数分课件第三章32求导法则

1、导数与微分1函数的和函数的和、差、积、商的求导法则差、积、商的求导法则第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则第二章第二章 导数与微分导数与微分复合函数的求导法则复合函数的求导法则反函数的求导法则反函数的求导法则 高阶导数高阶导数 小结小结 思考题思考题 作业作业2定理定理1,)(),(处可导处可导在点在点如果函数如果函数xxvxu )()() 1 (xvxu并且并且则则它们的和它们的和、差、积、商差、积、商在点在点 x处也可导处也可导,);()(xvxu )()()2(xvxu);()()()(xvxuxvxu )()()()()(2xvxvxuxvxu 函数的求导法则函数的求导法则).0

2、)( xv一、函数的和一、函数的和、差、积、商的求导法则差、积、商的求导法则( )(3)( )u xv x3 )()(xvxu).0)()()()()()(2 xvxvxvxuxvxu,vuy 设设证证.yvu 则则 )()( )2(xvxu);()()()(xvxuxvxu 由乘积的导数由乘积的导数: u得得故故vvyuy vvvuu )0(2 vvvuvuvy ,vy y 特别特别 )(1xv)()(2xvxv .2vvuvuvu 即即函数的求导法则函数的求导法则4推论推论,处均可导处均可导在点在点、若若xwvu wvu uvw,wvu 则则,处也可导处也可导在同一点在同一点x且且uvw

3、vw wvuwuv 函数的求导法则函数的求导法则 u vwu( )( ),.Cu xCu x C为常数5例1 求下列函数的导数.3(1)( )sin2xf xxx21 sin(2),.1 cosxxyyx设求函数的求导法则函数的求导法则6例例2 2.tan的导数的导数求求xy 解解)(tan xyx2cos xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx )(cot x同理可得同理可得 xxcossin即即.csc2x 2vvuvuvu 函数的求导法则函数的求导法则)(cossin xxxx cos)(sin 7例例3 3.sec的导数的导数求求xy 解解)c

4、os1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin 同理可得同理可得 )(1xv)()(2xvxv 即即xxxtansec)(sec 函数的求导法则函数的求导法则(csc )csccotxxx 8.11的导数的导数求求 xxy解解 法一法一2)1()1)(1()1()1( xxxxxy2)1(2 x法二法二11 xxy121 x)12()1( xy2)1(2 x注注在进行求导运算中在进行求导运算中,且也能提高结果的准且也能提高结果的准这样使求导过程简单这样使求导过程简单,尽量先化简再求导尽量先化简再求导,确性确性.2)1(12x 函数的求导法则函数的求导法

5、则 )(1xv)()(2xvxv 9函数的求导法则函数的求导法则用求导法则与用定义求导数时用求导法则与用定义求导数时, 结果有时不一致结果有时不一致,这是为什么这是为什么? 如已知如已知).0(,sin)(3fxxxf 求求无意义无意义,解解.cossin31)(3132xxxxxf )0(f 所以所以,)0(f 不存在不存在.上述解法有问题吗上述解法有问题吗?注意问题出在注意问题出在)(0 xfx 处处不连续不连续.因此因此)(xf 可能在不连续点处不代表该点处的导数值可能在不连续点处不代表该点处的导数值.,0时时当当 x )(xf,0时时当当 x, 0用定义用定义!,cossin31332

6、xxxx 10定理定理2二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则函数的求导法则函数的求导法则,)(可导在点如果函数xxgu ,)(可导在点xgu xxgfy在点则复合函数)()(ufy 而而可导可导, ,且其导数为且其导数为 xydd)(uf )(xg 或或 uyxydddd.ddxu 链导法则链导法则因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间等于因变量对中间变量求导变量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导. .关键:会将复杂的函数分解为简单函数.11例4 求下列函数的导数.22(1);yax1(2)arcsin;yx221(3)ln;1xyx2222

7、(4)xyx axax22(1)xyax 221,11(2)1,11xx xyxx x 44(3)1xyx 223222222(4)axayaxax 函数的求导法则函数的求导法则12推广推广),(ufy 设设的的导导数数为为则则复复合合函函数数)(xfy xydd),(vu ),(xv 函数的求导法则函数的求导法则uyddvudd.ddxv例5 求下列函数的导数.(1)ln cosxye1tan(2)xye(3)sinsin,nynxxn为常数(4)lnyx13求导数时,要综合运用函数的和,差积,商的求导法则与复合函数的求导法则.例6 求下列函数的导数.22ln(1)arctan11xyxx

