(22tan)2(tan( xxdexxde )2tan(xedx.2tanCxex 例例4 4解解.cos1sin dxxxx求求dxxxxx 2cos22cos2sin22原原式式dxxdxxx 2tan2c

10、os22dxxdxxxx 2tan2tan2tan.2tanCxx 例例5 5解解.1122 dxxxx求求,1tx 令令dttttt)1(1)1(111222 原原式式dttt 211 22212)1(11ttddttCtt 21arcsin.1arcsin12Cxxx (倒代换倒代换)例例6 6解解.)1ln(arctan2 dxxxx求求dxxx)1ln(2 )1()1ln(2122xdx .21)1ln()1(21222Cxxx 21)1ln()1(21arctan222xxxxd 原原式式xxxxarctan)1ln()1(21222 dxxxx1)1ln(21222 例例7 7解解

11、.)2(10 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx .2)1ln(23)1ln()1(arctan212222Cxxxxxxx 例例8 8解解.)1()1(342 xxdx求求.)1()11()1()1(234342 xxxxx,11 xxt令令,)1(22dxxdt 则则有有 原式原式 234)1()11(xxxdxdtt 3421Ct 3123.11233Cxx 例例9 9解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dx

12、xfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 例例1010解解., 1max dxx求求, 1max)(xxf 设设,1,11,11,)( xxxxxxf则则,),()(上上连连续续在在 xf).(xF则必存在原函数则必存在原函数须处处连续，有须处处连续，有又又)(xF.1,2111,1,21)(32212 xCxxCxxCxxF)21(lim)(lim12121CxCxxx ,21112CC 即即)(lim)21(lim21321CxCxxx ,12123CC 即即.1,12111,211,21, 1max22 xCxxCxxCxdxx故故.1,2132CCCC 可可得得,1CC 联联立立并并令令例例1111 求积分求积分.dsec3 xx解解 dxx3sec dxxx2secsec )(sectantansecxdxxx dxx3sec )(tansecxdx dxxxxxsectantansec2 dxxxxx)sec(sectansec3 dxxdxxxx3secsect