8、2(2)1arcsinxxxyeee23(3)ln1xxyx函数的求导法则函数的求导法则14)(1 )(1yfxf 或或.dd1ddyxxy 第一章第九节定理第一章第九节定理2: 单调的连续函数必有单调的连续函数必有单调的连续反函数单调的连续反函数. .定理定理3( )yxf yI如果函数在某区间 内严格单调、,0)( yf且且在在那末它的反函数那末它的反函数)(1xfy ,内也可导内也可导对应区间对应区间xI且且可导可导函数的求导法则函数的求导法则三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则15求反函数导数的步骤:(1) 将所给函数 转化为反函数( )yf x( ),xy满足:严格单调,可导,且

9、( )0.y(2) 由法则知道:1( )( )fxy(3) 两边在x取值,即( )1( )( )yf xfxy函数的求导法则函数的求导法则16.112x 例例7 7.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解yxsin yycos)(sin 且且内有内有在在)1 , 1( xI)(arcsin xycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx , 0 )(sin1 y)(arcsin x函数的求导法则函数的求导法则)(1 )(1yfxf 单调、可导单调、可导,直接函数直接函数 反函数反函数 内在2,2yI21(arccot

10、 ).1xx 17注注如果利用三角学中的公式如果利用三角学中的公式:,arcsin2arccosxx ,11)(arccos2xx .11)cot(2xx arc,arctan2cotarcxx 也可得公式也可得公式也可得公式也可得公式函数的求导法则函数的求导法则18例例8 8.log的导数的导数求函数求函数xya , 0ln)( aaayy且且内有内有在在), 0( xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解(,),yyxaI 在内严格单调、可导特别地特别地.1)(lnxx 函数的求导法则函数的求导法则19xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(s

11、in0)(2 1. 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 基本求导法则与导数公式基本求导法则与导数公式函数的求导法则函数的求导法则211)(arcsinxx 211)(arccosxx 211)(arctanxx 211)cotarc(xx 202. 函数的线性组合、积、商的求导法则函数的线性组合、积、商的求导法则函数的求导法则函数的求导法则)(),(xvvxuu 设设都可导都可导, 则则3. 反函数的求导法则反函数的求导法

12、则)(1 )(1yfxf 或或.dd1ddyxxy ( )yxf yI如果函数在某区间 内严格单调、,0)( yf且且在对应区间在对应区间则它的反函数则它的反函数)(1xfy 且且可导可导.,R ,)() 1 (vuvu.)()2(vuvuvu).0()3(2vvvuvuvu,内也可导xI214. 复合函数的求导法则复合函数的求导法则,)()()(),(都可导都可导及及且且而而设设xgufxguufy 初等函数的导数未必为初等函数初等函数的导数未必为初等函数.注注函数的求导法则函数的求导法则的导数为的导数为则复合函数则复合函数)(xgfy ).()()(ddddddxgufxyxuuyxy 或

13、或 利用上述公式及法则初等函数求导问题利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决可完全解决.22有些初等函数在某些点处的导数不能用上述公式和法则去求,只能从定义出发计算.注意:例9 设32cos,.yxy求函数的求导法则函数的求导法则23例例1010).(000sin)(2xfxxxxxf 求求设设解解,0时时 x,0时时 xxxxx0sinlim20 220sinlimxxx 22sin2sinxxxx xxxf2sin)(0)0()(lim)0(0 xfxffx1 所以所以 010sin2sin)(22xxxxxxxf函数的求导法则函数的求导法则24例例1111.,可导可导其中函数其中函

14、数的导数的导数求求g xgey1解解 xg1 xge1 2111xxgexg xgexxg121 y xge1 xg1 x1函数的求导法则函数的求导法则25例例1212.)(sin的导数的导数求函数求函数nnnxfy 解解 y)(sin1nnxn nxcos ).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn )(sin1nnnxnf )(sinnnxf )(sinnx 1 nnx函数的求导法则函数的求导法则26sinarctan1xxye(3)求下列函数的导数.22xxye(1)222xyaax(2)sin1 cosxyx(4)2arcsin11l

15、nxxyxx(5)函数的求导法则函数的求导法则27解解),(ufy 设设 yxxf3cos)3(sin3 注注xu3sin uy )(ufx3cos3则则xu .的导数的导数对对不表示不表示xf函数的求导法则函数的求导法则上式中上式中是函数是函数 f 对括号中的中间对括号中的中间变量求导变量求导,sin3,.yfxf求的导数 其中函数可导)3(sin xf )3(sin)3(sinxfxf?28.的导数的导数求函数求函数xaaaxaaaxy 答案答案 1aaaxay axaaxaa1lnxaxaaa 2ln函数的求导法则函数的求导法则解解axafxfafax )()(lim)(axxaxax

16、0)()(lim )(limxax )(a ),()()(,)(xaxxfaxx 处连续在若).(af 求29四、高阶导数四、高阶导数问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tss 设设)()(tstv 则瞬时速度为则瞬时速度为是是加加速速度度a )(ta定义定义)()(xfxf 的导数的导数如果函数如果函数xxfxxfxfx )()(lim)(0高阶导数也是由实高阶导数也是由实际需要而引入的际需要而引入的.这就是二阶导数的物理意义这就是二阶导数的物理意义)(tv )(ts 的变化率的变化率对时间对时间速度速度tv1、高阶导数的定义、高阶导数的定义处的处的在点在点为函数为

17、函数则称则称xxfxf)() )( 存在存在,二阶导数二阶导数. .)( 即即处可导处可导在点在点,x记作记作),(xf 22ddxy.d)(d22xxf或或,y 函数的求导法则函数的求导法则30阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函数1)( nxf.d)(ddd,),()()(nnnnnnxxfxyyxf或或三阶导数的导数称为三阶导数的导数称为二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为;)(,称为零阶导数称为零阶导数相应地相应地xf.dd,),(33xyyxf 二阶导数的导数称为二阶导数的导数称为.dd,),(44)4()4(xyyxf高阶导数高阶导数.)(称称为为一一阶阶导导

18、数数xf 的的函数函数)(xf三阶导数三阶导数, ,四阶导数四阶导数, , n阶导数阶导数, , 记作记作一般地一般地,函数的求导法则函数的求导法则31例例1313解解211xy )11(2 xy22)1(2xx 22)1(2xxy322)1()13(2xx ; 0 . 2 由高阶导数的定义由高阶导数的定义,欲求函数的高阶导数欲求函数的高阶导数,只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去,而不需要新的方法而不需要新的方法.,arctan00 xxyyxy求求设设0220)1(2 xxxxy03220)1()13(2 xxxxy函数的求导法则函数的求导法则32例

19、14 设( ),( )yf uux均二阶可导,求复合函数( ( )yfx的二阶导数.例15 设( )yf x是三阶可导的函数,设331,.d yyfxdx求函数的求导法则函数的求导法则33例例1616.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn ,n为自然数为自然数若若 )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 2 2、几个基本初等函数的、几个基本初等函数的n阶导数阶导数 则则 0,mnxmn函数的求导法则函数的求导法则34例例1717.,)(nxyey求求设设 解解,xey ,x

20、ey ,xey .)()(xnxee 例例1818.),1( )1ln()(nyxxy求求设设 解解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn函数的求导法则函数的求导法则35例例1919.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得即即)2sin()(sin)( nxxn函数的求导法则函数的求导法则36求求n阶导数时阶导

21、数时, 关键要寻找规律关键要寻找规律, 注注另外在另外在的规律性的规律性,写出写出n 阶导数阶导数.便可看出规律便可看出规律;一般求至三阶一般求至三阶,求导过程中不要急于合并求导过程中不要急于合并, 分析结果分析结果函数的求导法则函数的求导法则37 求求n阶导数需要运用技巧阶导数需要运用技巧几个常用高阶导数公式几个常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!)1(1 n

22、nnxnx函数的函数的n阶导数公式阶导数公式,使问题简化使问题简化.尽可能化为求某些熟知尽可能化为求某些熟知 (通过四则运算通过四则运算, 变量代换变量代换,恒等变形恒等变形)函数的求导法则函数的求导法则38例例2020.,cossin)(44nyxxy求求 解解若直接求导若直接求导,将是很复杂的将是很复杂的,且不易找出规律且不易找出规律,所以将式子恒等变形所以将式子恒等变形.xxy44cossin x2sin2112 xxxx22222cossin2)cos(sin 24cos1211xx4cos4143 24cos441)( nxynn)2cos()(cos)( nxxn函数的求导法则函数

23、的求导法则39)()()()()1(nnnvuvu )()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()2(nkknnnnnuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式用此公式可以简便地求用此公式可以简便地求出出乘积乘积的高阶导数的高阶导数可类比着牛顿二项公式可类比着牛顿二项公式加强记忆加强记忆)()(0kknnkknvuC ,阶导数阶导数具有具有和和设函数设函数nvu则则莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz,16461727)德国数学家德国数学家.3、莱布尼兹公式莱布尼兹公式函数的求导法则函数的求导法则40例例2121.,sin)100(2yxxy求求设设 解解)()(sin100)(sin2)99(2)100()100( xxxxy 299sin2002100sin2 xxxx)()(sin! 2991002)98( xxxxxxxsin9900cos200sin2 298sin99100 x)()(0)()(kknnkknnvuCvu 则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,sin xu ,2xv 函数的求导法则函数的求导法则41例22 证明:( )arcsinf xx满足:21( )( )0,